文档内容
第 3 讲 分式 答案解析(教师版)
第一部分：知识点梳理
知识点一：分式的有关概念
1. 分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分式．
（2）分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则 有意义；②若B=0，则 无意义；③若A=0且B≠0，则 =0．
2. 分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
3. 约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因
式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解
因式，然后约分．
4. 最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5. 最简公分母：（若分母为单项式）通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作
为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【注】若分母为多项式，则先将所有分母进行分解因式，再取每个因式的最高次幂的积作为公分母
6. 通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这
一过程称为分式的通分．
（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、
相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；若分母是多项式，则先分解因式，再通分．②再用分式的
基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与
第 1 页 共 23 页原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
第 2 页 共 23 页知识点二：分式的运算
1.分式的加减
①同分母：分母不变，分子相加减：
②异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减：
2.分式的乘除和乘方
①乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母：
②除法：把除式的分子分母颠倒位置，与被除式相乘： （ ）
③乘方：分式的乘方要把分子，分母分别乘方: （ 为正整数）
3.分式的混合运算：先乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面．
第二部分：考点突破
考点1分式的概念及性质
1．（2025·云南·中考真题）函数 的自变量 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ．
根据分母不等于0得到 ，求解即可．
【详解】解：∵函数 的分母为 ．
∴当分母 时，分式无意义，
∴ ．
解得 ，
故自变量 的取值范围是 ，
故选：D．
2．（2024·四川雅安·中考真题）已知 ．则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得 ，再整体代入求值即可；
第 3 页 共 23 页【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
；
故选C
3．（2025·湖南·中考真题）约分： ；
【答案】
【分析】此题考查约分的定义，熟记定义、正确确定分子与分母的公因式是解题的关键．
直接约去分子与分母的公因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
4．（2024·湖南长沙·中考真题）要使分式 有意义，则x需满足的条件是 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
5．（2025·广西·中考真题）写出一个使分式 有意义的 的值，可以是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母的值不等于 ，求出 的取值范围，进而写
出符合条件的一个 的值即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
第 4 页 共 23 页【详解】解：要使分式 有意义，则 ，
∴ ，
∴ 的值可以是 ，
故答案为： ．
6．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为
零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围．
【详解】解：要使式子 有意义，
即 ，
∴ ．
故答案为： ．
7．（2025·山东·中考真题）写出使分式 有意义的 的一个值 ．
【答案】1（不唯一）
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，解得： ．
∴ 的取值可以为 ．
故答案为：1（不唯一）．
8．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数 中，自变量 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分母不等于零列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得 ．
故答案为： ．
第 5 页 共 23 页9．（2025·四川凉山·中考真题）若式子 在实数范围内有意义，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义则被开方数非负，
分式有意义则分母不为0是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到 ，再求解即可．
【详解】解：∵式子 在实数范围内有意义，
∴ ，
解得： ，
∴m的取值范围是 ，
故答案为： ．
10．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若代数式 有意义，则实数 的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】本题主要考查代数式有意义的条件，由二次根式及分式、零指数幂有意义的条件可得：
且 ，求解即可得到答案．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ 且 ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
考点2分式的运算、化简求值
11．（2025·新疆·中考真题）计算： （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
第 6 页 共 23 页【分析】本题考查同分母分式的减法运算．根据分式减法法则，分母相同时，分子直接相减，分母保持
不变，再约分计算即可．
【详解】解：
故选：A．
12．（2025·河南·中考真题）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，
再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可．
【详解】解：
，
故选：A．
13．（2025·天津·中考真题）计算 的结果等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可．
【详解】解：原式
第 7 页 共 23 页；
故选A．
14．（2025·河北·中考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解．
【详解】解：
当 时，原式
故选：B．
15．（2025·四川南充·中考真题）已知 ，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据 ，可得
，从而得到 ，然后代入化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D
第 8 页 共 23 页16．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，
再由分式混合运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
故答案为： ．
17．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，
再计算分式的除法即可得．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
第 9 页 共 23 页18．（2025·广东深圳·中考真题）计算： ．
【答案】 /
【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据同分母分式的减法运算法则计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
19．（2025·湖北·中考真题）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的加减运算，先通分，再计算即可.
【详解】解： ；
故答案为：
20．（2025·四川达州·中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了同分母分式的减法计算，掌握运算法则是解题的关键．
先处理分母的符号，将其化为同分母的分式减法计算即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
21．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化
简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
第 10 页 共 23 页，
当 时，原式 ．
22．（2025·吉林·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把第二个分式的分子分解因式，再计算分式乘法化简，最
后代值计算即可得到答案．
【详解】解；
，
当 时，原式 ．
23．（2025·陕西·中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先进行括号内分式的减法运算，再将除法化为乘法计算．
【详解】解：
．
第 11 页 共 23 页24．（2025·北京·中考真题）已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将 变形，进行整体代入求值．
【详解】解：原式
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
25．（2025·黑龙江·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，涉及特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握运算法则
是解题的关键．
先计算分式的乘法，再计算加法，然后代入特殊角的三角函数值求出 ，再代入求值即可．
【详解】解：
第 12 页 共 23 页∵
∴原式 ．
26．（2025·甘肃·中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查分式的混合运算，除法变乘法，约分化简后，进行同分母的分式的加法运算即可．熟
练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式
．
27．（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，原式=
【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混
合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出 的值，再把 的值代入化简后的式子中进行
计算即可．
【详解】解：原式
第 13 页 共 23 页；
∵ ，
∴原式 ．
28．（2025·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，2
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
根据分式的运算法则进行化简，再代入求值．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
29．（2025·江西·中考真题）化简：
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，
同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可．
【详解】解：
第 14 页 共 23 页．
30．（2025·四川内江·中考真题）（1）计算： ；
（2）化简： ．
【答案】（1）7；（2）3
【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，同分母的分式减法计算，熟练掌握运算法
则是解题的关键．
（1）分别计算零指数幂，化简绝对值，计算算术平方根以及代入特殊角的三角函数值，再进行加减计算
即可；
（2）根据同分母的分式减法运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
31．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可
化简，代入 计算即可得解．
第 15 页 共 23 页【详解】解：
，
当 时，原式 ．
32．（2025·福建·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后
约分化简，再把 代入即可即可．
【详解】解：
．
当 时，
原式 ．
33．（2025·四川德阳·中考真题）（1）计算： ；
第 16 页 共 23 页（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ， ．
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键．
（ ）先根据负整数指数幂，二次根式性质，化简绝对值法则进行运算，然后合并即可；
（ ）先计算括号内的分式减法运算，然后计算分数乘法即可．
【详解】（ ）解：原式
；
（ ）解：原式
，
当 时，
原式
．
34．（2025·四川宜宾·中考真题）（1）计算： ；
（2）计算： ．
【答案】（1） ；（2）1
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）分别计算算术平方根，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，以及化简绝对值，再进行加减计算；
（2）先计算括号内分式的减法，再进行乘法计算，直至化为最简即可．
【详解】（1）解：
第 17 页 共 23 页；
（2）解：
35．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值： ．其中x、y满足
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化
简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
第 18 页 共 23 页∴原式 ．
36．（2025·四川泸州·中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把分子合并同类项后分解因式，
再把第一个分式的分子分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
【详解】解：
．
37．（2025·山东·中考真题）（1）计算： ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）2；（2） ，4
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值．
（1）根据零指数，算术平方根的性质，进行计算即可求解；
（2）先根据分式的加减计算括号内的，然后进行乘法进行化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：（1）
第 19 页 共 23 页；
（2）
；
当 时，原式 ．
38．（2025·四川遂宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中a满足 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键；
先根据分式的混合运算法则化简原分式，然后结合分式有意义的条件代值求解即可．
【详解】解：
，
∵a满足 ，即 但 ，
∴ ，
∴当 时，原式 ．
39．（2025·山东烟台·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
第 20 页 共 23 页【答案】 ，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算，最后把
代入计算即可.
【详解】解：
，
∵ ，
∴原式 .
40．（2025·云南·中考真题）已知 是常数，函数 ，记 ．
(1)若 ， ，求 的值；
(2)若 ， ，比较 与 的大小．
【答案】(1) 的值为 ；
(2)当 时， ；当 时， ．
【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）把 ， 代入函数 即可求解；
（ ）将 ， 代入函数整理得 ，然后分 当 时，即
和当 时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入函数 得，
，
∴ 的值为 ；
第 21 页 共 23 页（2）解：将 ， 代入函数得，
，
整理得： ，
当 时，即 ，
∴ ，
当 时， ，
则有 ， ，
，
∴
，
综上可知：当 时， ；当 时， ．
41．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式： ；
（2）先化简，再求值： ，求值时请在 内取一个使原式有意义的x（x为整
数）．
【答案】（1） ；（2） ；当 时，值为 ；当 时，值为
【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法
则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解；
（2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到 ，再选择
合适的整数代入求值即可．
第 22 页 共 23 页【详解】（1）解： ，
，
，
解得： ，
∴原不等式的解集为： ；
（2）解：
，
∵分式有意义，
∴ ，
∴ 或 ；
当 时，原式 ；
当 时，原式 ．
第 23 页 共 23 页
