文档内容
第一章 集合、常用逻辑用语
第1讲 集 合
复习要点 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语
言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子
集；在具体情境中了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合
的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表
达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
一 集合与元素
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
4．常见数集的记法
非负整数集 正整 有理
集合 整数集 实数集
(或自然数集) 数集 数集
N*
符号 N Z Q R
(或N )
＋
二 集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言
关系
相等 集合A与集合B中的所有元素相同 A B 且 B A A＝B
集合A中任意一个元素均为集合B
⊆ ⊆ ⇔
子集 A B 或 B A
中的元素
⊆ ⊇
集合A中任意一个元素均为集合B
真子集 中的元素，且B中至少有一个元素 A B 或 B A
不是A中的元素
空集是任何集合的子集，是任何非 ∅⊆A，
空集
空集合的真子集 ∅B(B≠∅)
三 集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号 若全集为U，则集合
A ∪ B A ∩ B
表示 A的补集为 A
U
图形
表示意义 {x| x ∈ A 或 x ∈ B } {x| x ∈ A 且 x ∈ B } {x| x ∈ U 且 x ∉ A }
常/用/结/论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则 集合 A 有 2 n 个子集， (2 n － 1) 个真子集 ．
非空子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．
2．A B A∩B＝A A∪B＝B A B.
U U
3. ( A ∩ B ) ＝ ( A ) ∪ ( B ) ， ( A ∪ B ) ＝ ( A )∩( B ) ．
U ⊆ ⇔ U ⇔U U ⇔ ⊇U U
这一结论称为德·摩根定律，又叫反演律，可利用Venn图解释．
4．集合中元素的个数：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)集合{x∈N|x3＝2x}，用列举法表示为{－，0，}．()
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.()
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(√)
2．设A，B，U均为非空集合，且满足A B U，则下列各式中错误的是( )
⊆
A．( A)∪B＝U
U ⊆ ⊆
B．( A)∩( B)＝ B
U U U
C．A∩( B)＝∅
U
D．( A)∪( B)＝U
U U
解析：A B U，则 B A，( A)∪B＝U，选项A正确；( A)∩( B)＝ B，选项B正确；A∩(
U U U U U U
B)＝∅，选项C正确；( A)∪( B)＝ A≠U，所以选项D错误．故选D．
U ⊆ ⊆ U⊆ U U
答案：D
3．(2023·全国甲卷，文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪ M＝( )
U
A．{2,3,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4,5}
D．{2,3,4,5}
解析：因为全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，所以 M＝{2,3,5}，又N＝{2,5}，所以N∪ M
U U
＝{2,3,5}．故选A．
答案：A
4．已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B中元素的个数为
________．
解析：集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y＝x上所有点的集合，
易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，即有2个交点，故A∩B中有2个元素．
答案：2题型 集合基本概念的理解
典例1(1)已知集合A＝x＝k＋，k∈Z}，B＝x＝，k∈Z}，则A与B之间的关系是( )
A．A＝B B．AB
C．BA D．无法比较
(2)设集合A＝{x|(x－a)2＜1}，且2∈A,3∉A，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)方法一(列举法)：A＝，
列举法形象、直观.
B＝.
显然AB.
方法二(描述法)：集合A＝＝，B＝， 2 k ＋ 1 可以表示任意奇数， k 可以表示任意整数 ，
描述法抽象、概括. 认真理解代数式的意义，以及内涵和外延．同学们应加强这方面的理解．
故AB.故选B．
(2)A＝{x|(x－a)2＜1}＝{x||x－a|＜1}＝{x|a－1＜x＜a＋1}．因为2∈A,3∉A，所以解得1＜a≤2.故
实数a的取值范围是(1,2]．故答案为(1,2]．
求解与集合中元素有关问题的关键点
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合
的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的
值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
对点练1(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8
C．5 D．4
(2)(2024·湖南长沙月考)如果集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，则实数a的值是( )
A．0
B．4
C．0或4
D．不能确定
解析：(1)因为A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，
(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，故选A．
(2)当a＝0时，集合A＝{x|ax2＋4x＋1＝0}＝，只有一个元素，满足题意；当 a≠0时，由集合A
＝{x|ax2＋4x＋1＝0}中只有一个元素，可得Δ＝42－4a＝0，解得a＝4.则a的值是0或4.故选C．
答案：(1)A (2)C题型 集合基本关系的分析
典例2(1)若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且 B A ，
每当有此条件，不可忽视B＝∅的特殊情形. 当B＝∅时，转化为判别式Δ＜0.
⊆
则实数m的取值范围为________．
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________．
解析：(1)若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；若1∈B，则12＋m＋1＝0，
⊆
解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；若 2 ∈ B ，则 2 2 ＋ 2 m ＋ 1 ＝ 0 ，解得 m ＝－ ，此时 B ＝ ，
代入求参后，回来再次确认条件B A，这是个易错点．
不符合题意．综上所述，实数m的取值范围为[－2，2)．故答案为[－2,2)．
⊆
(2)∵B A，∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；若 B ≠ ∅ ，则
此三个不等式，学生易错点在于第一个不等式容易遗漏. 思维的完整性：既要考虑B＝∅的情况，
⊆
又要思考B≠∅时应满足的条件．
解得2≤m≤3.故实数m的取值范围为(－∞，3]．故答案为(－∞，3]．
集合间的关系问题的注意点
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑是否存在空集的情
勤思考，多练习这一特殊情形．
况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，
集合的包含关系，转化为区间端点的大小关系，这是一个难点，主要是对端点值的取舍，尤其
注意区别开区间和闭区间. 例如：[－1,2) (2a－3，a＋2]
进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．求得参数后，可以
⊆ ⇒
把端点值代入进行验证，以免增解或漏解．
对点练2(1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A B，则a＝(
)
⊆
A．2 B．1
C． D．－1
(2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
①若a＝，试判定集合A与B的关系；
②若BA，求实数a组成的集合C.
(1)解析：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；
若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．
综上所述，a＝1.
故选B．
答案：B(2)解：①由x2－8x＋15＝0，
得x＝3或x＝5，∴A＝{3,5}．
若a＝，由ax－1＝0，得x－1＝0，即x＝5.
∴B＝{5}．∴BA.
②∵A＝{3,5}，又BA，
故若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0；
若B≠∅，则a≠0，由ax－1＝0，得x＝.
∴＝3或＝5，即a＝或a＝.
故C＝.
题型 集合基本运算的多维研讨
维度1 集合的基本运算
典例3(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知集合 M ＝ { － 2 ，－ 1,0,1,2} ， N ＝ { x | x 2 － x － 6≥0} ，则 M ∩ N ＝ (
)
两集合的性质不同，M属于离散集，N属于连续集，高考有意这样设计．
A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}
C．{－2} D．{2}
(2)已知集合M＝{x|y＝lg(4－x2)}，N＝，则如图所示的Venn图中阴影部分表示的集合为( )
A．
B．∪
C．
D．∪
解析：(1)方法一：因为 N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而 M＝{－2，－1，
0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．
方法二：因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1,0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等
式成立，所以M∩N＝{－2}．故选C．
(2)由4－x2＞0得－2＜x＜2，所以M＝(－2,2)．
由 cos x ≤ ，得 2 k π ＋ ≤ x ≤2 k π ＋ ( k∈Z)，
坐标系中，快速求解三角不等式：如图：可以写出cos x＞a和cos x＜a的区域角. 即“大于取右边，小于取左边”．
所以N＝(k∈Z)．
k ＝－1时，N ＝，k ＝0时，N ＝.
则M∩N＝∪，
所以Venn图中阴影部分表示的集合为 (M∩N)＝.故选C．
M
集合基本运算的求解策略
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
对点练3(1)(2023·全国甲卷，理)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，
k∈Z}，则 (M∪N)＝( )
U
A．{x|x＝3k，k∈Z}
B．{x|x＝3k－1，k∈Z}
C．{x|x＝3k－2，k∈Z}
D．∅
(2)(2023·全国乙卷，理)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1－1}，选项B错误；
U U
M∩N＝{x|－1
