文档内容
第 01 讲 导数的概念与运算
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解导数的概念、掌握 高考对集合的考查相对稳定，考查内
基本初等函数的导数． 容、频率、题型、难度均变化不大．
（2）通过函数图象，理解导 重点考查导数的计算、四则运算法则
2022年I卷第15题，5分
数的几何意义． 的应用和求切线方程为主．
2021年甲卷第13题，5分
（3）能够用导数公式和导数
2021年I卷第7题，5分
的运算法则求简单函数的导
数，能求简单的复合函数的
导数．知识点一：导数的概念和几何性质
1、概念
函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数，记作 或 ．
知识点诠释：
①增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
②当 时， 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即 ．
2、几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的斜率．
3、物理意义
函数 在点 处的导数 是物体在 时刻的瞬时速度 ，即 ； 在点 的导数
是物体在 时刻的瞬时加速度 ，即 ．
知识点二：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数
（ 为常数）
2、导数的四则运算法则（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3、复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
【解题方法总结】
1、在点的切线方程
切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2、过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几
条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
题型一：导数的定义
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的图象如图所示，函数 的导数为
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 图象可知 ，
即 .
故选：D【对点训练1】（2023·云南楚雄·高三统考期末）已知某容器的高度为20cm，现在向容器内注入液体，且
容器内液体的高度h（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系式为 ，当 时，液体上升
高度的瞬时变化率为3cm/s，则当 时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．5cm/s B．6cm/s C．8cm/s D．10cm/s
【答案】C
【解析】由 ，求导得： .
当 时， ，解得 （ 舍去）.
故当 时，液体上升高度的瞬时变化率为 .
故选：C
【对点训练2】（2023·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数 的导函数是 ，若
，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解析】因为
所以
故选：B
【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）若函数 在 处可导，且 ，则
（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由导数定义可得 ，
所以 ．
故选：A．
【对点训练4】（2023·高三课时练习）若 在 处可导，则 可以等于（ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由导数定义 ，
对于A， ，A满足；
对于B， ，
，B不满足；
对于C， ，
，C不满足；
对于D， ，
，D不满足.
故选：A.
【解题方法总结】
对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出．
题型二：求函数的导数
【例2】（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；
【解析】（1）因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
（3）因为 ，所以（4）因为 ，所以
【对点训练5】（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【解析】（1）
.
（2） ，
所以 .
（3） .
（4）
.
（5） .
（6） ，
故
.
【对点训练6】（2023·海南·统考模拟预测）在等比数列 中， ，函数
，则 __________．
【答案】【解析】因为
，
所以 ．
因为数列 为等比数列，所以 ，
于是 ．
故答案为：
【对点训练7】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）已知可导函数 ， 定义域均为 ，对任意
满足 ，且 ，求 __________.
【答案】
【解析】由题意可知，令 ，则 ，解得 ，
由 ，得 ，即
，
令 ，得 ，即 ，
解得 .
故答案为： .
【对点训练8】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 的导函数为 ，且
，则 ______．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，故 ，故 ．
故答案为： .
【对点训练9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 __________.
【答案】-2
【解析】由函数 求导得： ，当 时， ，解得
，因此， ，所以 .
故答案为：-2
【解题方法总结】
对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题．
题型三：导数的几何意义
方向1、在点P处切线
【例3】（2023·广东广州·统考模拟预测）曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】函数 的导函数为 ，
所以函数 在 处的导数值 ，
所以曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
故答案为： .
【对点训练10】（2023·全国·高三专题练习）曲线 在点 处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
则 ，
又 ，
所以曲线在点 处的切线方程为 ，
即 ．
故答案为： .
【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 为 的导函
数.若 的图象关于直线x＝1对称，则曲线 在点 处的切线方程为______
【答案】
【解析】 ，令 ， ，则 ，
令 ， ，解得x＝2k＋1， ，
当k＝0时，x＝1，所以直线x＝1为 的一条对称轴，
故 的图象也关于直线x＝1对称，则有 ，解得b＝－1，
则 ， ，
， ，
故切线方程为 .
故答案为； .
【对点训练12】（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数 是奇函数，则曲线
在点 处的切线方程为______．
【答案】
【解析】因为 是奇函数，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立，
所以 ，则 ，故 ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简得 .
故答案为：
方向2、过点P的切线
【对点训练13】（2023·江西·校联考模拟预测）已知过原点的直线与曲线 相切，则该直线的方程是
______．
【答案】
【解析】由题意可得 ，
设该切线方程 ，且与 相切于点 ，，整理得 ，
∴ ，可得 ，∴ .
故答案为： .
【对点训练14】（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 ，过点 存在3条直线与
曲线 相切，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】由 ，设切点为 ，则切线斜率为 ，
所以，过 的切线方程为 ，
综上， ，即 ，
所以 有三个不同 值使方程成立，
即 与 有三个不同交点，而 ，
故 、 上 ， 递减， 上 ， 递增；
所以 极小值为 ，极大值为 ，故 时两函数有三个交点，
综上， 的取值范围是 .
故答案为：
【对点训练15】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过点 作曲线 的切线，写出一条切线方程：
__________.
【答案】 或 （写出一条即可）
【解析】由 可得 ，
设过点 作曲线 的切线的切点为 ，则 ，
则该切线方程为 ，
将 代入得 ，解得 或 ，故切点坐标为 或 ，
故切线方程为 或 ，
故答案为： 或
【对点训练16】（2023·海南海口·校联考模拟预测）过 轴上一点 作曲线 的切线，若
这样的切线不存在，则整数 的一个可能值为_________．
【答案】 ， ， ，只需写出一个答案即可
【解析】设切点为 ，因为 ，所以切线方程为 ．
因为切线 经过点 ，所以 ，
由题意关于 的方程 没有实数解，
则 ，解得 ．
因为 为整数，所以 的取值可能是 ， ， .
故答案为： ， ， ，只需写出一个答案即可
【对点训练17】（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切点的横坐标为
___________.
【答案】 或
【解析】由 可得 ，设切点坐标为 ，
所以切线斜率 ，又因为 ，
则切线方程为 ，
把 代入并整理可得 ，解得 或 .
故答案为： 或
【对点训练18】（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若过点 有 条直线与函数
的图象相切，则当 取最大值时， 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】设过点 的直线 与 的图象的切点为 ，
因为 ，
所以切线 的斜率为 ，
所以切线 的方程为 ，
将 代入得 ，
即 ，设 ，则 ，
由 ，得 或 ，
当 或 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，
又 0，所以 恒成立，
所以 的图象大致如图所示，
由图可知，方程 最多 个解，
即过点 的切线最多有 条，
即 的最大值为3，此时 .
故答案为： .
【对点训练19】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其导函数为 ，则曲线
过点 的切线方程为______．
【答案】 或
【解析】设切点为 ，由 ，得 ，
∴ ，得 ，∴ ， ，
∴切点 为 ， ，
∴曲线 在点M处的切线方程为 ①，
又∵该切线过点 ，∴ ，解得 或 ．
将 代入①得切线方程为 ；将 代入①得切线方程为 ，即 ．
∴曲线 过点 的切线方程为 或 ．
故答案为： 或
方向3、公切线
【对点训练20】（2023·云南保山·统考二模）若函数 与函数 的图象
存在公切线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 ，可得 ，
因为 ，设切点为 ，则 ，
则公切线方程为 ，即 ，
与 联立可得 ，
所以 ，整理可得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
令 ，其中 ，可得 ，
令 ，可得 ，函数 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递减，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递增，
所以 ，且当 时， ，所以函数 的值域为 ，所以 且 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .故选：A.
【对点训练21】（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）若直线 与曲线 相切，直线
与曲线 相切，则 的值为___________.
【答案】1
【解析】设 ，则 ，设切点为 ，则 ，
则切线方程为 ，即 ，
直线 过定点 ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ，设切点为 ，则 ，
则切线方程为 ，即 ，
直线 过定点 ，
所以 ，所以 ，
则 是函数 和 的图象与曲线 交点的横坐标，
易知 与 的图象关于直线 对称，而曲线 也关于直线 对称，
因此点 关于直线 对称，
从而 ， ，
所以 ．
故答案为：1.
【对点训练22】（2023·河北邯郸·统考三模）若曲线 与圆 有三条公切线，则 的取值
范围是____．
【答案】
【解析】曲线 在点 处的切线方程为 ，
由于直线 与圆 相切，得 （*）
因为曲线 与圆 有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，
即方程 有三个不相等的实数根.令 ，则曲线 与直线 有三个不同的交点.
显然， .
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
且当 时， ，当 时， ，
因此，只需 ，即 ，
解得 .
故答案为：
【对点训练23】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线 和曲线
恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意得 ，
设与曲线 相切的切点为 ，与曲线 相切的切点为 ，
则切线方程为 ，即 ，
，即 ，
由于两切线为同一直线，所以 ，得 ．
令 ，则 ，
当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 单调递增．
即有 处 取得极小值，也为最小值，且为 ．
又两曲线恰好存在两条公切线，即 有两解，
结合当 时， 趋近于0， 趋于负无穷小，故 趋近于正无穷大，
当 时， 趋近于正无穷大，且增加幅度远大于 的增加幅度，故 趋近于正无穷大，由此结合图像可得a的范围是 ，
故答案为：
【对点训练24】（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线 与曲线
有且只有一条公切线，则 ________．
【答案】
【解析】设曲线 在 处的切线与曲线 相切于 处，
，故曲线 在 处的切线方程为 ，
整理得 .
，故曲线 在 处的切线方程为 ，
整理得 .
故
由(1)再结合 知 ，将(1)代入(2) ，得 ，
解得 且 ，
将 代入(1) ，解得 且 ，
即 且 ，令 ，则 ， .
令 ， ，
则 在区间 单调递增，在区间 单调递减，且 ，
又两曲线有且只有一条公切线，所以 只有一个根，由图和 知 .
故答案为： .【对点训练25】（2023·福建南平·统考模拟预测）已知曲线 和曲线 有唯一公共点，且这两
条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．
【答案】
【解析】设曲线 和曲线 在公共点 处的切线相同，
则 ，
由题意知 ，
即 ，解得 ，
故切点为 ，切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 ，
故答案为：
方向4、已知切线求参数问题
【对点训练26】（2023·江苏·校联考模拟预测）若曲线 有两条过 的切线，则a的范围是
______.
【答案】
【解析】设切线切点为 ，因 ，则切线方程为：
.
因过 ，则 ，由题函数 图象
与直线 有两个交点. ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ， ， .据此可得 大致图象如下.则由图可得，当 时，曲线 有两条过 的切线.
故答案为：
【对点训练27】（2023·山东聊城·统考三模）若直线 与曲线 相切，则 的最大值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解析】设切点坐标为 ，因为 ，
所以 ，故切线的斜率为： ，
，则 .
又由于切点 在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 .
令 ，则 ，设 ，
，令 得： ，
所以当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数.
所以 .
所以 的最大值为：1.
故选：B.
【对点训练28】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 相切，则实数a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由 且x不为0，得设切点为 ，则 ，即 ，
所以 ，可得 .
故选：C
【对点训练29】（2023·海南·校联考模拟预测）已知偶函数 在点 处
的切线方程为 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 是偶函数，所以 ，即 ；
由题意可得： ，
所以 .
故选：A
【对点训练30】（2023·全国·高三专题练习）已知 是曲线 上的任一点，若曲线在 点
处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
因为曲线 在其上任意一点 点处的切线的倾斜角均是不小于 的锐角，
所以， 对任意的 恒成立，则 ，
当 时，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，解得 .
故选：B.【对点训练31】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，直线 与曲线
相切，则 的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】D
【解析】对 求导得 ，
由 得 ，则 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号．
故选：D．
方向5、切线的条数问题
【对点训练32】（2023·河北·高三校联考阶段练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出函数 的图象，由图象可知点 在函数图象上方时，过此点可以作曲线的两条切
线，
所以 ，
故选：B．
【对点训练33】（2023·全国·高三专题练习）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设切点坐标为 ，由于 ，因此切线方程为 ，又切线过点 ，则
， ，
设 ，函数定义域是 ，则直线 与曲线 有两个不同的交点，
，
当 时， 恒成立， 在定义域内单调递增，不合题意；当 时， 时， ，
单调递减，
时， ， 单调递增，所以 ，结合图像知 ，即 .
故选：D.
【对点训练34】（2023·湖南·校联考二模）若经过点 可以且仅可以作曲线 的一条切线，则下列
选项正确的是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】设切点 ．因为 ，所以 ，
所以点 处的切线方程为 ，
又因为切线经过点 ，所以 ，即 .
令 ，则 与 有且仅有1个交点， ，当 时， 恒成立，所以 单调递增，显然 时， ，于是符合题意；
当 时，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，所以
，
则 ，即 ．
综上， 或 ．
故选：D
方向6、切线平行、垂直、重合问题
【对点训练35】（2023·全国·高三专题练习）若函数 与 的图象有一条公共切线，
且该公共切线与直线 平行，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设函数 图象上切点为 ，因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，所以切线方程为 ，即 ，设函数 的图象上的切
点为 ，因为 ，所以 ，即 ，
又 ，即 ，所以 ，即 ，
解得 或 （舍），所以 ．
故选：A
【对点训练36】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 与曲线 相交于 ，
且曲线 在 处的切线平行，则实数 的值为（ ）
A．4 B．4或-3 C．-3或-1 D．-3
【答案】B
【解析】设 ，由 得 ，
由题意 ，因为 ，则有 ．
把 代入 得 ，
由题意 都是此方程的解，即 ①，，
化简为 ②，
把①代入②并化简得 ，即 ， ，
当 时，①②两式相同，说明 ，舍去．所以 ．
故选：B．
【对点训练37】（2023·江西抚州·高三金溪一中校考开学考试）已知曲线 在点
处的切线 互相垂直，且切线 与 轴分别交于点 ，记点 的纵
坐标与点 的纵坐标之差为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，当 时， ，
当 时， ，
因为切线 互相垂直，所以 ，
所以 ，所以 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
故 ，
直线 的方程为 ，令 ，得 ，
故 ，
所以 ，
设 ，则 ，
在 上单调递减，所以 ，即 ，
故选：A.
【对点训练38】（2023·全国·高三专题练习）若函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，
则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ，所以 ，
因为函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数 在 和 的切线互相垂直，
则 ，即 ①，
因为a一定存在，即方程①一定有解，所以 ，
即 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 ， ，
所以方程①变为 ，所以 ，故A，B，D错误.
故选：C.
【对点训练39】（2023·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数 的图像上存在两个不同
的点 ，使得在这两点处的切线重合，则称 为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函
数”的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， 显然是偶函数， ，
当 时， ，单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， ，单调递减，当 时，单调递增；
在 时， ，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A是“切线重
合函数”；
对于B， 是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B是“切线重合函数”；
对于C，考察 两点处的切线方程， ，
两点处的切线斜率都等于1，在A点处的切线方程为 ，化简得： ，
在B点处的切线方程为 ，化简得 ，显然重合，
C是“切线重合函数”；
对于D， ，令 ，则 ，是增函数，不存在 时， ，所以D不是“切线重合函数”；
故选：D.
【对点训练40】（2023·全国·高三专题练习）已知A，B是函数 ，图象上不同的两
点，若函数 在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时， 的导数为 ；
当 时， 的导数为 ，
设 ， 为函数图象上的两点，且 ，
当 或 时， ，故 ，
当 时，函数 在 处的切线方程为： ；
当 时，函数 在 处的切线方程为
两直线重合的充要条件是 ①， ②，
由①②得： ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
由 ，得 ，即 时 有最大值 ，
在 上单调递减，则 .
a的取值范围是 .
故选：B.
方向7、最值问题
【对点训练41】（2023·全国·高三专题练习）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则
最小值为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】 与 互为反函数，其图像关于直线 对称
先求出曲线 上的点到直线 的最小距离．
设与直线 平行且与曲线 相切的切点 ， ．
， ，解得 ． ．
得到切点 ，点P到直线 的距离 ．
最小值为 ．
故选：B．
【对点训练42】（2023·全国·高三专题练习）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的
最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 与 互为反函数，它们图像关于直线 对称；
故可先求点P到直线 的最近距离d，
又 ，当曲线上切线的斜率 时，得 ， ，
则切点 到直线 的距离为 ，
所以 的最小值为 ．
故选：D．
【对点训练43】（2023·全国·高三专题练习）设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则
的最小值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 与 互为反函数，
所以 与 的图像关于直线 对称，
设 ，则 ，
令 得 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
所以 与 无交点，则 与 也无交点，
下面求出曲线 上的点到直线 的最小距离，
设与直线 平行且与曲线 相切的切点 ， ，
，
，解得 ，
，
得到切点 ，到直线 的距离 ，
的最小值为 ，
故选：D．
【对点训练44】（2023·全国·高三专题练习）已知实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B．8 C．4 D．16
【答案】B
【解析】由 得， ， ，即 ， ，
的几何意义为曲线 上的点 到直线 上的点 连线的距离的平方，
不妨设曲线 ，直线 ，设与直线 平行且与曲线 相切的直线方程为
，
显然直线 与直线 的距离的平方即为所求，由 ，得 ，设切点为 ， ，
则 ，解得 ，
直线 与直线 的距离为 ，
的最小值为8．
故选：B.
【对点训练45】（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 ， ．若存在
正数 ，使得 成立，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】函数 可以看作是动点 与动点 之间距离的平方，
动点 在函数 的图像上， 在直线 的图像上，
问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，
由 得，当 时，解得 ，即曲线上斜率为2的切线，切点为 ，
曲线上点 到直线 的距离 ，则 ，
根据题意，要使 ，则 ，此时 恰好为垂足，
由 ，解得 ．
故选：A．
【对点训练46】（2023·宁夏银川·银川二中校考一模）已知实数 满足 ， ，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，又 ，
表示点 与曲线 上的点之间的距离；
点 的轨迹为 ， 表示直线 上的点与曲线 上
的点之间的距离；
令 ，则 ，
令 ，即 ，解得： 或 （舍），
又 ，
的最小值即为点 到直线 的距离 ，
的最小值为 .
故选：B.
【对点训练47】（2023·四川成都·川大附中校考二模）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直
线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点 作曲线 的切线，当切线与直线 平行时，点 到直线
距离的最小.
设切点为 ， ，
所以，切线斜率为 ，
由题知 得 或 （舍），
所以， ，此时点 到直线 距离 .
故选：C
方向8、牛顿迭代法【对点训练48】（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法
一Newton-Raphson method译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，
过点 做曲线 的切线 ： ，则 与 轴交点的横坐标为
，称 是 的一次近似值；重复以上过程，得 的近似值序列，其中
，称 是 的 次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零点
大小，则函数 的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：
）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【答案】C
【解析】易知 在定义域上单调递增， ，即函数的零点有
且只有一个，且在区间 上.
不妨取 作为初始近似值， ，
由题意知 .
故选：C.
【对点训练49】（多选题）（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数
方程根的一种解法.具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，过
点 作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的1次近似值；过点
作曲线 的切线 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值.一般地，过点
（ ）作曲线 的切线 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的 次
近似值.对于方程 ，记方程的根为 ，取初始近似值为 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．切线 ：
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ，可得 ，即 ，
根据函数零点的存在性定理，可得 ，所以A正确；
又由 ，设切点 ，则切线的斜率为 ，所以切线方程为 ，
令 ，可得 ，所以D正确；
当 时，可得 ，则 ，
所以 的方程为 ，即 ，所以B正确；
由 ，可得 ， ，此时 ，
所以C错误；
故选：ABD
【对点训练50】（多选题）（2023·全国·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一
种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点 ，如图，在 处作 图象的切线，切线与 轴的交点
横坐标记作 ：用 替代 重复上面的过程可得 ；一直继续下去，可得到一系列的数 ， ， ，…，
，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当 ， 近似值相等时，该值即作为函数 的
一个零点 .若要求 的近似值 (精确到0.1)，我们可以先构造函数 ，再用“牛顿法”求得零
点的近似值 ，即为 的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ，
B．若 ，且 ，则对任意 ，
C．当 时，需要作2条切线即可确定 的值
D．无论 在 上取任何有理数都有
【答案】BCD
【解析】A，因为 ，则 ，设 ，则切线方程为 ，
切线与 轴的交点横坐标为 ，所以 ，故A错误；
B， 处的切线方程为 ，
所以与 轴的交点横坐标为 ，故B正确；
C，因为 ， ，
所以两条切线可以确定 的值，故C正确；
D，由选项C可知， ，所以无论 在 上取
任何有理数都有 ，故D正确.
故选：BCD
【对点训练51】（2023·全国·高三专题练习）牛顿迭代法（Newton's method）又称牛顿–拉夫逊方法
（Newton–Raphsonmethod），是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设 是 的
根，选取 作为 初始近似值，过点 作曲线 的切线 , 与 轴的交点的横坐标
（ ），称 是 的一次近似值，过点 作曲线 的切线，则该切线
与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的二次近似值．重复以上过程，直到 的近似值足够小，即把 作
为 的近似解．设 ， ， ， ， 构成数列 ．对于下列结论：
① （ ）；
② （ ）；
③ ；④ （ ）．
其中正确结论的序号为__________．
【答案】②④
【解析】由题意，过点 作曲线 的切线方程为 ，
令 ，解得 （ ），
过点 作曲线 的切线方程为 ，
令 ，解得 （ ），
过点 作曲线 的切线方程为 ，
令 ，解得 （ ），
重复以上过程，当 时，
则过点 作曲线 的切线方程为 ，
令 ，解得 （ ， ），故①错误，②正确.
将 ， ， ， 累加，得
（ ），
∴ （ ），故③错误，④正确.
故答案为：②④.
【解题方法总结】
函数 在点 处的导数，就是曲线 在点 处的切线的斜率．这里要注意曲线
在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别．（1）已知 在点 处的切线方程为
．（2）若求曲线 过点 的切线方程，应先设切点坐标为 ，由
过点 ，求得 的值，从而求得切线方程．另外，要注意切点既在曲线上又在切
线上．
1.（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
故选：D.2.（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
3.（2020·全国·统考高考真题）函数 的图像在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B.
