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第9讲 函数模型及其应用
复习要点 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直
线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对
数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
一 常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
数模型
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
a
幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)
二 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质
y＝ax y＝log x y＝xn
a
函数
(a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现 随n值变化而各有不
图象的变化
为与 y 轴 平行 为与 x 轴 平行 同
值的比较 存在一个x，当x>x 时，有log x1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)
和y＝log x(a>1)的增长速度．(√)
a
2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log x
2
解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代
入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log x，可知满足题意．故选D.
2
答案：D
3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在
乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地
所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
解析：根据题意，甲、乙两地的距离为 a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了
20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，那么可知先是
匀速运动，图象为直线，然后再休息，路程不变，时间持续 10分钟，最后还是匀速运动，
图象为直线．故选D.
答案：D
4．(2024·广东湛江模拟)2022年4月16日，神舟十三号3名航天员告别了工作生活
183天的中国空间站，安全返回地球．中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv＝vln ，其中Δv为火箭的速度增量，v 为喷
e e
流相对于火箭的速度，m 和m 分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人
0 1
类设计的某火箭v 达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量Δv增加的百分比约为
e
(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)( )
A．15% B．30%
C．35% D．39%
解析：由题意，当＝100时，速度的增量为Δv ＝5ln 100；当＝600时，速度的增量为
1
Δv＝5ln 600＝5ln 100＋5ln 6，所以＝＝＝≈39%.故选D.
2
答案：D
题型 用函数图象刻画实际问题
典例1(2024·河南驻马店模拟)有一个盛水的容器，由悬在它的上方的一条水
管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示，
若图中PQ为一条线段，则与之对应的容器的形状是( )
从O→P，水面上升的速率逐渐加快，说明下粗，上细，P→Q，匀速增加，说明粗细
均匀．
选项C的高度y和时间t的变化应如下图：
你能画出选项A和D的大致情形吗？
解析：由函数图象可判断出该容器上下必定有不同的形状，且函数图象的变化先慢后
快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端
必是直的一段，故排除A，C，D，故选B.
用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如
单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相结合即可．
对点练1如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T，若鱼缸水深为h时，水流出所用的时间为
t，则函数h＝f(t)的图象大致是( )
解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；一开始，h＝H，h随着时间的变
化，减少程度逐渐变慢，而当水排出超过一半时，h随着时间的变化，减少程度逐渐加快，
故对应的图象为B.故选B.
答案：B
题型 函数模型在实际问题中的运用
典例2(2024·山东济南一中月考)随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，
信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越
来越成熟．其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：L＝32.44＋20lg D＋
20lg F，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损耗(亦
称衰减)，单位为dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18 dB，则传输距离增加了约
(参考数据：lg 2≈0.3，lg 4≈0.6)( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
解析：设L′是变化后的传输损耗，F′是变化后的载波频率，D′是变化后的传输距离，
则 L ′ ＝ L ＋ 18 ， F ′ ＝ 2 F , 18 ＝ L ′ － L ＝20lg D′＋20lg F′－20lg D
恰当的符号表达，是解题的倍增器，把条件转化为两组变量的方程，从中求解．
－20lg F＝20lg ＋20lg ，则20lg ＝18－20lg 2≈12，即lg ≈0.6≈lg 4，从而D′≈4D，即
传输距离增加了约3倍．故选C.
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
对点练2(2024·四川成都石室中学模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，
加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之
间的关系为M＝Me－kt(其中M 为初始污染物含量，且M ，k是正常数)．已知经过1 h，设
0 0 0
备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物需要的时间最接近(参考数据：lg
2≈0.301)( )
A．3 h B．4 h
C．5 h D．6 h
解析：由题意可知(1－20%)M＝Me－k，所以e－k＝0.8.
0 0
令(1－60%)M＝Me－kt，则0.4＝e－kt＝(e－k)t＝(0.8)t，
0 0
所以t＝log 0.4＝＝＝＝＝≈＝≈4.103，最接近4 h．故选B.
0.8
答案：B
题型 函数模型解决实际问题的多维研讨
维度1 构建二次函数模型
典例3(2024·河北张家口模拟)新能源汽车环保、节能，以电代油，减少碳排
放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到 2025年中国
的汽车总销量将达到3 500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．江苏某新
能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13 500元，到第x年年末(x∈N*)每台设
备的累计维修保养费用为(300x2＋3 200x)元，每台充电桩每年可给公司收益 8 000元．
(≈4.36)
(1)每台充电桩第几年年末开始获利；
(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大．
解：(1)设每台充电桩在第x年年末的利润为f(x)元，
则f(x)＝8 000x－(300x2＋3 200x)－13 500＝－300x2＋4 800x－13 500，
令 f ( x )>0 ，解得 8 － < x <8 ＋，
此表达式，回答了“第几年年末开始获利”，语言表达→代数表达，估算求整数解．
又≈4.36，∴3.64g(6)，
∴每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大．
二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实
际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对
称轴与给定区间(闭区间)的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离
对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取
得．
对点练3(2024·福建厦门外国语中学月考)双十一期间，某商户为揽客，拟定商品按
y(单位：元/千克)销售，售价随时间x(x∈[0,1])变化的关系为y＝f(x)，且f(x)在[0,1]上是严格
单调递减函数．
(1)姚女士需要在x＝0和x＝1两个时刻分两批囤商品，两次总共囤5千克．得知了商
家的销售方案后，姚女士咨询了两位平台主播，主播小佳表示应该每次买相同质量的商品
主播小琦认为每次买相同总价的商品．请问到底哪种方式更划算？说明理由．
(2)商家决定按照f(x)＝－x＋1的售价来销售，而姚女士考虑在x时刻买200元的商品，
在1－x时刻买300元的商品，请问她至多能买多少千克？(答案精确到1千克)
解：(1)设在x＝0时价格为a元/千克，在x＝1时价格为b元/千克．
按照主播小佳的方式购买，需花费a＋b＝；
按照主播小琦的方式购买，需花费2×＝.
因为－＝＝，且a>b，
所以－>0，即>，所以>，
即按照主播小琦的方式购买更省钱，即主播小琦的方式更划算．
(2)由题意可知，姚女士可买＋＝(千克)，
＋＝200×＝200×＝，其中x－8∈[－8，－7]，令x－8＝t，则t∈[－8，－7]．
令u＝t＋＋15，t∈[－8，－7]，易得该函数在[－8，－]上单调递增，在[－，－7]上单
调递减，
当t＝－8时，u＝，当t＝－7时，u＝.
因为<，所以u的最小值在t＝－8时取到，所以＋的最大值在x－8＝－8，即x＝0时取到，此时＋＝800(千克)．
故姚女士至多能买800千克．
维度2 构建指、对数函数模型
典例4(2024·河南开封高级中学模拟)在倡导“节能环保”“低碳生活”的今
天，新能源逐渐被人们接受，新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的
发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用模型y＝进行估计，其中y(单位：万辆)
为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，y 为初始值(初始值对应第0
0
年底的新能源汽车的保有量)．若该省 2021 年底的新能源汽车的保有量为 20 万辆，以此为
初始值，以后每年的增长率为 12% ，饱和量为 1 300 万辆，那么 2031 年底该省新能源汽车
的保有量约为(注：在情境复杂的题设中标出关键信息，构建问题情境，如本题中，2021年
底的汽车的保有量就是模型中的y 12%就是模型中的r,1 300就是模型中的M，要求的是
0,
2031年底对应的y，也就是t＝10时的y，一一对应代入即可求解．
ln 0.887≈－0.12，ln 0.30≈－1.2)( )
A．62万辆 B．63万辆
C．64万辆 D．65万辆
解析：根据题中所给模型，代入有关数据，注意以 2021年的为初始值，所以2031年
底该省新能源汽车的保有量为y＝＝.因为 ln 0.30≈ － 1.2 ，所以 e － 1.2 ≈0.30 ，
指对互化的运用．
所以y＝≈≈64(万辆)．故选C.
指数(对数)函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，
在两类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、
银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型．对数函数模型(底数大于1)是增长速
度越来越慢的一类函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析
式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
对点练4(2024·北京门头沟区检测)在声学中，音量模型被定义为L ＝20lg ，其中L 是
p p
音量(单位：dB)，p 是基准声压，为2×10－5 Pa，p是实际声压．人耳能听到的最小音量称
0
为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图
所示，其中240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB,1 000 Hz对应的听觉下限阈值为0 dB.则下
列结论正确的是( )
A．音量同为20 dB的声音，30～100 Hz的低频比1 000～10 000 Hz的高频更容易被人们听到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002 Pa
D．240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值的实际声压的10倍
解析：对于A,30～100 Hz的低频对应图象的听觉下限阈值高于 20 dB,1 000～10 000
Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20 dB，所以对比可知高频更容易被听到，故A错误；
对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；
对于C,240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB，p ＝2×10－5 Pa，令20lg ＝20，此时p＝
0
10p＝0.000 2 Pa，故C错误；
0
对于D,1 000 Hz的听觉下限阈值为0 dB，令20lg ＝0, 此时p＝p ，所以240 Hz的听
0
觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值的实际声压的10倍，故D正确．故选
D.
答案：D
维度3 构建分段函数模型
典例5(2024·河北石家庄一中检测)2022年10月16日，中国共产党第二十次
全国代表大会的报告中，提出了“把我国建设成为世界科技强国”的发展目标．国内某企
业为响应这一号召，计划在2023年引进新技术，生产新手机，通过市场分析，生产此款手
机全年需投入固定成本250万元，每生产x千部手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝
已知每部手机的售价为0.7万元，假设全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1)试写出2023年利润L(万元) 关于年产量 x ( 千部 ) 的函数解析式 ；
这里有单位的调整！x千部转化为1 000x部．
(2)当2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
解：(1)根据题意可得当08 750，所以当2023年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润
是9 000万元．
1．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，
将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点
值．
2．构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏.对点练5每年三月中旬至四月上旬是最佳的赏花时期，某公园的赏花园区投资了30万
元种植鲜花供市民游赏，这些鲜花的花期为30天．园区从3月1号至30号开放，每天的
旅游人数f(x)(单位：千人)与第x天的关系近似地满足f(x)＝8＋，游客人均消费g(x)(单位：
元)与第x天的关系近似地满足g(x)＝143－|x－22|,1≤x≤30且x∈N*.
(1)求该园区第x天的旅游收入p(x)(单位：千元)的函数解析式；
(2)记(1)中p(x)的最小值为m，若最终总利润为0.3m，问该园区能否收回投资成本？
解：(1)p(x)＝f(x)·g(x)＝(143－|x－22|)＝
x∈N*.
(2)当1≤x≤22且x∈N*时，p(x)＝8x＋＋976≥2＋976＝1 152，当且仅当8x＝，即x＝11
时取等号，此时p(x)的最小值为1 152千元；
当23≤x≤30且x∈N*时，p(x)＝－8x＋＋1 312为单调递减函数，所以当x＝30时p(x)取
到最小值，最小值为1 116千元．
综上，p(x)的最小值m＝1 116千元，因此0.3m＝334.8千元＝33.48万元>30万元，能
收回投资成本．
