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第1讲 函数的概念及其表示
复习要点 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.在实际情境中，会根据
不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作
用.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．
一 函数
函数
两集合A，B 设A，B是非空的实数集
对应关系 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
f：A→B 在集合B中都有唯一确定的数y和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
二 函数的有关概念
1．函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫
做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的
值域．
2．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
3．相等函数：如果两个函数的定义域相同并且对应关系完全一致，那么这两个函数相
等，这是判断两函数相等的依据．
4．函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
三 分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的
函数通常叫做分段函数．
常/用/结/论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中的非空数集A，B，A即为函数的定义域，函数的值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段
函数的x取值的并集，值域等于各段函数的y的取值的并集．
1．判断下列结论是否正确．
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．()
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线． ()
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．()
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(√)
2．(课本习题改编)如图所示，对应关系f是从A到B的函数的是( )解析：A到B的函数为对于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，所以
不能出现一对多的情况，因此D表示A到B的函数．
答案：D
3．下列函数中与函数y＝x是同一个函数的是( )
A．y＝ B．y＝()2
C．y＝log 2x D．y＝2log x
2 2
解析：对于A，y＝＝|x|与函数y＝x的对应关系不一样；对于B，y＝()2的定义域为{x|
x≥0}，与函数y＝x的定义域不一样；对于D，y＝2log x的定义域为{x|x>0}，与函数y＝x的
2
定义域不一样；对于C，y＝log 2x＝x，定义域和对应关系都相同，故选C．
2
答案：C
4．已知函数f(x)＝，则f＝________，函数f(x)的定义域为________．
解析：f＝＝－.
由有0＜x＜1或1＜x≤2.
答案：－ (0,1)∪(1,2]
题型 函数基本概念的理解
典例1设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图象中，能表示集合M到
集合N的函数关系的是( )
A．①②③④ B．①②③
C．②③ D．②解析：对于①，定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意；对于④，集合M中有的元素在集合
N中对应两个值，不符合函数定义；②③符合题意，故选C．
函数的含义及判断两个函数相同的方法
(1)函数的含义
①A，B是非空的实数集．
②函数只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对
应； 至于 B 中的元素在集合 A 中有无元素与之对应，有几个元素与之对应却无所谓． 允许
“多对一”．
(2)判断两个函数相同的方法
①构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．
②两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才是相同函数．
对点练1以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？
①f：y＝；f：y＝1；f：y＝x0.
1 2 3
②f：y＝；f：y＝()2；
1 2
f：y＝
3
③f：y＝
1
f：
2
x x≤1 10，且a≠1)要满足f(x)>0.
a
(5)正切型tan[f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z.
对点练2(1)(2024·湖南长郡中学模拟)函数f(x)＝lg ＋的定义域为( )
A．(0,3)
B．
C．∪
D．{x|x<0或x>3}
22024·山东济宁模拟若函数 y＝＋lnx＋2的定义域为[1，＋∞，则a＝
A．－3 B．3
C．1 D．－1
解析：1由得
∴00时，f(x)＝2x单调递增，f(x)>1；当x≤0时，f(x)＝1.故f(x)的值域为[1，
＋∞)．故答案为[1，＋∞)．
(2)当x≥0时，由g(x)＝log (x＋1)＝2，得x＋1＝4，解得x＝3；当x<0时，由g(x)＝
2
f(－x)＝2x＋1＝2，解得x＝0(舍去)．综上所述，方程g(x)＝2的解为x＝3.故答案为x＝3.
分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在定义域不同的真子集上，对应关系
不同，因此注意选择对应关系，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量
因此要注意复合函数定义域的变化．
对点练5(1)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)
