重难点突破01集合中的新定义问题（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

重难点突破 01：集合中的新定义问题 以集合为载体的新定义题，既强化了集合的相关知识，也考察了学生运用所学知识处 理问题的能力，符合高考中以能力立意命题的指导思想，故而是高考的常备题型．求解此 类问题的关键是准确理解新定义的含义，再正确运用集合的一些概念和性质就能破题． 一．选择题（共13小题） 1．定义集合 且 ．已知集合 ，4， ， ， ，则 中元素的个数为 A．6 B．5 C．4 D．7 【解答】解：根据题意，因为 ，4， ， ， ， 所以 ，3，5， ． 故选： ． 2．对于数集 ， ，定义 ， ， ， ， ， 若集合 ， ，则集合 中所有元素之和为 A． B． C． D． 【解答】解： ， ， 或2， ， ， ，3， ， ，3，4，1， ， 元素之和为 ， 故选： ．3．定义集合 ， ， ，设集合 ，0， ， ，1， ，则 中元素的个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：因为 ，0， ， ，1， ， 所以 ， ，0，1， ， 故 中元素的个数为5． 故选： ． 4．如图所示的 图中， ， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合， 若 ， ， ， ， ，则 A． B． C． 或 D． 或 【解答】解：如图所示的 图中， ， 是非空集合， 定义集合 为阴影部分表示的集合， ， ， ， ， ， 或 ．故选： ． 5．如图所示的韦恩图中， ， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合．若 ， ， ， ， ，则 A． B． C． 或 D． 或 【解答】解：依据定义， 就是指将 除去 后剩余的元素所构成的集合； 对于集合 ，求的是函数 的定义域， 解得： ； 对于集合 ，求的是函数 的值域，解得 ； 依据定义，借助数轴得： 或 ， 故选： ． 6．设数集 ， ， ，且 ， 都是集 合 的子集，如果把 叫做集合 的“长度”，那么集合 的“长 度”的最小值是 A． B． C． D．【解答】解： 集 ， ， ，且 ， 都是集合 的子集， 根据题意， 的长度为 ， 的长度为 ， 当集合 的长度的最小值时， 与 应分别在区间 ， 的左右两端， 故 的长度的最小值是 ． 故选： ． 7．定义集合 ， 的一种运算： ， ， ，若 ， ， ， ，则 中的元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中的元素个数为3． 故选： ． 8．如图所示的 图中， 、 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合． 若 ， ， ， ，3，4，5，6， ，则 A． ，4，6， B． ，4，6， C． ，3，4，5，6， D． ，2，4，6， 【解答】解：由 图可知， ， ， 因为 ， ， ，3，5，7， ， ，3，4，5，6， ， 则 ，2，3，4，5，6，7， ， ，5， ， 因此， ，2，4，6， ． 故选： ． 9．如图所示的 图中， ， 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合， 若 ， ， ， ，3，4，5，6， ，则 A． ，2，4， B． ，4，6， C． ，3，4，5，6， D． ，2， 4，6， 【解答】解：由 图可知， ， ， 因为 ， ， ，3，5，7， ， ，3，4，5，6， ， 则 ，2，3，4，5，6，7， ， ，5， ， 因此， ，2，4，6， ． 故选： ． 10．设集合 ，定义：集合 ，集合， ， ，集合 ，分别用 ， 表示集合 ， 中元素的个数，则下列结论可能成立的是 A． B． C． D． 【解答】解：设 ，则 的值为 ， ， ， ， ， ， 由题意 ， 根据集合 中的定义可得 中至少有以上5个元素， 设 ， ， ， ， ， 由题意 ，则集合 中至少有7个元素， 不可能，故 错误； 若 ，则集合 中至多有6个元素，所以 ，故 错误； 对 ， ，则 与 一定成对出现， ， 一定是偶数，故 错误； 对于集合 ，取 ，3，5， ，则 ，6，8，10， ， 此时 ，2， ， ，故 正确． 故选： ． 11．对于 ， 表示不超过 的最大整数，定义在 上的函数 ，若 ，则 中所有元素的和为 A．12 B．3 C．14 D．15 【解答】解：当 时， ， 当 时， ， 时， ， 当 时， ， 时， ， 故 ，1，3，4， ，元素和为 ． 故选： ． 12．已知有限集 ， ，定义集合 ，且 ， 表示集合 中的元 素个数．若 ，2，3， ， ，4， ，则 A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解： ，2，3， ， ，4， ， ， ， ， 故 ，2， ， 故 ， 故选： ． 13．对于任意两个正整数 ， ，定义某种运算“※”如下：当 ， 都为正偶数或都为 正奇数时， ※ ；当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ※ ， 则在此定义下，集合 ※ 中的元素个数是A．10 B．9 C．8 D．7 【解答】解：由定义知， 当 ， 都为正偶数或都为正奇数时， ※ ， 故 是 ， ， ， ， ， ， ； 当 ， 中一个为正偶数，另一个为正奇数时， ※ ， 故 是 ， ； 故共9个元素， 故选： ． 二．填空题（共6小题） 14 ． 定 义 两 个 集 合 与 的 差 ： 且 ， 对 称 差 △ ， 若 ， ， 则 △ ． 【解答】解： ， ， ， ， 由 且 ，得 ， ． 所以 △ ， ， ． 15．定义：实数 ， ， ，若满足 ，则称 ， ， 是等差的，若满足 ，则称 ， ， 是调和的．已知集合 ， ，集合 是集合 的三元子集，即 ， ， ，若集合 中的元素 ， ， 既是等差的，又是 调和的，称集合 为“好集”，则集合 为“好集”的个数是 101 0 ． 【解答】解：由好集的定义得 且 ，则 ，化简得 ，故 或 ， 由 ， ， 得 ，故 ， ， ， ， ，且 ， ， 且 ，解得 ， 故集合 为“好集”的个数为 ． 故答案为：1010． 16．对于集合 ， ， ， 的子集 ， ， ， ，定义 的“特征 数列”为 ， ， ， ，其中 ，其余项均为0，例如子集 ， 的“特征数列”为0，1，1，0，0， ，0． （1）子集 ， ， ， 的“特征数列”的前四项和等于 3 ； （2）若 的子集 的“特征数列” ， ， ， 满足 ， ， ， 的 子 集 的 “ 特 征 数 列 ” 为 ， ， ， ， 满 足 ， ， ，则 的元素个数为 ． 【解答】解：（1）根据“特征数列”的定义可知子集 ， ， ， 的“特征数列” 为： 1，0，1，1，1，0，0， ，0， 子集 ， ， ， 的“特征数列”的前四项和为： ． （2） 的“特征数列”为1，0，1，0，1，0， ，1，0， 的“特征数列”满足 ，且 ， ， 或 ， ，的“特征数列”为1，1，0，1，1，0，1，1，0， ，0，1或1，0，1，1，0，1， ，0，1，1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或 ， ， ， ， ， ， ， ， 的“特征数列”周期的最小公倍数为6， 一个周期内 的元素个数为2，共有 ， 的元素个数为 或 个． 故答案为：3；33或34． 17．对于非空集合 ，定义 若 ， 是两个非空集合，且 ，则 0 ； 若 ， ， 且 存 在 ， ，则实数 的取值范围是 ． 【解答】解： ， 当 时， ， ， ， 当 时， ， ， 综上所述， ， ， ， 存在 ， ， 存在 ， 且 ，即存在 ，使得 且 ， 即 ，显然 ， ①当 时，则 ， ， ②当 时，显然满足 ， ③当 时，则 ， ， ④当 时， ，满足题意， 综上所述，实数 的取值范围是 ， ， ． 18．定义全集 的子集 的特征函数 ，这里 表示 在全集 中的补 集，那么对于集合 、 ，下列所有正确说法的序号是 （ 1 ）（ 2 ）（ 4 ） ． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ． 【解答】解：（1） ，分类讨论： ①当 ，则 ，此时 ； ②当 ，且 ，即 ，此时 ； ③当 ，且 ，即 时， ， ，此时 ； 综合有 ，故（1）正确； （2） ，故（2）正确；（3）假设 ，任取 ，则 ，则 ，但 ， 则 ，故（3）不正确； （4） ． 故（4）正确． 故答案为：（1）（2）（4）． 19．已知 ， 均为实数，设数集 ，且数集 、 都是数集 的子集．如果把 叫做集合 的“长度”，那么集合 的“长度”的最小值是 ． 【解答】解：由已知得 且 ，解得 ， 且 ，解得 ， 从而当 ， 或 ， 时 的长度最小， 当 ， 时， ， ，长度为 ； 当 ， 时， ， ，长度为 ． 所以 的长度的最小值是 ． 故答案为： ． 三．解答题（共5小题） 20．若集合 ， 满足 ，则称 ， 为集合 的一种分拆，并规定：当且仅当 时， ， 与 ， 为集合 的同一种分拆，写出集合 ， 的 不同分拆． 【解答】解：当集合 时， ， ， ，此时只有一种分拆； 当 为单元素时， 若 ，则 ，或 ， ； 若 ，则 ，或 ， ． 此时有4种分拆； 当 中含有两个元素时， ， ， 可取 的任何子集，此时有4种分拆． 综上，共有9种不同分拆． 21．对于集合 ，定义函数 对于两个集合 ， ，定义运算 ． （1）若 ，2， ， ，3，4， ，写出 （1）与 （1）的值，并求出 ； （2）证明： ； （3）证明： 运算具有交换律和结合律，即 ， ． 【解答】解：（1） ，2， ， ，3，4， ， （1） ， （1） ， ，4， ； （2）①当 且 时， ，所以 ．所以 ， 所以 ， ②当 且 时， ， ， 所以 ．所以 ， 所以 ， ③当 且 时， ， ． 所以 ．所以 ． 所以 ． ④当 且 时， ． 所以 ．所以 ． 所以 ． 综上， ； （3）因为 ， ， 所以 ． 因 为 ， ， 所以 ． 22．对非空数集 ， ，定义 与 的和集 ， ．对任意有限集，记 为集合 中元素的个数． （Ⅰ）若集合 ，1， ， ，3，5，7， ，写出集合 与 ； （Ⅱ）若集合 ， ， ， 满足 ，且 ，求 ． 【解答】解：（Ⅰ） 集合 ，1， ， ，3，5，7， ， 根据题意可得： ，1，2，3， ， ，2，3，4，5，6，7，8，9，10， ； （Ⅱ）集合 ， ， ， 满足 ， ， 中至少有 个元素， 即 ，又 ， ． 23．已知集合 是集合 的子集，对于 ，定义 ．任取 的两个不同 子集 ， ，对任意 ． （Ⅰ）判断 （A） （B）是否正确？并说明理由； （Ⅱ）证明： （A） （B）． 【解答】解：（1）不正确，理由如下： ，2， ， ，3， ， ，2，3， ，当 时，因为 ，所以 （A） ， 因为 ，所以 （B） ， 因为 ，所以 ， 此时 （A） （B）， 所以对任意 ， （A） （B）不正确． （2）证明：①若 ，此时有 ， 当 且 时， （A） ， （B） ，此时 （A） （B） ； 当 且 时， （A） ， （B） ，此时 （A） （B） ； 当 且 时， （A） ， （B） ，此时 （A） （B） ， 因此 （A） （B）成立． ②若 ，则 ， 此时 且 ，则 （A） ， （B） ， 此时 （A） （B） ， 因此 （A） （B）成立， 综合①②可知， （A） （B）成立． 24．已知实数集 ， ， ， ，定义 （A） ， ， ． （Ⅰ）若 ，0，1， ，求 （A）； （Ⅱ）若 （A） ， ， ， ，12，18， ，求集合 ； （Ⅲ）若 中的元素个数为9，求 （A）的元素个数的最小值．【解答】解：（Ⅰ） （A） ， ，0， ； （Ⅱ）首先， ； 其次 中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负， 记 ， ， ， ， ，不妨设 或者 ， ①当 时， ， ， ， ， ， ， ， ，18， ， 相乘可知 ， ，从而 ， 从而 ， ， ，4， ，所以 ， ，3，4， ； ②当 时，与上面类似的方法可以得到 ， 进而 ， ， ， ， ，从而 ，2， ， ， ， 所以 ， ，3，4， 或者 ，2， ， ， ； （Ⅲ）估值 构造，需要分类讨论 中非负元素个数， 先证明 （A） ，考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时， 集合 （A）不变，故不妨设 中正数个数不少于负数个数，接下来分类讨论： 情况一： 中没有负数， 不妨设 ，则 ， 上式从小到大共有 个数，它们都是 （A）的元素，这表明 （A） ； 情况二： 中至少有一个负数，设 ， ， ， 是 中的全部负元素， ， ， ， 是 中的全部非负元素． 不妨设 ，其中 ， 为正整数， ， ， ， 则 ， 以上是 （A）中的 个非正数元素，另外，注意到 ， 它们是 （A）中的5个正数，这表明 （A） ； 综上可知，总有 （A） ， 另一方面，当 ， ， ， ， 时， （A） ， ， ， ， ， ， ， 中恰有13个元素， 综上所述， （A）中元素个数的最小值为13．