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第8讲 函数与方程
复习要点 1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函
数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似
解的步骤．
一 函数零点
1．定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把满足 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零
点．
2．三个等价关系
3．函数零点的判定(零点存在定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 f ( a ) f ( b )<0 ，那
么函数y＝f(x)在区间 ( a ， b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个c 也
就是方程f(x)＝0的根．
4．函数零点的性质
(1)若函数f(x)的图象在x＝x 处与x轴相切，则零点x 通常称为不变号零点；
0 0
(2)若函数f(x)的图象在x＝x 处与x轴相交，则零点x 通常称为变号零点．
0 0
5．求函数y＝f(x)的零点的方法
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根(常用公式法、因式分解法或直接求解法等)；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并
利用函数的性质找出零点；
(3)二分法：主要用于求函数零点的近似值，所求零点都是指变号零点．
二 二分法
1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)
的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值
的方法叫做二分法．
2．给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x 的近似值的步骤
0
(1)确定零点x 的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
0
(2)求区间(a，b)的中点x.
1
(3)计算f(x)．
1
①若f(x)＝0，则x 就是函数的零点．
1 1
②若f(a)·f(x)<0，则令b＝x(此时零点x∈(a，x))．
1 1 0 1③若f(x)·f(b)<0，则令a＝x(此时零点x∈(x，b))．
1 1 0 1
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
三 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
与x轴的交点 ( x 0) ， ( x 0) ( x 0)( 或 ( x 0)) 无交点
1, 2, 1, 2,
零点 x ， x x ( 或 x ) 无
1 2 1 2
常/用/结/论
1．有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点；
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说，
零点有与x轴相切的零点．
2．f(a)f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．判断下列结论是否正确．
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.()
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．()
(4)函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)．()
2．(2024·天津南开中学模拟)函数y＝ln x－的零点所在的大致区间是( )
A. B．(1,2)
C．(2，e) D．(e，＋∞)
解析：y＝f(x)＝ln x－的定义域为(0，＋∞)，因为y＝ln x与y＝－在(0，＋∞)上单调
递增，所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝ln 1－2＝－2<0，f(2)＝ln 2－
1<0，f(e)＝ln e－＝1－>0，所以f(2)f(e)<0，所以f(x)在(2，e)上存在唯一的零点．故选C.
答案：C
3．函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数为________．
解析：方法一：令f(x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，即ln x＝3－x2，故原函数的零
点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个
函数的大致图象(如图)．由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，故函数f(x)＝ln x＋x2－3只
有一个零点．
方法二：∵f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，∴f(1)f(2)<0，又
f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1,2]上是不间断的，∴f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的零点有且只有一个．
答案：1
4．已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
解析：由题意得或解得x＝－2或x＝e.
答案：－2，e
题型 零点所在区间的判断
典例1(1)(2024·广东广州模拟)函数 f ( x ) ＝ x － lg － 2 的零点所在区间为
此类问题，必须先判断单调性，x和－lg 这两个函数都是增函数，则知f(x)单调递增，
验证选项中区间端点的符号．( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
(2)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：(1)方法一：令f(x)＝x－lg －2＝0，
可得lg x＝2－x.令g(x)＝lg x，h(x)＝2－x，
在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)，h(x)的图象，如图所示，图象法判断零点很直观．
可知g(x)与h(x)图象的交点的横坐标在区间(1,2)内，从而函数f(x)的零点所在区间为
(1,2)．
方法二：∵f(x) ＝x－lg －2，
∴f(1)＝1－lg 1－2＝－1<0，
f (2) ＝ 2 － lg － 2 ＝ lg 2>0 ，
本例中的端点值容易计算，而遇到其他函数时，常需要估算，如f(x)＝x＋ln x－5的
零点．
∴f(1)f(2)<0.又f(x)＝x－lg －2＝x＋lg x－2在(0，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)的零点所在区间为(1,2)．故选B.
(2)方法一(图象法)：令f(x)＝0，得x＝ln x．作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
方法二(函数零点存在定理法)：当x∈时，函数图象是连续的， 且 f ′( x ) ＝－＝ <0 ，
从导数方法可知f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增. 以此为基础思考零点
问题．
所以函数f(x)在上单调递减．又f＝＋1>0，f(1)＝>0，f(e)＝e－1<0，所以函数在区间内
无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D.
判断函数零点所在区间的常用方法
(1)定义法：利用函数零点存在定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连
续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点
来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
对点练1(1)(2024·山西临汾模拟)函数f(x)＝log x－的零点所在的区间是( )
8
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝log x＋x－b(a>0，且 a≠1)．当 20，∴f(1)·f(2)<0，又知函数 f(x)＝
8
log x－在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，且零点所在的区
8
间是(1,2)，故选B.
(2)对于函数y＝log x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，如图，在同一平
a
面直角坐标系中画出函数y＝log x，y＝－x＋b的图象，由图可知两个函数图象的交点的横
a
坐标在(2,3)内，所以n＝2.答案：(1)B (2)2
题型 二分法
典例2(1)如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出的下列
四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )
可用二分法求出的应是穿过x轴的零点. 与x轴相切的零点，则不适用二分法．
A．[－2.1，－1] B．[4.1,5]
C．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，
则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：(1)结合图象可得A，B，D选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分
法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点．故选C.
(2)取区间(1,2)的中点x＝，令f(x)＝x3－2x－1，则 f ＝－ 4<0 ， f (2) ＝ 8 － 4 － 1>0 ，
1
判断两端点异号才行．
则根所在区间为.故答案为.
二分法流程
(1)确定零点初始区间．
(2)计算中点函数值，判断正负．
(3)根据精确度要求，继续缩小区间，确定新的零点范围．
对点练2人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，高次代数方程的一种数
值解法为牛顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．例如求方程 2x3＋3x2＋x
＋1＝0的近似解，先用函数零点存在定理，令f(x)＝2x3＋3x2＋x＋1，f(－2)＝－5<0，f(－
1)＝1>0，得(－2，－1)上存在零点，取x ＝－1，牛顿用公式x ＝x －(其中f′(x )不为0)
0 n n－1 n－1
反复迭代，以x 作为f(x)＝0的近似解，迭代两次后计算得到的近似解为________；以(－
n
2，－1)为初始区间，用二分法计算两次后，以最后一个区间的中点值作为方程的近似解，
则近似解为________．
解析：已知f(x)＝2x3＋3x2＋x＋1，则f′(x)＝6x2＋6x＋1.迭代1次后，x＝－1－＝－1－＝－2；
1
迭代2次后，x＝－2－＝－2－＝－.
2
用二分法计算第1次，区间(－2，－1)的中点为－，f＝－<0，f(－1)＝1＞0，所以
f·f(－1)<0，所以近似解在区间上；
用二分法计算第2次，区间的中点为－，f＝，f·f<0，所以近似解在区间上，取其中点
值－，所以所求近似解为－.
答案：－ －
题型 函数零点个数的探究
典例3(1)函数y＝x3－x的零点的个数为________．
(2)(2024·陕西高新一中模拟)函数y＝f(x)(x∈R)满足 f ( x ＋ 1) ＝－ f ( x ) ，且
若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2a，代入a＝1，周期性立马浮出水面．
当x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2.已知函数g(x)＝则函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 在区间 [ － 6,6] 内的
零点个数为________．
数形结合法求零点个数．
解析：(1)根据题意，令x3－x＝0，则x3＝x，在同一平面直角坐标系内作出函数 y ＝x3
1
与y ＝x的图象，由图可知y ＝x3与y ＝x的图象只有一个交点，即方程x3＝x只有一个解，
2 1 2
故函数y＝x3－x的零点的个数为1.故答案为1.
图象法固然直观，而单调性法更可靠．x3和－x两函数都单调递增，在区间(0,1)之间必
有一个零点．
(2)函数y＝f(x)的定义域为R，因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数．
易知函数 g(x)在(－∞，0)上单调递增，且 00，所以函数
f(x)在(0,1)上单调递增，又f＝ln ＋cos －＝－1－＋cos <0，f(1)＝ln 1＋cos 1－＝0＋cos 1
－>cos －＝－>0，∴在(0,1)上函数f(x)的图象和x轴有且只有一个交点，即方程ln x＋cos
x＝在(0,1)上的实数根的个数为1.
方法二：ln x＋cos x＝，即cos x－＝－ln x，在同一平面直角坐标系中，分别作出函
数y＝cos x－和y＝－ln x的大致图象，如图所示，由图可知在(0,1)上两函数的图象只有一
个交点，即方程ln x＋cos x＝在(0,1)上的实数根的个数为1.
答案：(1)C (2)1
题型 零点性质的多维研讨
维度1 根据零点个数求参数典例4(2023·天津卷)若函数f(x)＝ax2－2x－|x2－ax＋1|有且仅有两个零点，则
a的取值范围为________．
解析：当a＝1时，函数f(x)只有一个零点－1，不符合题意；当a＝0时，函数f(x)只有
一个零点－1，不符合题意；当a＝－1时，函数f(x)有两个零点，分别为－1和－，符合题
意．
若a≠0且a≠±1，分以下两种情况：
① 当 x 2 － ax ＋ 1≥0 时， f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x － | x 2 － ax ＋ 1 | ＝ ax 2 － 2 x － ( x 2 － ax ＋ 1) ＝ ( a － 1)· x 2 ＋ ( a
－ 2) x － 1 ＝ ( x ＋ 1)[( a － 1)· x － 1] ，令本例关键在于分类讨论后恰好因式分解，两根迅速求解．
f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x＝－1，x＝，且x≠x.又x＝－1时，ax2－2x－(x2－ax＋
1 2 1 2 1
1)＝a＋2－(x2－ax＋1)＝0，所以a＝(x2－ax＋1)－2，则x2－ax＋1≥0时，a≥－2且a≠0，
a≠±1；x ＝时， ax 2 － 2 x － ( x 2 － ax ＋ 1) ＝－－ ( x 2 － ax ＋ 1) ＝ 0 ，所以把这个根代入后，保证x2
2
－ax＋1≥0，从而有≥0.
＝x2－ax＋1，则x2－ax＋1≥0时，a≤2且a≠0，a≠±1.
② 当 x 2 － ax ＋ 1<0 时， f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x － | x 2 － ax ＋ 1 | ＝ ax 2 － 2 x ＋ ( x 2 － ax ＋ 1) ＝ ( a ＋ 1)· x 2 － ( a
＋ 2) x ＋ 1 ＝ ( x － 1)[( a ＋ 1)· x － 1] ，
分类讨论后，也恰好因式分解．
令f(x)＝0，由a≠0且a≠±1，得x ＝1，x ＝，且x≠x.同理，x ＝1时，x2－ax＋1<0，
3 4 3 4 3
则a>2；x ＝时，x2－ax＋1<0，则a<－2.综上，a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)∪(1，＋
4
∞)．
已知函数零点个数求参数范围的常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参
数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后
数形结合求解.
对点练4(1)(2024·安徽蚌埠模拟)已知函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，则实数a的
值为( )
A．1 B．－1 C．0 D．－2
(2)函数 f(x)＝若函数 g(x)＝f(f(x))－a 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是
________．
解析：(1)函数f(x)＝2|x|＋x2＋a的定义域为R，函数f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＋a＝f(x)，即函
数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2＋a，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上
单调递减，则当x＝0时，f(x) ＝a＋1.因为函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，于是得a＋
min
1＝0，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故选B.
(2)设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系内作y＝a，y
＝f(t)的图象(如图)．易知当a<－1时只有一个零点，当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有
两个交点．设交点的横坐标为t ，t(不妨设t>t)，则t<－1，t≥－1，当t<－1时，t ＝f(x)
1 2 2 1 1 2 1 1有一解；当t≥－1时，t ＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不
2 2
同的零点．
答案：(1)B (2)[－1，＋∞)
维度2 根据零点范围求参数
典例5(1)若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范
围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
(2)(2024·江苏苏州质检)若函数 f ( x ) ＝ x ·2 x － kx － 2 在区间 (1,2) 内有零点 ，则
存在零点，转化为k＝2x－有解. k的取值为φ(x) ＝2x－的值域．
实数k的取值范围是________．
解析：(1)因为函数f(x)＝ 2 x －－ a 在区间 (1,2) 上单调递增 ，且函数f(x)＝2x－－a的一个
2x和－分别在(1,2)上单调递增，从而知此函数在(1,2)上单调递增．
零点在区间(1,2)内，所以 f(1)·f(2)<0，所以－a(4－1－a)<0，即 a(a－3)<0，解得
0
