2025届高中数学一轮复习讲义：第三章第1讲　函数的概念及其表示（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025届高中数学一轮复习知识梳理（课件+讲义+练习）（完结）

第1讲 函数的概念及其表示
复习要点 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据
不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作
用.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
一 函数
函数
两集合A，B 设A，B是非空的实数集
对应关系 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
f：A→B 在集合B中都有唯一确定的数y和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
二 函数的有关概念
1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫
做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的
值域．
2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
3．相等函数：如果两个函数的定义域相同并且对应关系完全一致，那么这两个函数相
等，这是判断两函数相等的依据．
4．函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
三 分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的
函数通常叫做分段函数．
常/用/结/论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中的非空数集A，B，A即为函数的定义域，函数的值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段
函数的x取值的并集，值域等于各段函数的y的取值的并集．
1．判断下列结论是否正确．
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．()
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线． ()
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．()
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(√)
2．(课本习题改编)如图所示，对应关系f是从A到B的函数的是( )解析：A到B的函数为对于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，所以
不能出现一对多的情况，因此D表示A到B的函数．
答案：D
3．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝log 2x D．y＝2log x
2 2
解析：对于A，y＝＝|x|与函数y＝x的对应关系不一样；对于B，y＝()2的定义域为{x|
x≥0}，与函数y＝x的定义域不一样；对于D，y＝2log x的定义域为{x|x>0}，与函数y＝x的
2
定义域不一样；对于C，y＝log 2x＝x，定义域和对应关系都相同，故选C．
2
答案：C
4．已知函数f(x)＝，则f＝________，函数f(x)的定义域为________．
解析：f＝＝－.
由有0＜x＜1或1＜x≤2.
答案：－ (0,1)∪(1,2]
题型 函数基本概念的理解
典例1设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图象中，能表示集合M到
集合N的函数关系的是( )
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②解析：对于①，定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意；对于④，集合M中有的元素在集合
N中对应两个值，不符合函数定义；②③符合题意，故选C．
函数的含义及判断两个函数相同的方法
(1)函数的含义
①A，B是非空的实数集．
②函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对
应； 至于 B 中的元素在集合 A 中有无元素与之对应，有几个元素与之对应却无所谓． 允许
“多对一”．
(2)判断两个函数相同的方法
①构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相同函数．
对点练1以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？
①f：y＝；f：y＝1；f：y＝x0.
1 2 3
②f：y＝；f：y＝()2；
1 2
f：y＝
3
③f：y＝
1
f：
2
x x≤1 1<x<2 x≥2
y 1 2 3
f：
3
解：①不是．f(x)与f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)的定义域为R.
1 3 2
②不是．f(x)的定义域为R，f(x)的定义域为{x∈R|x≥0}，f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
1 2 3
③是同一函数．x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示
方法．
题型 求函数定义域的多维研讨
维度1 具体函数的定义域
典例2(1)已知函数f(x)＝的定义域是 R，则实数a的取值范围是( )
参数出现在二次项系数和一次项系数中，应考虑a＝0的特殊情况．
A． B．(－12,0]
C．(－12,0) D．
(2)(2024·山东泰安月考)函数y＝＋(2x－5)0的定义域为________．
解析：(1)由题意可知ax2＋ax－3≠0对任意实数x都成立．当a＝0时，显然成立；当
a≠0时，需Δ＝a2＋12a<0，解得－12<a<0.综上所述，实数a的取值范围为(－12,0]．故选B．
(2)由⇒
对数不等式常是学生的难点. a＞1时，logx＞b x＞ab，logx＜b 0＜x＜ab. 0＜a＜1
a a
时，logx＞b 0＜x＜ab，logx＜b x＞ab.
a a ⇔ ⇔
⇒故答案为∪.
⇔ ⇔
常见具体函数定义域的类型
(1)分式型要满足f(x)≠0.
(2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0.
(3)[f(x)]0要满足f(x)≠0.
(4)对数型log f(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0.
a
(5)正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z.
对点练2(1)(2024·湖南长郡中学模拟)函数f(x)＝lg ＋的定义域为( )
A．(0,3)
B．
C．∪
D．{x|x<0或x>3}
22024·山东济宁模拟若函数 y＝＋lnx＋2的定义域为[1，＋∞，则a＝

A．－3 B．3
C．1 D．－1
解析：1由得
∴0<x<3且x≠.∴函数fx＝lg 的定义域为.故选C．
2由得
则上式的解集为[1，＋∞，所以x＝1为方程x2＋2x＋a＝0的一个根，即1＋2＋a＝
0，解得a＝－3.故选A．
答案：1C 2A
维度2 抽象函数的定义域
典例31若函数fx的定义域为[0，1]，求f2x－1的定义域.
2若函数f2x－1的定义域为[0，1]，求fx的定义域.
3已知函数y＝f2x＋1的定义域为[1，2]，求函数y＝f2x－1的定义域.
解：1 由 0≤2 x － 1≤1 ，得≤ x ≤1 ，
定义域应着眼计算f2x－1中的x的范围. 在同一个对应法则f之下，fx中的x和
f2x－1中的2x－1的范围是相同的.
∴函数f2x－1的定义域为.
2∵函数f2x－1的定义域为[0，1]，
∴0≤x≤1，∴－1≤2x－1≤1.
∴函数fx的定义域为[－1，1].
3∵函数y＝f2x＋1的定义域为[1，2]，即1≤x≤2，∴3≤2x＋1≤5，∴函数y＝fx的定义域为[3，5].由3≤2x－1≤5，得2≤x≤3，∴函数y＝f2x－1的定义域为[2，3].
抽象函数定义域的求解方法
1若已知函数fx的定义域为[a，b]，则复合函数fgx的定义域由不等式
a≤gx≤b求出.
2若已知函数fgx的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在x∈[a，b]
上的值域.
对点练32024·河南顶级名校模拟已知函数fx＝log ，fx＋1的定义域为M，
2
f2x的定义域为N，则 
A．M＝N B．M∩N＝∅
C．M N D．N M
解析：由＞0，得0＜x＜1，所以函数fx的定义域是0，1.由 0＜x＋1＜1，得－1
⊆ ⊆
＜x＜0，所以fx＋1的定义域M＝{x|－1＜x＜0}，由0＜2x＜1，得0＜x＜，所以f2x
的定义域N＝，所以M∩N＝∅.故选B．
答案：B
题型 函数解析式的几种求法
典例4(1)已知f(＋1)＝x－2，则f(x)＝________；
(2)设y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0有两个相等实根，且 f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝
________；
(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝________.
解析：(1)方法一(换元法)：令 t ＝＋ 1 ，则 t ≥1 ，
换元法相较配凑法，运算更简捷．
x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
方法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，因为＋1≥1，所以
f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．故答案为x2－4x＋3(x≥1)．
(2)待定系数法：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.
又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.故答案为x2＋2x＋1.
(3)消去法：在f(x)＝2f·－1中，将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1，
由解得f(x)＝＋.故答案为＋.
函数解析式的求法
(1)待定系数法：已知函数的类型，可用待定系数法．
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．
(3)消去法：已知关于f(x)与f(或f(－x))的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等
式，两个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．(4)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的解析式，然后以x替
代g(x)，便得f(x)的解析式．
对点练4(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f＝x4＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．
解：(1)令1－sin x＝t，t∈[0,2]，则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]，
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)∵f＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，
∵x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号，∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
(3)∵f(x)是一次函数，
可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
题型 有关分段函数与复合函数的问题
典例5(1)(2023·上海卷)已知函数 f ( x ) ＝则 f(x)的值域为________．
分段函数求值域，分段求解后，再取并集．
(2)(2023·上海春招)已知函数f(x)＝2－x＋1，且g(x)＝则方程
解分段函数的方程，分段求解，同时不可忽略验根．
g(x)＝2的解为________．
解析：(1)当x>0时，f(x)＝2x单调递增，f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝1.故f(x)的值域为[1，
＋∞)．故答案为[1，＋∞)．
(2)当x≥0时，由g(x)＝log (x＋1)＝2，得x＋1＝4，解得x＝3；当x<0时，由g(x)＝
2
f(－x)＝2x＋1＝2，解得x＝0(舍去)．综上所述，方程g(x)＝2的解为x＝3.故答案为x＝3.
分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在定义域不同的真子集上，对应关系
不同，因此注意选择对应关系，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量
因此要注意复合函数定义域的变化．
对点练5(1)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)
(2)(多选)(2024·广东湛江阶段考试)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(
)
A．f(x)的值域为(－∞，4)
B．f(1)＝3
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
解析：(1)∵f(x)＝
∴函数f(x)的图象如图所示．要使f(x＋1)<f(2x)，则需或∴x<0，故选D．
(2)当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因
此f(x)的值域为(－∞，4)，故A正确；当x＝1时，f(1)＝1≠3，故B错误；当x≤－1时，由
x＋2＝3，解得x＝1(舍去)，当－1<x<2时，由x2＝3，解得x＝或x＝－(舍去)，故C正确；
当x≤－1时，由x＋2<1，解得x<－1，当－1<x<2时，由x2<1，解得－1<x<1，因此f(x)<1
的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)，故D错误．故选AC．
答案：(1)D (2)AC