文档内容
专题 01 集合
目录
题型一： 集合的基本概念.......................................................4
题型二： 集合间的基本关系....................................................10
题型三： 集合的运算..........................................................16
题型四： 求参数的取值范围....................................................21
题型五： 集合中的新定义问题..................................................24
知识点总结
知识点一、集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N * ( 或 N ) Z Q R
＋
注意
N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N 的含义是一样的，表示正整数集，不包
＋
含0.
知识点二、集合间的基本关系
表示关系 文字语言 符号语言 Venn图
构成两个集合的元素是一
相等 A ⊆ B 且 B ⊆ A ⇔A＝B
样的
集合A中任意一个元素都
集合间的 子集 A ⊆ B 或 B ⊇ A
是集合B中的元素
基本关系
集合A是集合B的子集，
真子集 A B 或 B A
但存在元素x∈B，且x∉A
任何一个集合是它本身的子集 A⊆A
A⊆B，B⊆C⇒
若A是B的子集，B是C的子集，则A
是C的子集
A ⊆ C
结论
∅⊆A
空集是任何集合的子集，是任何非空集
∅B
合的真子集
(B≠∅)
知识点三、集合的基本运算
并集 交集 补集
图形
表示
符号 A∪B＝ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁ A＝{x|x∈U，且x∉A}
U表示 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B }
A∪(∁ A)＝U；
U
A∪∅＝A； A∩∅＝∅；
A∩(∁ A)＝∅；
U
A∪A＝A； A∩A＝A；
性质 ∁ (∁ A)＝A；
U U
A∪B＝B∪A； A∩B＝B∩A；
∁ (A∩B)＝(∁ A)∪(∁ B)；
U U U
A∪B＝A⇔ B ⊆ A A∩B＝A⇔ A ⊆ B
∁ (A∪B)＝(∁ A)∩(∁ B)
U U U
知识点四、区分下列集合的表示含义
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
方程 f(x)＝0的解 不等式 f(x)>0 的 函数 y＝f(x)的定 函数 y＝f(x)的值 函数 y＝f(x)图象
含义
集 解集 义域 域 上的点
【常用结论与知识拓展】
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，
非空真子集有2n－2个．
(2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．
(3)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B.
(4)A∩B＝A∪B⇔A＝B.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁ A)⊇(∁ B)⇔A∩(∁ B)＝∅.
U U U
(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，
A∩(∁ B)，B∩(∁ A)，∁ (A∪B)．
U U U(7)用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝
card(A)＋card(B)－card(A∩B).
例题精讲
题型一：集合的基本概念
【要点讲解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集
合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合。集合中元素的互异性常常容易忽略，特别
是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。分类讨
论的思想方法常用于解决集合问题
【例1】（2022•长沙模拟）已知集合 ， ，下列选项中均为 的元素的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ， ．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【解答】解：集合 ， ，
则 ， ， ， ， ，
故选： ．【变式训练1】（2022秋•宜阳县校级月考）集合 的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由题意知， ， 都是16的正整数因数，
故 的取值有：1，2，4，8，16，
故集合 ，2，4，8， ，
故共有5个元素．
故选： ．
【例2】（2022秋•南昌期末）已知集合 ， ， ，则 中元素
的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为集合 ， ， ，
所以当 时， ，
即集合 ，
所以集合 中元素个数为1个，
故选： ．
【变式训练1】（2022•道里区校级四模）已知集合 ，则
中元素的个数为
A．9 B．10 C．11 D．12
【解答】解：由椭圆的性质得 ，
又 ， ，所以集合 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， 共有11个元素．
故选： ．
【变式训练2】（2022•河北模拟）已知集合 ，2， ， ， ，
，则 中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由 ，2， ， ， ， ，
当 时， ，2，满足集合 ．
当 时， ，3；满足集合 ．
当 时， ，3；满足集合 ．
共有6个元素．
故选： ．
【例3】（2022秋•西安）集合 ，2， ， ，3， ， ，
， ，则 中的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因为集合 ，2， ， ，3， ， ， ，
，
所以 的值可能为： 、 、 、 、 、 、
、 、 ，
所以 中元素只有：3，4，5，6，7，共5个，
故选： ．【变式训练1】（2022秋•汉滨区）已知集合 ，0，1， ， ，
， ，则集合 中所有的元素之和为
A．0 B．2 C． D．
【解答】解： ，0，1， ， ， ， ，
①当 时， ， 时， ， ； 时， ，
满足条件；
②当 时， ， ，满足条件；
③当 时， ， ，满足条件；
④当 时， ， ，满足条件．
从而得到 ， ， ， ，
集合 中所有元素之和为 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•潍坊模拟）已知集合 ，0， ， ，
，则集合 中所有元素之和为
A．0 B．1 C． D．
【解答】解：根据条件分别令 ，0，1，解得 ，
又 ，所以 ， ，
所以集合 中所有元素之和是 ，
故选： ．
【例4】（2022秋•武陵区）若关于 的方程 的解集中有且仅有一个元素，则实数 的值组成的集合中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：若 ，则 ，解集中有且仅有一个元素，成立；
若 ，△ ，则 ．
故实数 的值组成的集合中的元素个数为2．
故选： ．
【变式训练1】（2021•江西模拟）已知集合 ， 只有一个元素，
则 的取值集合为
A． B． C． ， ， D． ，
【解答】解： 只有一个元素，
方程 只有一个解，
① 时满足题意；
② 时，△ ，解得 ，
的取值集合为 ， ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•延边州二模）已知集合 的元素只有一个，则
实数 的值为
A． B．0 C． 或0 D．无解
【解答】解：集合 有一个元素，即方程 有一解，
当 时， ，符合题意，
当 时， 有一解，则△ ，解得： ，
综上可得： 或 ，
故选： ．
【例5】（2022秋•山西）已知集合 中元素 满足 ，且 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ，
，解得 ，
又 ，
，解得 ，
．
故选： ．
【变式训练1】（2022•聊城二模）已知集合 ，1， ， ， ，则集
合 中元素个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解： 集合 ，1， ， ， ，
当 ， ，1，2时， ，
当 ， ，1，2时， ，1，2，
当 ， ，1，2时， ，2，4，
集合 ，1，2， ，
集合 中元素个数为4．
故选： ．
【变式训练2】（2021•麒麟区校级模拟）设集合 ，0，1， ， ， ，
， ， ，则集合 中元素的个数为A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：当 ， 时， ，当 ， 时， ，
当 ， 时， ，当 ， 时， ，
当 ， 时， ，当 ， 时， ，
当 ， 时， ，当 ， 时， ，、
故 ， ，0，1，2， ，即 中元素的个数为6个．
故选： ．
【例6】（2022•全国一模）已知集合 ，3，4，5， ， ， ，
，则 中所含元素的个数为
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：由 ，3，4，5， ， ， ， ，
当 时， ，5，6，
当 时， ，6，
当 时， ，
所以 ， ， ， ， ， ， ，
所以 中所含元素个数为6个．
故选： ．
【变式训练1】（2022•全国一模）已知集合 ，3，4，5， ， ，
， ，则 中所含元素的个数为
A．3 B．6 C．8 D．10
【解答】解： ， ， ， ，3，4，5， ，
当 时， ，3，2；当 时， ，2；
当 时， ；
故 中所含元素的个数为6，
故选： ．
【变式训练2】（2022秋•川汇区校级期末）已知集合 ，2， ， ，
， 中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：由 ，2， ， ， ， ，
当 时， ，2，满足集合 ，
当 时， ，3；满足集合 ，
当 时， ，3；满足集合 ，
共有6个元素．
故选： ．
题型二：集合间的基本关系
【要点讲解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空
集的情况，否则会造成漏解；已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素
或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类
问题。
【例7】（2023•咸阳模拟）设集合 ，则集合 的真子集个数是
A．6 B．7 C．8 D．15
【解答】解：因为 ，所以 ，2， ，
所以集合 的真子集个数是 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•黄埔区校级模拟）设集合 ， ，则集合
的真子集个数为
A．8 B．7 C．4 D．3
【解答】解：集合 ， ， ，1，
，
则集合 中元素个数为3个，
故集合 的真子集个数为 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•乌鲁木齐模拟）已知集合 满足 ， ，2，3， ，那
么这样的集合 的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ， ，2，3， ，
要确定集合 ，只需确定1和4是否放置在其中，
共有4种情况， ， ， ，2， ， ，3， ， ，2，3， ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•全国二模）下列集合关系中错误的是
A． ， B． ， C． D． ， ，【解答】解：对于 ：集合 为点集，含有元素 ，集合 ， 含有两个元素 ，
，
所以 不包含于 ， ，故 错误；
对于 ， ，故 正确；
对于 ，故 正确；
对于 ：因为 ， ， ，所以 ， ， ，故 正确；
故选： ．
【变式训练4】（2022秋•阜南县校级月考）已知集合 ， ，则
下列说法正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： 集合 ， ，
，
故选： ．
【变式训练5】（2022•全国四模）已知 ， ，则集合 、
之间的关系为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
且 ，
则 ，
故选： ．【变式训练6】（ 2023• 重 庆 模 拟 ） 已 知 集 合 ，
，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ， ， ， ．
故选： ．
【变式训练7】（ 2022• 河 南 模 拟 ） 已 知 集 合 ，
，则
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： ，
，当 时， 是奇数， 是整数， ．
故选 ．
【例8】（2023•延庆区一模）已知集合 ， ， ，0， ，且 ，则
等于
A．1 B．0 C． D．
【解答】解： 集合 ， ， ，0， ，且 ，
，
．
故选： ．【变式训练1】（2023•香坊区校级一模）已知集合 ， ， ，若
，则实数 的取值集合为
A． ， ， B． C． D． ， ，0，
【解答】解：集合 ， ， ，
若 ，则实数 的取值集合为 ，
又集合元素具有互异性， 的取值集合为 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•湖南模拟）已知集合 ， ，且 ，则
实数 的取值范围为
A． B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ， ， ，
， ，
则实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•北碚区校级模拟）已知集合 ，4， ， ， ，若
，则实数 组成的集合为
A． B． ， C． ，0， D． ，0，1，
【解答】解：集合 ，4， ， ， ， ，则 ，解得 或 ，满足题意，
，解得 或1，
当 时，符合题意，
当 时，集合 不满足集合元素的互异性，舍去，
故实数 组成的集合为 ，0， ．
故选： ．
【例9】（2023•大荔县一模）设三元集合 ，则 1 ．
【解答】解：依题意 ， ，
则 ，解得 ， ，
此时两个集合都是 ，0， ，符合题意，
故 ．
故答案为：1．
【变式训练1】（2022秋•新北区校级月考）已知集合 ， ， ， ， ，
，若 ，则 ．
【解答】解：由题意可知， 或 ，
当 时， 无意义，
则 ，
故 ，0， ， ， ， ，，
，解得 或 ，
当 时， ，0， ， ，1， ，不符合集合的互异性，
故 ，
．
故答案为： ．
【例10】（2022•海口模拟）已知集合 ，0， ， ，若
，则实数
A．2 B．1 C．0 D．
【解答】解：对于集合 ，因为△ ，
所以 中有两个元素，且乘积为 ，
又因为 ，所以 ， ，所以 ．即 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•铁岭模拟）设 ， ，若 ，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练2】（2023•2月份模拟）设集合 ，3， ， ， ，， ．若 ， ，则
A． B． C．1 D．3
【解答】解：集合 ，3， ， ， ， ， ， ，
，
，
解得 ．
故选： ．
【变式训练3】（2022•攀枝花模拟）设集合 ， ，若
，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． D． ，
【解答】解： 或 ，
，若 ，
，则实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练4】（2022•朝阳区校级三模）已知集合 ， ，
若 ，则实数 的取值组成的集合是
A． B． C． ， D． ，0，
【解答】解：集合 ， ，集合 中至多有一个元素，若集合 为空集，即 时，显然满足条件 ，故 成立，
若集合 非空集，即 ，此时 ，
若 ，则 ，若 ，则 ，
故 的取值集合为 ， ， ．
故选： ．
题型三：集合的运算
【要点讲解】
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成人手是解决集合运算问题的前提。有些集
合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。集合
之间的运算要注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
【例11】（2023•乌鲁木齐三模）设集合 ，0，1， ， ，则
的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：因为 ，所以， ， ，
则集合 的元素个数为2，因此， 的子集个数为 ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•全国卷模拟）已知集合 ， ，
则
A． B．
C． 或 D． 或【解答】解：解 得 或 ，故 或 ，
解不等式 得 ，故 ，
所以 或 ．
故选： ．
【例12】（2023•天津一模）设全集 ， ，0，1， ，集合 ， ， ，
1， ，则
A． B． ， ， C． ， D． ，1，
【解答】解：因为全集 ， ，0，1， ， ，1， ，则 ， ，
又因为集合 ， ，因此 ， ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•全国三模）设集合 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ， ，
， ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•合肥三模）已知集合 ，集合
则集合 的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由 ，消去 得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 或 ，
即函数 与 有两个交点，
又集合 ，集合 ，
所以 ，
即集合 的元素个数为2个．
故选： ．
【例13】（2023•毕节市模拟）已知集合 ， ，则如图
中阴影部分表示的集合为
A． B． ， C． ，2， D．
【解答】解：依题意， ，0，1，2， ，而阴影部分表示的集合是 ，
又 ，则 ，
所以 ，2， ．
故选： ．【变式训练1】（2023•吉林模拟）已知全集 ，集合 ， ，
，则下图阴影部分所对应的集合为
A． B． C． 或 D．
【解答】解：由题意知 ， ，
则 ， ，
由图可知阴影部分所对应的集合为 ， ．
故选： ．
【变式训练2】（2022春•下期末）已知全集 ，集合 ， ，
则图中阴影部分表示的集合为
A． ， B． ， C． D． ，
【解答】解： ， ，
，
．
故选： ．【例14】（2023•商洛二模）设集合 ， ， ， ．若
，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为 ，
所以 ，解得 ，
则 的解为 或 ，
所以 ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•宜章县模拟）已知集合 ， ，若
，则
A． B． C．2 D．6
【解答】解：因为集合 ， ，且 ，
则有 ，所以 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•济宁二模）已知集合 ，5， ， ， ，若
，则
A． B． C．2 D．3
【解答】解：因为 ，
所以 或 ，当 时，即 ，
则 ，5， ，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时， 或 ，
当 时， ，5， ，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时， ，5， ， ， 满足题意，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】（ 2013• 武 昌 区 校 级 模 拟 ） 若 集 合 ，
，且 ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得，
， ，
，则
故选： ．
【变式训练4】（ 2010• 项 城 市 校 级 模 拟 ） 已 知 ： ，
．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．【解答】解：（1） ， （2分）
若 ，则 ， ，解得： （5分）
（2）若 ，则
①若 为空集，则△
则 ；（8分）
②若 为单元集，则△
解得： ，将 代入方程 得： 得： 即 符
合要求；（11分）
③若 ， ，则 （13分）
综上所述， 或 ．（14分）
题型四：求参数的取值范围
【要点讲解】
根据集合的运算结果求参数时，可先把符号语言转化为文字语言，然后应用数形结合法求
解。
【例15】（2023•郴州模拟）已知集合 ， ， ，若
，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D．
【解答】解： ， ， ， ，
， ，的取值范围是： ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•山西模拟）已知集合 ，若
，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：因为 ，
所以 ，2，3，4， ，即 ，2，3，4， ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，
故实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•怀仁市校级四模）已知集合 ，若
，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． D． ，
【解答】解： ， ， ，
因为 ，所以 的取值范围为 ．
故选： ．
【变式训练3】（2023•茂名二模）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值范围是A． B． ， C． D． ，
【解答】解：由已知可得 ，
，
因为 ，所以 ，
即 ，
故选： ．
【变式训练4】（ 2023• 黄 山 模 拟 ） 已 知 集 合 ， ， 且
，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． D． ，
【解答】解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ， ．
故选： ．
【例16】（ 2023• 乐 山 三 模 ） 已 知 集 合 ， ， 且
，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：集合 ，
，且 ，
，则实数 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【变式训练1】（2023•四川模拟）设集合 ， ，
集合 中恰好含有2个元素，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． ， D． ，
【解答】解： ，2， ，
，
因为集合 中恰好含有2个元素，
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】（2023•铁岭模拟）设 ， ，若 ，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解： ，
， ，
．
故选： ．
【变式训练3】（2023•湖北模拟）已知集合 ， ，若 中
有且仅有三个整数，则正数 的取值范围是A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得 ， ，
若 中有且仅有三个整数，则只能是 ，0，1，
故，解得 ．
故选： ．
题型五：集合中的新定义问题
【要点讲解】
集合新定义问题的“三定”：一定元素，确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所
有元素；二定运算，根据要求及新定义，将所求集合的运算转化为集合的交集、并集与补
集的基本运算，或转化为数的有关运算；三定结果，根据新定义，利用列举法或描述法写
出所求集合中的所有元素。
【例17】（2023•五河县模拟）对于数集 ， ，定义 ， ，
， ， ， 若集合 ， ，则集合 中所有元
素之和为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
或2，
， ， ，3， ，
，3，4，1， ，
元素之和为 ，
故选： ．
【变式训练1】（2023•湖北模拟）用 （A）表示非空集合 中的元素个数，定义若 ， ， ， 且
，设实数 的所有可能取值组成的集合是 ，则 等于
A．7 B．5 C．3 D．1
【解答】解：由题意知， （A） ，
，
，
（B） 或 （B） ，
即方程 有1个根或3个根，
若 ，
则 或 ，
若 ，则 或 ，
当 时， ， （B） ，符合题意；
当 时， 对应的根为0和 ，
若 （B） ，则有以下两种情况，
①当 有两个相等的实数根时，
△ ，
解得 ，
当 时， ， ， ，
（B） ，符合题意；
当 时， ， ， ，（B） ，符合题意；
②当 有两个不相等的实数根时，
则 是 的一个根，
即 ，
无解；
综上所述， ， ， ；
故 ，
故选： ．
【变式训练2】（2022•长丰县校级模拟）若 ， ，定义
且 ，则
A． 或 B． 或
C． D．
【解答】解：根据题意可化简两集合为 ， ， ， ，
且 ，又 ， ， ， ，
， ，
故选： ．课后练习
一．选择题（共12小题）
1．（2023•南通二模）已知 ， 为 的两个非空真子集，若 ，则下列结论正
确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解： ，
，
， ， 错误； 时， ， 错误； ， ， 错误．
故选： ．
2．（2022•渭滨区校级模拟）设集合 ， ， ，若 ，则
A． 或 或2 B． 或 C． 或2 D． 或2
【解答】解：若 ，则 ，
，
，4， ；
若 ，则 或 ，
时， ，
， ， ；
时， （舍 ，
故选： ．
3．（2023•江西模拟）已知集合 ， ， ， ， ， ，若 ，则A． B．0 C．1 D．2
【解答】解： ，
或 ，解得 ， ，
．
故选： ．
4．（2023•定西模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 集合 ， ，
， ， ，
因此选项 正确，选项 ， ， 错误；
故选： ．
5．（2023•河南模拟）已知集合 为英文单词“ ”的字母组成的集合，集合 为英文
单词“ ”的字母组成的集合，则集合 的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解： ， ， ， ， ， ， ，
， ，
子集的个数为： ．
故选： ．
6．（2023•西宁一模）已知集合 ， ， ，则 中元素的个数为
A．3 B．4 C．8 D．9
【解答】解：集合 ， ， 元素：
， ， ， 共四个元素，
故选： ．
7．（2021•江西模拟）已知集合 ， ， ，若 ，则符合条
件的实数 的值组成的集合为
A． ， B． ， C． ，0， D． ，
【解答】解：
当 时， 满足要求；
当 时，
或
或
综上， ，0， ．
故选： ．
8．（2023•渝中区校级一模）已知集合 ， ， ，
则
A． ， B． C． D．
【解答】解： ， ，
而 ， 满足 ，，
故 ，
故选： ．
9．（2023•福建二模） 是正整数集的子集，满足： ， ， ，并有
如下性质：若 ， ，则 ，则 的非空子集数为
A．2022 B．2023 C． D．
【解答】解：由题意可知：若 ， ，则 ， ， ， 均属于 ，
而事实上，若 ，，中 ，
所以 ，
故 ， 中有正整数 ，
从而 中相邻两数不可能大于等于2，
故2，3， ， ，
若 ， ，则有 ，与 矛盾，
故 ，2， ， ，
所以非空子集有 个．
故选： ．
10．（2021•石家庄模拟）已知集合 ， ， ， ， ， ， ，
若 ，则
A． B．2 C． D．1【解答】解： ，
①当 时，解得 ， ，
②当 时，解得 ，此时 ，1， ，与互异性矛盾，
综上， ．
故选： ．
11．（2023•桃城区校级模拟）已知集合 ， ，则下列结
论中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：集合 ， 或 ，
项，集合 不是集合 的子集，错误；
项， ，错误；
项， ， ， 不是 的子集，错误；
项， ，不为空集，正确．
故选： ．
12．（2023•南京二模）集合 的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解： ， ，
的子集个数为 ．
故选： ．
二．多选题（共2小题）13．（2022•泉州模拟）已知集合 ， 均为 的子集，若 ，则
A． B．
C． D．
【解答】解：根据条件画出 图如下：
则： ， ， ．
故选： ．
14．（2021•武汉模拟）图中矩形表示集合 ， ， 是 的两个子集，则阴影部分可以
表示为
A． B． C． D．
【解答】解：由图知，阴影部分中的元素在集合 中但不在集合 中，
所以阴影部分所表示的集合是 ， ， ，
故选： ．
三．填空题（共4小题）
15 ． （ 2010• 南 通 模 拟 ） 记 集 合 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， ，
，将 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2009个数是 ．
【解答】解：解法一： 中的元素为
，故从大到小排列第2009个数是 ．
解法二：根据题意，发现 是关于类似7进制的转换问题，从大到小排序的第一个是
6666（7） （7）
所以第2009个数就是：
6666（7） （7）
即1100（7）
故本题的答案即为 ；
故答案为： ．
16．（2022•宝山区模拟）已知集合 ， ， ， 是虚数单位，对任意
， ， 可以相等）均有 ，则符合条件的元素个数最多的集合 ，
， ， ．
【解答】解：因为，对任意 ， ，有 ，所以， ， ，
假设 中有不为1的元素，不妨设其为： ， 且 ， 不同时为0，有
，
则 ，其中 ， ，且 ， 不同时为0，
因此， ， ，且 ，
又 ， ，
，
同理， ，
或 ，即 或 ，
时， ， ， ，此时， 或 ；
时， ， ，又 不为1，故 ，此时， ，
因此，符合条件的元素个数最多的集合 ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ．
17．（2012•南通模拟）已知数集 ，0， 中有3个元素，则实数 不能取的值
构成的集合为 ， ．
【解答】解：由集合中元素的互异性可得 ， ，解得 ，且 ，
故实数 不能取的值构成的集合为 ， ．
18．（2018•武清区校级模拟）用列举法表示集合 ， ， 6 ，
3 ， 2 ，
【解答】解：根据 ，且 可得：时， ； 时， ； 时， ；
时， ； 时， ； 时， ；
， ，6，3，2， ．
故答案为： ， ，6，3，2， ．
21．（2023•沛县校级模拟）设 ， ，若 ，求实
数 的取值范围．
【解答】解：由 ，得 ，
，
由 ，得 ，
，
，
，
．
