文档内容
第 6 讲 函数的概念及其表示
知识点目录
【知识点1】函数的概念..........................................................2
【知识点2】函数的解析式........................................................4
【知识点3】分段函数............................................................7
基础知识
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应
关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的
一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相
同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的
第1页 共12页定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
知识点1
知识点
【知识点1】函数的概念
函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二
个集合B中有且只有一个元素与之对应．
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
典型例题
例1：
【例1】（2025•五华区校级模拟）已知集合 ， ，下列对应关系能构成函数
的是
A． ， B． ， C． ， D．
，
【答案】
【分析】根据函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， ，则 ，按照对应关系 ，集合 中每个元素，在集合 中都有
唯一元素与之对应，故 正确；
对于 ，取 ，则 ，故 错误；
对于 ，取 ，则 ，故 错误；
第2页 共12页对于 ， ， ，按照对应关系 ，集合 中每个元素，在集合 中都
有唯一元素与之对应，故 正确．
故选： ．
【例2】（2023•青羊区校级模拟）给出下列4个函数，其中对于任意 均成立的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】从函数的定义出发进行分析，任意 只能对应唯一的 ，否则不满足，由此可排除选
项 ， ， ．
【解答】解：对于 ，取 ，则 ，取 ，则有 ，故不成立；
对于 ，取 ，则 ，取 ，则 ，故不成立；
对于 ，取 ，则 （6） ，取 ，则 （6） ，故不成立；
对于 ，令 ， ，则由 ，
可得 ，即 ，
故 ，故成立．
故选： ．
【例3】（2025•广东模拟）函数 的定义域为
A． ， ， B． ， ，
C． ， D． ，
【答案】
第3页 共12页【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0，联立不等式组求解．
【解答】解：要使原函数有意义，则 ，解得 且 ．
函数 的定义域为 ， ， ．
故选： ．
【例4】（2025•扬州校级模拟）已知函数 的定义域为 ， ，则函数 的定
义域为
A． ， B． ，
C． D．
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案．
【解答】解：因为 的定义域是 ， ，所以 ，
根据抽象函数定义域求法，在函数 中，
，解得 且 ，
则定义域为 ．
故选： ．
【例5】（2025•泉州模拟）函数 的值域为
A． ， B． ， C． D． ，
【答案】
【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域．
第4页 共12页【解答】解：函数 的定义域为 ， ，
又 在 ， 上单调递增，
，
故 的值域为 ， ．
故选： ．
知识点2
知识点
【知识点2】函数的解析式
函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
典型例题
例1：
【例6】（2025•台湾四模）若 为二次函数且 ， ，则 的解
析式为 ．
【答案】 ．
【分析】利用待定系数法和对应思想的应用求出结果．
【解答】解：设 ，
由于 ，所以 ，
又因为 ，
第5页 共12页所以 ，
故 ，解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【 例 7 】 （ 2025• 重 庆 模 拟 ） 设 定 义 域 为 的 函 数 满 足 ： ， 都 有
且 为常数），则函数 ．
【答案】 ．
【分析】由已知函数关系，运用赋值法可求解．
【解答】解：定义域为 的函数 满足： ， 都有 ，
由 ①，
令 可得 ②，
在②中，令 ，则 ③，
由②可得， ④，
由①可得， ⑤，
由②可得， ⑥，
则由③④⑤⑥可得， ，即 ，
因 ，则 ．
故答案为： ．
第6页 共12页【 例 8 】 （ 2025• 河 北 模 拟 ） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足
，且 ，试写出一个满足上述条件的 的解析式：
．
【答案】 （答案不唯一）．
【分析】根据函数 的递推关系，可猜想函数为 ，验证即可．
【解答】解：根据题意可知， 中间符号为“ ”， 前后两个
代数式中间符号为“ ”，
类比两角差的余弦公式 ，
但 ， 猜测 的一个解析式为 ．
检验， ，
，
，满足题意，
又 ，满足题意，
故 的一个解析式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
【例 9】（2025•昆明模拟）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当且仅当 时，
，则当 时， 的解析式为 ．
第7页 共12页【答案】 ．
【分析】利用奇函数的定义，将求 时的解析式转化为 时的情况，直接代入已知解析
式即可．
【解答】解：设 时， ， ，
因为 是奇函数，所以 ，
所以当 时， ．
故答案为： ．
【例10】（2024•怀仁市校级四模）已知集合 ， ， ，函数
，若函数 满足：对任意 ，存在 ， ，使得 ，则
的解析式可以是 ．（写出一个满足条件的函数解析式即可）
【答案】 ．
【分析】先将 表示出来，再赋值即可．满足 （1） ，且一次项系数不为零的所有一
次或者二次函数解析式均正确．
【解答】解： ，
令 ，则 ，
，取 ，则 ．
故答案为： ．
知识点3
第8页 共12页知识点
【知识点3】分段函数
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，
切记要代入检验．
典型例题
例1：
【例11】（2024•罗山县二模）若 ，则 的值为
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】
【分析】利用函数的解析式知道当 时是以2周期的周期函数，故 （2），再代入
函数解析式即得
【解答】解：
当 时， （2），
当 时即 （2）
故选： ．
【例 12】（2022•上虞区模拟）设函数 ，则 （1） ，若
（a） ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 ； ， ， ．
【分析】依据分段函数的定义去求 （1） 的值；分类讨论关于 的不等式组，去求 的取
第9页 共12页值范围．
【解答】解： 函数 ，
（1） ，
（1） ；
（a） 或 ，
解得 或 ，
若 （a） ，则实数 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ； ， ， ．
【例13】（2020•西城区校级模拟）函数 ，满足 的 的取值范围
A． B． C． 或 D． 或
【答案】
【分析】分 和 两种情况解不等式，解指数不等式时，要化为同底的指数不等式，再
利用指数函数的单调性来解．
【解答】解：当 时， 即 ， ， ， ，
当 时， 即 ， ，
综上， 或 ，
故选： ．
第10页 共12页【例14】（2020•宝鸡二模）若 ，则 （3） ．
【分析】先求出 （3）来，再求 （3） ，一定要注意定义域选择好解析式．
【解答】解： （3）
（3）
故答案为 ．
【 例 15 】 （ 2021• 市 中 区 校 级 模 拟 ） 已 知 函 数 ， 数 列 满 足
，且 是递增数列，则实数 的取值范围是 ．
【分析】由函数 ，数列 满足 ，且 是递增数列，我们
易得函数 为增函数，根据分段函数的性质，我们可得函数在各段上均为
增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得 ，且 ，且 （7）
（8），由此构造一个关于参数 的不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解答】解： 数列 是递增数列，
又
，
且 （7） （8）
第11页 共12页解得 ，或
故实数 的取值范围是
故答案为：
第12页 共12页
