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拓展拔高 1 一元二次方程根的分布
设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x ,x ,而m,n,k为常数,令f(x)=ax2+bx+c,结
1 2
合二次函数的图象,以 a>0 的情形为例,对于一元二次方程根的分布的讨论常见
情形总结如下:
f (m)>0,
{
(1)若方程有两个均大于m的实根,即x ,x ∈(m,+∞),则有 Δ≥0,
1 2
b
- >m.
2a
f (m)≥0,
{
f (n)≥0,
(2)若方程在[m,n]内有两根,即x ,x ∈[m,n],则有
1 2 Δ≥0,
b
m≤- ≤n.
2a
(3)若方程有两根,一根比m大,一根比m小,即x 0,
(4)若m0.
(5)若方程有两个不同的根,且在(m,n)内有且仅有一个根,则 f(m)·f(n)<0 或 f(m)=0,
另一根在(m,n)内,或f(n)=0,另一根在(m,n)内.
视角一 已知两根与实数k的大小关系
[例1](1)若关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,则实数a的取值范围是(
)
A.(0,1) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(-∞,0)【解析】选C.因为关于x的方程ax2-2ax+1=0有两个不同的正根,
a≠0
{
所以 Δ=4a2-4a>0,解得a>1,
1
>0
a
故实数a的取值范围是(1,+∞).
(2)已知关于 x 的二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0 有一正根和一负根,则实数 m 的
取值范围是 .
2m m-1 m-1
【解析】方法一:显然 2m+1≠0,令 f(x)=x2- x+ ,则 f(0)<0,即 <0,所以
2m+1 2m+1 2m+1
1
(2m+1)(m-1)<0,解得- 0,
由题意,得
f (1)=4m+2<0,
f (2)=6m+5>0,
1
{m<- ,
2
m∈R,
即
1
m<- ,
2
5
m>- ,
6
5 1
解得- 0,
{
由题意,得 f (1)=4m+2>0,
Δ=4m2-4(2m+1)≥0,
0<-m<1,1
{ m>- ,
2
即 1
m>- ,
2
m≥1+√2或m≤1-√2,
-10,则转化为函数g(t)=t2-mt+m+3有两个不同的零点t ,t ,
1 2
且t ∈(1,2),t ∈(4,+∞),
1 2
{g(1)>0,
所以 g(2)<0,
g(4)<0,
{
1-m+m+3>0,
即 4-2m+m+3<0,
16-4m+m+3<0,
解得m>7.
3 9
(2)(2023·石家庄模拟)设函数 f(x)=- cos 2x+asin x+a+ ,若方程 f(x)=0在(0,π)上有
2 2
4个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 .
3 9
【 解 析 】 f(x)=- (1-2sin 2x)+asin x+a+ =3sin 2x+asin x+a+3,x∈ (0,π), 令 sin
2 2
x=t,t∈(0,1],h(t)=3t2+at+a+3,当 00,
ℎ
(0)=a+3>0,
ℎ
(1)=2a+6>0,解得-3
