文档内容
第 01 讲 数列的概念及其表示
（含数列周期性单调性和数列通项公式的构造）
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
求直线与双曲线的交点坐标
2024年新Ⅱ卷，第19题,17分 由递推关系证明等比数列
向量夹角的坐标表示
2024年全国甲卷，第18题,12分 利用an与sn关系求通项 错位相减法求和
2023年全国甲卷（理科），
错位相减法求和
利用 与 关系求通项或项
第17题,10分
利用等差数列通项公式求数列中的项
利用 与 关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分
裂项相消法求和
累乘法求数列通项
2022年全国甲卷（理科），
求数列最值
利用 与 关系求通项或项
第17题,10分
2022年全国乙卷（理科），
判断数列单调性 数学新文化
第4题,5分
2021年全国甲卷（理科），
判断数列单调性 充分条件与必要条件
第7题,10分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用 与 的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，常考查利用 与 关系求通项或项及通项公式构造的相
关应用，需综合复习知识讲解
1．数列的有关概念
概念 含义
数列的定义 按照一定顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
数列的通项 数列{a}的第n项a
n n
数列{a}的第n项a 与n之间的关系能用公式a＝f(n)表示，这个公式叫做数列的
n n n
通项公式
通项公式
前n项和 数列{a}中，S＝a＋a＋…＋a 叫做数列的前n项和
n n 1 2 n
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
项数
无穷数列 项数无限
递增数列 a ＞a
n＋1 n
项与项间的大 递减数列 a ＜a 其中n∈N*
n＋1 n
小关系 常数列 a ＝a
n＋1 n
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3. 数列的表示方法
列表法 列表格表示n与a 的对应关系
n
图象法 把点(n，a)画在平面直角坐标系中
n
通项
把数列的通项使用公式表示的方法
公式
公式法
递推
使用初始值a 和a ＝f(a)或a，a 和a ＝f(a，a )等表示数列的方法
1 n＋1 n 1 2 n＋1 n n－1
公式
4．若数列{a}的前n项和为S，通项公式为a，则a＝
n n n n
（1）已知S 求a 的三个步骤
n n
(1)先利用a＝S 求出a.
1 1 1
(2)用n－1替换S 中的n得到一个新的关系，利用a＝S－S (n≥2)便可求出当n≥2时a 的表达式．
n n n n－1 n
(3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．
（2）S 与a 关系问题的求解思路
n n
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化．
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
5．在数列{a}中，若a 最大，则若a 最小，则
n n n
6. 根据形如a ＝a ＋f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出 a －a 与n的
n＋1 n n 1
关系式，进而得到a 的通项公式．
n
7. 根据形如a ＝a·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，
n＋1 n
进而得到a 的通项公式．
n
8.形如a ＝(p，q，r是常数)的数列，将其变形为＝·＋.若p＝r，则是等差数列，且公差为，即可用公式
n＋1
求通项．
9.根据形如a ＝pa ＋q的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列{a ＋x}，即将原递
n＋1 n n
推关系式化为a ＋x＝p(a＋x)的形式，再求出数列{a＋x}的通项公式，最后求{a}的通项公式．
n＋1 n n n
10. 数列的周期性
对于无穷数列 ,如果存在一个正整数 ,对于任意正整数 恒有 成立,则称 是周期为
的周期数列. 的最小值称为最小正周期,简称周期.
考点一、 数列周期性的应用
1．（湖南·高考真题）已知数列 满足 ， ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】计算出 的前四项的值，可得出 ，由此可求得 的值.
【详解】因为数列 满足 ， ， ，
， ， ，
由上可知，对任意的 ， ， .
故选：B.
2．（2024·山东济宁·三模）已知数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.
【详解】由 ，得
，
，
，
，
，
，
则 是以6为周期的周期数列，
所以 .
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ，数列 ，满足
，则数列 的前2024项的和为 ．
【答案】1
【分析】利用数列的递推公式求出数列的项，再利用特殊角的三角函数值及数列的周期性，结合数列的求和公式即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以
…，
所以数列 的各项依次为3，1， ， ， ，2，3，1， ， ， ，2，…，其周期为6．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
…，
所以数列 是周期为12的周期数列，前12项依次为3，0，2，0， ，0， ，0， ，0，1，0，
其前项12的和为 ．又 ，
所以数列 的前2024项的和为等于前8项的和 ．
故答案为： .
1．（2024·陕西安康·模拟预测）在数列 中， ，若对 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据递推公式得出 ,进而 即可．
【详解】由 与 相减得： ，
即 ，又 ，故 ，所以 .
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，数列 的首项为1，且满足 ．
若 ，则数列 的前2023项和为（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【分析】利用导数判断得 的单调性，直接由 的解析式判断其奇偶性，再利用数列的周期性转化
条件，结合 的性质得到 ，从而利用数列的周期性即可得解.
【详解】因为函数 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，且是奇函数．
， ，
，
， ，即 ，
数列 的前2023项和为 ．
故选：B．
3．（2024·山东滨州·二模）已知函数 ，数列 满足 ， ，，则 ．
【答案】2
【分析】根据函数性质分析可知： 在 上单调递增，且为奇函数，进而可得 ，结合数列
周期性分析求解.
【详解】由题意可知： 的定义域为 ，
且 ，即 ，
可知 为定义在 上的奇函数；
且 ，
因为 在 上单调递增，可知 在 上单调递增；
综上所述： 在 上单调递增，且为奇函数.
因为 ，则 ，
可得 ，即 ，
由 可知：3为数列 的周期，则 ，
且 ，所以 .
故答案为：2.
【点睛】易错点睛：本题分析 的奇偶性的同时，必须分析 的单调性，若没有单调性，由
无法得出 .
考点二、 数列单调性的应用
1．（2022·全国·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太
阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ： ，
， ，…，依此类推，其中 ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据 ，再利用数列 与 的关系判断 中各项的大小，即可求解.
【详解】[方法一]:常规解法
因为 ，
所以 ， ，得到 ，
同理 ，可得 ，
又因为 ，
故 ， ；
以此类推，可得 ， ，故A错误；
，故B错误；
，得 ，故C错误；
，得 ，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设 则
故D正确.
2．（2024·江西·模拟预测）已知数列 满足 ，则“ ”是 是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当 时 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 是递增数列，故充分性成立；当 时 ，则 ，所以 是递增数列，
所以当数列 是递增数列， 可以大于 ，所以必要性不成立，
所以“ ”是 是递增数列的充分不必要条件.
故选：B
3．（2024·四川雅安·模拟预测）已知数列 满足 ， ， ， 单调递增，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据 可得 ，再结合 单调递增以及等比数列定义可求出
，则由 即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 单调递增，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 即 ，
则 的取值范围为 ，
故答案为： .
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等比数列 是递减数列，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等比数列时递减数列，确定公比 ，且 ，故 ；再根据等比数列的性质得
到 ，最后解一元二次不等式组求出结果即可.
【详解】等比数列 是递减数列，且 ，故 ，且公比 ，
由 得 ，故 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
5．（2024·陕西汉中·二模）已知正项数列 的前n项和为 ，且 ，数列 的前n项积为
且 ，下列说法错误的是（ ）
A． B． 为递减数列
C． D．
【答案】B
【分析】根据 与 及 与 的关系，利用等差数列的定义及通项公式，结合数列的性质即可求解.
【详解】当 时， ，解得 （负舍），
当 时， ，即 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
又 ，所以 ，故A正确；
当 时，有 ，
取 时， 此式也满足 ，
故数列 的通项公式为 ,故D正确；
因为数列 的前n项积为 且 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
显然 不适用，故数列 的通项公式为 ，显然 ，所以数列 不是递减数列，故B错误，
由当 时， ，得 ，故C正确，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用 和 ,结合等差数列的定义
及通项公式即可求解.
1．（2024·北京东城·一模）设等差数列 的公差为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求出 ，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即
得.
【详解】由等差数列 的公差为 ，得 ，则 ，
当 时， ，而 ，则 ，因此 ， 为递增数列；
当 为递增数列时，则 ，即有 ，整理得 ，不能推出 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，若 是递减数列，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到 是等比数列，利用等比数列的通项公式得到 ，利用 是递减数列列出
关于 的不等式，进而求出 的取值范围.
【详解】将 整理得 ，又 ，易知当 时, ，不满足 是递减数列，故 ，
因此数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
故 ，因此 ，
由于 是递减数列，故 恒成立，得 ，
化简得 ，故 ，
因此 ，解得 ，
故选：B．
3．（2024·江西·二模）已知数列 的首项 为常数且 ， ，若数列 是递增
数列，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件推得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，运用等比数列的通项公式
可得 ，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
【详解】因为 ，
所以 ，
由于 ，即 ，
可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，因为数列 是递增数列，可得 ，
即 对任意的正整数 都成立．
当 为偶数时， 恒成立，由于数列 单调递减，
可得 ，则 ；当 为奇数时， 恒成立，由于数列 单调递增，
可得 ，则 ；
综上可得 的取值范围是 ．
故选：B ．
4．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大
项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属
于中等题.
考点三、 用 an 与 Sn 的关系求通项或项
1．（2024·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求 的通项公式．
（2）利用错位相减法可求 .
【详解】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，所以 即 ，
而 ，故 ，故 ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ,
所以
故
所以
，
.
2．（2024·全国·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求 .【详解】（1）因为 ,故 ，
所以 即 故等比数列的公比为 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，
所以数列 的前n项和
.
3．（2023·全国·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
4．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列 前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由已知可得 ，进而可得 ，可求 的通项公式；
（2）可求得 ，进而可得结论.
【详解】（1）因为 ①，所以 ②， ③，
由③得： ，所以 ，
②-①得： ，整理得： ，又因为 各项均为正数，所以 ，
所以 是公差 的等差数列， ．
（2）由（1）， ，
所以 ，
所以 ．
2．（2024·四川自贡·三模）已知数列 的前项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 作差得到 ，结合等差数列的定义证明即可；
（2）根据等比中项的性质及等差数列通项公式求出 ，即可得到 的通项公式，结合 的单调性及
求和公式计算可得.
【详解】（1）数列 满足 ①，
当 时，有 ②，
① ②可得： ，
即 ，
变形可得 ，
故数列 是以 为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列 是以 为等差的等差数列，
若 ， ， 成等比数列，则有 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以 单调递减，又当 时， ，当 时， ，当 时， ，故当 或 时， 取得最大值，
且 ．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，对任意
，有
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前100项的和.
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据 作差得到 ，从而得到 ，
结合等差数列的定义计算可得；
（2）由（1）可得 ，记 ，则 ，利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）由 ， ，
两式相减得 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）知 ，
所以 ，
记 ，则 ，
4．（2024·全国·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和为 .【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，作差得到 ，从而得到 ，再由等差数列的
定义及通项公式计算可得
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为 ，
即 ，
当 时 ，解得 或 （舍去），
当 时 ，
所以 ，
即 ，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以
.
考点 四 、 累加法求数列通项公式
1．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列 满足 ， （ ）．
(1)求数列 的通项公式；(2)记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前 项和公式求解即得.
（2）利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）数列 中，当 时， ，即 ，
则
，而 满足上式，
所以数列 的通项公式是 ， ．
（2）由（1）知 ， ，则 ，
因此
，而 ，则 ，
所以 ．
2．（全国·高考真题）已知数列 满足 ．
(1)求 ；
(2)证明： ．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】(1)将 代入递推式求解即可；
(2)用累加法求出数的通项公式即得证明.
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
；
（2）证明：因为 ，所以 ，
，
，
…
，
将以上 个式子相加，
得 .
也满足
所以 ．
3．（2024·湖北·模拟预测）数列 中， ， ，且 ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到 为等差数列，即可得到 ，
再利用累加法计算可得；
（2）由（1）可得 ，由 ，得到 与 同号，再对 分类讨论，利用并项求和法计
算可得.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以数列 是公差为 的等差数列，其首项为 ，
于是 ，
则 ， ， ，
， ，
所以 ，
所以 ；而 符合该式，故 .
（2）由（1）问知， ，则 ，又 ，则 ，两式相乘得 ，即 ，
因此 与 同号，
因为 ，所以当 时， ，此时 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ；
当 时， ，此时 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ；
综上，当 时， ；当 时， .
1．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 是等差数列，记 为数列 的前n项和， ， ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，得到 ，再利用累加法求解；
（2）设数列 的公差为d，根据 ，得到 ，从而 ，再由 求解.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ．
（2）设数列 的公差为d，
因为 ，得 ，易知 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
2．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 , 且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ,求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据公式 求 即可.
（2）由（1）知 ,根据通项公式规律,用错位相减来求 即可.
【详解】（1）当 时, ,解出 ,又 ,则 ；
当 时,由 两式相减得 ,两边同时除以
即 ,即 ,
利用上述等式有 , ,
因此 ,即 , ,
当 时, , 满足 ,因此 ；
（2）由（1）可知, ,则 ,两边同时乘以 得, ,
错位相减得 ,
即
整理得， .
考点 五 、 累乘法求数列通项公式
1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知数列 中， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用累乘法即可得解；
（2）利用裂项相消法即可得解.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，
当 时， 满足上式，
所以 ；
（2）因为 ，
所以 ，所以 .
2．（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知数列 的前 项和为 ，且 （ ）．
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) （ ）
(2)
【分析】（1）根据 计算可得 ，利用累乘法计算即可求解；
（2）由（1）可得 ，结合裂项相消求和法即可求解.
【详解】（1）令 ，得
因为 （ ），所以 （ ， ），
两式相减得 （ ， ），
即 ．所以 （ ， ），
所以 ，即 ，
所以 （ ， ），
又 ，符合上式，所以 （ ）．
（2）由（1） ，
所以 ．
1．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，有 ，
且 .
(1)求数列 的通项公式；(2)对所有正整数 ，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的
前91项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得出数列 的递推关系，然后由连乘法求得通项 ；
（2）考虑到 ， ，从而确定 的前91项中有87项来自 ，其他4项由 组成，
由此分组求和．
【详解】（1）由 ，则 ，两式相减得： ，
整理得： ，即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式.
故 .
（2）由 ，所以 ，
又 ，所以 前91项中有87项来自 .
所以故
.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 （常数 ），数列 的前 项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用 、累乘法可得答案；
（2）求出 裂项相消求和可得答案.【详解】（1）当 时， ．当 时， ，
化简变形得 ，
当 时，根据累乘法得 ，
又 ， （ 为大于0的常数）适合上式，故 ；
（2）由（1）知， ，又 ，
故 ．所以 ，
所以
．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用 与 间的关系，得到 ，再利用累积法，即可求出结果；
（2）根据（1）中结果得到 ，利用裂项相消法得到 ，即可求出结果.
【详解】（1）因为 ①，所以当 时， ②，
由① ②得到 ，整理得到 ，
又 ，所以 ，得到 ，
所以当 时， ，
当 ，满足 ，所以 .（2）由（1）知 ，
所以 ，
因为 ，且 ，所以 是关于 的递增数列，由 恒成立，得到 ，
所以实数 的最小值为 .
考点 六 、 递推数列构造等差数列
1．（2023·全国·模拟预测）在数列 中， ，且 ，其中 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用构造法可证明数列 为等差数列，进而求得通项公式；
（2）利用错位相减法可求得 .
【详解】（1）由已知 ，
得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
则 ，所以 ，
所以 .
2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件可得数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，即可求出结果；
（2）由（1）可得 ，再利用裂项相消法即可求出结果.
【详解】（1）由 ，可得 ，又 ，
故数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，得到 ．
（2）由（1）可知 ，
故 ．
1．（23-24高三上·江苏南京·期末）已知数列 满足 ，且对任意 都有
.
(1)设 ，证明： 是等差数列；(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）以 替换 得， ，得到 ，从而证明 是公差为 的等
差数列；
（2）令 得， ，可得 ，推出 ，再由（1），得到 ，
再分 和 求解前 项和.
【详解】（1）因为对任意 都有 ，
所以以 替换 得， ，
则 ，
由 ,
，所以 是公差为 的等差数列；
（2）令 得， ，即 ，
则 ，
所以由（1）得， 是以 为首项，公差为 的等差数列，
所以 ，即 .
由 ，
令 可得， ，
则 ，
由 得， .
当 时， ；
当 时， ①，
则 ②，
得， ，所以 ，
综上， .
2．（2024·山东青岛·二模）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
【答案】(1) ；
(2)5.
【分析】（1）根据给定的递推公式，按奇偶分别求出通项即可.
（2）由（1）的结论，利用等比数列前 项和公式求出 ，再借助单调性求解即得.
【详解】（1）数列 中， ， ，当 时， ，
则 ，由 ，得 ，
当 为正奇数时，数列 是首项为3，公差为4的等差数列，
则 ，即 ，
当 为偶奇数时，数列 是首项为5，公差为4的等差数列，
则 ，即 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知 ，显然数列 是首项为 ，公比 的等比数列，
则 ，由 ，得 ，整理得 ，
而数列 是递增数列， ，因此 ，
所以 的最小值为5.
考点 七 、 递推数列构造等比数列
1．（重庆·高考真题）数列 中，若 =1， =2 +3 （n≥1），则该数列的通项 =【答案】
【分析】先化简已知式证明 是等比数列，再利用公式写出通项公式，即得结果.
【详解】因为 =2 +3，所以 ，
即 是等比数列，公比为2，首项为 ，所以 ，
即 .
故答案为： .
2．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ，记 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，记数列 的前 项和为 ．求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）首先构造数列 是等比数列，求数列 的通项公式，再代入条件，即可求解数列
的通项公式；
（2）由（1）的结果可知，数列 的通项公式，并变形为
，再讨论 为奇数和偶数，采用累加法求和，最后
结合数列的单调性，即可证明.
【详解】（1）由 ，则 ．又 ，
所以数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以 ．
所以 ．
（2）因为 ，
所以 ，
所以 ．
当 为奇数时， ．当 为偶数时， 是递增数列，所以 ．
综上，
3．（四川·高考真题）设数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)证明：当 时， 是等比数列；
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)证明见解析.
(2)当 时， ;当 时 .
【分析】（1）当 时，由题设条件知 ,由此可知 ，即可
证明结论．
（2）当 时，由题设条件结合（1）可求得 ；当 时，则 ，当 时，由
题设推出 ，求得 ，综合可得出 的通项公式．
【详解】（1）当 时，由题意 知 ，
令 ，则 ，解得 ，
且 ， ，
两式相减得 ，
于是 ，
又 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）当 时，由（1）知 ，即 ,
当 时，则 ，
当 且 时，由 得 ，
两式相减得 ，即 ，
故
，
因此 ，令 ，则 即 ，
即 为首项为 ，公比为b的等比数列，
故 ，
则 , 时， 适合上式，
故 .
1．（2024·安徽·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求使 取得最大项时 的值．（参考值： ）
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）由递推关系将已知等式变形为 ，即可求出通项；
（2）由已知可设 ，代入 解不等式组求出即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，所以 .
（2）由（1）有 ，
所以 ，
设 时， 最大，
因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
所以 ，
所以使 取得最大项时 的值为4.
2．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列 满足： ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据数列递推式可推出 ，结合等比数列通项公式即可求得答案；
（2）利用（1）的结果可得 的表达式，利用等差数列、等比数列的前n项和以及错位相减法，即可
求得答案.
【详解】（1）由题意知数列 满足： ， ，
则
， ，故 为首项是6，公比为2的等比数列，
故 ，即 ，
适合上述结果，故 ；
（2）
设 ，
则 ，设 ，故 ；
，
，
作差得到 ，
故 ，
，
故 .
3．（23-24高三上·重庆·期中）设数列 的前 项之积为 ，满足 .
(1)设 ，求数列 的通项公式 ；
(2)设数列 的前 项之和为 ，证明： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）数列 的前 项之积为 ，满足 ， 时， ，解得 ．
时， ，变形为 ，结合 ，即可得出 ．
（2）由（1）可得： ，解得 ，当 时， ，可得
，需要证明 ，即证明 ，设 ，
，令 ， ，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．
【详解】（1）因为数列 的前 项之积为 ，满足 ，
所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，
化为 ，变形为 ，
又 ，所以 ，即 且 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列
所以 ．
（2）由（1）可得： ，解得 ，
当 时， ．
，
需要证明 ，
即证明 ，
设 ， ，
则 ，
设 ， ，
则函数 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，
所以 ．
一、单选题
1．（2023·浙江宁波·模拟预测）数列 满足 ， ，则 （ ）A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】首先根据递推公式，求数列中的项，并得到数列的周期，再求 的值.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 ，
又 ，解得 ，
又 ， ， ，
显然，接下去 ，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
则 .
故选：A.
2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列 各项均为正数， ，且有 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，根据题设中的递推关系可得 ，故利用等比数列的通项公式可求
，从而可求 的通项公式.
【详解】 ， ，
显然若 ，则 ，则 ， ，与题意矛盾，
所以 ， ，两边同时取倒数，得： ，
设 ， ， ， ，
因为 ，故 ，故 ，所以 为等比数列，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
故选：D.
二、多选题
3．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知数列 的首项 ，则（ ）
A． 为等差数列 B．
C． 为递增数列 D． 的前20项和为10
【答案】AD
【分析】A选项，变形得到 ，得到 为等差数列；B选项，在A选项基础上得到 ，得
到 ；C选项，计算出 ，C错误；D选项，分 为奇数和 为偶数，得到通项公
式，得到前20项和.
【详解】A选项，因为 ，所以 ，
所以 为公差为1的等差数列，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，故 ，故 ，
则 ，B错误；
C选项， ， ， 为递减数列，C错误；
D选项，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以 的前20项和为
，D正确.
故选：AD．三、填空题
4．（2024·四川·模拟预测）已知 为正项数列 的前 项和， 且 ，则
.
【答案】
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，两式作差得到
，再求出 ，即可得到数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，即可求出其通项
公式.
【详解】因为 ，即 ，
当 时， ，又因为 ，
即 ，解得 或 （舍去），
当 时， ，两式相减，可得 ，
因为 ，可得 ，
又 ，所以 ，
所以数列 表示首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ．
故答案为：
四、解答题
5．（2024·四川雅安·三模）已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 的关系分 是否等于1进行讨论即可求解；
（2）首先得 ，进一步结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解.
【详解】（1）
当 时 ，当 时， ，两式相减得 ，
，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
（2）由（1）可知 ，记 ，
，
，
两式相减得
.
6．（2024·山西·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用作差法得到 ，再由 作差可得；
（2）由（1）知 ，再利用分组求和法及裂项相消法计算可得.
【详解】（1）因为 ，
当 时有 ，
两式相减得 ，所以 ，当 时， ，所以 ，此时 仍然成立，
所以 ，
当 时， ，
又 也满足 ，
所以 .
（2）由（1）知
，
所以 .
7．（2024·河北沧州·三模）已知数列 满足 ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由数列的递推公式，利用累乘法即可求解；
（2）对 进行不等式放缩，即可证明不等式.
【详解】（1） ， ， ，
，两式相除，得 ，
当 ， 时， ， ，即 ；
当 ， 时， ， ，即 ，
综上所述，数列 的通项公式为 ；
（2） ，，
又 ，
.
8．（2024·贵州贵阳·三模）已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）由已知结合和与项的递推关系进行转化，结合等差数列的通项公式即可求解；
（2）利用裂项求和求出 ，然后结合恒成立与最值关系的转化即可求解．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
两式相减得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ， 均为等差数列， ， ．
所以 ；
（2）由题意得， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
解得 ．所以满足条件的最小整数 为9．
9．（2024·全国·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ．
(1)求 ．
(2)若 ，则当 取最小值时，求 的值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用 与 的关系，消去 ，求出 ，代入原式计算即得 ；
（2）依题意求得 的表达式，取 ，则需求 在 且 为奇数时的最小值，
根据此函数的单调性即可求得.
【详解】（1）由 ，
得 ．
两式相减，得 ，
所以 ，代入 ，
即得 .
（2）由（1）知 ，则 ，
不妨取 ，则 且 为奇数，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
因 且 为奇数，当 时， ， ，此时 ；
当 时， ， ，此时 ，因 ，
故当 取得最小值 时， .
10．（2024·河北保定·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据 的关系由： 求解即可；
（2）根据 通项分奇偶分别计算求和，结合裂项相消和等比数列求和公式即可.
【详解】（1）当 时， .
当 时， ，
当 时，也符合 .
综上， .
（2）由
则
，
故 的前 项和 .
一、单选题
1．（2024·安徽合肥·三模）已知数列 的前 项和为 ，首项 ，且满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】借助 与 的关系并化简可得 ，结合 ，逐项代入计算即可得解.
【详解】由 可得 ，
所以 可得 ，
.
故选：D
2．（2024·江苏苏州·二模）已知数列 的前 项和为 ， ，若 对任意的 恒成
立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定的递推公式求出 ，再按 为奇数、偶数分类求解即可得 的范围.
【详解】由 ，得 ，
当 时， ，则 ，
整理得 ，即 ，
而 ，解得 ，
于是 ，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ，
由 ，得 ，
当 为奇数时， ，即 ，显然 为递增数列，
当 时， ，于是 ，
当 为偶数时， ，即 ，显然恒有 ，于是 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B二、多选题
3．（2024·福建泉州·一模）已知数列 满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，数列 是常数列
C．当 时， D．当 时，数列 单调递减
【答案】BCD
【分析】对于A，直接说明 即可；对于B，直接用数学归纳法即可；对于C和D，用数学归纳法证
明 ，再推知C和D的结论即可.
【详解】对于A，当 时，由 知A错误；
对于B，当 时，有 ，这意味着只要 就有 .
而 ，从而由数学归纳法即可证明 ，所以B正确；
对于C和D，当 时，我们用数学归纳法证明 .
当 时，由 知结论成立；
假设已有 ，则由 可知 .
所以 ，展开即 .
这就得到 .
同时，由 可得 .
所以 .
故由数学归纳法可知 恒成立，所以C正确；
同时，由于 ，故 .
展开即 ，故 ，所以D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于是用数学归纳法证明数列的范围和单调性.
三、填空题
4．（2024·浙江绍兴·三模）记 为正项数列 的前 项积，已知 ，则 ；
．
【答案】 2 2025【分析】由数列 的前 项积 ，利用赋值法令 可求得 ，将表达式化简可得数列
是等差数列，即可求得 .
【详解】根据题意令 ，可知 ，又数列 的各项均为正，即 ；
解得 ；
由 可得 ，
即 ，可得 ；
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列；
因此 ，
所以 .
故答案为：2；2025.
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式探求得数列 的周期，再利用周期性及基本不等式求解即得.
【详解】正项数列 中，由 ，得 ，则 ，
即数列 是以4为周期的周期数列，而 ，则 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是求出数列的周期，再借助周期性求前n项和.
四、解答题
6．（2024·山东·模拟预测）设数列 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知可得 ，累乘法可求 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法可求 的前 项和 .
【详解】（1）由题易知 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 也满足该式，
所以 ．
（2） ，①
，②
②-①，得 ．
设 ，③
则 ，④
④-③，得 ，
所以 ．
7．（2024·吉林·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求实数 的值和数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）利用 ，和等比数列的定义可得答案；
（2）法一：利用错位相减求和可得答案；法二：设 ，求出 ，可得，可得 可得答案.
【详解】（1）当 时， ，
，
，
当 时， ，
整理得 ，
数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2）法一：
，
①，
②，
① ②得
；
法二：
，
设 ，
且 ，解得 ，
，
即 ，其中 ，，
.
8．（2024·江西宜春·模拟预测）数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；
（2）先求出 ，然后结合错位相减求和即可求解．
【详解】（1）数列 满足 ，
当 时， ，
两式相减可得， ，所以 ，
当 时， 也满足上式，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
则 ，
两式相减的， ，
所以 ．
9．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和.若 对任意的 恒成立，求k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用公式，已知 求 即可；
（2）求出 ，后运用错位相减求出 ，后结合函数单调性可解．
【详解】（1） ①，且 ，
当 时，代入①得 ；
当 时， .②
①-②得 ，整理得 ，
因为 ，所以 ，所以数列 为等差数列，公差为1，所以 .
（2） ， ，③
，④
③-④得 ，
所以 ，所以 ，且 ，化简得 ，
令 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，所以 .
所以 的取值范围为 .
10．（2024·四川成都·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，已知 ．
(1)若 ，证明： 是等比数列；
(2)若 是 和 的等差中项，设 ，求数列 的前n项和为 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用公式 得到数列的递推公式，构造法证明 是等比数列；
（2）由已知求出 ，裂项相消求数列 的前n项和为 ．
【详解】（1）对 ①，当 时，有 ②，
： ，即 ，
经整理，可得 ，
，故 是以 为首项、 为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，有 ， ，
题设知 ，即 ，则 ，故 ．
而 ，
故 .
1．（2023·北京·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
B．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
C．当 时， 为递减数列，且存在常数 ，使得 恒成立
D．当 时， 为递增数列，且存在常数 ，使得 恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.
法2：构造 ，利用导数求得 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项 所在区间，从而判断 的单调性；对于A，构造 ，判断得 ，
进而取 推得 不恒成立；对于B，证明 所在区间同时证得后续结论；对于C，记
，取 推得 不恒成立；对于D，构造
，判断得 ，进而取 推得 不恒成立.
【详解】法1：因为 ，故 ，
对于A ，若 ，可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立，
由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，
故 为减数列，注意
故 ，结合 ，
所以 ，故 ，故 ，
若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，故 恒成立仅对部分 成立，
故A不成立.
对于B，若 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系 成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即由数学归纳法可得 成立.
而 ，
， ，故 ，故 ，故 为增数列，
若 ，则 恒成立，故B正确.
对于C，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立即
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为减数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，
若 ，若存在常数 ，使得 恒成立，
则 恒成立，故 ， 的个数有限，矛盾，故C错误.
对于D，当 时， 可用数学归纳法证明： 即 ，
证明：当 时， ，此时不等关系成立；
设当 时， 成立，
则 ，故 成立
由数学归纳法可得 成立.
而 ，故 ，故 为增数列，
又 ，结合 可得： ，所以
，若存在常数 ，使得 恒成立，则 ，
故 ，故 ，这与n的个数有限矛盾，故D错误.
故选：B.
法2：因为 ，
令 ，则 ，
令 ，得 或 ；
令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
令 ，则 ，即 ，解得 或 或 ，
注意到 ， ，
所以结合 的单调性可知在 和 上 ，在 和 上 ，
对于A，因为 ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，即 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
因为 ，
令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，所以 在 上单调递减，故 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故A错误；
对于B，因为 ，
当 时， ， ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
又当 时， ，即 ，
假设当 时， ，
当 时，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
此时，取 ，满足题意，故B正确；
对于C，因为 ，则 ，
注意到当 时， ， ，猜想当 时， ，
当 与 时， 与 满足 ，
假设当 时， ，
当 时，所以 ，
综上： ，
易知 ，则 ，故 ，
所以 ，
因为在 上 ，所以 ，则 为递减数列，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
记 ，取 ，其中 ，
则 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ，故 不恒成立，故C错误；
对于D，因为 ，
当 时， ，则 ，
假设当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，
因为在 上 ，所以 ，所以 为递增数列，
因为 ，令 ，则 ，
因为 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，
假设存在常数 ，使得 恒成立，
取 ，其中 ，且 ，
因为 ，所以 ，
上式相加得， ，
则 ，与 恒成立矛盾，故D错误.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合
放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.
2．（2022·浙江·高考真题）已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先通过递推关系式确定 除去 ，其他项都在 范围内，再利用递推公式变形得到
，累加可求出 ，得出 ，再利用
，累加可求出 ，再次放缩可得
出 ．
【详解】∵ ，易得 ，依次类推可得
由题意， ，即 ，∴ ，
即 ， ， ，…， ，
累加可得 ，即 ，
∴ ，即 ， ,
又 ，
∴ ， ， ，…， ，
累加可得 ，
∴ ，
即 ，∴ ，即 ；
综上： ．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.
3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】显然可知， ，利用倒数法得到 ，再放缩可得
，由累加法可得 ，进而由 局部放缩可得 ，然后利用累
乘法求得 ，最后根据裂项相消法即可得到 ，从而得解．
【详解】因为 ，所以 ， ．由
，即
根据累加法可得， ，当 时 ，
则 ，当且仅当 时等号成立，
，
由累乘法可得 ，且 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
由裂项求和法得：
所以 ，即 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过倒数法先找到 的不等关系，再由累加法可求得 ，由题
目条件可知要证 小于某数，从而通过局部放缩得到 的不等关系，改变不等式的方向得到
，最后由裂项相消法求得 ．
4．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即
可得出结论；（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分类讨
论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；所以 .
【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正
负零讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，
分离参数不等式要变号.
5．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得
,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进
而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优
解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用
归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
6．（2020·北京·高考真题）在等差数列 中， ， ．记 ，则数列
（ ）．
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大
项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
且由 可知 ，
由 可知数列 不存在最小项，
由于 ，
故数列 中的正项只有有限项： ， .
故数列 中存在最大项，且最大项为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属
于中等题.
7．（2020·全国·高考真题）数列 满足 ，前16项和为540，则 .
【答案】
【分析】对 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用
表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立 方程，求解即可得出结论.
【详解】 ，
当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
设数列 的前 项和为 ，
，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属
于较难题.
8．（2018·全国·高考真题）已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求 ；（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
【答案】（1） ， ， ；（2） 是首项为 ，公比为 的等比数列．理由见解析；（3）
.
【分析】（1）根据 ，求得 和 ，再利用 ，从而求得 ， ，
；
（2）方法一：利用条件可以得到 ，从而可以得出 ，这样就可以得到数列 是首项为 ，
公比为 的等比数列；
（3）方法一：借助等比数列的通项公式求得 ，从而求得 .
【详解】（1）由条件可得 ，
将 代入得， ，而 ，所以， ．
将 代入得， ，所以， ．
从而 ， ， ；
（2）[方法1]：【通性通法】定义法
由 以及 可知， ， ，
所以， ，又 ，所以 为等比数列．
[方法2]：等比中项法
由 知 ，所以， ．
由 知 ，所以 ．
所以 为等比数列．
（3）[方法1]：【最优解】定义法
由（2）知 ，所以 ．
[方法2]：累乘法
因为 ，累乘得： ．所以 ．
【整体点评】（2）方法一：利用定义证明数列为等比数列，是通性通法；
方法二：利用等差中项法判断数列为等比数列，也是常用方法；
（3）方法一：根据（2）中结论利用等比数列的通项公式求解，是该题的最优解；
方法二：根据递推式特征利用累乘法求通项公式．
9．（2016·全国·高考真题）已知数列 的前n项和 ，其中 ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式 ，得到数列 的递推公式，即可得到
是等比数列及 的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用 表示前 项和 ，结合 的值，建立方程可求得
的值．
试题解析：（Ⅰ）由题意得 ，故 ， ， .
由 ， 得 ，即 .由 ， 得 ，
所以 .
因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .由 得 ，即 .
解得 .
【考点】数列的通项 与前 项和 的关系，等比数列的定义、通项公式及前 项和.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数）；（2）中项法，
即证明 ．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求
解．
10．（2015·全国·高考真题） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn ，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．
【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an 2+2an ＝4Sn +3
+1 +1 +1
两式相减得an 2﹣an2+2（an ﹣an）＝4an ，
+1 +1 +1
即2（an +an）＝an 2﹣an2＝（an +an）（an ﹣an），
+1 +1 +1 +1
∵an＞0，∴an ﹣an＝2，
+1
∵a2+2a＝4a+3，
1 1 1
∴a＝﹣1（舍）或a＝3，
1 1
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn （ ），∴数列{bn}的前n项和Tn （
） （ ） .
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
