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第 7 讲 函数与方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的零点
(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α 为函数y
＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且 f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处
的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x ∈(a，b)，f(x )＝0.
0 0
二、考点和典型例题
1、函数零点所在区间的判断
【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练习（文））利用二分法求方程 的近似解，可以
取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-3】（2019·全国·高三专题练习）若 的一个正数零点附近的函数值用二分法
逐次计算，数据如下表：那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数 是周期为 的周期函数，且当时
时， ，则函数 的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
2、图像零点个数的判定
【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数 ，且 ，则 的零点个数为
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数 ．若在 内恰有一
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当 时，
，已知 ，则函数 在 上的零点个数为（ ）A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
【典例2-5】（2022·宁夏银川·一模（理））设函数 ，已知 在 上
单调递增，则 在 上的零点最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3、图像零点的综合应用
【典例3-1】（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数 ，若 有4个零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足 ，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-3】（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数 （ 且 ），若函数
的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 或 D． 或
【典例3-4】（2022·福建三明·模拟预测）已知函数 有两个零点，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．【典例3-5】（2022·山东济宁·二模）已知函数 ，若函数 有5个零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
