文档内容
专题 01 集合与常用逻辑用语
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 或 表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
知识点2 集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系集合A的所有元素都是集合B的
子集 或
元素（ 则 ）
基本
关系 集合A是集合B的子集，且集合
真子集
B中至少有一个元素不属于A 或
相等 集合A，B的元素完全相同
不含任何元素的集合．空集是任
空集
何集合A的子集
知识点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
⇔ ⊆
（3）补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．∁U (∁U A)＝A；
⇔ ⊆
∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
知识点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p⇏q
p是q的充分条件 p不是q的充分条件
条件关系 ⇒
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
定理关系
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均为真命题，即既有 ，又有 ，就记作
。
此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称充要条件。
（2）充要条件的含义
若 是 的充要条件，则 也是 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
（3）充要条件的等价说法： 是 的充要条件又常说成是 成立当且仅当 成立，或 与 等价。
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ ”表示．【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量 的语句用 ， ， ，…表示，变量 的取值范围用 表
示，那么，全称量词命题“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在 中的元素 ，使 成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词
命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“ ”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不 小 于 不是 不都是
（≥）
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个
否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个
重难点01 已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．【典例1】（23-24高三上·广东惠州·月考）集合 ，若 且 ，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三下·江西·月考）已知 ，若 ，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
重难点02 利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
A B
第二步：看集合中是否含有参数，若 ，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【典例1】（2024·陕西西安·三模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．1 D．1或2
【典例2】（2024·黑龙江·二模）已知 ，若 ，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
重难点03 根据集合运算的结果确定参数的取值范围
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空
集。
【典例1】（2024·重庆·模拟预测）设集合 ， ，若 ， 则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例2】（2024·重庆·模拟预测）已知集合 ， ，若
，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
重难点 04 利用充分必要条件求参数的策略
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关
于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
【典例1】（23-24高三上·上海松江·期中）已知 ，且 是 的充分不必
要条件，则实数 的取值范围是 .
【典例2】（23-24高三上·江苏扬州·月考）（多选）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，
则实数 可以是（ ）
A． B． C． D．
重难点 05 根据全称（存在）量词命题的真假求参数
1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成
立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；
2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件
的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在
量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。
【典例1】（2024·四川·模拟预测）已知命题“ ”为真命题，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知命题： 为假命题，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、子集的个数问题
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
【典例1】（2024·浙江·二模）已知集合 ， ，若 ，则满足集合 的
个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【典例2】（2024·全国·一模）已知集合 ， ，则 子集的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、判断集合与集合的关系
判断集合间关系的常用方法：
1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；
2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征
判断集合间关系；
3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。
【典例1】（2024·云南贵州·二模）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ， ，则下列关
系中正确的是（ ）
A． B． C． D．三、韦恩图的应用
元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，
也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。
【典例1】（2024·山西长治·一模）已知集合 ，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·河北邢台·二模）下列集合关系不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
四、集合新定义问题
在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓
住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题
过程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。
【典例1】（2024·贵州黔东南·二模）若对任意 ， ，则称A为“影子关系”集合，下列集合为
“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三下·甘肃·月考）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不
交）的非空子集 ，且满足 ，那么称子集组 构成集
合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（ ）
A．7个 B．9个 C．10个 D．14个
五、充分条件与必要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件的判断方法
1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；（3）得出
结论.
2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断；
3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。
【典例1】（2024·江西南昌·二模）已知集合 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知命题p：集合 ，命题q：集合
，则p是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
易错点1 对集合表示方法的理解存在偏差
点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。
【典例1】（23-24高三下·江西吉安·期中）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·湖北·模拟预测）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
易错点2 忽视（漏）空集导致错误点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。
【典例1】（2024·重庆·模拟预测）设若 ， ，则 ，实数
的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知全集 ，集合 ， ．若
，则 的最大值为 ．
易错点3 忽视集合元素的互异性
点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。
【典例1】（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合 ， ，若 中恰有三个元素，则
由a的取值组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知集合 ，且 ，则实数 为
（ ）
A．2 B．3 C．0或3 D．
易错点4 判断充分性必要性位置颠倒
点拨：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。
【典例1】（2024·新疆·二模）使“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（23-24高三上·天津南开·月考）若x， ，则“ ”的一个必要不充分条件可以是（ ）
A． B． C． D．
易错点5 对含有一个量词命题的否定理解错误
点拨：对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题变
为存在量词命题外，不等式的否定只否定结论。
【典例1】（2024·贵州遵义·一模）已知命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【典例2】（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）命题“ ， ”的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
