文档内容
重难点突破 04 轻松搞定圆锥曲线离心率二十大模型
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02题型归纳与总结...............................................................................................................................3
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式.....................................................................3
题型二：圆锥曲线第一定义................................................................................................................5
题型三：圆锥曲线第二定义..............................................................................................................10
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）......................................................................................12
题型五：利用数形结合求解..............................................................................................................15
题型六：利用正弦定理......................................................................................................................17
题型七：利用余弦定理......................................................................................................................23
题型八：内切圆问题..........................................................................................................................28
题型九：椭圆与双曲线共焦点..........................................................................................................31
题型十：利用最大顶角......................................................................................................................39
题型十一：基本不等式......................................................................................................................43
题型十二：已知⃗PF ⋅⃗PF 范围........................................................................................................45
1 2
题型十三：|⃗PF |=λ|⃗PF |............................................................................................................47
1 2
题型十四：中点弦问题......................................................................................................................50
题型十五：已知焦点三角形两底角..................................................................................................53
题型十六：利用渐近线的斜率..........................................................................................................55
题型十七：坐标法..............................................................................................................................58
题型十八：利用焦半径的取值范围..................................................................................................62
题型十九：四心问题..........................................................................................................................64
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题..........................................................................................69
03 过关测试.........................................................................................................................................76求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上
的任意一点， ； 为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线上的
任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，
若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
【典例1-1】（2024·高三·河北保定·开学考试）如图，设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ，且 ，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
所以 为直角三角形，又 ，
得 ， .
故答案为：
【典例1-2】（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： ，点
， ，若以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，且
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，得 ，即 ，
而 ，则 ，又 ，
由 ，得 ，
则 ，即 ，因此 ，整理得 ，解得 ，所以椭圆 的离心率为 .
故选：C
【变式1-1】（2024·四川雅安·三模）设 分别为双曲线 的左右焦点，过点
的直线交双曲线右支于点 ，交 轴于点 ，且 为线段 的中点，并满足 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由题意， ，设 ，则 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，即 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
又 在 双曲线上，所以 ，
结合 整理得 ，所以 ，
解得 或 （舍去），由 ，解得 .
故选：A
【变式1-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，以
为圆心的圆交 轴正半轴于点 ，交 轴于 两点，线段 与 交于点 .若 的面积为
（ 为椭圆的半焦距），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示， ，所以圆 的方程为 ，
令 ，则 ，由图可知 ，
令 ，则 或 ，所以 .
设点 ，因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
又因为直线 的方程为 ，因为点 在直线 上，所以令 ，得 ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
题型二：圆锥曲线第一定义
【典例2-1】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 为椭圆 上一点， 分别为其左、
右焦点， 为坐标原点， ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，显然点 不在x轴上， ，
则 ，
由余弦定理得 ，
因此 ，而 ，
于是 ，整理得 ，则 ，
所以 的离心率为 .故选：C
【典例2-2】（2024·高三·江西·开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，
经过点 且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为
【答案】 /0.5
【解析】由题意知 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，
故答案为：
【变式2-1】（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 且与实轴
垂直的直线交双曲线 于 两点.若 为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 为等边三角形，则 ， ，
又 ，
所以双曲线 的离心率 .
故选：A
【变式2-2】（2024·高三·湖南·开学考试）已知 为双曲线 的左焦点， 为双曲
线 左支上一点， ，则双曲线 的离心率为（ ）A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】设 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得
，所以 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，故双曲线 的离心率 .
故选：D.
【变式2-3】（2024·广东深圳·二模）P是椭圆C： （ ）上一点， 、 是 的两个焦
点， ，点 在 的平分线上， 为原点， ，且 ．则 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，设 ， ，延长 交 于A，
由题意知 ，O为 的中点，故 为 中点，
又 ，即 ，则 ，
又由 ，则 是等腰直角三角形，
故有 ，化简得 ，即 ，
代入 得 ，即 ，由 所以 ，
所以 ， .
故选：C.
【变式2-4】（2024·重庆渝中·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原
点 的直线与双曲线 交于 两点，且点 在第一象限，满足 .若点 在双曲线 上，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设双曲线右焦点为 ，连接 ，
由题意可知 关于原点对称，所以 ，
所以 是直角，由 ，可设 ，则 ，即
由双曲线的定义可知： ， ，
则 ， ，
由 是直角得： ，
则 ，解得： ，
又由 是直角得： ，
则 ，解得： ，所以离心率
故选：B.
【变式2-5】（2024·宁夏银川·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以
线段 为直径的圆与双曲线 在第一象限的交点为 ，若 的内角平分线与 轴的交点 平分线
段 ，则双曲线 的离心率为 ．【答案】 /
【解析】
的内角平分线与 轴的交点 平分线段 ，
根据角平分线的性质可得 ，
根据双曲线的定义 ，
又 ，
，
双曲线 的离心率为 ，
故答案为：
题型三：圆锥曲线第二定义
【典例3-1】古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一
定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当
时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为抛物线；当 时，轨迹为双曲线.则方程 表示的圆
锥曲线的离心率 等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
表示点 到定点 的距离与到定直线 的距离比为 ，
所以 .
故选：B
【典例3-2】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 为左支上一点， 到左准线的距
离为 ，若 、 、 成等比数列，则其离心率的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】D
【解析】 ，
，即 ①，
又 ②．
由①②解得： ， ，
又在焦点三角形 中： ，
即： ，即 ，
解得： ，
又 ，
，
故选：D．
【变式3-1】已知双曲线 的右焦点为 ，过 且斜率为 的直线交 于 、 两
点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线 的右准线为 ，
过 、 分别作 于 ， 于 ， 于 ，
如图所示：因为直线 的斜率为 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
∴ ， ，
由双曲线的第二定义得： ，
又∵ ，
∴ ，
∴
故选：B
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
【典例4-1】（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线 与直线 相交于
， 两点，点 为双曲线 上的一个动点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，且双曲线
的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】设点 ， ， ，则 且 ，
两式相减，得 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为 ，即 ，
因为焦点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，可得 ，又因为 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故答案为：
【典例4-2】（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A， 分别是椭圆 的左、右
顶点，点 在以 为直径的圆 上（点 异于A， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线
的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，易知 ，
则 ， ，
又 ，
所以 .
故选：C【变式4-1】（2024·江苏·三模）已知过坐标原点 且异于坐标轴的直线交椭圆 于
两点，过 的中点 作 轴的垂线，垂足为 ，直线 交椭圆于另一点 ，直线 的斜率
分别为 ，则 ；若 ，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】设P(x ,y )，则 ，
0 0
设 ，则 ，则 ，
故 ，结合 ， 可得
故答案为： ，
【变式4-2】（2024·四川达州·二模）双曲线 的左、右顶点分别为 为 上
一点，若直线 与直线 斜率之积为2，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意得 ，
设 ，可得 ，
即 ，又直线 与直线 斜率之积为2，
得 ，
则离心率 .
故选： .
【变式4-3】（2024·广东茂名·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线
与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，若直线 与 的斜率之积为 ，
则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 直线 经过原点， 设A(x ,y )， ， .
1 1
.
又 ， ， 两式相减，得 .
， . 离心率为 .
故选：B.
题型五：利用数形结合求解
【典例5-1】（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过
双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左､右焦点分别为 ，从 发出的光线经过图2中的 两点反射后，分别经过点 和 ，且
， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由 ，有 ，
可得 ，可得 ，有 .
在Rt 中，由 ，
不妨设 ，则 ，由勾股定理得 ，
又由双曲线的定义可得 ， ，
根据 可得 ，
解得 ，所以 ，
在Rt 中， ，可得 ，
故双曲线 的离心率为 .
故选：B.【典例5-2】（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知 是椭圆 的两个焦
点，点 在 上，若 的离心率 ，则使 为直角三角形的点 有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】由 可得 ，即 ，可得 ，
因此以 为直径作圆与 必有四个不同的交点，
因此 中以 的三角形有四个，
除此之外以 为直角， 为直角的 各有两个，
所以存在使 为直角三角形的点 共有8个.
故选：D
【变式5-1】过双曲线 的左焦点F作 的一条切线，设切点为T，该切线
与双曲线E在第一象限交于点A，若 ，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令双曲线 的右焦点为 ，半焦距为c，取线段 中点 ，连接 ，
因为 切圆 于 ，则 ，有 ，
因为 ，则有 ， ，
而 为 的中点，于是 ，即 ， ，
在 中， ，整理得 ，
所以双曲线E的离心率 .故选：C
【变式5-2】已知点 是椭圆 上的一点， 是 的两个焦点，若
，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，以 为直径的圆与椭圆相交，所以 ，
所以 ，
故选：D.
题型六：利用正弦定理
【典例6-1】（2024·江西赣州·二模）已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，M为
C左支上一点.设 ， ，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D
【解析】
因为 ，
且 ，可知 ，
两边同时乘以 可得 ，
即 ，
设 ，因为M为C左支上一点，由双曲线定义可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，
又
，
所以离心率 ，
故选：D.
【典例6-2】（2024·山西晋中·三模）已知双曲线 的左焦点为 ，过点 且斜率
为 的直线与 的两条渐近线分别交于点 ，且 分别位于第二、三象限，若 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设O为坐标原点，由 ，得 ，又两渐近线关于 轴对称，所以
直线 斜率为 ，则 ，
令 ，则 ，中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，故 ，
所以 的离心率
故选：B
【变式6-1】（2024·贵州贵阳·二模）已知双曲线 的左焦点为F，O为坐标原点，
左顶点为 是 上一点， 为等腰三角形，且外接圆的周长为 ，则双曲线 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设 在第二象限，则在等腰 中， ，如下图所示：
设 ，则 为锐角．
外接圆周长为 ，
则其半径为 ，由正弦定理可得 ，
因此 ，
设 点坐标为 ，则 ，
即 点坐标为 ，由 点在双曲线上，得 ，
整理得 ，
所以离心率 ，
故选：C．
【变式6-2】（2024·云南·模拟预测）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推
广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览
场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为 的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，阳光照射油纸伞在地
面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点
位置，则该椭圆的离心率为 .
【答案】 /
【解析】如图，伞的伞沿与地面接触点 是椭圆长轴的一个端点，
伞沿在地面上最远的投影点 是椭圆长轴的另一个端点，
对应的伞沿为 为伞的圆心， 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，
令椭圆的长半轴长为 ，半焦距为 ，由 ，
得 ，
在 中， ，
则 ，
由正弦定理得， ，解得 ，则 ，
所以该椭圆的离心率 .
故答案为： .【变式6-3】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆
上一点P，使得 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意 ， ，
，
，
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
可得 ，所以椭圆的离心率 .
故选：B.
【变式6-4】已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，P是椭圆E上的点， ，
且 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得： ，令 ，则 ， ，可得 ，
所以椭圆的离心率为： .
故选：B
【变式6-5】（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦点分别为
， ，若椭圆上存在点 （异于长轴的端点），使得 ，则该椭圆离
心率 的取值范围是______．
【答案】
【解析】由已知，得 ，由正弦定理，得 ，
所以 ．
由椭圆的几何性质，知 ，
所以 且 ，
所以 且 ，
即 且 ，
结合 ，可解得 ．
故答案为： .
【变式6-6】（2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设 、 分别为椭圆
的左、右焦点，椭圆上存在点M， ， ，使得离心率 ，
则e取值范围为 ．
【答案】
【解析】由 ， ，设 ， ，在 中，由正弦定理有：
，
离心率 ，则 ：解得： ，由于 ，得 ，
显然成立，
由 有 ，即 ，得 ，
所以椭圆离心率取值范围为 ．
故答案为： .
题型七：利用余弦定理
【典例7-1】（2024·河北衡水·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 作
直线 与渐近线 垂直，垂足为点 ，延长 交 于点 .若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 为坐标原点，则 ，从而 .
设 的左焦点为 ，连接 ，由双曲线的定义，得 .
在 中，由余弦定理，得 ，解得 .
由 ，得 ，解得 ，
所以 .
故选：B.【典例7-2】（2024·四川·模拟预测）已知双曲线 的焦点分别为 ，
过 的直线与 的左支交于 两点．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由于 ，
且 ，
设 ，则 ，故 ，
可得 ，故 ，
在 与 中由余弦定理可得：
，解得 ，故 ，
又根据题意可知 ，故离心率
故选：B.
【变式7-1】（2024·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆 的左、右焦点分别为 ，
上顶点为A，直线 与椭圆C交于另一点B，若 ，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】【解析】由椭圆的性质可得 ，设 ，在 中根据余弦定理结合椭圆的定义可得
，
即 ，
整理可得 ，即 ，故 .
又 ，故 ， ，
故 ，即 ， ，
故 ，故离心率 .
故答案为：
【变式7-2】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，
过 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ， ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，因为 ，所以 ， ，
由对称性可得 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ， ，又 ，
所以由余弦定理 ，所以 ， 的离心率 .
故选：A.
【变式7-3】（2024·山东·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，
为原点，若以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ，且 ，则 的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由以 为直径的圆与 的渐近线的一个交点为 ，可得 ，
又由 ，
在 中，由余弦定理 ，所以 ，
所以 ，所以 ，离心率 .
故选：B.
【变式7-4】（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双
曲线的右支上有一点 与双曲线的左支交于点 ，线段 的中点为 ，且满足 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．【答案】C
【解析】
因为 是线段 的中点，且 ，所以 ，
又 ，所以 是等边三角形，
设 的边长为 ，由双曲线的定义知， ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理知， ，
所以
即 ，所以离心率 .
故选：C
题型八：内切圆问题
【典例8-1】（2024·高三·广东广州·期中）已知点P是双曲线 右支上一点， 、
分别为双曲线C的左、右焦点， 的内切圆与x轴相切于点N，若 ，则双曲线C
的离心率为 .
【答案】2
【解析】直线 分别与内切圆的切点为 ，如图所示：由切线的性质可得 ，
由双曲线的定义可得 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ，因此 .
设 ，则 ，
又 ，因此 .于是 ，即 ，
所以由 ，可得 ，即 .
故答案为：2.
【典例8-2】（2024·安徽六安·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左、右焦点，点
是双曲线 右支上一点，若 的内切圆 的半径为 （ 为圆心），且 ，使得
，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，由对称性不妨设点 在第一象限，此时点 也在第一象限，
因为 ，所以 ， ，所以 ，又 ，
解得： ， ，F (−c,0)
1
所以 ，
所以 ,解得： ，所以 ，
代入双曲线方程得 ，解得： ， ，
所以离心率 .
故答案为：
【变式8-1】（2024·黑龙江·模拟预测）设 ， 是双曲线 ： 的左、右焦点，以
为直径的圆与双曲线在第一象限交于点 ，且 ，则双曲线C的离心率为 .若 内切
圆圆心I的横坐标为2，则 的面积为 .
【答案】 6
【解析】设以 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为 ，
则 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ，由勾股定理得 ，
即有 ，∴ .
设 内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，
则 ，则 ,
解之得
又由 内切圆圆心 的横坐标为2，得 ，
故 .故答案为： ，6
【变式8-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知椭圆： 的左、右焦点分别为 ，点 是
轴正半轴上一点， 交椭圆于点A，若 ，且 的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是
．
【答案】 /
【解析】如图， 的内切圆与三边分别切于点 ，
若 ，则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
则 ，可得 ，
因为 ，
即 ，可得 ，
又因为 ，
即 ，可得 ，
且 ，解得 ，
所以椭圆的离心率是 ．故答案为： .
【变式8-3】在平面直角坐标系 中，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别是 ，
，过 的直线 与 的左、右两支分别交于 、 两点，点 在 轴上，满足 ，且 经过
的内切圆圆心，则 的离心率为 ．
【答案】
【解析】 ，∴ ，∴ ，
∵ 经过 内切圆圆心，∴ 为 的角平分线，
∴ ．∴ ，∴ ，
， ，
,∴ ，于是 ，
∴ 为正三角形， ．
中，由余弦定理， .
.
∴故答案为： .
题型九：椭圆与双曲线共焦点
【典例9-1】（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆 与双曲线
有相同的左右焦点 ，若点 是 与 在第一象限内的交点，且
，设 与 的离心率分别为 ，则 的取值范围为 .
【答案】【解析】设椭圆与双曲线的焦距 ， ，
由题意可得： ， ，
， ， ，
，
， ， .
，
，设 ，则 ，
，
.
故答案为： .
【典例9-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 是椭圆 与双曲线
的一个公共点，且 ，其离心率分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【解析】设 ，由余弦定理得 ，即 ；
在椭圆 中， 等于椭圆的长轴长，因此 ，
在双曲线 中， 等于双曲线的实轴长，因此 ，
则 ．
所以 ，当且仅当 时等号成立
故选：A
【变式9-1】（多选题）已知 ， 是椭圆 与双曲线
共同的焦点， ， 分别是 ， 的离心率，点M是它们的一个交点，则以
下判断正确的有（ ）
A． 面积为
B．若 ，则
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，则 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】设 ， ， ， ，不妨设M在第一象限．
∴ ， ，∴ ， ， ．
.
对于A，在 中，由余弦定理可得 ，
，
，A正确．
对于B，在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
∴ ．
∴
∴ ，∴ ．B正确；对于C，当 时，
即 ，所以 ，所以 ．∵ ，
∴ ．设 ，∴ ，
所以 ．C错误；
对于D， ，记 ，
∴ ，即 ．D正确；
故选：ABD.
【变式9-2】（多选题）如图，P是椭圆 与双曲线 在第
一象限的交点， ,且 共焦点的离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2
D．
【答案】AD
【解析】A.由题意可知， ， ，
得 ，故A正确；
B. 中，若 ，设椭圆和双曲线的半焦距为 ，根据余弦定理， ，
整理为 ，
而 ，故B错误；
C. 若 ，则 ，则 ，
则 ，
，
当 时，等号成立，这与 矛盾，所以 ，故C错误；
D.在椭圆中， ，
，
整理为 ，
在双曲线中， ，
整理为 ，
所以 ，即 ，
而 ，则 ，故D正确.
故选：AD
【变式9-3】（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆： 与双曲线：
有公共焦点 ， ，它们的离心率分别为 ， ，P是它们在第一象限的交点，
的内切圆圆心为Q， ，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为
C．过 作直线 的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线D．两个曲线在P点处的切线互相垂直
【答案】ABD
【解析】A选项，因为 ，
所以 ，
又 ，
故 ，
则 ⊥ ，
由椭圆定义可得 ，
由双曲线定义可得 ，
解得 ，
由勾股定理得 ，即 ，
化简得 ，
即 ，
又 ，所以 ，A正确；
B选项，若 ，由余弦定理得 ，
即 ，
由（1）得 ，
代入上式得 ，即 ，
即 ，
因为又 ，所以 ，
由基本不等式得 ，即 ，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
则 的最小值为 ，B正确；C选项，过 作直线 的垂线，垂足为H，延长 交 于点 ，
因为 平分 ，由三线合一得 ， 为 的中点，
则 ，
连接 ，由中位线性质得 ，
故点H的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，C错误；
D选项，下面证明椭圆 在P(x ,y )处的切线方程为 ，理由如下：
0 0
当 时，故切线的斜率存在，设切线方程为 ，
代入椭圆方程得： ，
由 ，化简得：
，
所以 ，
把 代入 ，得： ，
于是 ，
则椭圆的切线斜率为 ，切线方程为 ，
整理得到 ，
其中 ，故 ，即 ，
当 时，此时 或 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，综上：椭圆 在P(x ,y )处的切线方程为 ；
0 0
下面证明： 上一点 的切线方程为 ，
理由如下：设过点 的切线方程为 ，与 联立得，
，
由
化简得 ，
因为 ，代入上式得 ，
整理得 ，
同除以 得， ，
即 ，
因为 ， ，
所以 ，
联立 ，两式相乘得， ，
从而 ，
故 ，
即 ，
令 ，则 ，即 ，
解得 ，即 ，故椭圆： 在P(x ,y )点处的切线斜率为 ，
0 0
双曲线 在P(x ,y )点处的切线斜率为 ，
0 0
又 ，故 ，
化简得 ，
又 ，所以 ，故
则斜率乘积为 ，
故两曲线在点 处的切线互相垂直，D正确.
故选：ABD
题型十：利用最大顶角
【典例10-1】已知椭圆 ： ，点 ， 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 ，使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图：当P在上顶点时， 最大，此时 ，
则 ，
所以 ，
即 ， ，
所以 ，
则 ，
所以椭圆的离心率的取值范围是 ，
故选：A
【典例10-2】设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆
C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当椭圆的焦点在 轴上时，由椭圆的对称性得 ,所以 ，
所以 ，
所以椭圆的离心率 ，
因为椭圆的离心率 .
当椭圆的焦点在 轴上时，同理可得 .
综合得 .
故选：B
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ，点 是 上任意一点，若圆
上存在点 、 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 ，当 不为椭圆的上、下顶点时，设直线 、 分别与圆 切于点A、B，
，∵存在 、 使得 ，∴ ，即 ，
又 ，∴ ，
连接 ，则 ，∴ ．
又 是 上任意一点，则 ，
又 ，∴ ，
则由 ，得 ，
又 ，∴ ．
故选：C．
【变式10-2】（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，满足
的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 ，
，
点的轨迹是以原点 为圆心，半焦距 为半径的圆，
又 点总在椭圆内部，
该圆内含于椭圆，即 ， ，
， ．故选：A．
题型十一：基本不等式
【典例11-1】设椭圆 的右焦点为 ，椭圆 上的两点 ， 关于原点对你，且满足
， ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点 ，由椭圆的对称性可知，四边形 为平行四边形，
又 ，即 ，所以四边形 为矩形， ，
设 ， ，在直角 中， ， ，
得 ，所以 ，令 ，得 ，
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以所以椭圆 的离心率的取值范围为 ，
故选：B
【典例11-2】设 、 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 是椭圆 准线上一点，
的最大值为60°，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，
由椭圆的对称性不妨设 为第一象限的点，即 ，
则 ， ，因为 ，
所以
，
所以 ，则 ，解得 ，
故选：A.
【变式11-1】（2024·山西运城·高三期末）已知点 为椭圆 的左顶点， 为坐标原点，
过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 ，则椭圆离心率的最大值
______________.
【答案】
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设 ， ，∴
当且仅当 取等号，
∵直线l上存在点P满足
∴
即 ，
∴ ，即 ，
所以 ，
故椭圆离心率的最大值为 .
故答案为： .
题型十二：已知⃗PF ⋅⃗PF 范围
1 2
【典例12-1】（2024·四川省南充市白塔中学高三开学考试）已知 、 分别为椭圆
的左、右焦点， 为右顶点， 为上顶点，若在线段 上（不含端点）存在不同
的两点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知点 、 、 、 ，则线段 的方程为 ，
在线段 上取一点 ，满足 ，则 ，
， ，
所以， ，
整理可得 ，
由题意可知，关于 的方程 在 时有两个不等的实根，
则 ，可得 ，可得 ，
所以， .
故选：D.
【典例12-2】已知 ， 是椭圆 ： 的左右焦点，若椭圆上存在一点 使
得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 ，
，因为 ，
所以 ，即 ，结合 可得 ，所以 .
故选：B.
【变式12-1】（2024·全国·高三开学考试）设 ， 分别是椭圆 的左､右焦点，若
椭圆E上存在点P满足 ，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，由椭圆的方程可得 ， ， ，
则 ，即 ，
由P在椭圆上可得 ，所以 ，
所以可得 ，所以 ，
由 ，所以 ，整理可得： ， ，
可得： .
故选：B
题型十三：|⃗PF |=λ|⃗PF |
1 2
【典例13-1】已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 上存在
一点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】在 中，由正弦定理可得 ,
又由 ，即 ，即 ,
设点 ，可得 ，
则 ，解得 ，
由椭圆的几何性质可得 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
又由 ，所以椭圆的离心率的取值范围是 .
故选：C.
【典例13-2】已知椭圆 的左右焦点分别为F，F，离心率为e，若椭圆上存在点P，
1 2
使得 ，则该离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，则根据椭圆的焦半径公式可得 ，
所以根据题意可得 ，
整理可得 ，
所以 ，因为P在椭圆上，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
而椭圆离心率范围为 ，故 .
故选：A
【变式13-1】已知椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 ， 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由椭圆的定义得 ，又∵ ，∴ ， ，
而 ，当且仅当点 在椭圆右顶点时等号成立，
即 ，即 ，则 ，即 .
故选：D．
【变式13-2】已知双曲线 的左右焦点分别为 ，且 .点 为双曲线
与圆 的交点，直线 （ 为坐标原点）交双曲线于另一点 ，且 ，
则 ，双曲线 的离心率的最小值为 .
【答案】 3
【解析】由题意知M在双曲线右支上， ，
设 ，设点 ，则 ，
即 ，
则 ，
即 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 .
点 在双曲线C右支上，所以 ，所以 .
由对称性可得 为 的中点，
在 中， ，
即 ，
又在 中， ，
所以 ，
由于 ，故 ，
故 ，
所以双曲线 的离心率的最小值为 .
故答案为： .
题型十四：中点弦问题
【典例14-1】（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C： 的焦
距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横坐标为 ．若直线l
与直线PF的斜率之积等于 ，则C的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】 ，
设 ，
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为 ，
所以 ，则 ，
由直线l与C相交于A，B两点，
得 ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
所以离心率 .
故答案为： .
【典例14-2】已知椭圆 的右焦点为 ，过 且斜率为1的直线 与 交于 两点，
若线段 的中点 在直线 上，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】
设 ，由题意可知直线AB的方程为 ，
线段 的中点 是直线 与直线 的交点，
联立 ，解得 ，所以 ，
另一方面，联立 ，得 .
易知 ，由韦达定理得 ，解得 ，
所以 ，故离心率 ，故D正确.
故选：D.
【变式14-1】（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交
于 两点，线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
则 ，两式相减可得 ，
，即 ，
即 ， ，故 .
故选：B【变式14-2】（2024·全国·高三开学考试）已知双曲线 与斜率为1的直线交于A，B
两点，若线段AB的中点为 ，则C的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：设 ，则 ，
所以 ，又AB的中点为 ，
所以 ，所以 ，由题意知 ，
所以 ，即 ，则C的离心率 .故A，B，D错误.
故选：C.
法二：直线AB过点 ，斜率为1，所以其方程为 ，即 ，
代入 并整理得 ，
因为 为线段AB的中点，所以 ，整理得 ，
所以C的离心率 .故A，B，D错误.
故选：C.
题型十五：已知焦点三角形两底角
【典例15-1】已知 ， 分别是椭圆 ： 的左右两个焦点，若在 上存在点 使
，且满足 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中 ，且满足 ，所以 ， ，所以
、 ，所以 ，所以；
故选：B
【典例15-2】（多选题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上存在点
（点 不与左、右顶点重合），使得 ，则双曲线 的离心率的可能取值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BC
【解析】∵ ，则离心率 ，则排除A；
记 ， ， ，
则 ，
由正弦定理结合分比定理可知： ，
则 ，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
【变式15-1】已知双曲线 的左､右焦点分别为 ， 为双曲线右支上的一点，若
在以 为直径的圆上，且 ，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在以 为直径的圆上， ，
， ， ， ，
由双曲线定义知： ，即 ，
；， ， ，
则 ， ，
即双曲线离心率的取值范围为 .
故选：D.
题型十六：利用渐近线的斜率
【典例16-1】（2024·山东淄博·二模）若双曲线 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为 ，
则离心率e为（ ）
A． B． C．√3 D．
【答案】B
【解析】 （a＞0，b＞0）渐近线方程为 ，则 .
离心率 .
故选：B.
【典例16-2】（2024·新疆·二模）过双曲线 的右焦点 向双曲线 的一条渐近线
作垂线，垂足为 ，线段FD与双曲线 交于点 ，过点 向另一条渐近线作垂线，垂足为 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，知双曲线 的渐近线方程为 ．
设双曲线 的半焦距为 ，则右焦点 到渐近线的距离 ．
设点 ，则 ，即 ．
又 ，所以 ，
解得 ．
故选：A．
【变式16-1】（2024·高三·安徽亳州·开学考试）已知双曲线 ，点 在 上，过点 作
两条渐近线的垂线，垂足分别为 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 ，则 ，即 ，
又两条渐近线方程为 ，即 ，
故有 ，
所以 ．
故选：B．
【变式16-2】（2024·福建泉州·模拟预测）设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近
线的垂线，垂足分别为A、 ．若 ，则E的离心率等于（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】设双曲线的方程为 ，且 ，
则E的两条渐近线方程分别为 ， ．设直线 的倾斜角为 ，则 ，
易得 ≌ ，所以 ，且 ，
从而 ，
所以 ，故 ，即 ，
整理，得 ，
故E的离心率等于 ．
故选：C
【变式16-3】（2024·四川遂宁·模拟预测）设 为双曲线 的左、右焦点，直
线 过左焦点 且垂直于一条渐近线，直线 与双曲线 的渐近线分别交于点 ，点 在第一象限，且
，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于渐近线 的方程分别为 ，且F (−c,0)，
1
直线 ，所以 ，
由于 ，
所以 ,
所以 是 的中点，结合 可得 ,又 ，所以 ，
故 ，所以 ，
即 ，故 ，
故选：B
题型十七：坐标法
【典例17-1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别是双曲线 的上、下焦点，
过点 且与 轴垂直的直线与 的一条渐近线相交于点 ，且 在第四象限，四边形 为平行四边形．
若直线 的倾斜角 ，则 的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
如图所示，由双曲线的对称性可知 也在双线的渐近线上，且 在第二象限，
由 轴可知 轴，设 ．
又 在渐近线 上，
所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
故答案为： .【典例17-2】（2024·吉林延边·二模）已知坐标平面xOy中，点 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上， 与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为 的中点，
点I为 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为 ， ，
不妨设点 在第二象限，则 ，
由D为 的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分 ，
则 ，有 ，且 ，
解得 ， ，所以 ，
将 即 ，代入双曲线的方程，
得 ，化简可得 ，即 ；
当点M在第三象限时，同理可得 ．
故答案为： .
【变式17-1】（2024·山东青岛·三模）已知 为坐标原点，椭圆 的左，右焦点分
别为 ，左、右顶点分 别为 ，焦距为 ，以 为直径的圆与椭圆 在第一和第三象限分
别交于 两点.且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B．√2 C． D．
【答案】D
【解析】以 为直径的圆的方程为 ，
联立 ，解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
解得 或 （舍去）.
所以 .
故椭圆 的离心率为 .
故选：D.
【变式17-2】（2024·浙江·模拟预测）双曲线C： 的左、右焦点为 ， ，直线l
过点 且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】设 ，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：
设 、 ， ，双曲线其中一条渐近线为 ，
直线 的方程为 ，①
由 ，得 ，即直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，②
由点 在双曲线上，得 ，③
联立①③，得 ，联立①②，得 ，则 ，即 ，因此 ，
所以离心率 ．
故选：C
【变式17-3】（2024·山西临汾·二模）已知点 是椭圆 的右焦点，点 在椭圆
上，线段MF与圆 相切于点 ．若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 为椭圆 的左焦点，且其焦距为 ，连接 ，
设圆 的圆心为 ，半径 ，
作图如下：
由 ， ，F(c,0)，
则 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆 ，所以 ，即 ，
易知 ，则 ，可得 ，则 ，
在 中， ，则 ，
由 ，则 ，所以 .
故选：B.题型十八：利用焦半径的取值范围
【典例18-1】已知双曲线 的左､右焦点分别为 .若双曲线 的右
支上存在点 ，使 ，则双曲线 的离心率的取值范围为___________.
【答案】
【解析】依题意，点 在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在 中，由正弦定理得：
，因 ，于是得 ，
而点P在双曲线M的右支上，即 ，从而有 ，
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有 ，
因此 ，而 ，整理得 ，即 ，
解得 ，又 ，故有 ，
所以双曲线M的离心率的取值范围为 .
故答案为：
【典例18-2】（2024·吉林长春·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点
P在双曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，， ，结合 可得 ，从而
，又因为双曲线的离心率大于 ，所以双曲线离心率的取值范围为 ，故选
B.【变式18-1】设双曲线 的焦距为 ，左、右焦点分别是 ， ，点P在C的
右支上，且 ，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，得 ，
又 ，所以 ．
故选：C
【变式18-2】在平面直角坐标系 中，椭圆 上存在点 ，使得 ，其中
、 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
【答案】
【解析】设椭圆的焦距为 ，由椭圆的定义可得 ，
解得 ， ，
由题意可得 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以椭圆离心率的取值范围是 ．
故答案为： .
【变式18-3】已知左、右焦点为 ， 的椭圆 ： （ ），圆 ：
，点A是椭圆 与圆 的交点，直线 交椭圆 于点B.若 ，则椭圆的离
心率是 .
【答案】【解析】设 ： 与x轴的交点为P，Q，不妨设 ， ， ，
根据阿波罗尼斯圆的定义，得到 ，又 ，则 ，
设 与 轴正方向形成的角为 ，则 ， ，代入 得
，
在 中， ，
c √3
由余弦定理得 ，解得 = ，即 .
a 3
故答案为： .
题型十九：四心问题
【典例19-1】（2024·湖北·模拟预测）斜率为1的直线与双曲线 交于两点 ，
点 是 上的一点，满足 的重心分别为 的外心为 .记直线 ，
的斜率为 .若 ，则双曲线 的离心率为 .
【答案】2
【解析】不妨取 的中点 .
因为 的重心为 ，且 在中线 上，
所以 .
由中点弦结论知， ，
，，
因为 ，
所以 ，
，
又由 ，可得 的外心 为 的中点，
于是由中点弦结论知 ，又 ，
所以 ，即 .
由 得， ，
解得 ，
所以双曲线 的离心率 .
故答案为：2.
【典例19-2】（2024·福建龙岩·一模）斜率为 的直线与椭圆 交于 两点，点
是椭圆上的一点，且满足 ，点 分别是 的重心，点 是 的外心.记直线
的斜率分别为 ，若 ，则椭圆 的离心率为 .
【答案】
【解析】取 的中点 ，依题意，点 是 中点，点 分别在 上，设 ，由 两式相减得 ，
直线 斜率 ，直线 斜率 ，则 ，
直线 的斜率分别为 ，同理 ，又 ，
因此 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率 .
故答案为：
【变式19-1】已知点 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，点 ， 在 的右支
上，且点 恰好为 的外心，若 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】如图，
连接 ，∵点 恰好为 的外心，∴ ，
由 ，得 ，同理 ，
又 ，∴ ，∴△ 是等边三角形，
∴ ，∴ ，解得 ．故答案为：
【变式19-2】双曲线 ，斜率为 的直线 与 交于 两点，点 在 上，且 ，
的外心为 ， 的重心为 ， 的重心为 ， ，则 的离心率 ．
【答案】
【解析】
设A(x ,y )，B(x ,y )， .
1 1 2 2
由于 ，故 的外心 就是线段 的中点，即 .
而三角形重心的坐标就是三个顶点的平均值，故 ， .
所以 .
而 都在 上， ，故 ， .
这就得到 .
而 的斜率为 ，故 ，所以
.
由 又可以得到 ， ， .
从而 ， ， .
故 ，所以 .
这就得到 ，所以离心率 .故答案为： .
【变式19-3】已知双曲线 ： 虚轴的一个顶点为 ，直线 与 交于 ， 两
点，若 的垂心在 的一条渐近线上，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，设 的垂心为 ，则有 ,
不妨设 ,则 ，
因为 在渐近线 上，所以 ，
直线 与 交于 ， 两点，
所以 ，解得 ，
所以
又因为 ,
所以 ，
整理得， ，所以 ，
故答案为: .
【变式19-4】（2024·河南新乡·三模）已知双曲线 虚轴的一个顶点为 ，直线
与 交于 ， 两点，若 的垂心在 的一条渐近线上，则 的离心率为 .
【答案】
【解析】设 的垂心为 ，则 ，
不妨设 ，则 ，代入渐近线方程 ，解得 ，
则 ，因为直线 与双曲线交于点 ， ，则 ， 两点的坐标分别为： ， ，
因为 ，
化简可得 ，
所以双曲线的离心率为 ，
故答案为： ．
题型二十：平面截圆锥（丹林球）问题
【典例20-1】“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不
同的截口曲线”，利用这个原理，小强在家里用两个射灯(射出的光锥视为圆锥)在墙上投影出两个相同的
椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥 的轴截面
是等边三角形，椭圆 所在平面为 ，则椭圆 的离心率为 ．
【答案】
【解析】设 ，由于 ，所以 ，在等边三角形 中，点 为 的中点，于是 ，在平面 中，由椭圆的对称性可知，
，连接 ，延长 与 交于点 ，
由于 为中点，所以在 中， ，
由勾股定理可得 ，
在 中， ， ， ，由余弦定理可得
，
在 中，由于 ，所以 ，
于是有 ，
设椭圆 短轴的两个顶点为 ，连接 分别交圆锥于 ，
由于 ，所以 ，
由于 为圆锥母线，所以 ，
从而有 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
所以在椭圆 中， ， ，
则 ，
则离心率为 .故答案为： .
【典例20-2】（2024·江西南昌·一模）用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符
合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，
使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点 且与两个球都相切，切点分别记为 .这个平
面截圆锥面得到交线 是 上任意一点，过点 的母线与两个球分别相切于点 ，因此有
，而 是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线 是一个椭圆.
如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与
轴夹角的正切值为 ，球的半径为4，平面 与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于 两点，记平面
与圆锥侧面相交所得曲线为 ，则曲线 的离心率为 .
【答案】 /
【解析】如图， 是圆锥与球的切点， 是球心，P是截口上任一点，
连接 ， 则 ，所以 ， ，
所以 是矩形，
连接 ，则 ，因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为 ，即 ，
所以 ，
根据对称性得 ,
所以 ，故两圆的公切线长为6
连接 ，PA，OP，设OP与球 的切线交于K，与球 的切线交于H，则 ，
所以 ，得 ，
在 中， ，
所以 ，得
曲线 的离心率为
故答案为：
【变式20-1】（2024·河北·模拟预测）数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后，在圆锥内放两个大小
不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆（如图称
为丹德林双球模型）．若圆锥的轴截面为正三角形，则用与圆锥的轴成 角的平面截圆锥所得椭圆的离
心率为 ．
√3 1
【答案】 / √3
3 3【解析】令两个球 分别与截面相切于点 ，在截口曲线上任取一点 ，过点 作圆锥的母线，
分别与两个球相切于 ， 均为球 的切线，则 ，同理 ，
因此 ，由切点 的产生方式知， 长为定值，
于是截口曲线上任意点 到定点 的距离和为定值，该曲线是以点 为焦点的椭圆，
作出几何体的轴截面，如图，设 ，依题意， ，
则 ，椭圆的长轴长 ，半焦距为c，
则 ，因此 ，所以离心率 .
故答案为：
【变式20-2】（2024·广东广州·一模）如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截
口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中
球 ，球 的半径分别为4和2，球心距离 ，截面分别与球 ，球 相切于点 （
是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于 .【答案】
【解析】设 ，
由 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
设直线 与圆锥的母线相交于点 ， 圆锥的母线与球相切于 两点，如图所示，
则 ，
两式相加得 ，即 ，
过 作 ，垂直为 ，
则四边形 为矩形，所以 ， ，
所以椭圆的离心率为 .
故答案为：【变式20-3】如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个
问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin（1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆
锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E，F，在截
口曲线上任取一点A，过A作圆锥的母线，分别与两个球相切于C，B，由球和圆的几何性质，可以知道，
，于是 ．由B，C的产生方法可知，它们之间的距离 是定
值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E，F为焦点的椭圆．如图②，一个半径为3的球放在桌面上，桌面
上方有一个点光源P，则球在桌面上的投影是椭圆．已知 是椭圆的长轴， 垂直于桌面且与球相切，
，则椭圆的离心率为 ．【答案】 /0.75
【解析】依题意，作截面 ，如图所示，
圆 是 内切圆，圆 切 于 ，切 于 ， ，圆 半径即球半径为 ，
所以 ， ，
则在 中， ，所以 ，
故在 中， ，
所以 ，即 ，
根据椭圆在圆锥中的截面与二面球相切的切点为椭圆的焦点可知： 为椭圆的一个焦点，
又因为 ，所以 ，故 ，
所以该椭圆的离心率为 .
故答案为： .
.
1．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近
线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ，则F(−c,0)，
不妨取一条渐近线为 ，则 ，
联立方程 ，解得 ，
由对称性可知：点 为线段 的中点，
则 ，
即 ，解得 ，则 ，
所以C的离心率为 .
故选：B.
2．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，P为C上
一点，满足 ，以C的短轴为直径作圆O，截直线 的弦长为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，取弦AB的中点D，连接 ，则 ，即 ，因为 ，
所以 ，因为O为 的中点，所以D是 的中点，所以 ，
因为 ，所以OD垂直平分弦AB，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由椭圆定义可得 ， ，所以 ，解得 ， ，
所以离心率为 ，
故选：A．
3．已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且 ， 的垂直平分线经
过点 ，若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】
因为 的垂直平分线经过点 ，
则 ，
记椭圆长半轴长为 ，双曲线实半轴长为
由椭圆定义得 ，所以 ，
由双曲线定义知： ，所以 ，
故 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：B.
4．（2024·江西新余·二模）如图，已知 为双曲线 上一动点，过 作双曲线
的切线交 轴于点 ，过点 作 于点 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，令 ，则 ，故 ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
由 ， 轴，故 与 相似，
故 ，及 ，
即 .
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，则 ．
其中双曲线 上一点 的切线方程 ，证明如下：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由 ，得 ，所以 ，
则在 的切线斜率 ，
所以在点 处的切线方程为： ，
又有 ，化简即可得切线方程为： ．
故选：B.5．（2024·四川自贡·三模）设 ， 分别为双曲线 （ ， ）的上，下焦点，过点
的直线 与 的一条渐近线交于点 ，若 轴，且点 到 的距离为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，上焦点 ，下焦点 ，
由 ，解得 ，不妨取 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
又点 到 的距离为 ，则 ，
即 ，又 ，所以 ，即 ，
所以离心率 .
故选：B
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，过 作双曲线
的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 （ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】D【解析】由双曲线的几何性质知道， ， ，
∵ ，
∴ ，∴离心率 .
故选：D.
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知直线 与椭圆C： 交于 ， 两点，以线
段 为直径的圆过椭圆的左焦点 ，若 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取右焦点 ，连接 、 ，由 在以线段 为直径的圆上，
故 ，结合对称性可知四边形 为矩形，有 ，
有 ，又 ，
由 ，则 ， ，
由椭圆定义可得 ，
故 ，
则 .
故选：C.8．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 的左右焦点分别为 ，点 ，
线段 ， 分别交 于 两点，过点 作 的切线交 于 ，且 ，则 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆 的左右焦点分别为 ，
点 ，且 ，设 ，
则有 ，解得 ，
由 ，所以 ，又 ，所以 ，
又椭圆 在 处的切线方程为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 ,
所以椭圆 的离心率为 .
故选：B.
9．（2024·高三·湖北武汉·开学考试）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过
的直线与双曲线的右支交于 两点，若 的周长为 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据双曲线定义知： 的周长为 ，而 ，
所以 ，而 的周长为 ，
所以 ，即 ，所以 ，解得 ，
双曲线离心率的取值范围是 .
故选：D
10．（2024·陕西安康·模拟预测）已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为坐
标原点.以 为圆心作与双曲线 的两条渐近线都相切的圆，切点分别为 ，记四边形 的面积为
，过右焦点 作直线 垂直于 轴，交双曲线 于 两点，记 的面积为 .若 ，则双曲线
的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，知双曲线 的左焦点F (−c,0)（ 为半焦距）到渐近线 的距离为 ，
1
所以四边形 的面积 .
将 代入双曲线 的方程，得 ，
即 ，所以 .由 ，知 ，即 ，所以 .
又 ，所以 ，两边同时除以 ，并整理，得 ，
解得 ，所以 （负值舍去）.
故选：D.
11．（2024·重庆·模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，直线
与C分别交于 两点（A在x轴上方），与y轴交于点 为坐标原点．若 ，则C的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，直线l过点F，如图所示，
所以 ，而 ，
所以 ．
由
．
解得 ．
设C的右焦点为 ，
在 中，由余弦定理可得
，
解得 ．
由椭圆的定义知 ，
则C的离心率 ．
故选：D．12．（2024·高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆 与双曲线 ，
若在双曲线 上存在一点P，使得过点P所作的圆 的两条切线，切点为A，B，且 ，则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】连接 、 、 ，则 ， ，
由切线长定理可知， ，又因为 ，
所以， ，所以， ，
则 ，
设点 ，则 ，且 ，所以，
，
所以， ，故 .
故选：B.13．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左、右焦
点分别为 ， 为 右支上的一点，满足 ，以点 为圆心、 为半径的圆与线段 相交于
A，B两点，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，所以 是直角三角形，
过点O作 于点C，又 ，
在 中，由勾股定理得
易得 ,，所以 是 的中位线，所以
由双曲线第一定义可知： ，所以 ，
在 中，由勾股定理得， ，即 ，又因为双曲线中
，所以 ，
所以 .
故选：D.
14．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐标系 中，已知直线 与双曲线 的
左右两支分别交于 两点， 是线段 的中点， 是 轴上一点(非原点)，且
，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】设 且 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ，设直线 的方程为 ， ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，①
，
因为 ， 是线段 的中点，
所以 ，即 ，化简得 ，
由①，得 ，所以 ，
所以 ，
所以离心率 ，
故选：B
15．（2024·陕西铜川·三模）已知 为椭圆 的左､右焦点，点 在 上且位于第
一象限，圆 与线段 的延长线､线段 以及 轴均相切， 的内切圆的圆心为 .若圆 与圆
外切，且圆 与圆 的面积之比为9，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知及平面几何知识可得圆心 在 的角平分线上.如图，设圆 与 轴的切点分别为 ，由平面几何知识可得，
直线 为两圆的公切线，公切点 也在 的角平分线上，
则 ，所以 ，
由椭圆的定义知 ，则 ，
，
，
.
又圆 与圆 的面积之比为 圆 与圆 的半径之比为3，
所以 ，即 ，故椭圆 的离心率 .
故选：A
16．（2024·高三·江苏南京·期中）已知直线 与椭圆 交于 两点，线
段 的中点为 ，则 的离心率可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，则 ，故 ，
因为线段 的中点为
所以 ，故 ，
又 ，则 ，即 ，
因为 ，即 ，
故椭圆 的离心率 ，
故椭圆离心率范围为 .
故选：D.
17．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直线交 于 两点，若
的最大值为8，则 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，可知 ，
所以当 最小时， 最大，
由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
当直线AB垂直于 轴时， 取得最小值 ，此时 ，
由 解得 ，此时 的离心率 .故选：A.
18．（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C： 的右支上存在 ，
到点 的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，结合双曲线的对称性可知，
存在以点 为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点，
所以当双曲线上的点 到点P的距离最小时，点Q不可为双曲线的右顶点，
设点 ，则 ，
又因为由 ，可得 ，
所以 ，
要使 最小， ，则 ，解得 ，
所以 ，
又因为双曲线中 ，所以 .
故选：A
19．（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线 的右焦点为 ，过 的直线
与 交于点 ，且满足 的直线 恰有三条，则双曲线 的离心率的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意知道直线与双曲线两支分别相交，且有两条直线与双曲线同一支相交．
显然满足 的直线 有1条为x轴， 为左右顶点，长度为实轴长， .2b2
当直线 过 ，刚好垂直x轴时，令 ，可求得|AB|= .此时直线 只有1条.
a
加上前面的1条，总共2条，不满足题意.
如图，
运用双曲线对称性知道 时，刚好有2条，总共3条，满足题意.
即 .则 .又由于 ，
则双曲线 的离心率的取值范围为 .
故答案为： .
20．（2024·江苏南通·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为 ，开口直径为
．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点D时，椭圆的离心率等于 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设 ,因 ,故 ，又 ，
由余弦定理， ，
即 ，
设椭圆中心为 ，作圆锥的轴截面 ，与底面直径 交于 ，与椭圆交于 ， ，
连 交 于 ，以点 为原点， 为 轴，建立直角坐标系，
过 点作 ，
则 ，
，
则 ，
，
则 ，
又由 得： ，
,
从而 ，
则得 ，
不妨设椭圆方程为 ，把 和点 坐标代入方程，
解得 ，
则 ，故 .
故答案为： .
21．如图所示圆锥， 为母线 的中点，点 为底面圆心， 为底面圆的直径，且 ， ， 的长
度成等比数列，一个平面过 ， ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该
椭圆的离心率为 ．
√5 1
【答案】 / √5
5 5
【解析】令 ，则 ，又 ， ， 的长度成等比数列，
所以 ，即 ，
由题意，显然 ，在直角△ 中 ，则 ，
所以△ 为等腰直角三角形，故圆锥轴截面 为等腰直角三角形且 ，
所以 ，即椭圆长轴长 ，则 ，
轴截面 如下图示：该椭圆的短轴与圆锥底面平行，过 作 交 于 ，交 于 ，则
，
为 中点，所以 为 中点，即 为椭圆中心，
过 作 交 于 ，
综上，有△ △ 均为等腰直角三角形，故 ，则 ，
同理△ △ ，故 ，则 ，所以 ，即 ，
综上，椭圆离心率为 .
故答案为：
22．（2024·四川德阳·一模）已知有相同焦点 、 的椭圆和双曲线交于点 ， ，椭圆和双曲
线的离心率分别是 、 ，那么 （点 为坐标原点）．
【答案】
【解析】设椭圆的长半周长为 ，双曲线的实半轴长为 ，它们的半焦距都为 ，
并设 ，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即
在 中，由余弦定理得 ，
即
又由 ,
两式相加，则 ，
又由 ，所以 ，
所以 ，即 .
23．设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交C于A，B
两点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，
又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，故 ，即 ，所以 .
故答案为：
