拓展拔高 1 一元二次方程根的分布
设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x ,x ,而m,n,k为常数,令f(x)=ax2+bx+c,结
1 2
合二次函数的图象,以 a>0 的情形为例,对于一元二次方程根的分布的讨论常见
情形总结如下:
f (m)>0,
{
(1)若方程有两个均大于m的实根,即x ,x ∈(m,+∞),则有 Δ≥0,
1 2
b
- >m.
2a
f (m)≥0,
{
f (n)≥0,
(2)若方程在[m,n]内有两根,即x ,x ∈[m,n],则有
1 2 Δ≥0,
b
m≤- ≤n.
2a
(3)若方程有两根,一根比m大,一根比m小,即x <m<x ,则有f(m)<0.
1 2
{f (m)>0,
(4)若m<x <n<x <k,则有 f (n)<0,
1 2
f (k)>0.
(5)若方程有两个不同的根,且在(m,n)内有且仅有一个根,则 f(m)·f(n)<0 或 f(m)=0,
另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内.
视角一 已知两根与实数k的大小关系
[例1](1)若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是(
)
A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,
a≠0
{
所以 Δ=4a2-4a>0,解得a>1,
1
>0
a
故实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)已知关于 x 的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0 有一正根和一负根,则实数 m 的
取值范围是 .
2m m-1 m-1
【解析】方法一:显然 2m+1≠0,令 f(x)=x2- x+ ,则 f(0)<0,即 <0,所以
2m+1 2m+1 2m+1
1
(2m+1)(m-1)<0,解得- <m<1.
2
m-1
方法二:设x ,x 是方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0的两个根,则x x = <0,
1 2 1 2 2m+1
1
解得- <m<1.
2
1
答案: (- ,1)
2
思维升华
当方程中二次项系数有字母参数时,为避免讨论对应二次函数图象的开口方向,
可将方程两边同时除以二次项系数,从而只需研究开口向上的情况,当然需要先
判断二次项系数能否为0.
【加练备选】
若关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,则实数k的取值范围为 .
【解析】由题意,关于x的方程x2-kx+2=0的一根大于-1,另一根小于-1,
设f(x)=x2-kx+2,
根据二次函数的性质,可得f(-1)=k+3<0,
解得k<-3,
所以实数k的取值范围为(-∞,-3).
答案:(-∞,-3)
视角二 已知两根所在的区间
[例 2](1)关于 x 的方程 x2+(m-2)x+2m-1=0 恰有一根在区间(0,1)内,则实数 m 的取
值范围是( )
1 3 1 2 1 1 2
A. [ , ] B. ( , ] C. [ ,2) D. ( , ]∪{6-2√7}
2 2 2 3 2 2 3
【 解 析 】 选 D. 将 方 程 x2+(m-2)x+2m-1=0 对 应 的 二 次 函 数 设 为 f(x)=x2+
(m-2)x+2m-1,
因为方程x2+(m-2)x+2m-1=0恰有一根在区间(0,1)内,则需要满足:
①f(0)·f(1)<0,即(2m-1)(3m-2)<0,
1 2
解得 <m< ;
2 3
②函数f(x)刚好经过点(0,0)或者点(1,0),另一个零点在区间(0,1)内,把点(0,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
1
解得m= ,
2
3 3
此时方程为x2- x=0,两根为0, ,
2 2
3
而 ∉(0,1),不合题意,舍去;
2
把点(1,0)代入f(x)=x2+(m-2)x+2m-1,
2
解得m= ,
3
1
此时方程为3x2-4x+1=0,两根为1, ,
3
1
而 ∈(0,1),故符合题意;
3
③函数与x轴只有一个交点,其横坐标在区间(0,1)内,
Δ=(m-2)2-4(2m-1)=0,解得m=6±2√7,
当m=6+2√7时,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为-2-√7 (0,1),不合题意;
∉
若m=6-2√7,方程x2+(m-2)x+2m-1=0的根为√7-2,符合题意.
1 2
综上,实数m的取值范围为( , ]∪{6-2√7}.
2 3
(2)已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.①若方程有两根,其中一根在区间
(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则实数m的取值范围为 ;
【解析】①设函数f(x)=x2+2mx+2m+1,
则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,f (0)=2m+1<0,
{
f (-1)=2>0,
由题意,得
f (1)=4m+2<0,
f (2)=6m+5>0,
1
{m<- ,
2
m∈R,
即
1
m<- ,
2
5
m>- ,
6
5 1
解得- <m<- .
6 2
②若方程两根均在区间(0,1)内,则实数m的取值范围为 .
【解析】②由题意知函数 f(x)=x2+2mx+2m+1 的图象与 x 轴的交点落在区间(0,1)
内,画出示意图如图,
f (0)=2m+1>0,
{
由题意,得 f (1)=4m+2>0,
Δ=4m2-4(2m+1)≥0,
0<-m<1,1
{ m>- ,
2
即 1
m>- ,
2
m≥1+√2或m≤1-√2,
-1<m<0,
1
解得- <m≤1-√2.
2
5 1 1
答案:①(- ,- ) ②(- ,1-√2]
6 2 2
思维升华
求解二次方程根的分布问题,最重要的是数形结合,即结合对应二次函数的图象,
从以下角度考虑:①开口方向;②对称轴;③判别式;④在区间端点的函数值.
提醒:注意以下两点:一是特殊点(含参的二次函数过的一些定点(比如与 x,y 轴的
交点)或某些函数值的正负)的应用;二是对于一些特殊情况,还可以利用根与系数
的关系、因式分解求出根再求解等方法.
视角三 可转化为一元二次方程根的分布的问题
[例 3](1)(2023·黄山模拟)若函数 f(x)=4x-m·2x+m+3 有两个不同的零点 x ,x ,且
1 2
x ∈(0,1),x ∈(2,+∞),则实数m的取值范围为( )
1 2
A.(-∞,-2)
B.(-∞,-2)∪(6,+∞)
C.(7,+∞)D.(-∞,-3)
【解析】选C.设t=2x,则t>0,则转化为函数g(t)=t2-mt+m+3有两个不同的零点t ,t ,
1 2
且t ∈(1,2),t ∈(4,+∞),
1 2
{g(1)>0,
所以 g(2)<0,
g(4)<0,
{
1-m+m+3>0,
即 4-2m+m+3<0,
16-4m+m+3<0,
解得m>7.
3 9
(2)(2023·石家庄模拟)设函数 f(x)=- cos 2x+asin x+a+ ,若方程 f(x)=0在(0,π)上有
2 2
4个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 .
3 9
【 解 析 】 f(x)=- (1-2sin 2x)+asin x+a+ =3sin 2x+asin x+a+3,x∈ (0,π), 令 sin
2 2
x=t,t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,当 0<t<1 时,sin x=t 有两个不相等的实数根,当 t=1
时,sin x=t有且仅有一个实数根,因为方程f(x)=0在(0,π)上有4个不相等的实数根,
所以原问题等价于 h(t)=3t2+at+a+3=0在区间(0,1)上有两个不相等的实数根,所以
a
{ 0<- <1,
6
Δ=a2-12(a+3)>0,
ℎ
(0)=a+3>0,
ℎ
(1)=2a+6>0,解得-3<a<6-6√2.
答案:(-3,6-6√2)
思维升华
(1)一元二次方程根的分布问题很多都涉及函数零点个数问题或方程根的个数问
题,经过换元后都能转化为根的分布问题求解.
(2)本题中,令 sin x=t,将原问题转化为 3t2+at+a+3=0 在区间(0,1)上有两个不相等
的实数根的问题,进而转化为一元二次方程根的分布问题.
