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重难点突破 02：一元二次方程根的分布情
况
知识点一、一元二次方程根的“0”分布
一元二次方程根的“0”分布是指方程的根相对于零的关系.(如两根同正、两根同负、两根一
正一负)
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根分别为x,x,且x≤x.
1 2 1 2
[性质1] x>0,x>0
1 2
Δ=b2-4ac≥0,
{
b
(两个正根) x +x =- >0,
1 2 a
c
⇔ x x = >0.
1 2 a
{Δ=b2-4ac≥0, {Δ=b2-4ac≥0,
[推广1]x>0,x>0 a>0, 或 a<0,
1 2
f (0)=c>0, f (0)=c<0,
⇔
b<0 b>0.
上述推论结合二次函数图象不难得到.
[性质2] x<0,x<0
1 2Δ=b2-4ac≥0,
{
b
(两个负根) x +x =- <0,
1 2 a
c
⇔ x x = >0.
1 2 a
{Δ=b2-4ac≥0, {Δ=b2-4ac≥0,
[推广2]x<0,x<0 a>0, 或 a<0,
1 2
f (0)=c>0, f (0)=c<0,
⇔
b>0 b<0.
由二次函数图象易知它的正确性.
c
[性质3] x<0<x <0.(一根正一根负)
1 2
a
⇔
知识点二、一元二次方程根的“k”分布(a>0)
分布情况 满足条件 大致图象
Δ>0
{
b
x,x<k - <k
1 2 2a
f (k)>0
Δ>0
{
b
x,x>k - >k
1 2 2a
f (k)>0
x<k<x f(k)<0
1 2
4.一元二次方程根在区间上的分布(a>0)分布情况 满足条件 大致图象
Δ>0
{
f (m)>0
x,x∈(m,n) f (n)>0
1 2
b
m<- <n
2a
x (m,n),x∈(m,n) f(m)·f(n)<0
1 2
∉
{f (m)f (n)<0
x∈(m,n),x∈(p,q)
1 2 f (p)f (q)<0
一．选择题（共11小题）
1．已知一元二次方程 有两个实数根 ， ，且
则 的值为
A． B． C． D．
2．设 ， 是关于 的方程 的根．若 ， ，则实
数 的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知方程 有两个不相等的实数根，且都大于 2，则实数 的取
值范围是
A． ， ， B．C． D． ， ，
4．若方程 有两个不相等的实数根，且仅有一个根在区间 内，
则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
5．关于 的方程 在 上有两个不相等的实根，则实数 的取值范
围是
A． B． C． D．
6．若函数 在区间 上有两个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
7．若一元二次方程 不等于 有一个正根和一个负根，则实数 的取值范
围为
A． B． C． D．
8．一元二次方程 有一个正根和一个负根的一个充要条件是
A． B． C． D．
9．已知一元二次方程 的两根都在 内，则实数 的取值范围是
A． B． ，
C． ， ， D． ，
10．已知关于 的方程 在区间 内有实根，则实数 的取值范围是A． ， B．
C． ， ， D． ， ，
11．已知方程 有两根，一根在 ，而另一根在 ，则实数 的取值范
围为
A． B．
C． D．
二．填空题（共9小题）
12．已知关于 的方程 的两根分别在区间 ， 内，则实数
的取值范围为 ．
13．设 ，关于 的方程 有两实数根 ， ，且
，则实数 的取值范围是 ．
14．方程 的一根大于 1，一根小于 1，则实数 的取值范围是
．
15．已知关于 的方程 有两个实数根，且一根小于 ，一根大
于 ，则实数 的取值范围为 ．
16．关于 的方程 有两实根，且一个大于4，一个小于4，则
的取值范围为 ．
17．二次方程 的两个根 与 ，当 ， 时，则实数
的取值范围为 ．
18．已知函数 有一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是 ．
19．方程 的一根在 内，另一根在 内，则实数 的取值范围
是 ．
20．一元二次方程 的一根比1大，另一根比1小，则实数 的取值
范围是 ．
三．解答题（共5小题）
21．已知二次函数 ，在下列条件下，求实数 的取值范围．
（1）两根均大于1；
（2）一个根大于1，一个根小于1．
22．设二次函数 ．
（1）若该二次函数无零点，求实数 的取值范围；
（2）方程 的两根为 ， ，若 ， ，求实数 的取值范围．
23．设二次函数 ．
（1）若 ， ，且 有两个零点，求 的取值范围；
（2）若 的解集是 ，求不等式 的解集．24．已知关于 的方程 ．
（1）若方程无实数根，求实数 的取值范围；
（2）若方程有两个小于 的实数根，求实数 的取值范围．
25．关于 的方程 的两个实根 ， ．
（1）若 ， 求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
