文档内容
专题 01 集合与常用逻辑用语
一、知识速览
二、考点速览知识点1 集合与元素
1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；
2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号 或 表示
3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法
4、常见数集的记法与关系图
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
知识点2 集合间的基本关系
表示
文字语言 符号语言 图形语言
关系
集合A的所有元素都是集合B的
子集 或
元素（ 则 ）
基本
关系 集合A是集合B的子集，且集合
真子集
B中至少有一个元素不属于A 或
相等 集合A，B的元素完全相同
不含任何元素的集合．空集是任
空集
何集合A的子集
知识点3 集合的基本运算
1、集合交并补运算的表示
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言
2、集合运算中的常用二级结论
（1）并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A B A.
（2）交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A A B.
⇔ ⊆
（3）补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．∁U (∁U A)＝A；
⇔ ⊆
∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U (A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
知识点4 充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题
推出关系 p q p⇏q
p是q的充分条件 p不是q的充分条件
条件关系 ⇒
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
2、充要条件
（1）充要条件的定义
如果“若 ，则 ”和它的逆命题“若 ，则 ”均为真命题，即既有 ，又有 ，就记作
。
此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称充要条件。
（2）充要条件的含义
若 是 的充要条件，则 也是 的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，
因为这两个命题的条件与结论不同。
（3）充要条件的等价说法： 是 的充要条件又常说成是 成立当且仅当 成立，或 与 等价。
知识点5 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称量词命题
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“ ”表示．
【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；
（2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”
（2）全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题．
符号表示：通常，将含有变量 的语句用 ， ， ，…表示，变量 的取值范围用 表
示，那么，全称量词命题“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；
（2）一个全称量词命题可以包含多个变量；
（3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。
如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。
2、存在量词与存在量词命题
（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“ ”表示．
【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；
（2）存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。
符号表示：存在量词命题“存在 中的元素 ，使 成立”可用符号简记为
【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；
（2）一个存在量词命题可以包含多个变量；
（3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词
命题
3、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“ ”，读作“非p”或p的否定．
（1）全称量词命题的否定：
一般地，全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题： ．
（2）存在量词命题的否定：
一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ．
（3）命题与命题的否定的真假判断：
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然．
（4）常见正面词语的否定：
正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不 小 于 不是 不都是
（≥）
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个
否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个
一、子集的个数问题
如果集合A中含有n个元素，则有
（1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个．
（3）A的真子集的个数有2n－1个 （4）A的非空真子集的个数有2n－2个．
【典例1】（2023·重庆·校联考三模）数集 的非空真子集个数为（ ）
A．32 B．31 C．30 D．29
【答案】C
【解析】因为集合 中含有 个元素，
所以集合 的非空真子集个数为 .故选：C
【典例2】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合 ，集合
，则 的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由 得 ，所以 ，
解不等式 得 ，
所以 ，所以 的子集个数为 .故选：C
二、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．
（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；
（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．
【典例1】（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知集合 ，且 ，则a等
于（ ）A． 或 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因为 ，当 ，得 ，则 ，不合题意，故舍去.
当 ，故 (舍去)或 ，此时 ，满足.故选：D
【典例2】（2022秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中）设集合 ，若 ，则实
数 ．
【答案】2
【解析】当 时， ，此时 ，不符合条件；
当 时， ，此时 ，符合条件；
若 ，即 ，无实根，不符合条件．
所以 ．故答案为：2.
三、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围
第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
A B
第二步：看集合中是否含有参数，若 ，
且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；
第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.
常采用数形结合的思想，借助数轴解答.
【典例1】（2023·全国·模拟预测）设集合 ， ，若 ，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B．（3,4） C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，集合 ， ，
因为 ，所以 ，（注意端点值是否能取到），
解得 ，故选：B．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知集合A＝ ，B＝{x|ax＋1＝0}，且B A，则实
⊆
数a的取值可能为（ ）
A．－3 B．－2 C．0 D．3【答案】BCD
【解析】由题知B A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝ .
⊆
所以B＝ ， ， ， .
当 B＝ 时，此种情况不可能，所以舍去；
当B＝ 时， ，解得a＝3；
当B＝ 时， ，解得a＝－2；
当B＝ 时，a＝0.
综上可得实数a的可能取值为3，0，－2.故选：BCD.
四、根据集合运算的结果确定参数的取值范围
法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.
法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；
（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.
【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”；（2）千万不要忘记考虑空
集。
【典例1】（2023·海南海口·校联考一模）已知集合 ， ，若
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式 ，得 ，于是 ，而 ，
因为 ，则 ，因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .故选：B
【典例2】（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合 或 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】由集合 或 ，得 ，又集合 且 ，则 2或 ，即 或 .故选：B.
五、利用充分必要条件求参数的策略
1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关
于参数的不等式（不等式组）求解；
2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ．若“ ”是“
”的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 ，
所以 ，解得 ，即 的取值范围是 .故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知“ ”是“ ”成立的必要
不充分条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： 或 ，所以 或 ；
由 得： ，所以 .
因为 是 的必要不充分条件，即 且 ，
所以 是 或 的真子集，
所以 或 ，解得 或 .故选：A
易错点1 对集合表示方法的理解存在偏差
点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元
素类型（点集或者数集）及代表元素的含义。【典例1】（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）集合 ，集合
，全集 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于集合A，由 或 ，所以 ， ，
，故 .故选：B
【典例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知集合 ,
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解方程组 可得 或 或 ，
又因为 , ，则 .故选：D.
易错点2 忽视（漏）空集导致错误
点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往
容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，若 ，则实数
（ ）
A． 或1 B．0或1 C．1 D．
【答案】B
【解析】由集合 ，
对于方程 ，
当 时，此时方程无解，可得集合 ，满足 ；
当 时，解得 ，要使得 ，则满足 ，可得 ，
所以实数 的值为 或 .故选：B.【典例2】（2023·全国·高三对口高考）设集合 若 ，则实数
p的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若N为空集，即 ，
若N不为空集，则 且 ，
综上： .
易错点3 忽视集合元素的互异性
点拨：集合元素的互异性是集合的特征之一，集合中不可出现相同的元素。
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）由实数 所组成的集合，最多可含有（
）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意，当 时所含元素最多，
此时 分别可化为 ， ， ，
所以由实数 所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B
【典例2】（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意 可知，两集合元素全部相等，得到 或 ，
又根据集合互异性，可知 ，解得 (舍)， 和 (舍)，
所以 ， ，则 ，故选：A
易错点4 判断充分性必要性位置颠倒点拨：需要多注意倒装句的标志，解题时先翻译成正常的结构再判断计算。
【典例1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）使 成立的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C．x<2 D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
所以“ ”是“ ”的即不充分也不必要条件，故A错误；
“ ”是“ ”的充分不必要条件，故B正确；
“ ”是“ ”的即不充分也不必要条件，故C错误；
“ ”是“ ”的充要条件，故D错误.故选：B.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若 ，则p成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】p： ，即 且 ，解得 或 ，所以p： 或 ，
对于A， 是p的既不充分也不必要条件；
对于B， 即 或 ，是p的必要不充分条件；
对于C， 即 或 ，是p的充分不必要条件；
对于D， 是p的充分不必要条件；故选：B.
易错点5 对含有一个量词命题的否定理解错误
点拨：对含有一个量词的命题进行否定时，除了将存在量词命题变为全称量词命题，全称量词命题变
为存在量词命题外，不等式的否定只否定结论。
【典例】（2022秋·新疆伊犁·高三校考期中）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】根据全称命题的否定，可得 .故选：A.
