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专题 6.17 直角坐标系背景下的平行四边形（专项练习）
一、填空题
1．如图，直线l：y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线l：y＝4x﹣4与y轴交于
1 2
点C，与x轴交于点D，直线l，l 交于点P．若x轴上存在点Q，使以A、C、P、Q为顶
1 2
点的四边形是平行四边形，则点Q的坐标是 _____．
二、解答题
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴、 轴分
别交于点 和点 ，且与直线 交于点 ．
(1)求直线 的解析式；
(2)若点 为线段 上一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，且与直线 交于点 ，
当 时，求点 的坐标；
(3)若在平面上存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，请直接
写出点 的坐标．3．已知 中， ， ，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，
BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．
(1)求直线BD的表达式．
(2)在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．
(3)直线BD上是否存在点F，使 为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F
的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象分别交x轴、y轴于A、B两点．过
点A的直线交y轴正半轴于点C，且点C为线段OB的中点．
(1)求直线AC的表达式．
(2)平面内是否存在点P，使得四边形ACPB是平行四边形?若存在，请求出点P的坐标．
(3)若点Q为直线AC上的一点，且满足 的面积为30，求点Q的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在
线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到线段CD，此时点D恰好落在直线AB
上，过点D作 轴于点E．
(1)求证： ；
(2)请直接写出点D的坐标，并求出直线BC的函数关系式；
(3)若点P是x轴上的一个动点，点Q是线段CB上的点（不与点B、C重合），是否存在以
C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的P点坐
标．若不存在，请说明理由．
6．如图1，已知点C的坐标是（4 ，4 ），过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分
别为点B、点D，点E是线段OD上一点（不与点O、D重合），连接BE，作点O关于直
线BE的对称点O'，连接CO'，点P为CO'的中点，连接BP，延长CO'与BE的延长线交于
点F，连接DF．
（1）求证：∠PBF=45°；
（2）如图2，连接BD，当点O'刚好落在线段BD上时，求直线BF的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在点M，使得以M、O、O'、F为顶点的四边形是
平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，与直线 相交于点 ．
（1）求 点坐标；
（2）如果在 轴上存在一点 ，使 是以 为底边的等腰三角形，求 点坐标，写
出解题过程．
（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形
是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；
8．已知如图，平面直角坐标系内的矩形OABC，点A在x轴上，点C在y轴上，点B坐标
为（ ），D为AB边上一点，将△BCD沿直线CD折叠，得到△ECD，点B的对应点
E落在线段OA上．
（1）求OE的长；
（2）点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线CD方向运动，设运动时间为
t，△PBD的面积为S，求S关于t的关系式；
（3）在（2）的条件下，点Q为直线DE上一点，是否存在t，使得以点A、B、Q、P为顶
点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，并直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知 ，其中 满足关系式
．
（1）求 的值；
（2）在第三象限是否存在一点 ，使四边形 的面积是三角形 面积的 倍，
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D是坐标平面内的点，若点D与 三点构成平行四边形，请直接写出符合
条件的点D的坐标．
10．如图，平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣3，0），B（3，0），
C（0，4），连接OD，点E是线段OD的中点．
（1）求点E和点D的坐标；
（2）平面内是否存在一点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在请
求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，a），B（b，a），且a，b
满足（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，现同时将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，
分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S ABCD；
四边形
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S MCD＝ S ABCD？若存在这
平行四边形
△
样的点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x＋5与y轴交于点A，直线l 与x轴、y轴
1 2
分别交于点B(﹣4，0)和点C，且与直线l 交于点D(2，m)．
1
（1）求直线l 的解析式；
2
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l 交于点
1
G，当EG＝6时，求点G的坐标；
（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B
的直线交x轴于C，且 ABC面积为10．
△（1）求直线BC的解析式；
（2）如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG
右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐标；
（3）如图2，若M为线段BC上一点，且满足S AMB=S AOB，点E为直线AM上一动点，
在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶△点的四△边形为平行四边形？若存在，请
直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，平面直角坐标系中A（2，0），D（0，1），过O作OB⊥AD于点E，B为第一
象限的点，过点B作BC⊥y轴于点C，连接BC．
（1）求直线AD的解析式；
（2）若OD＝BC，求证：△OBC≌△ADO；
（3）在第（2）问条件下若点M是直线AD上的一个动点，在x轴上存在另一个点N，且
以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，请求出点N的坐标．15．如图1，经过点A（-6，0）的直线AB与y轴交于点B，与直线 交于点C，点C
的横坐标为-2，点P是直线AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过点P作 y轴的平
行线，分别交直线 和x轴于点D，E，设动点P的横坐标为t．
（1）求直线AB所对应的函数表达式；
（2）当DP=6时，求t的值；
（3）如图2，作PF∥ x轴，交直线 于点F． 在点P运动过程中，是否存在某一时
刻，使得A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；
若不存在，说明理由．
16．在平面直角坐标系中， 为坐标原点．已知两点 ， 且 、 满足
；若四边形 为平行四边形， 且 ，点 在
轴上．
（1）如图①，动点 从 点出发，以每秒 个单位长度沿 轴向下运动，当时间 为何值
时，三角形 的面积等于平行四边形 面积的四分之一；
（2）如图②，当 从 点出发，沿 轴向上运动，连接 、 ， 、 、
存在什么样的数量关系，请说明理由（排除 在 和 两点的特殊情况）．17．菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线 与 的交点 恰好在
轴上，过点 和 的中点 的直线交 于点 ，线段 ， 的长是方程
的两根，请解答下列问题：
（1）求点 的坐标；
（2）点 在直线 上，在直线 上是否存在点 ，使以点 ， ， ， 为顶点的四
边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，△BOC是以BO为底边的等腰三角形，点B在x轴正半
轴上，△OAD是△OCB绕点O逆时针旋转60°得到的，点A在y轴正半轴上，连接DC，
线段OA的长是关于x的方程x2﹣4x＋4＝0的根．
（1）求点D的坐标；
（2）求四边形AOCD的面积；
（3）平面内是否存在点P，使以点D、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，点B的坐标为 ．
直线 ： 与直线 相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点D是y轴上一点，且 的面积是 面积的 ，求点D的坐标；
（3）平面内是否存在一点E，使得以点O，A，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存
在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA＝8，OC＝4 ，∠AOC＝45°，
点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时，点Q以每秒 个单位的速度从点
O向点C运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t．
（1）求出点C，B的坐标；
（2）设△APQ的面积是y，求y关于t的关系式；
（3）当t为何值时，AP⊥CB？此时，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶
点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B
的另一直线交x轴正半轴于C，且△ABC面积为15．
（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；
（2）若M为线段BC上一点，且△ABM的面积等于△AOB的面积，求M的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、
E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说
明理由．
22．如图1，直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），过点A作x轴的垂线交x轴于点B．
（1）若AB＝OB，则直线OA的解析式为 ；
（2）在（1）的条件下，若OA＝2 ，在平面直角坐标系中是否存在点C，使得以A，
B，O，C为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，请说
明理由；
（3）如图2，若∠AOB＝60°，以OA为边作菱形OADE，点E在x轴上，F为菱形OADE
外一点，EF⊥OF，M为OF上一点，∠EMF＝∠EMD，求证：DM＝OM+kME．23．已知：直线y＝ +6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将
△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A：_____，B：______；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求
点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说
明理由．24．如图1，直线 与坐标轴分别交于点A、B，与直线 交于点C．
（1）求A、C两点的坐标；
（2）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线 方
向作匀速滑动，分别交直线 、 及x轴于点M、N和Q．设运动时间为 ，连接 ．
①当 时，求t的值．
②若四边形 为平行四边形，试求出E点的坐标；
（3）试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？
若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC，AB＝BC，点A在y轴的正半轴上，点B
（﹣3，0），点C（2，0）．
（1）点A的坐标是（ ， ）．
（2）点D是边AC上一点，且直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，求直线OD的表
达式．
（3）点P是直线OD上一点，在x轴上是否存在点M，使以A、B、M、P为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B的坐标分别A（0，
2）、C（2 ，0），∠OCA＝30°．
（1）求对角线AC所在的直线的函数解析式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的
坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使得以C、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图（1），在平面直角坐标系中，已知点 ， ，且m，n满足
，将线段 向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到
线段 ，其中点C与点A对应，点D与点B对应，连接 ， ．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使三角形 的面积等于平行四边形 的面积？若存
在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），点E在y轴的负半轴上，且 ．求证： ．
28．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB＝3，AD＝2，经
过点C的直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求点D的坐标；
（2）问直线y＝x﹣2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边
形，请写出点M的坐标．
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB：y＝ x＋4交x轴于点A，交y轴于点
B．直线CD：y＝－ x－1与直线AB相交于点M，交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）若点P是射线MD的一个动点，设点P的横坐标是x，△PBM的面积是S，求S与x
之间的函数关系；（3）当S＝20时，平面直角坐标系内是否存在点E，使以点B，E，P，M为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
30．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），将x轴绕点A顺时针旋转60°交y轴
于点B，再将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点Q为平面直角坐标系中一点，且满足四边形ABCQ为平行四边形，求点Q的坐
标；
（3）在直线BC和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四
边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
31．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x
轴于点C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求 AOB的面积；
（3）平△面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存
在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案
1．（4，0）
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质分别求得点A、点C、点P的坐标，然后结合平行四边形的性质求解．
【详解】
解：在y=x+2中，当y=0时，x+2=0，解得：x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），
在y=4x-4中，当x=0时，y=-4，
∴C点坐标为（0，-4），
联立方程组 ，
解得： ，
∴P点坐标为（2，4），
设Q点坐标为（x，0），
∵点Q在x轴上，
∴以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，AQ和PC是对角线，
∴ ，
解得：x=4，
∴Q点坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，平行四边形的性质，理解一次函数的图象性质，掌
握平行四边形对角线互相平分，利用数形结合思想解题是关键．
2．(1)直线 的解析式为 ；
(2) ；
(3) 的坐标为： 或 或
【解析】
【分析】
（1）先求出点 的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出 ， 两点的坐标，进而得出线段 的长，列出方程
即可解答；
（3）分三种情形解答，先求得经过点 的解析式，再联立，解方程组即可求解．
(1)解： 当 时， ，
．
设直线 的解析式为 ，由题意得：
，
解得： ．
直线 的解析式为 ．
(2)
解： 轴，
， 的横坐标相同．
设 ，则 ．
为线段 上一个动点，
， ，
， ．
．
解得： ．
．
(3)
（3）如下图，当四边形 为平行四边形时，令 ，则 ，
．
，
直线 的解析式为： ．
令 ，则 ，
．
，
直线 的解析式为： ．
．
解得： ．
．
如下图，当四边形 为平行四边形时，，
直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
．
当四边形 为平行四边形时，如下图，
，
直线 的解析式为 ，
，
直线 的解析式为： ，
当 时， ，
．
综上，存在点 ，使得以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为：或 或 ．
【点拨】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数
法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式
的重要方法，也是解答本题的关键．
3．(1)
(2)
(3)存在， 或 或 或
【解析】
【分析】
（1）分别求出B、D点的坐标，利用待定系数法求解析式即可求出直线BD的表达式；
（2）设点E的坐标为 ，利用 求出t值，即可得出E点坐标；
（3）设点F的坐标为 ，分三种情况进行讨论，得出结果即可．
(1)
∵ ，由题可得，
∴ ， ，又∵点D是AC的中点，
∴ ，∴设直线BD的表达式为： 代入B，D可得：
，解得： ， ，
∴直线BD的表达式为： ．
(2)
设点E的坐标为 ，
∵四边形ABCE是平行四边形，∴ ，
∴ ， ，∴点E的坐标为 ．(3)
∵点F在BD上，∴设点F的坐标为 ，
∴ ．
，∵ 是以AC为腰的等腰三角形，
∴当 时，则 ，∴ ，
∴ ，解得： 或 ．
∴点F的坐标为： 或 ，
当 时，则 ，∴ ，
，解得： 或 ，
∴点F的坐标为 或 ．
∴综上，点F的坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查的是一次函数及其图像与平行四边形、等腰三角形的综合，分情况
讨论是本题的关键．
4．(1)
(2)存在，
(3) 或
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数解析式求得 的坐标，进而求得点 的坐标，待定系数法求直线AC
的表达式即可；（2）过点P作y轴的垂线，垂足为Q，证明 ， ，进
而可得 ， ，即可求得 的坐标；
（3）过点B作 于点H，勾股定理求得 的长，进而根据三角形面积公式求得
的长，由点Q在直线AC： 上，设Q点坐标为 ，根据勾股定理列出方
程即可求解．
(1)
∵函数 的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，
令 ， ，令 ，
∴ ， ，
∵点C为线段OB的中点，
∴ ，
设直线AC的表达式为 ，
∴ ，
解得： ，
故直线AC的表达式为 .
(2)
∵四边形ACPB是平行四边形.
∴ 且 ， 且 ，
如图1，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，
∵ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
(3)
如图所示，过点B作 于点H，， ，
，
是等腰直角三角形
∵点Q为直线AC上一点且 的面积为30，
∴ ，
∴ ，
∵点Q在直线AC： 上，
∴设Q点坐标为 ，
∴ ，
∴ ，则 ， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
故Q点坐标为 或
【点拨】本题考查了一次函数与几何图形结合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
5．(1)见解析
(2) ，
(3)存在， 或
【解析】
【分析】
（1）根据旋转的性质可得 ， ，根据等角的余角相等可得，
，根据 即可证明 ；
（2）设直线 的解析式为 ，待定系数法即可求得解析式，设 ，即
可得 的坐标，代入解析式即可求得 ，进而求得 的坐标；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为 ，分CD为边及CD为对角线两
种情况考虑，利用平行四边形的对角线互相平分，根据中点坐标公式，即可得出关于m，n
的二元一次方程组，解之即可得出点P的坐标．
(1)
证明：由旋转得 ， .
又∵ ，
∴ .
∴
在 与 中
∵
∴
(2)
与x轴、y轴相交于A、B两点，
令 ，得 ，则 ，令 ，得 ，则
，
，
设 ，
，
，
点在直线 上，将 代入 ，
即 ，
解得 ，
，
,
设直线 的解析式为
将点 , 代入得：
解得
直线 的解析式为
(3)
设点P的坐标为（m ，0），点Q的坐标为 ，分两种情况考虑：
①若CD为边时，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q∴ ，解得： ，
∴点P的坐标为 ；
②若CD为对角线，
∵C（1，0），D（4，1），P（m ，0），Q
∴ ，解得： ，
∴点P的坐标为 ；
综上所述， 或 .
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、一次函数图象上点的坐标特
征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握利用全等三
角形的判定定理AAS；利用一次函数图象上点的坐标特征；利用平行四边形的对角线互相
平分的性质．
6．（1）见解析；（2） ；（3）存在，M坐标为（ ，
）或（ ， ）或（ ， ）．
【解析】
【分析】
（1）连接O'B，由点O关于直线BE的对称点O'，得∠OBF=∠O'BF= ∠OBO'，由△BO'C
是等腰三角形，点P为CO'的中点，得∠CBP=∠O'BP= ∠CBO'，从而∠PBF'=
∠OBC=45°；（2）连接EO'，设OE=O'E=x，则DE=4 -x，在Rt△DOE中，DO'2+O'E2=DE2，可得（8-
4 ）2+x2=（4 -x）2，解得x=8-4 ，E（0，8-4 ），设直线BF的解析式为
y=kx+b，将B（4 ，0）、E（0，8-4 ）代入即得答案；
（3）过O'作O'G⊥OB于G，先求出O'、F坐标，设M（a，b），分三种情况：①以MO、
O'F为对角线，②以MO'、OF为对角线，③以MF、OO'为对角线，用平行四边形对角线中
点重合列方程即可求解．
【详解】
解：（1）连接O'B，如图：
∵C的坐标是（4 ，4 ），过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点B、点D，
∴OB=BC=4 ，
∵点O关于直线BE的对称点O'，
∴∠OBF=∠O'BF= ∠OBO'，O'B=OB，
∴O'B=BC，即△BO'C是等腰三角形，
∵点P为CO'的中点，
∴∠CBP=∠O'BP= ∠CBO'，
∴∠PBF=∠O'BF+∠O'BP= ∠OBO'+ ∠CBO'= （∠OBO'+∠CBO'）= ∠OBC=45°；
（2）连接EO'，如图：在Rt△BOD中，OB=OD=4 ，
∴BD= =8，
∵点O关于直线BE的对称点O'，
∴OE=O'E，O'B=OB=4 ，∠EO'B=∠EOB=90°，
∴∠DOE=90°，DO'=BD-O'B=8-4 ，
设OE=O'E=x，则DE=4 -x，
在Rt△DOE中，DO'2+O'E2=DE2，
∴（8-4 ）2+x2=（4 -x）2，
解得x=8-4 ，
∴E（0，8-4 ），
设直线BF的解析式为y=kx+b，将B（4 ，0）、E（0，8-4 ）代入得：
，解得 ，
∴直线BF的解析式为y=（1- ）x+8-4 ；
（3）存在以M、O、O'、F为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
过O'作O'G⊥OB于G，如图：∵△BOD是等腰直角三角形，
∴△O'BG是等腰直角三角形，
∵O'B=OB=4 ，
∴O'G=BG=4，
∴OG=OB-BG=4 -4，
∴O'（4 -4，4），
∵C（4 ，4 ），
设直线CO'为y=mx+n，则 ，
解得 ，
∴直线CO'为y=（ ）x+8 -8，
联立BF、CO'解析式得 ，
解得 ，
∴F（ ， ），
设M（a，b），以M、O、O'、F为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①以MO、O'F为对角线，如图：
此时MO的中点即是O'F的中点，而MO中点为（ ， ），O'F中点为（
， ），
∴ ，解得 ，
∴M（ ， ）；
②以MO'、OF为对角线，如图：
同理可得 ，解得 ，
∴M（ ， ）；
③以MF、OO'为对角线，如图：同理可得 ，解得 ，
∴M（ ， ）；
综上所述，M坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【点拨】本题考查了一次函数的综合应用，涉及轴对称变换、勾股定理应用、平行四边形
的判定及性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质：对角线互相平分列方程
组解决问题．
7．（1） ；（2） ，过程见解析；（3）存在， ， ， ．
【解析】
【分析】
（1）联立方程，解方程即可求得；
（2）设P点坐标是（0，y），根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）分三种情况：①当AC是对角线时，②当AO是对角线时，③当CO是对角线时，分
别求解即可．
【详解】
解：（1）解方程组： 得： ，
点坐标是 ；
（2）设 点坐标是 ，
∵ 是以 为底边的等腰三角形，，
，
解得 ，
点坐标是 ；
（3）存在；
令y=0代入 ，得 ，解得：x= ，
∴C（ ，0），
设M（x，y）如图所示：
①当AC是对角线时，x=2+ -0= ，y=3，
∴点M坐标是（5.5，3）；
②当AO是对角线时，x=2+0- =-1.5，y=3，
∴点M坐标是（-1.5，3）；
③当CO是对角线时，x=0+ -2=1.5，y=-3，
∴点M坐标是（1.5，-3），
综上所述：点M坐标是（5.5，3），（-1.5，3），（1.5，-3）．
【点拨】本题是一次函数的几何综合题，考查了交点的求法，勾股定理的应用，平行四边
形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
8．（1） ；（2） ；（3）t=1， ， 或t=3，， 或t=7， ，
【解析】
【分析】
（1）先求出OC=6，由折叠的性质可知 ，再利用勾股定理求解即可；
（2）过点P作PF⊥BC交直线BC于F，连接PD，分P在线段CD上和在CD的延长线上
两种情况讨论求解即可；
（3）分当AB以点A、B、Q、P为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形APQB是平行
四边形的边时，当四边形AQPB是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解
即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCO是矩形， ，
∴OC=AB=6， ，
由折叠的性质可知，DE=BD， ，
∴ ，
（2）如图，过点P作PF⊥BC交直线BC于F，连接PD
由题意可知CP=2t
∵ ，∠COE=90°，
∴ ，∠OCE=30°，
∴∠ECB=60°，
由折叠的性质可知∠BCD=∠ECD
∴∠FCP=∠ECD=30°，
∴PF= ，
∴
设BD=DE=x，则AD=6-x，∵ ，
∴ ，
解得x=4，
∴BD=4，
当P在线段CD上时，
当P在CD的延长线上时，
∴综上所述
（3）由（1）（2）得BD=4， ，PF=t ， ，
∴AD=2，
∴ ， ，
设直线DE的解析式为 ，∴ ，
解得 ，
∴直线DE的解析式为 ，
设 ，
当AB以点A、B、Q、P为顶点的平行四边形的对角线时，
∴ （平行四边形两条对角线的中点坐标相同），
解得 ，
∴ ，
当AB为四边形APQB是平行四边形的边时，
∴AB∥PQ，AB=PD=6
∴
解得 ，
∴ ， ；
当AB为四边形AQPB是平行四边形的边时，
∴AB∥PQ，AB=PD=6∴
解得
∴ ， ；
∴综上所述，当t=1， ， 或t=3， ， 或t=7，
， 时以点A、B、Q、P为顶点的四边形为平行四边形；
【点拨】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含30
度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．（1） ；（2）存在， ；（3）点D的坐标为
【解析】
【分析】
（1）由两个非负数的和为零，则这两个数都为零这一规律列方程即可求出a、b的值；
（2）存在符合条件的点P，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，先求出△ABC的面积，
再用含m的代数式表示四边形ACPO的面积，且根据四边形ACPO的面积是三角形ABC面
积的 倍列方程，求出m的值，得到点P的坐标；
（3）点D与A、B、C三点构成平行四边形，可按照以AC、BC为邻边或以AB、AC为邻
边或以AC、BC为邻边分类讨论，分别求出点D的坐标．
【详解】
（1）解： ，
又 ，
且 ，
；
（2）存在，如图1，作CE⊥AB于点E，作PF⊥x轴于点F，则∠BEC＝90°，
由（1）得，A（0，3），B（−4，3），
∴AB∥x轴，
∴∠OCE＝∠BEC＝90°，
∴CE⊥x轴，
∵C（−2，0），
∴E（−2，3），
∴AB＝4，CE＝3，OC＝2，
∴S ABC＝ AB•CE＝ ×4×3＝6，
△
∵S ACPO＝S AOC＋S POC，且S ACPO＝ S ABC，P（−1，m）在第三象限，
四边形 四边形
△ △ △
∴ ×2×3＋ ×2（−m）＝ ×6，
解得，m＝−6，
∴P（−1，−6）；
（3）如图2，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，∵AB∥x轴，CD∥AB，
∴点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝−2＋4＝2，
∴D（2，0）；
如图3，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，则点D在x轴上，且CD＝AB＝4，
∴xD＝−2−4＝−6，
∴D（−6，0）；
如图 ，作CE⊥AB于点E，延长CE到点D，使DE＝CE，连结AD、BD，
由（1）和（2）得，B（−4，3），E（−2，3），CE⊥x轴，
∴AE＝BE，
∴四边形ADBC是平行四边形，
∵DE＝CE＝3，
∴CD＝6，
∴D（−2，6），
综上所述，点D的坐标是（2，0）或（−6，0）或（−2，6）．【点拨】此题重点考查平面直角坐标系的有关知识、两个非负数的和为零，则这两个数都
为零在求值问题中的应用、平行四边形的有关知识以及在平面直角坐标系中求面积、求点
的坐标等知识与方法，此题难度不大，但综合性较强，是很好的练习题．
10．（1）D（-6,4），E（-3,2）；（2）点N的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质即可得到点D的坐标，过点E作EF⊥OC于F，EH⊥CD与
H，则四边形EFCH是矩形，利用矩形的性质求出点E的坐标；
（2）根据平行四边形对角顶点的横、纵坐标的和分别为零求解即可．
【详解】
解：（1）∵A（﹣3，0），B（3，0），C（0，4），
∴OA=OB=3，OC=4，CD⊥OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，CD∥AB，
∴点D的坐标为（-6,4）；
过点E作EF⊥OC于F，EH⊥CD与H，则四边形EFCH是矩形，
∵点E是线段OD的中点，
∴CE=OE=DE，
∴CH=DH=3，CF=OF=2，
∴点E的坐标为（-3,2）；
（2）存在点N，使以C、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形
∵C（0，4），D（-6,4），E（-3,2），
∴当点N与点D为对角顶点时，N(3,2)；
当点N与点C为对角顶点时，N(-9,2)；
当点N与点E为对角顶点时，N(-3,6)；∴点N的坐标为(3,2)或(-9,2)或(-3,6)．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定定理及性质定理，熟记各定理
是解题的关键．
11．（1） ，面积为24；（2）存在，M点坐标 或
【解析】
【分析】
（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得到A、B的坐标，然后根据平移方式即可得到
C、D的坐标，由此即可求解；
（2）设M坐标为 ，则 ，求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ，
解得， ， ，
∴ ， ，
∵将点A，B分别向下平移4个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点
C，D，
∴ ， ，
S ；
四边形ABCD=4×6=24
（2）在y轴上存在一点M，使 S ，
四边形ABCD
设M坐标为 ，
∴ ，
解得 或
∴M点坐标 或 ．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，根据平移方式确定点的坐标，四边形面积等等，解
题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（1） ；（2）(﹣2，7)；（3）(2，0)或(2，6)或(﹣2，4)．
【解析】
【分析】
（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可；
（2）利用两条直线的解析式表示出G，E两点的坐标，进而得出线段GE的长，列出方程
即可解答；
（3）分三种情形解答，先求得经过点H的解析式，再联立，解方程组即可求解．
【详解】
解：（1）∵当x＝2时，y＝﹣2+5＝3＝m，
∴D(2，3)．
设直线l 的解析式为y＝kx+b，由题意得：
2
，
解得： ．
∴直线l 的解析式为 ．
2
（2）∵EF⊥x轴，
∴G，E的横坐标相同．设G(n，﹣n+5)，则E(n， )．
∵E为线段BC上一个动点，
∴﹣n+5＞0， ＞0，
∴FG＝﹣n+5，FE＝ ．
∴EG＝FG﹣FE＝ ＝6．
解得：n＝﹣2．
∴G(﹣2，7)．
（3）如下图，当四边形AHCD为平行四边形时，
令x＝0，则 ，
∴C(0，2)．
∵CH∥AD，
∴同理可得：直线CH的解析式为：y＝﹣x+2．
令x＝0，则y＝﹣1×0+5＝5，
∴A(0，5)．
∵AH∥CD，
∴直线AH的解析式为： ．
∴ ．
解得： ．∴H(﹣2，4)．
如下图，当四边形AHDC为平行四边形时，
∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵AH∥DC，
∴直线AH的解析式为 ，
∴当x＝2时， ，
∴H(2，6)．
当四边形ADHC为平行四边形时，如下图，
∵DH∥AC，
∴直线DH的解析式为x＝2，
∵CH∥AD，
∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2，
当x＝2时，y＝﹣2+2＝0，
∴H(2，0)．
综上，存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：
(2，0)或(2，6)或(﹣2，4)．
【点拨】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式
的重要方法，也是解答本题的关键．
13．（1）直线BC的解析式为y=﹣ x+4；（2）满足条件的点G坐标为（0， ）或
（0，﹣1）；（3）存在，满足条件的点D的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣ ，
0）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角形的面积公式求出点 坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形：①当 时，如图 中，点 落在 上时，过 作直线平行于 轴，
过点 ， 作该直线的垂线，垂足分别为 ， ．求出 ．②当 时，如图
中，同法可得 ，利用待定系数法即可解决问题．
（3）利用三角形的面积公式求出点 的坐标，求出直线 的解析式，作 交直
线 于 ，此时 ， ，当 时，可得四边形 ，四边形 是平行
四边形，可得 ， ， ， ，再根据对称性可得 解决问题．
【详解】
解：（1） 直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
， ，
， ，
，
，
，
，设直线 的解析式为 ，则有 ，
．
直线 的解析式为 ．
（2） ， ， ，
，设 ，
①当 时，如图 中，点 落在 上时，过 作直线平行于 轴，过点 ， 作该
直线的垂线，垂足分别为 ， ．
∴∠M=∠N=90°，
∠MBF+∠BFM=90°，
四边形 是正方形，
∴FG=QG，∠FGQ=90°，
∴∠MBF+∠NBQ=90°，
∴∠MFB=∠NGQ
，
， ，
，
点 在直线 上，，
，
．
②当 时，如图 中，同法可得 ，
点 在直线 上，
，
，
．
综上所述，满足条件的点 坐标为 或 ．
（3）存在如图3中，设 ， ，
，
，
，
， ， 直线 的解析式为 ，
作 交直线 于 ，此时 ， ，
当 时，可得四边形 ，四边形 是平行四边形，可得 ， ，
， ，
根据对称性可得点 关于点 的对称点 ， 也符合条件，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【点拨】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判
定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨
论的思想思考问题，学会添加常用辅助线．
14．（1）y＝ x＋1；（2）见详解；（3）（−3，0）或（3，0）或（7，0）
【解析】
【分析】
（1）设直线AD的解析式为：y＝kx＋b，把A（2，0）、D（0，1）代入y＝kx＋b，解之
可得答案；
（2）先证明∠OAD=∠COB，再利用AAS证明△OBC≌△ADO即可；
（3）先求出B（1，2），再分两种情况：①当ON为边时，根据平行四边形的对边平行且
相等可得BM∥AN且BM＝AN，令y＝2求出点M的坐标，从而得到BM的长度；②当ON为对角线时，设N（n，0），M （m， m＋1），列出方程组，即可求解．
【详解】
解：（1）设直线AD的解析式为：y＝kx＋b，
把A（2，0）、D（0，1）代入y＝kx＋b，得： ，
解得： ，
∴直线解析式为y＝ x＋1；
（2）∵OB⊥AD，
∴∠OAD+∠AOE=90°，
又∵∠AOE+∠BOC=90°，
∴∠OAD=∠COB，
在△OBC和△ADO中，
∵
∴△OBC≌△ADO（AAS）；
（3）∵△OBC≌△ADO，
∴CO=OA=2，
∵BC=OD=1，
∴B（1，2）
∵点N在x轴上，O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
①如图，当ON为边时，∴BM∥x轴，且BM＝ON，
∴ x＋1＝2，解得x＝−2，
∴点M的坐标为（−2，2），
∴BM＝1−（−2）＝1＋2＝3，
N在点O的左边时，ON＝BM＝3，
∴点N的坐标为（−3，0），点N在点O的右边时，ON＝BM＝3，
∴点N的坐标为（3，0），
②当ON为对角线时，设N（n，0），M （m， m＋1），
则 ，解得： ，
∴点N的坐标是（7，0），
综上所述，点N的坐标为（−3，0）或（3，0）或（7，0）．
【点拨】本题是对一次函数的综合考查，主要有坐标与图形的性质，全等三角形的判定与
性质，平行四边形的性质，综合性较强，画出图形，分类讨论是解题的关键．
15．（1） ；（2）t=2或t=-6；（3） P（6，6）或（ ， ）
【解析】
【分析】
（1）设直线AB的解析式为 ，先求出C的坐标，然后用待定系数法求出AB的解
析式即可；（2）由题意可得P（t, ），D（t，-t），则 ，由此求解即可；
（3）先求出F的坐标，E点的坐标，根据AE=PF，求解即可．
【详解】
解：（1）设直线AB的解析式为 ，
∵C的横坐标为-2，且C在 上，
∴C（-2，2），
∴ ，
解得
∴直线AB的解析式为： ；
（2）∵动点P的横坐标为t，
∴P（t, ），D（t，-t），
∴ ，
∴
解得t=2或t=-6
（3）由（2）得P（t, ），
∵PF∥x轴，且F在直线y=-x上，
∴点P和F的纵坐标相同，
∴F（ ， ），
∵A，E，F，P四点构成的四边形是平行四边形，
∴AE=PF，
∵E（t，0）∴
解得 或
∴ P（6，6）或（ ， ）．
【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，平行线的性质，绝对值等等，解题的关键
在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16．（1）1或3；（2）∠APD =∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB-∠CDP，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由非负数的性质求出a，b，得到AB的长，结合点C坐标求出平行四边形ABCD的面
积，再根据 的面积等于平行四边形 面积的 ，列出方程，解之即可；
（2）分点P在线段OC上和点P在OC的延长线上，两种情况，过P作PQ∥AB，利用平行
线的性质求解．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴a=-4，b=3，
即A（-4，0），B（3，0），
∴AB=3-（-4）=7，又C（0，4），
∴OC=4，
∴平行四边形ABCD的面积=4×7=28，
由题意可知：PC=2t，则OP= ，
∵ 的面积等于平行四边形 面积的 ，
∴ ，
解得：t=1或t=3，
（2）如图，当点P在线段OC上时，
过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，
∴∠APD=∠DPQ+∠APQ=∠CDP+∠PAB；
当点P在OC的延长线上时，
过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，
∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，
∴∠APD=∠APQ-∠DPQ=∠PAB-∠CDP．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握坐标和图形的关系，
将坐标与线段长进行转化，同时适当添加辅助线，构造平行线．
17．（1） ；（2）存在，点 的坐标为： 或 或
【解析】
【分析】
（1）先解方程可得CD和DE的长，根据直角三角形的性质可得∠DCA＝30°，分别计算
AC、BD、DM的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高OM的长，得D的坐标；
（2）分三种情况：①以CF为边时，在CF的上方，②以CF为边，在CF的下方，③以
CF为对角线时，分别根据平移规律求点P的坐标
【详解】（1） ， ， 或6，
∵ ，∴ ， ，∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ， ， 中， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ；
（2）①∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，∴
∴当 与 重合时，如图1，四边形 是平行四边形，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
中， ， ，
∴ ，∴ ；
②如图2，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，由①知： ，∴ ， 中， ， ，
∴ ，∴ ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，由①知： ，
由 到 的平移规律可得 到 的平移规律，则 ，即 ；
③如图3，四边形 是平行四边形，
同理知： ， ， ，∴ ；
综上所述，点 的坐标为： 或 或 ．
【点拨】本题是四边形和函数的综合题，考查了菱形的性质、坐标与图形特点、平移规律、
等边三边形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，本题有难度，综合性强，特别是
（2）中，需要进行分类讨论，通过求Q的坐标来求P的坐标，根据平移规律得出结果．18．（1）D（ ，3）．（2）2 ．（3）点P的坐标为（3 ，3）或（﹣ ，3）或（
，﹣3）．
【解析】
【分析】
（1）先解方程，求得OA的长，再过点D作DH⊥y轴，根据Rt△ADH中的边角关系，求
得点D的坐标；
（2）先运用SAS判定△DOC≌△BOC，得出CD＝BC，进而判定四边形AOCD是菱形，
并计算菱形的面积；
（3）根据平行四边形的不同位置，分三种情况，得出点P的坐标．
【详解】
解：（1）解方程x2﹣4x+4＝0，得x＝2，
∴OA＝2，
由旋转可得，AD＝BC＝OC＝OA＝2，∠AOC＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝30°，
∴∠CBO＝∠BOC＝∠AOD＝∠ADO＝30°，
过点D作DH⊥y轴于点H，则∠HAD＝60°，∠HDA＝30°，
在Rt△ADH中，AD＝2，
∴AH＝1，HD＝ ，
∴OH＝3，
∴点D的坐标为（ ，3）．
（2）∵∠BOC＝∠AOD＝30°，
∴∠COD＝30°，
在△DOC和△BOC中，
∴△DOC≌△BOC（SAS），
∴CD＝BC，
∴CD＝OC＝OA＝AD，
∴四边形AOCD是菱形，
∴菱形OACD的面积＝AO×DH＝2 ．
（3）存在．连接BD，过O作BD的平行线，过B作OD的平行线，过D作OB的平行线，
交于P、P、P 三点，则四边形PDOB、四边形POBD、四边形PBDO均为平行四边形
1 2 3 1 2 3
由OB＝OD，∠BOD＝60°可知，△OBD是等边三角形，
∴四边形PDOB、四边形POBD、四边形PBDO均为菱形，
1 2 3
∴P、P、P 三点离x轴的距离＝OH＝3，
1 2 3
如图，在Rt△ADH中，HD＝ ，OH＝3，
∴OD＝2 ，
又∵PH＝PD+DH＝2 + ＝3 ，PH＝PD﹣DH＝2 ﹣ ＝ ，
1 1 2 2
∴P（3 ，3），P（﹣ ，3），
1 2
又∵P 与D关于x轴对称，D（ ，3），
3
∴P（ ，﹣3），
3
故点P的坐标为（3 ，3）或（﹣ ，3）或（ ，﹣3）．【点拨】本题属于四边形综合题，考查了几何变换中的旋转，等边三角形的判定和性质，
菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握旋转的性质，解题时需要运用四边相等
的四边形是菱形这一判定方法，并且注意菱形的面积等于底乘高，有时需要根据菱形对角
线的长度求菱形的面积．此外，在判断平行四边形第四个顶点的位置时，需要进行分类讨
论，不能遗漏．
19．（1） ；（2）点 的坐标为 或 ；（3）存在， ， ，
【解析】
【分析】
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求得点C的坐标，再利用待定系数法即可求得
直线 的解析式；
（2）由（1）中求得的解析式，可求得点A的坐标，过点 作 轴，垂足为点 ；
过点 作 轴，垂足为点 ，设点D的坐标为(0，y)，根据面积关系则可得关于y的
方程，解方程即可求得y的值，从而可得点D的坐标；
（3）利用平移的性质分三种情况讨论即可．
【详解】
（1）∵点C在直线 上，且横坐标是1，
∴把 代入 中，得 ，
∴点C的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，将点B，C的坐标代入，得
解得
∴直线 的解析式为 ．
（2）∵点A是直线 与 轴的交点，∴把 代入 中，得 ，
∴点A的坐标为 ．
如图，过点 作 轴，垂足为点 ；过点 作 轴，垂足为点 ．
由点C的坐标为 ，可得 ， ，
设点D的坐标为 ．
依题意，得 ，
即 ．
解得 ，即 ．
∴点 的坐标为 或 ．
（3）存在
①若平行四边形以OA、OC为邻边，则 ∥OA，且 =OA=3
因此把点C(1，2)沿OA方向平移3个长度单位即可得到点
∴点 的坐标为(4，2)
②若平行四边形以OA、AC为邻边，则 ∥OA，且 =OA=3
因此把点C(1，2)沿AO方向平移3个长度单位即可得到点
∴点 的坐标为(－2，2)③若平行四边形以OC、AC为邻边，则 ∥AC，且 =AC
∵C(1，2)，A(3，0)
∴点C(1，2)沿y轴向下平移2个单位长度再向右平移2个单位长度即可得到点A
∴点O沿y轴向下平移2个单位长度再向右平移2个单位长度即可得到点
∴点 的坐标为(2，－2)
综上所述，满足条件的点E的坐标为 ， ， ．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角
形面积，平行四边形的性质，平移变换的性质等知识，涉及分类讨论思想、方程思想、待
定系数法等思想方法．具有一定的难度，是中考常考题型．
20．（1）B（12，4），C（4，4）；（2）y＝t2﹣4t+16（0≤t≤4）；（3）存在，点M的坐
标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）
【解析】
【分析】
（1）作CD⊥OA于点D，则△OCD是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行
四边形的性质求点B的坐标；
（2）过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，根据行程问题中速度、时间与距
离之间的关系，用含t的代数式表示线段EQ、FQ、PC、PB的长，再由S APQ＝S
平行四边形
△
OABC﹣S OAQ﹣S CPQ﹣S APB，将△APQ的面积用含t的代数式表示并进行整理，即得
△ △ △
到y关于t的关系式；
（3）当AP⊥CB时，则PA＝PB＝4，可求出此时t的值，再求出OE、QE的长，以A、P、
Q、M为顶点的平行四边形可以AP、AQ、PQ为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可．
【详解】
解：（1）如图1，作CD⊥OA于点D，则∠ODC＝90°，
∵∠AOC＝45°，
∴∠DOC＝∠DCO＝45°，
∴OD＝CD，
∵OD2+CD2＝OC2，OC＝4 ，
∴2CD2＝（4 ）2，
∴OD＝CD＝4，
∴D（4，0），C（4，4），
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝8，
∴xB＝4+8＝12，
∴B（12，4）.
（2）如图2，过点Q作QE⊥x轴于点E，交BC的延长线于点F，则EF＝4，
∵∠OEQ＝90°，∠AOC＝45°，
∴∠EOQ＝∠EQO＝45°，
∴OE＝QE，∵OE2+QE2＝OQ2，OQ＝ t，
∴2QE2＝（ t）2，
∴OE＝QE＝t，
∴QF＝4﹣t，
∵S APQ＝S OABC﹣S OAQ﹣S CPQ﹣S APB，CP＝2t，BP＝8﹣2t，
平行四边形
△ △ △ △
∴y＝8×4﹣ ×8t﹣ ×2t（4﹣t）﹣ ×4（8﹣2t），
∴y＝t2﹣4t+16（0≤t≤4）．
（3）如图3，当AP⊥CB时，则PA＝4，∠OAP＝∠APB＝90°，
∵∠ABC＝∠AOC＝45°，
∴∠PBA＝∠PAB＝45°，
∴PB＝PA＝4，
∴2t＝8﹣4，
解得，t＝2，
当平行四边形APQM 以AQ为对角线，设QM 交x轴于点E，
1 1
∵QM ∥PA，
1
∴∠OEQ＝∠OAP＝90°，
∴OE＝QE＝t＝1×2＝2，
∵QM ＝PA＝4，
1
∴EM＝4﹣2＝2，
1
∴M（2，﹣2）；
1
当平行四边形PAQM 以PQ为对角线，则QM ∥PA，QM ＝PA＝4，
2 2 2
∴EM＝2+4＝6，
2
∴M（2，6）；
2
当平行四边形AQPM 以AP为对角线，作MG⊥CB交CB的延长线于点G，
3 3
∵PM∥AQ，
3
∴∠APM＝∠PAQ，
3
∴∠APB﹣∠APM＝∠OAP﹣∠PAQ，
3
∴∠GPM＝∠EAQ，
3
∵∠G＝∠AEQ＝90°，PM＝AQ，
3∴△PGM≌△AEQ（AAS），
3
∴PG＝AE＝8﹣2＝6，GM ＝QE＝2，
3
∵xP＝12﹣4＝8，
∴xG＝8+6＝14，
∴M（14，2），
3
综上所述，点M的坐标为（2，﹣2）或（2，6）或（14，2）．
【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系与平行四边形综合，准确计算是解题的关键．
21．（1）C（4，0），y＝﹣ x+5；（2）M ；（3）存在，满足条件的点D的坐标
为（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B的坐标，然后根据三角形的面积求出C，设直线BC的表达式为y＝
kx+b，将B、C的坐标代入求解即可；
（2）根据S ACM＝S ABC﹣S ABM＝S ABC﹣S ABO求解即可；
△ △ △ △ △
（3）设直线AM的表达式为 ，，求出AM的解析式，然后分三种情况：①当BC
为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时；②当BC为平行四边形的边，四边形
BDEC为平行四边形时；③当BC为平行四边形的对角线时，讨论求解即可.
【详解】
解：（1）直线y＝ x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（﹣2，0），B（0，5），
即OA＝2，OB＝5，
∵△ABC面积为15，∴ （OA+OC）•OB＝15，
∴OC＝4，
∴C（4，0），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：
解得：
∴直线BC的表达式为：y＝﹣ x+5；
（2）∵S ACM＝S ABC﹣S ABM＝S ABC﹣S ABO＝15﹣ ×2×5＝10，
△ △ △ △ △
∴S ACM＝ ×6×ym＝10，解得：ym＝ ，
△
∴
解得：xm＝ ，
∴M（ ， ）；
（3）∵A（﹣2，0），M（ ， ），
设直线AM的表达式为 ，
将点A、M的坐标代入一次函数表达式得： ，
解得：
∴直线AM的表达式为：y＝x+2．
①当BC为平行四边形的边，四边形BCDE为平行四边形时，如图：∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（7，0）；
②当BC为平行四边形的边，四边形BDEC为平行四边形时，如图：过点E作EF⊥x轴于
F，
∵四边形BDEC为平行四边形，
∴BC＝ED，∠DBC＝∠CED，BD＝EC，
∴△BDC≌△ECD（SAS），
∴EF＝OB，
∵B（0，5），∴EF＝OB＝5，
∴点E的纵坐标是﹣5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝﹣5，解得：x＝﹣7，
∴OF＝7，
在Rt△BOC和Rt△EFD中，
∴Rt△BOC≌Rt△EFD（HL），
∴DF＝OC，
∵C（4，0），
∴DF＝4，
∴OD＝4+7＝11，
∴D（﹣11，0）；
③当BC为平行四边形的对角线时，
∵B（0，5），BE∥CD，BE＝CD，
∴点E的纵坐标是5，
∵点E为直线AM上一动点，直线AM的表达式为：y＝x+2．
∴x+2＝5，解得：x＝3，
∴E （3，5），
∴BE＝CD＝3，
∵C（4，0），
∴D（1，0）．
综上，存在，满足条件的点D的坐标为（7，0）或（﹣11，0）或（1，0）．【点拨】本题主要考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形
的性质与判定，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解.
22．（1）y＝x；（2）（4，2）或（0，﹣2）或（0，2）；（3）见解析．
【解析】
【分析】
（1）由 ，设 的坐标为 ，代入直线求出 ，写出直线 即可；
（2）由 、 求出 的坐标为 ，再分四边形为平行四边形 或平
行四边形 或平行四边形 讨论，根据平行四边形性质两组对边分别平行且相等
求出 的坐标即可；
（3）由 ，得 ，由四边形 是菱形，得 ，证出
，得 ，再 ，得 ，再设
，得 ， ，即 ，结合四边形内
角和为 得 ，得 ，再用勾股定理得 ，得
，再由 ，得 ，故
．
【详解】
解：（1） ，
设 的坐标为 且 ，
将 代入直线 ，
得： ，
，
故答案为： ；
（2）存在，理由：
，
，
，
的坐标为 ，①若四边形为平行四边形 ，
， ，
的坐标为 ，
②若四边形为平行四边形 ，
， ，
的坐标为 ，
③若四边形为平行四边形 ，
， ，
的坐标为 ，
综上， 的坐标为 或 或 ；
（3）证明：如图，过点 作 ，
， ，
，
四边形 是菱形，
， ，
在 与 中，
，
，
， ，
在 与 中，
，
，，
设 ，
，
， ，
，
四边形 的内角和为 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得： ，
，
，
，
，
设 的坐标为 ， ，
将 代入直线 ，
得： ，
，
，
．
【点拨】本题是一次函数综合题，考查了一次函数待定系数法，勾股定理，全等的判定与
性质，平行四边形的性质，菱形的性质，角平分线的性质，直角三角形 所对的边等于
斜边的一半，四边形的内角和，根据平行四边形边的性质分类讨论是（2）小问的关键，利用角平分线性质证全等作为突破口是（3）小问关键．
23．（1）A（-8，0），B（0，6）；（2）3；（3）（-2，2）或E（-6，-6）；（4）
或 或
【解析】
【分析】
（1）在直线 中，分别令x=0，y=0，可得A，B坐标；
（2）由翻折不变性可知， ， ， ，在 中，
，利用 ，即可求解；
（3）证明 ，则 ， ，即可求解；
（4）分 是边、 是对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）对于直线 ，令 ，得到 ，
，
令 ，得到 ，
．
． ；
（2）由（1）可得： ． ，
， ，
，
，
由翻折不变性可知， ， ， ，
，设 ，
在 中， ，
，
，
解得 ，
；（3）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 、 ，
过点 作 轴的平行线交过点 与 轴的平行线于点 ，
交过点 与 轴的平行线于点 ，
为等腰直角三角形，故 ，
， ，
，
， ，
，
， ，
即 ， ，
解得： ， ，
故点 的坐标为 、点 ；
由于 、 的位置可能互换，故点 的坐标为 、点 ；
综上，点 的坐标为 或 ；
（4）点 是 的中点，则点 ，而点 ，
设点 ，点 ，
①当 是边时，
点 向右平移1个单位向下平移3个单位得到点 ，
同样点 右平移1个单位向下平移3个单位得到点 ，故 且 或 且 ，
解得： 或 ，
故点 的坐标为 或 ；
②当 是对角线时，
由中点公式得： 且 ，
解得： ，故点 的坐标为 ；
综上，点 的坐标为： 或 或 ．
【点拨】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、
三角形全等等，其中（4），解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏．
24．（1）A（6，0），C（2，2）；（2）① t=2或6；②（ ， ）；（3）
或 或 或
【解析】
【分析】
（1）根据A是一次函数 与x轴的交点令y=0得到x=6，联立一次函数和正比例
函数的解析式，从而可得A、C点的坐标；
（2）①根据绝对值方程即可解决问题；②四边形CMEN是平行四边形则CM∥EN，
CN∥ME，即可得到 ， ，设直线ME的解析式为 ，直线
EN的解析式为 ，求出 ， ，然后联立 和 即可求解；
（3）根据菱形的性质，分OC为菱形的边和对角线进行讨论求解即可得到答案.
【详解】
解：（1）对于直线 ，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6，
∴A（6，0），B（0，3）．联立 ，
解得 ，
∴C（2，2），
（2）①设M（6-t，- （6-t）+3），N（6-t，6-t），
∴MN=|- （6-t）+3-（6-t）|=| t-6|，
∵OA=2MN，
∴6=2| t-6|，
解得t=2或6；
②∵四边形CMEN是平行四边形
∴CM∥EN，CN∥ME，
∴ ， ，
设直线ME的解析式为 ，直线EN的解析式为
把M（6-t，- （6-t）+3）代入 中 ，
∴ ，
把N（6-t，6-t）代入 中 ，
∴
∴直线ME的解析式为 ，直线EN的解析式为解得：
∴E的坐标为（ ， ）；
（3）∵C（2，2），
∴
当OC为菱形的边时，可得 （ ，0）， （ ，0）， （ ，0），
当OC为菱形的对角线时，可得 （2，0），
∴ 或 或 或 时以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形.
【点拨】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，平行四边形的性质，菱形的性质
与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．（1）0，4；（2）y＝2x；（3）存在，点M的坐标为（1，0）或（﹣1，0）或（﹣
5，0）
【解析】
【分析】
（1）设点A的坐标为(0，y)，AB=BC，由勾股定理列方程，即可求解；
（2）直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，可知OD是Rt△AOC的中线，则可求得
的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形的平移和中点公式分别求解即可．
【详解】
（1）设点A的坐标为(0，y)，AB=BC，
则(0+3)2+y2=(2+3）2，解得 ，
的坐标为 ，
故答案为：0，4；
（2） 直线OD将△AOC分成面积相等的两部分，
OD是Rt△AOC的中线，
为 的中点，
， ，
，即 ，
设直线 的表达式为 ，
将 代入求得 ，
直线 的表达式为 ，
（3） 点P是直线OD上一点，点M在x轴上，
设 ， ，
①当 是边时，点 向右平移4个单位，向上平移3个单位得到 ，
将 按如此方式平移可得 ，
即 或 ，
解得 或 ，
，
②当 是对角线时，由中点公式可得，
，
解得 ，
．
综上所述，点 的坐标为： ， ， ．【点拨】本题考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、中点公式的运用
等，分类讨论是解题的关键．
26．（1） ；（2） ；（3）存在，点 的坐标为 ， ，
【解析】
【分析】
（1）根据A（0，2）、C（2 ，0）直接用待定系数法求解析式即可；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，根据 ，得 进而求的
，根据含30度直角三角形的性质可得 ,勾股定理可得 ，进而求得 ，即可
求得点 的坐标；
（3）分 为平行四边形时， 为平行四边形时， 为平行四边形时三种情
况写出点P的坐标即可．
【详解】
（1）设直线 的解析式为 ，
将点A（0，2）、C（2 ，0）代入得：
，解得： ，
直线 的解析式为 ．
（2）如图，过点 作 轴于点 ，
∠OCA＝30°，
，
翻折，
， ，
，
，
，
在 中，
，
，
．
（3）存在点P，使得以C、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形，
如图所示，分三种情况考虑：①当 为对角线时， 为平行四边形时， ，
的纵坐标为 ，横坐标为 ，
，
②当 为对角线时， 为平行四边形时， ，
的纵坐标为 ，横坐标为 ，
，
③当 为对角线时， 为平行四边形时，
A（0，2）、C（2 ，0）,
， ，
，
四边形 为菱形，
菱形为轴对称图形， 为对角线时，点P 关于OC的对称点为点D，
3
P ，
3
综上所述，点 的坐标为 ， ， ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠问题，勾股定理，矩形的性质，
含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质，综合运用以上知识点是
解题的关键．
27．（1） ， ， ， ；（2）存在， 或 ；（3）见解
析
【解析】
【分析】
（1）由非负数的性质得出 ，且 ，求出 ， ，得出 ，
，由平移的性质得 ， ；
（2）设 ，由（1）由（1）得： ， ，∴ ，进而
可得关于x的方程，即可得出答案；
（3）由平移的性质得 ，由平行线的性质得出 ，证出
，即可得出结论．
【详解】
（1）解：∵m，n满足 ，
∴ ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由平移的性质得： ， ；（2）解：存在，理由如下：
设 ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点P的坐标为 或 ；
（3）证明：由平移的性质得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平移的性质、坐标与图形性质、平行四边形的面积、三角形面积等知
识；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
28．（1）点D的坐标为（1，2）；（2）存在，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（
， ）；（3）点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）
【解析】
【分析】
（1）设点C的坐标为（m，2），根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求
解即可得到m的值，再根据矩形的长求出OA，然后写出点D的坐标即可．（2）根据直线解析式求出△EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得
∠CEB＝∠ECB＝45°，再根据平行线的性质可得∠DCE＝∠CEB＝45°，然后判断出△PDC
只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①∠D＝90°时，根据点P的横坐标与
点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与
直线y＝x﹣2的交点即为点P，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解．
2
（3）根据平行四边形对边平行且相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上，求出OM
的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中心的坐标，再求出
点E关于中心的对称点，即为点M．
【详解】
（1）设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y＝x﹣2上，
∴2＝m﹣2，
∴m＝4，
即点C的坐标为（4，2），OB=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝2，
∴OA=OB-AB=4-3=1，
∴点D的坐标为（1，2）．
（2）存在．
在y＝x﹣2中，令y=0，得x=2，即OE=2
∴BE=OB-OE=2
∴BE=BC
∴△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB＝∠ECB＝45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE＝∠CEB＝45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D＝90°时，延长DA与直线y＝x﹣2交于点P，
1
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P 的横坐标为1，
1
把x＝1代入y＝x﹣2得，y＝﹣1，∴点P（1，﹣1）；
1
②当∠DPC＝90°时，作DC的垂直平分线与直线y＝x﹣2的交点即为点P，
2
所以，点P 的横坐标为 ，
2
把x＝ 代入y＝x﹣2得，y＝ ，
所以，点P（ ， ），
2
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）或（ ， ）．
（3）当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴OE＝2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM＝CD＝3，
∴OM＝EM﹣OE＝3﹣2＝1，
此时，点M的坐标为（﹣1，0），
若CE是对角线，则EM＝CD＝3，
OM＝OE+EM＝2+3＝5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（ ，2），
设点M的坐标为（x，y），
则 ＝ ， ＝2，
解得x＝3，y＝4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，0）或（3，4）．【点拨】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性
质 ，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟悉各性质是解题的关键，难点在于
（2）（3）分类讨论．
29．（1） ；（2） ；（3）存在，点 的坐标为 或
或 ．
【解析】
【分析】
（1）分别求出两个函数 时， 的值，由此即可得出答案；
（2）先求出点 的坐标，从而可得 的面积，再利用 的面积与 、
面积之间的关系即可得；
（3）先根据（2）的结论求出点 的坐标，再分①四边形 是平行四边形；②四边形
是平行四边形；③四边形 是平行四边形三种情况，利用平行四边形的对角线
性质求解即可得．
【详解】
解：（1）对于函数 ，
当 时， ，即 ，
对于函数 ，
当 时， ，即 ；
（2） ，
，联立 ，解得 ，即 ，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点 在线段 上，即 时，
，
，
②如图，当点 在射线 上，且位于点 右侧，即 时，
，
，
综上， ；
（3）当 时， ，解得 ，
对于函数 ，当 时， ，即 ，
设点 的坐标为 ，
由题意，分以下三种情况：
①当四边形 是平行四边形时，则对角线 与 互相平分，
因此有 ，解得 ，
即此时点 的坐标为 ；
②当四边形 是平行四边形时，则对角线 与 互相平分，
因此有 ，解得 ，
即此时点 的坐标为 ；
③当四边形 是平行四边形时，则对角线 与 互相平分，
因此有 ，解得 ，
即此时点 的坐标为 ；
综上，存在点 ，使以 为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 或
或 ．
【点拨】本题考查了一次函数的几何应用、平行四边形的性质等知识点，较难的是题
（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
30．（1） ；（2） ， ；（3） ， 或 ，或 ，
【解析】
【分析】
（1）由旋转可知 ， ， ， ，过 点作
轴于 点，求出 ， ，再由待定系数法求直线 的解析式 ；
（2）设 ，已知可知 、 为平行四边形的对角线，根据中点坐标公式可求
， ；
（3）设 ， ， ，分三种情况讨论：①当 、 为平行四边形的
对角线时， ， ；②当 、 为平行四边形的对角线时， ， ；
③当 、 为平行四边形的对角线时， ， ．
【详解】
解：（1） 轴绕点 顺时针旋转 交 轴于点 ，
，
点 ，
，
， ，
，
点 绕点 顺时针旋转 得到点 ，
， ，
过 点作 轴于 点，，
， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
则有 ，
解得 ，
；
（2）设 ，
四边形 为平行四边形，
、 为平行四边形的对角线，
的中点 ， ， 的中点 ， ，
， ，
， ，
， ；
（3） 在直线 上， 在 轴上，
设 ， ， ，
①当 、 为平行四边形的对角线时，中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ，
，
，
， ；
②当 、 为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ，
，
，
， ；
③当 、 为平行四边形的对角线时，
中点的横坐标为 ， 中点的横坐标为 ，
，
，
， ；
综上所述：点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ．
【点拨】本题考查一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法、灵活应用
平行四边形的性质、并能根据对角线的情况分类讨论是解题的关键．
31．（1）y＝ x+ ；（2）△AOB的面积为 ；（3）存在， M的坐标为（ ，3）或
（﹣ ，3）或（﹣ ，﹣3）．
【解析】【分析】
（1）利用待定系数法即可求解一次函数解析式；
（2）令x＝0可求得OD的长，继而可求得S BOD和S AOD的面积，所以△AOB的面积
△ △
S AOB＝S BOD+S AOD；
△ △ △
（3）分情况讨论求解即可：平行四边形MCOB①以OB、CM为对角线；②以BC、OM为
对角线；③以BM、CO为对角线．
【详解】
解：（1）将A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得：
，
解得 ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）在 中，令x＝0得 ，
∴OD＝ ，
∴S BOD＝ OD•|xB|＝ × ×1＝ ，
△
S AOD＝ OD•|xA|＝ × ×2＝ ，
△
∴△AOB的面积S AOB＝S BOD+S AOD＝ ；
△ △ △
（3）存在，理由如下：
在 中，令y＝0得 ，
∴C（ ，0），
设M（m，n），而B（1，3），O（0，0），
①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：∴ ，
解得： ，
∴M（ ，3）；
②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：
∴ ，
解得 ，
∴M（ ，3）；
③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：∴ ，
解得 ，
∴M（ ，﹣3）；
综上所述，M的坐标为：M（ ，3）或M（ ，3）或M（ ，﹣3）．
【点拨】本题考查一次函数的综合运用，涉及到待定系数法求解析式、平行四边形的性质、
三角形的面积，解题的关键是根据平行四边形对角线互相垂直平分，列出关于m、n的方
程组求解．
