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第 4 讲 函数及其性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
基本概念
1.函数的概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于
概念 集合A中的 每一个实数 x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x
对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对
y＝f(x)，x∈A
应关系
定义域 自变量取值的范围
值域 所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种
函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I D
如果对任意 x ，x ∈I，当x f ( x )，则称y＝
1 2 1 2
f(x)在I上是增函数 f(x)在I上是减函数
图像
描述
自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x ∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x )，则称f(x)的
0 0
最大值为f(x )，而x 称为f(x)的最大值点；如果对任意 x∈D，都有f(x)≥f(x )，则称f(x)的最
0 0 0
小值为f(x )，而x 称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统
0 0
称为最值点.
奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图像特点
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内
偶函数 的任意一个x，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，则称 关于 y 轴 对称
y＝f(x)为偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内
奇函数 的任意一个x，都有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，则 关于原点对称
称y＝f(x)为奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当x取定义域内的任何值时，
都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
二、考点和典型例题
1、函数的概念
【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知 是定义在R上的奇函数，且
时， ，则 （ ）
A．27 B．－27 C．54 D．－54
【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数 则
（ ）
A．10 B．9 C．12 D．11．【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数 的定义域是_______．
【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知 ，则 ___________.
【典例1-5】（2022·浙江温州·三模）已知函数 若 ，则实数a的值等于
___________.
2、单调性及其应用
【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的
是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数 在 单调递增，且 ，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-3】（2022·河北唐山·二模）已知函数 ，若 ，则x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【典例2-4】（2022·山西太原·二模（文））已知函数 ，则（ ）A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． 的图象关于直线x=1对称 D． 的图象关于点 对称
【典例2-5】（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数 满足：① ；② ；③在
上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数 _________．
【典例2-6】（2022·全国·三模（文））函数 的单调递减区间为__________．
3、奇偶性及其应用
【典例3-1】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））函数 满足 ， ，函数
的图象关于点 对称，则 （ ）
A．-8 B．0 C．-4 D．-2
【典例3-2】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））已知函数 ，则图象为下图的函
数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-3】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数 是定义在R上的单调增函数且为奇函
数，数列 是等差数列，若前2022项和小于零，则 的值( )
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负【典例3-4】（2022·河南开封·三模（理））函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-5】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4、函数性质的综合应用
【典例4-1】（2022·福建福州·三模）已知函数 ，以下结论中错误的是（ ）
A． 是偶函数 B． 有无数个零点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
【典例4-2】（2022·吉林白山·三模（理））已知函数 ，若对任意 ， ，
恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
【典例4-3】（2022·江苏南京·三模）已知 ，若 x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数
∀
m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞） B．C．（0，＋∞） D．
【典例4-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数 ，下列说法正
确的是（ ）
A．若 是偶函数，则 B．若 ，则函数 是奇函数
C．若 ，则函数 存在最小值 D．若函数 存在极值，则实数a的取值范围是
【典例4-5】（2022·河南·模拟预测（理））已知 的定义域为R，若函数满足 ，则称 为
的一个不动点，有下列结论：① 的不动点是3；② 存在不动点；③若函数
为奇函数，则其存在奇数个不动点；若 为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若 为周期函数，则
其存在无数个不动点；⑤若 存在不动点，则 也存在不动点，以上结论正确的序号是
____________.
【典例4-6】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数 是偶函数，且
，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是
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