文档内容
第 05 讲 古典概型与概率的基本性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：简单的古典概型问题............................................................................................................2
题型二：古典概型与向量的交汇问题................................................................................................2
题型三：古典概型与几何的交汇问题................................................................................................3
题型四：古典概型与函数的交汇问题................................................................................................4
题型五：古典概型与数列的交汇问题................................................................................................4
题型六：古典概率与统计的综合........................................................................................................5
题型七：有放回与无放回问题的概率................................................................................................5
题型八：概率的基本性质....................................................................................................................6
02重难创新练.......................................................................................................................................7
03 真题实战练......................................................................................................................................9题型一：简单的古典概型问题
1．下列试验是古典概型的是（ ）
A．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
2．下列有关古典概型的说法中，错误的是（ ）
A．试验的样本空间的样本点总数有限
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率
3．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数．记事件A：点数之和为3，事件B：点数之和不
超过3．有下列说法：①样本空间 ；② ；③
；④ ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
题型二：古典概型与向量的交汇问题
5．（2024·浙江嘉兴·二模）已知正九边形 ，从 中任取两个向量，则它们的数量
积是正数的概率为（ ）A． B． C． D．
6．（2024·上海浦东新·三模）连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量 （m，n），则 与
（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是 ．
7．（2024·上海徐汇·二模）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是 ，记第二颗骰
子出现的点数是 ，向量 ，向量 ，则向量a´⊥b´的概率是 .
8．设m，n分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量 则向量 ， 的夹角为锐
角的概率是 .
题型三：古典概型与几何的交汇问题
9．（2024·河北唐山·一模）从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为
（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·内蒙古·模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学
家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的
区域所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·陕西咸阳·一模）《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，
大约成书于公元前300年．汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦
合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出．前6卷主要包括：基本
概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容．
某高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分．则数学专业学生张某在三角形和
四边形这两章中至少选一章的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．一个大正方体木块的表面积为 ，将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长
为 的小正方体木块．若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率
为（ ）A． B． C． D．
题型四：古典概型与函数的交汇问题
13．设函数 ，若 是从 四个数中任取一个， 是从 六个数中
任取一个，则 恒成立的概率为 .
14．（2024·高三·山东潍坊·开学考试）已知四个函数：① ，② ，③ ，④ ，从中
任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .
15．（2024·高三·上海青浦·期中）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数
是偶函数的概率为 .
16．（2024·上海闵行·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数 是偶函
数的概率为 ．
题型五：古典概型与数列的交汇问题
17．（2024·江西·一模）斐波那契数列 ，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波
那契 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、
1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：
且 中，则B中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
18．（2024·福建·模拟预测）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，
5，8，13，21，34，55，89，144， ，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概
率为 ．
19．（2024·山东泰安·三模）已知大于 的素数只分布在 和 两数列中（其中 为非零自然
数），数列 中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列 中的合数叫阳性合数，其
中的素数叫阳性素数．则从 以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数，一个阳性素数的概率是
．
20．裴波那契数列（ ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为
例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列 满足：
， ，现从该数列的前 项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是21．集合 中有4个等差数列，集合 中有5个等比数列， 的元素个数是1，在 中任取两个数
列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是 .
题型六：古典概率与统计的综合
22．（2024·上海·三模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则
这6个点数的中位数为4的概率为 ．
23．（2024·江西上饶·二模）将一枚质地均匀的骰子连续拋掷6次，得到的点数分别为 ，则这6
个点数的中位数为3的概率为 ．
24．已知{ }是公差不为0的等差数列.现从 ，这组数据中随机删除2个数，得到一组新的
数据.这两组数据的极差相同的概率为 .
25．高三年级某8位同学的体重分别为90，100，110，120，140，150，150，160（单位： ），现在从
中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是
．
26． A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%，4%，2%的人患了流感．假设这三个地区的
人口比例为4∶3∶3．现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为 ．
题型七：有放回与无放回问题的概率
27．（2024·全国·模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品．现每次取出1个做检查（检查完后不再放
回），直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（ ）
A． B． C． D．
28．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”
“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地
取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（ ）
A． B． C． D．
29．（2024·广东佛山·模拟预测）在《周易》中，长横“ ”表示阳爻，两个短横“ ”表示阴爻.
有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有 种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四
种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取
阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳
爻三个阴爻的概率是（ ）
A． B． C． D． E．均不是
30．一个袋子中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个黄色球，3个红色球，从袋中不放回的依次随
机摸出2个球，则事件“两次都摸到红色球”的概率为（ ）
A． B． C． D．
31．在一个不透明的袋中有4个红球和 个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至
少有一个红球的概率为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型八：概率的基本性质
32．（2024·全国·模拟预测）设 是随机事件，且 ，则
．
33．一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8，物理超过90分的概率是0.7，两门都超过90分的概率是
0.6，则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是 ．
34．（2024·浙江宁波·一模）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动
员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为 ，
200米比赛未能站上领奖台的概率为 ，两项比赛都未能站上领奖台的概率为 ，若该运动员在100米比
赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 .
35．已知相互独立事件 满足 ，则 .
36．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，
则该题被乙独立解出的概率为 ．
37．为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考试科目
设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、
政治、地理、化学中的2个科目成绩组成．在选择物理的学生中，选择物理、化学、生物的概率是选择其
它组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为 ；现有选择物理的2名学生，他们选择专业
的组合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为 ．1．（2024·四川巴中·模拟预测）有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中
任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）将数字 随机填入 的正方形格子中，则每一横行､每一
竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西上饶·模拟预测）某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2
个丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（
）
A． B． C． D．
4．从 的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·高三·江苏镇江·开学考试）由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的
概率为（ ）
A． B． C． D．
6．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋
官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必
达”.现某机构对国内排名前五的 家快递公司的某项指标进行了 轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，
每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这 家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这
轮测试中恰好有1轮测试结果出现 家公司排名不变的概率为（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·高三·山东菏泽·开学考试）某兴趣小组组织四项比赛，只有甲､乙､丙､丁四人报名参加且每项比赛四个人都参加，每项比赛冠军只有一人，若每项比赛每个人获得冠军的概率均相等，则甲恰好拿到其中
一项比赛冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知 都是定义在R上的函数， ， ，
，在有穷数列 中，任意取前k项相加，则前k项和大于 的概率是
（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、
西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则
（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为20
B．恰有2人选一个地方的方法总数为60
C．恰有1人选泰山的概率是
D．已知小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点
数之和为Y，则（ ）
A．事件“X为奇数”发生的概率 B．事件“ ”发生的概率为
C．事件“ ”和事件“ ”相等D．事件“ ”和事件“Y＝6”独立
11．（多选题）（2024·高三·山西大同·期末）某商场在店庆期间举行有奖促销活动，凡购买商品超过1000
元的顾客就可参加活动.主办方在一个不透明的盒子中放入形状大小完全一样的四个红球和四个白球，充分
摇晃后，由顾客（遮盖双眼）从中取出一个小球丢掉，再从剩下的7个小球中取出两个小球，若第二次取
出的两个小球都是红球，则可获得一份价值100元的纪念品；若第二次取出的两个小球一红一白，则可获
得一份价值50元的纪念品，其余结果没有奖品，则以下说法正确的是（ ）
A．顾客甲获得100元纪念品的概率为
B．顾客甲获得50元纪念品的概率为
C．已知顾客甲获得了100元纪念品，则他丢掉的小球也是红球的概率为
D．已知顾客甲获得了50元纪念品，则他丢掉的小球为红球的概率为 .12．（多选题）（2024·福建三明·三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.
现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（ ）
A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为
B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为
C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为
D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
13．从 ， ， ，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为 ， ，记 “ ”，则
.
14．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字3，5，7，9，乙的卡
片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选
一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的
卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分为3的概率为 .
15．现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人
相邻，丙不排在周三的概率为 .
16．（2024·高三·江苏南京·开学考试）数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，
变幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，
第三行3个数……以此类推，一共10行，设 是从上往下数第 行中的最大数，则 的概率
为 .1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A． B． C． D．
3．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一
个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大
值是 ．
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无
放回地随机取3次，每次取1个球.记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平
均值，则 与 之差的绝对值不大于 的概率为 ．
5．（2024年天津高考数学真题） 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到 的概率为
；已知乙选了 活动，他再选择 活动的概率为 ．
6．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片
上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，
两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的
人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总
得分不小于2的概率为 .
7．（2023年天津高考数学真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，
三个箱子中的球数之比为 ．且其中的黑球比例依次为 ．若从每个箱子中各随机摸出一
球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ．
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的
概率为 ．
9．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、
乙都入选的概率为 ．
