文档内容
专题 01 集合
目录
题型一： 集合的基本概念...............................................................................................................4
题型二： 集合间的基本关系...........................................................................................................6
题型三： 集合的运算.......................................................................................................................9
题型四： 求参数的取值范围.........................................................................................................11
题型五： 集合中的新定义问题....................................................................................................12
知识点总结
知识点一、集合的概念
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N * ( 或 N ) Z Q R
＋
注意
N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N 的含义是一样的，表示正整数集，不包
＋
含0.
知识点二、集合间的基本关系
表示关系 文字语言 符号语言 Venn图
构成两个集合的元素是一
相等 A ⊆ B 且 B ⊆ A ⇔A＝B
样的
集合A中任意一个元素都
集合间的 子集 A ⊆ B 或 B ⊇ A
是集合B中的元素
基本关系
集合A是集合B的子集，
真子集 A B 或 B A
但存在元素x∈B，且x∉A
任何一个集合是它本身的子集 A⊆A
A⊆B，B⊆C⇒
若A是B的子集，B是C的子集，则A
是C的子集
A ⊆ C
结论
∅⊆A
空集是任何集合的子集，是任何非空集
∅B
合的真子集
(B≠∅)
知识点三、集合的基本运算
并集 交集 补集
图形
表示
符号 A∪B＝ A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁ A＝{x|x∈U，且x∉A}
U表示 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B }
A∪(∁ A)＝U；
U
A∪∅＝A； A∩∅＝∅；
A∩(∁ A)＝∅；
U
A∪A＝A； A∩A＝A；
性质 ∁ (∁ A)＝A；
U U
A∪B＝B∪A； A∩B＝B∩A；
∁ (A∩B)＝(∁ A)∪(∁ B)；
U U U
A∪B＝A⇔ B ⊆ A A∩B＝A⇔ A ⊆ B
∁ (A∪B)＝(∁ A)∩(∁ B)
U U U
知识点四、区分下列集合的表示含义
集合 {x|f(x)＝0} {x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)} {(x，y)|y＝f(x)}
方程 f(x)＝0的解 不等式 f(x)>0 的 函数 y＝f(x)的定 函数 y＝f(x)的值 函数 y＝f(x)图象
含义
集 解集 义域 域 上的点
【常用结论与知识拓展】
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，
非空真子集有2n－2个．
(2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．
(3)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B.
(4)A∩B＝A∪B⇔A＝B.
(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁ A)⊇(∁ B)⇔A∩(∁ B)＝∅.
U U U
(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，
A∩(∁ B)，B∩(∁ A)，∁ (A∪B)．
U U U(7)用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝
card(A)＋card(B)－card(A∩B).
例题精讲
题型一：集合的基本概念
【要点讲解】
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集
合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合。集合中元素的互异性常常容易忽略，特别
是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。分类讨
论的思想方法常用于解决集合问题
【例1】（2022•长沙模拟）已知集合 ， ，下列选项中均为 的元素的是
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ， ．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）
【变式训练1】（2022秋•宜阳县校级月考）集合 的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【例2】（2022秋•南昌期末）已知集合 ， ， ，则 中元素的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】（2022•道里区校级四模）已知集合 ，则
中元素的个数为
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式训练2】（2022•河北模拟）已知集合 ，2， ， ， ，
，则 中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
【例3】（2022秋•西安）集合 ，2， ， ，3， ， ，
， ，则 中的元素个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练1】（2022秋•汉滨区）已知集合 ，0，1， ， ，
， ，则集合 中所有的元素之和为
A．0 B．2 C． D．
【变式训练2】（2023•潍坊模拟）已知集合 ，0， ， ，
，则集合 中所有元素之和为
A．0 B．1 C． D．
【例4】（2022秋•武陵区）若关于 的方程 的解集中有且仅有一个元素，则实数 的值组成的集合中的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1】（2021•江西模拟）已知集合 ， 只有一个元素，
则 的取值集合为
A． B． C． ， ， D． ，
【变式训练2】（2023•延边州二模）已知集合 的元素只有一个，则
实数 的值为
A． B．0 C． 或0 D．无解
【例5】（2022秋•山西）已知集合 中元素 满足 ，且 ， ，则
A． B． C． D．
【变式训练1】（2022•聊城二模）已知集合 ，1， ， ， ，则集
合 中元素个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式训练2】（2021•麒麟区校级模拟）设集合 ，0，1， ， ， ，
， ， ，则集合 中元素的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【例6】（2022•全国一模）已知集合 ，3，4，5， ， ， ，
，则 中所含元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．6
【变式训练1】（2022•全国一模）已知集合 ，3，4，5， ， ，
， ，则 中所含元素的个数为
A．3 B．6 C．8 D．10
【变式训练2】（2022秋•川汇区校级期末）已知集合 ，2， ， ，
， 中所含元素的个数为
A．2 B．4 C．6 D．8
题型二：集合间的基本关系
【要点讲解】
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空
集的情况，否则会造成漏解；已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素
或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类
问题。
【例7】（2023•咸阳模拟）设集合 ，则集合 的真子集个数是
A．6 B．7 C．8 D．15
【变式训练1】（2023•黄埔区校级模拟）设集合 ， ，则集合
的真子集个数为
A．8 B．7 C．4 D．3
【变式训练2】（2023•乌鲁木齐模拟）已知集合 满足 ， ，2，3， ，那
么这样的集合 的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3】（2023•全国二模）下列集合关系中错误的是A． ， B． ， C． D． ， ，
【变式训练4】（2022秋•阜南县校级月考）已知集合 ， ，则
下列说法正确的是
A． B． C． D．
【变式训练5】（2022•全国四模）已知 ， ，则集合 、
之间的关系为
A． B． C． D．
【变式训练6】（ 2023• 重 庆 模 拟 ） 已 知 集 合 ，
，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
【变式训练7】（ 2022• 河 南 模 拟 ） 已 知 集 合 ，
，则
A． B． C． D．
【例8】（2023•延庆区一模）已知集合 ， ， ，0， ，且 ，则
等于
A．1 B．0 C． D．【变式训练1】（2023•香坊区校级一模）已知集合 ， ， ，若
，则实数 的取值集合为
A． ， ， B． C． D． ， ，0，
【变式训练2】（2023•湖南模拟）已知集合 ， ，且 ，则
实数 的取值范围为
A． B． ， C． ， D． ，
【变式训练3】（2023•北碚区校级模拟）已知集合 ，4， ， ， ，若
，则实数 组成的集合为
A． B． ， C． ，0， D． ，0，1，
【例9】（2023•大荔县一模）设三元集合 ，则
．
【变式训练1】（2022秋•新北区校级月考）已知集合 ， ， ， ， ，
，若 ，则 ．
【例10】（2022•海口模拟）已知集合 ，0， ， ，若
，则实数
A．2 B．1 C．0 D．【变式训练1】（2023•铁岭模拟）设 ， ，若 ，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式训练2】（2023•2月份模拟）设集合 ，3， ， ， ，
， ．若 ， ，则
A． B． C．1 D．3
【变式训练3】（2022•攀枝花模拟）设集合 ， ，若
，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． D． ，
【变式训练4】（2022•朝阳区校级三模）已知集合 ， ，
若 ，则实数 的取值组成的集合是
A． B． C． ， D． ，0，
题型三：集合的运算
【要点讲解】
集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成人手是解决集合运算问题的前提。有些集
合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。集合
之间的运算要注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。
【例11】（2023•乌鲁木齐三模）设集合 ，0，1， ， ，则
的子集个数为A．2 B．4 C．8 D．16
【变式训练1】（2023•全国卷模拟）已知集合 ， ，
则
A． B．
C． 或 D． 或
【例12】（2023•天津一模）设全集 ， ，0，1， ，集合 ， ， ，
1， ，则
A． B． ， ， C． ， D． ，1，
【变式训练1】（2023•全国三模）设集合 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】（2023•合肥三模）已知集合 ，集合
则集合 的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【例13】（2023•毕节市模拟）已知集合 ， ，则如图
中阴影部分表示的集合为A． B． ， C． ，2， D．
【变式训练1】（2023•吉林模拟）已知全集 ，集合 ， ，
，则下图阴影部分所对应的集合为
A． B． C． 或 D．
【变式训练2】（2022春•下期末）已知全集 ，集合 ， ，
则图中阴影部分表示的集合为
A． ， B． ， C． D． ，
【例14】（2023•商洛二模）设集合 ， ， ， ．若
，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练1】（2023•宜章县模拟）已知集合 ， ，若
，则A． B． C．2 D．6
【变式训练2】（2023•济宁二模）已知集合 ，5， ， ， ，若
，则
A． B． C．2 D．3
【变式训练3】（ 2013• 武 昌 区 校 级 模 拟 ） 若 集 合 ，
，且 ，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式训练4】（ 2010• 项 城 市 校 级 模 拟 ） 已 知 ： ，
．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
题型四：求参数的取值范围
【要点讲解】
根据集合的运算结果求参数时，可先把符号语言转化为文字语言，然后应用数形结合法求
解。
【例15】（2023•郴州模拟）已知集合 ， ， ，若
，则实数 的取值范围是A． ， B． ， C． ， D．
【变式训练1】（2023•山西模拟）已知集合 ，若
，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】（2023•怀仁市校级四模）已知集合 ，若
，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． D． ，
【变式训练3】（2023•茂名二模）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值范围是
A． B． ， C． D． ，
【变式训练4】（ 2023• 黄 山 模 拟 ） 已 知 集 合 ， ， 且
，则实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． D． ，
【例16】（ 2023• 乐 山 三 模 ） 已 知 集 合 ， ， 且
，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【变式训练1】（2023•四川模拟）设集合 ， ，集合 中恰好含有2个元素，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． ， D． ，
【变式训练2】（2023•铁岭模拟）设 ， ，若 ，
则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【变式训练3】（2023•湖北模拟）已知集合 ， ，若 中
有且仅有三个整数，则正数 的取值范围是
A． B． C． D．
题型五：集合中的新定义问题
【要点讲解】
集合新定义问题的“三定”：一定元素，确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所
有元素；二定运算，根据要求及新定义，将所求集合的运算转化为集合的交集、并集与补
集的基本运算，或转化为数的有关运算；三定结果，根据新定义，利用列举法或描述法写
出所求集合中的所有元素。
【例17】（2023•五河县模拟）对于数集 ， ，定义 ， ，
， ， ， 若集合 ， ，则集合 中所有元
素之和为
A． B． C． D．
【变式训练1】（2023•湖北模拟）用 （A）表示非空集合 中的元素个数，定义若 ， ， ， 且
，设实数 的所有可能取值组成的集合是 ，则 等于
A．7 B．5 C．3 D．1
【变式训练2】（2022•长丰县校级模拟）若 ， ，定义
且 ，则
A． 或 B． 或
C． D．
课后练习
一．选择题（共12小题）
1．（2023•南通二模）已知 ， 为 的两个非空真子集，若 ，则下列结论正
确的是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2022•渭滨区校级模拟）设集合 ， ， ，若 ，则
A． 或 或2 B． 或 C． 或2 D． 或2
3．（2023•江西模拟）已知集合 ， ， ， ， ， ，若 ，则A． B．0 C．1 D．2
4．（2023•定西模拟）已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
5．（2023•河南模拟）已知集合 为英文单词“ ”的字母组成的集合，集合 为英文
单词“ ”的字母组成的集合，则集合 的子集个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023•西宁一模）已知集合 ， ， ，则 中元素的个
数为
A．3 B．4 C．8 D．9
7．（2021•江西模拟）已知集合 ， ， ，若 ，则符合条
件的实数 的值组成的集合为
A． ， B． ， C． ，0， D． ，
8．（2023•渝中区校级一模）已知集合 ， ， ，
则
A． ， B． C． D．9．（2023•福建二模） 是正整数集的子集，满足： ， ， ，并有
如下性质：若 ， ，则 ，则 的非空子集数为
A．2022 B．2023 C． D．
10．（2021•石家庄模拟）已知集合 ， ， ， ， ， ， ，
若 ，则
A． B．2 C． D．1
11．（2023•桃城区校级模拟）已知集合 ， ，则下列结
论中正确的是
A． B．
C． D．
12．（2023•南京二模）集合 的子集个数为
A．2 B．4 C．8 D．16
13．（2022•泉州模拟）已知集合 ， 均为 的子集，若 ，则
A． B．
C． D．
14．（2021•武汉模拟）图中矩形表示集合 ， ， 是 的两个子集，则阴影部分可以表示为
A． B． C． D．
15 ． （ 2010• 南 通 模 拟 ） 记 集 合 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， ，
，将 中的元素按从大到小的顺序排列，则第
2009个数是 ．
16．（2022•宝山区模拟）已知集合 ， ， ， 是虚数单位，对任意
， ， 可以相等）均有 ，则符合条件的元素个数最多的集合
．
17．（2012•南通模拟）已知数集 ，0， 中有3个元素，则实数 不能取的值
构成的集合为 ．
18．（2018•武清区校级模拟）用列举法表示集合
21．（2023•沛县校级模拟）设 ， ，若 ，求实
数 的取值范围．
