文档内容
第 05 讲 古典概型与概率的基本性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：古典概型.............................................................................................................................4
知识点2：概率的基本性质.................................................................................................................4
解题方法总结........................................................................................................................................5
题型一：简单的古典概型问题............................................................................................................5
题型二：古典概型与向量的交汇问题................................................................................................6
题型三：古典概型与几何的交汇问题................................................................................................7
题型四：古典概型与函数的交汇问题................................................................................................8
题型五：古典概型与数列的交汇问题................................................................................................9
题型六：古典概率与统计的综合......................................................................................................10
题型七：有放回与无放回问题的概率..............................................................................................11
题型八：概率的基本性质..................................................................................................................12
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05课本典例·高考素材........................................................................................................................13
06易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点：混淆等可能与非等可能......................................................................................................15
答题模板：古典概型的概率问题......................................................................................................15考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷（理）第16题，5
分 本节内容是概率的基础知识，考查形式
2024 年甲卷（文）第 4 题，5 可以是选择填空题，也可以在解答题中出
分 现．经常出应用型题目，与生活实际相结
（1）古典概型 2023 年乙卷（文）第 9 题，5 合，要善于寻找合理的数学语言简化语言描
（2）概率的基本性质 分 述，凸显数学关系，通过分析随机事件的关
2023 年甲卷（文）第 4 题，5 系，找到适合的公式计算概率．但整体而
分 言，本节内容在高考中的难度处于中等偏
2022年I卷第5题，5分 易．
2020年II卷第4题，5分
复习目标：
（1）理解古典概型及其概率计算公式．
（2）会计算一些随机事件所包含的样本点及事件发生的概率．知识点1：古典概型
（1）定义
一般地，若试验 具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义
事件 的概率 ．
【诊断自测】下列关于古典概率模型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性
相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则 ．
A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④
知识点2：概率的基本性质
（1）对于任意事件 都有： ．
（2）必然事件的概率为 ，即 ；不可能事概率为 ，即 ．
（3）概率的加法公式：若事件 与事件 互斥，则 ．
推广：一般地，若事件 ， ，…， 彼此互斥，则事件发生（即 ， ，…， 中有一个发生）
的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即： ．
（4）对立事件的概率：若事件 与事件 互为对立事件，则 ， ，且
．（5）概率的单调性：若 ，则 ．
（6）若 ， 是一次随机实验中的两个事件，则 ．
【诊断自测】若随机事件A、B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且 ， ，则实数
a的取值范围是 ．
解题方法总结
1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数 与事件 中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件 是什么．
2、解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件 ；
（3）分别求出基本事件的个数 与所求事件 中所包含的基本事件个数 ；
（4）利用公式 求出事件 的概率．
3、解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和．
②求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法．
题型一：简单的古典概型问题
【典例1-1】下列试验是古典概型的是（ ）
A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球为白球
B．在区间 上任取一个实数 ，使
C．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D．某人射击中靶或不中靶
【典例1-2】下列实验中，是古典概型的有（ ）A．某人射击中靶或不中靶
B．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C．四名同学用抽签法选一人参加会议
D．从区间 上任取一个实数，求取到1的概率
【变式1-1】下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
①从区间 内任取一个数，求取到1的概率；②从1，2，3，…，10中任取一个数，求取到1的概率；
③在正方形ABCD内画一点P，求点P恰好为正方形中心的概率；④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现
反面朝上的概率.
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-2】下列关于古典概型的说法正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则 .
A．②④ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【变式1-3】以下试验不是古典概型的有（ ）
A．从6名同学中，选出4名参加学校文艺汇演，每个人被选中的可能性大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雪的概率
D．3个人站成一排，其中甲，乙相邻的概率
题型二：古典概型与向量的交汇问题
【典例2-1】（2024·高三·上海·课堂例题）已知向量 ， ，从6张大小相同分别标有号码
的卡片中，有放回地抽取两张， 、 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足
的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】从集合 中随机抽取一个数a，从集合 中随机抽取一个数b，则向量 与
向量 垂直的概率为 .
【变式2-1】设 、 分别为连掷两次骰子得到的点数，且向量 ， ，则 与 的夹角为
锐角的概率是 ．
【变式2-2】将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，
向量 =（m，n）， =（2，6），则向量 与 共线的概率为【变式2-3】连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量 与向量 的夹角为 ，则
的概率是 .(用数字作答)
【变式2-4】在平行四边形 中，点 是对角线 和 的交点， 分别是线段
的中点，在 中任意取一点 ，在 中任意取一点 ，设点 满足向量
，则在上述点 组成的集合中的点，落在平行四边形 外（不含边界）的概率为 ．
题型三：古典概型与几何的交汇问题
【典例3-1】（2024·江西·二模）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，
他们将1，3，6，10，15，…， ，称为三角形数；将1，4，9，16，25，…， ，称为正方形数．
现从200以内的正方形数中任取2个，则其中至少有1个也是三角形数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点或用小石子表示数，他们将1，3，6，
10，15，…， ，称为三角形数；将1，4，9，16，25，…， ，称为正方形数．现从1到50的自
然数中任取1个，既不是正方形数，也不是三角形数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·江西·二模）圆周上有8个等分点，任意选这8个点中的4个点构成一个四边形，则四
边形为梯形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·四川达州·二模）把腰底比为 （比值约为 ，称为黄金比）的等腰三角形
叫黄金三角形，长宽比为 （比值约为 ，称为和美比）的矩形叫和美矩形.树叶、花瓣、向日葵、
蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多的 的比例关系，常用的 纸的长宽比为
和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条对角线构成的图形）， .图二是长方体，
， .在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形一
个是和美矩形的概率为（ ）A． B． C． D．
【变式3-3】七巧板，又称七巧图、智慧板．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图
所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则
这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】以正方体 的 个顶点中的某 个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱
锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：古典概型与函数的交汇问题
【典例4-1】（2024·高三·上海·期中）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数： ，
， ， ， ， ．从中任意拿取2张卡片，则
两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率是 ．
【典例4-2】（2024·高三·河北邢台·开学考试）欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都
可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素
(两个数只有公约数1)的正整数的个数.例如： ， .现从 中任选
两个数，则这两个数相同的概率是 .【变式4-1】（2024·四川遂宁·三模）已知 ，从这四个数中任取一个数 ，
使函数 有两不相等的实数根的概率为 .
【变式4-2】已知 、 ，则使函数 有两不相等的零点
的概率为 ．
【变式4-3】已知函数 ，若从集合 中随机选取一个元素 ，则函数
恰有7个零点的概率是 ．
【变式4-4】已知四个函数：（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，
从中任选 个，则事件“所选 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .
题型五：古典概型与数列的交汇问题
【典例5-1】斐波那契数列(Fibonacci sequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契(Leonardo Fibonacci)以兔子繁殖
为例子而引入，又称为“兔子数列”．斐波那契数列 有如下递推公式：
，通项公式为 ，故又称黄金分割数
列．若 且 ，则 中所有元素之和为偶数的概率为 ．(结果
用含 的代数式表达)
【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，
3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数列称为斐
波那契数列，又称“兔子数列”．现在从该数列前21项中，按照奇数与偶数这两种类型进行分层抽样抽取
6项，再从这6项中抽出2项，则至少含有一项是偶数的概率为 ．
【变式5-1】（2024·浙江温州·二模）若数列 满足 ，则称此数列为“准等差数
列”．现从 这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成"准等
差数列"的概率是 ．
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家
莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样
一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义 ，， 定义集合 ， 且 ，则B中所有元素之和为
奇数的概率为 ．
【变式5-3】对于数列 ，若 ，则称数列 为“广义递增数列”，若
，则称数列 为“广义递减数列”，否则称数列 为“摆动数列”.已知数列
共4项，且 ，则数列 是摆动数列的概率为 .
题型六：古典概率与统计的综合
【典例6-1】（2024·安徽芜湖·二模）从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，
45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好
为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为 ．
【典例6-2】将写有1、2、…、9这9个数的卡片（6不可视作9）随机分给甲、乙、丙三人，每人三张，
则“每人手中卡片上的三个数都能满足：其中一个数为其他两个数的平均数”的概率为
【变式6-1】（2024·湖南永州·三模）从“1，2，3，4”这组数据中随机取出三个不同的数，则这三个数的
平均数恰为3的概率是 .
【变式6-2】某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，
供全市所辖的 ， ， 三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，则三个区市民接种
的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率是 ；记 ， ， 三个区选择的疫苗批号的中位数为 ，则
的期望是 .
【变式6-3】（2024·高三·山东德州·开学考试）编号为 的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，
记 表示前两个球号码的平均数，记 表示三个球号码的平均数，则 与 之差的绝对值不超过0.2的概
率是 .
【变式6-4】泊松分布的概率分布列为 ，其中 为自然对数的底数， 是泊松分布
的均值．若随机变量 服从二项分布 ，当 很大且 很小时，二项分布近似于泊松分布，其中
，即 ．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，
则抽到的次品的个数小于2的概率约为 ．（参考数据： ）
题型七：有放回与无放回问题的概率
【典例7-1】（2024·山东日照·三模）从标有1，2，3，4，5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一
张，则出现重复编号卡片的概率是（ ）A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·湖南常德·一模）将三个分别标注有 ，x， 的三个质地均匀的小球放入一个不透
明的小盒中.无放回的随机取出2个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为 .若
，则 在 上单调递减的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-1】已知集合 ，从集合 中有放回地任取两元素作为点 的坐标，则点 落在
轴上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】从两名男生（记为 和 ）、两名女生（记为 和 ）中任意抽取两人，分别采取不放回简
单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（
）
A． B． C． D．
【变式7-3】敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回
答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者
在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若
抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球．
问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为 ）
问题B：你是否有早恋现象？
已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张
回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（ ）（精确到0.01）
A．0.08 B．0.07 C．0.06 D．0.05
【变式7-4】已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则
在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-5】从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽
样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式7-6】（2024·河南·模拟预测）袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母 个标有
字母 .甲先从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲､乙两人摸到标
有字母 的球的概率分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-7】甲袋中装有4个白球和6个黑球，乙袋中装有3个白球和5个黑球，现从甲袋中随机取出一个
球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为（
）
A． B． C． D．
题型八：概率的基本性质
【典例8-1】设A，B是一个随机试验中的两个事件，记 为事件A，B的对立事件，且
，则 =
【典例8-2】事件 、 是相互独立事件，若 ， ，则实数 的值等于
.
【变式8-1】已知 ， ， ，则 ．
【变式8-2】对于一个古典概型的样本空间 和事件A，B，其中 ，
，则 .
【变式8-3】若随机事件 ， 互斥， ， 发生的概率均不等于 ，且 ， ，则
实数 的取值范围为 ．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机
抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4
名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取
2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概
率为（ ）
A． B． C． D．
1．某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环
6 7 8 9 10
数
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；
（1）命中10环；
（2）命中的环数大于8环；
（3）命中的环数小于9环；
（4）命中的环数不超过5环.
2．假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D， E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，
因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率；（1）女孩A得到一个职位；
（2）女孩A和B各得到一个职位；
（3）女孩A或B得到一个职位.
3．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么
第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？
4．抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y
表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰
子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4”
（1）求事件A，B，C的概率；
（2）求 的概率.
5．一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列
事件的概率各是多少？
（1）A=“恰有1支一等品”；
（2）B=“两支都是一等品”；
（3）C=“没有三等品”.
6．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.
7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，随机地依次选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的
数字为相等整数的概率；
（1）标签的选取是不放回的；
（2）标签的选取是有放回的.
易错点：混淆等可能与非等可能
易错分析：不能理解“等可能”与“非等可能”的含义，在解题的过程中，不能准确的找出符合题意
的情况导致最后结果错误.
【易错题1】如图，数轴上一质点受随机外力的作用从原点O出发，每隔一秒随机、等可能地向左或向右
移动一个单位长度，则移动6次后，最终质点位于数轴上的位置4的概率为 ．
【易错题2】在一个不透明的密封盒子中装有8只昆虫，其中蜜蜂和蝴蝶的数量各占一半.现在盒子上开一
小孔，每次只能飞出一只昆虫，且任意一只昆虫都等可能地飞出.则“从盒子中任意飞出2只昆虫，至少有1只是蝴蝶”的概率是 .
答题模板：古典概型的概率问题
1、模板解决思路
在解决这类问题时，首要步骤是确认试验是否符合古典概型的特征。随后，关键在于构建样本空间，
这一过程中需特别注意两点：一是样本中的元素是否存在顺序性，因为顺序的不同会构成不同的样本空间；
二是取样时是否允许元素重复，即取样是放回还是不放回，这直接决定了样本中元素是否可以重复出现。
明确了这两点后，就可以计算出样本空间的总样本点数量，以及所求事件对应的样本点数量，最后利用古
典概型的概率计算公式，得出所求事件的概率。
2、模板解决步骤
第一步：根据题意,判断试验是否是古典概型，并写出样本空间，求出样本点个数.
第二步：求出事件A 包含的样本点个数.
第三步：代入公式，求出P(A).
【经典例题1】甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号 的卡片各1张，两人轮流从中
不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.
若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 .
【经典例题2】在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础
上再将甲、乙等6名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路
口且每个路口至少安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是 ．
