文档内容
第 07 讲 函数与方程
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：函数的零点与方程的解.............................................................................................................................4
知识点2：二分法..........................................................................................................................................................4
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：求函数的零点或零点所在区间....................................................................................................................5
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围........................................................................................................6
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题....................................................................................................7
题型四：嵌套函数的零点问题....................................................................................................................................7
题型五：函数的对称问题............................................................................................................................................9
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型..........................................................................................................10
题型七：唯一零点求值问题......................................................................................................................................10
题型八：分段函数的零点问题...................................................................................................................................11
题型九：零点嵌套问题..............................................................................................................................................12
题型十：等高线问题..................................................................................................................................................13
题型十一：二分法.......................................................................................................................................................14
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................15
05课本典例·高考素材........................................................................................................................16
06易错分析·答题模板........................................................................................................................17
易错点：不理解函数图象与方程根的联系..............................................................................................................17
答题模板：数形结合法解决零点问题......................................................................................................................17考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第6题，5分
从近几年高考命题来看，高考对函数与
2024年天津卷第15题，5分
方程也经常以不同的方式进行考查，比如：
2024年甲卷第14题，5分
（1）零点存在性定理 函数零点的个数问题、位置问题、近似解问
2023年天津卷第15题，5分
（2）二分法 题，以选择题、填空题、解答题等形式出现
2022年天津卷第15题，5分
在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、
2021年天津卷第9题，5分
深刻，值得广大师生关注．
2021年北京卷第15题，5分
复习目标：
（1）理解函数的零点与方程的解的联系.
（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.
（3）了解用二分法求方程的近似解．知识点1：函数的零点与方程的解
1、函数零点的概念
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
2、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
【诊断自测】已知函数 是定义在R上的偶函数且满足 ，当 时，
，则函数 的零点个数为 .
知识点2：二分法
1、二分法的概念
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求
方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤
（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）~
（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【诊断自测】用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ， ，则
其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
解题方法总结
函数的零点相关技巧：
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.
f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【典例1-1】已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例1-2】函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
f (x)
求函数 零点的方法：
f (x)=0
（1）代数法，即求方程 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数
y=f (x)
的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
【变式1-1】定义在 上的单调函数 满足： ，则方程的解所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，
c，则 ．
【变式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知 是函数 的零点，则 .
【变式1-4】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ， ，则
函数 的零点是 ．
【变式1-5】设 是函数 的一个零点，若 且 ，则
下列结论一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
【典例2-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 ：函数 在 内有零点，则命
题 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实
数a的取值集合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【方法技巧】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参
数的不等式，解不等式，从而解决.
【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）函数 在区间 存在零点．则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）A． B．e C． D．
【变式2-3】若方程 在区间 上有解，其中 ，则实数 的取值范围为
．（结果用 表示）
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图像经过四个象
限，则实数 的取值范围是 ．
【典例3-2】设函数 是定义在R上的奇函数，对任意 ，都有 ，且当
时， ，若函数 （其中 ）恰有3个不同的零点，则实数a的取
值范围为 .
【方法技巧】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零
点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如
果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.
【变式3-1】（2024·河南·二模）已知函数 是偶函数，对任意 ，均有 ，当
时， ，则函数 的零点有 个.
【变式3-2】已知函数 的四个零点是以0为首项的等差数列，则
.
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）若函数 有三个不同的零点，则实数 的
取值范围是 ．
【变式3-4】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知关于 的方程 且 有两个不等实根，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：嵌套函数的零点问题
【典例4-1】设函数 ，若方程 有6个不同的实数解，则实数
a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·高三·河南·期末）已知函数 ，若方程
有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功一定要扎实、过关.
【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，若关于 的方程
恰有3个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知函数 若方程 有5个不同的实数解，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·高三·上海·期中）已知函数 ， ，下列
四个结论中，正确的结论有（ ）
①方程 有2个不同的实数解；
②方程 有2个不同的实数解；
③方程 有且只有1个实数解；
④当 时，方程 有2个不同的实数解.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型五：函数的对称问题
【典例5-1】已知函数 ，若 的图象上存在两个点 关于原点对称，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·云南昭通·模拟预测）已知函数 ，若函数 图
象上存在点 且 图象上存在点 ，使得点 和点 关于坐标原点对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
转化为零点问题
【变式5-1】（2024·四川内江·一模）已知函数 ， ， ，若 与
的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数 与 的图象关于直线 对称，且
函数 为奇函数，则函数 图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内 两点满足条件：
①点 都在 的图像上；
②点 关于原点对称，则对称点对 是函数的一个“兄弟点对”（点对 与 可看作一
个“兄弟点对” ．
已知函数 ，则 的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
【典例6-1】（2024·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数 （其中 为
自然对数的底数），若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【典例6-2】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个 ，使得方程
成立．则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
分类讨论数学思想方法
【变式6-1】设函数 （其中 为自然对数的底数），若函数 至少存在一个零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知函数 （其中 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：唯一零点求值问题
【典例7-1】（2024·安徽芜湖·二模）在数列 中， 为其前n项和，首项 ，且函数
的导函数有唯一零点，则 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
【典例7-2】（2024·贵州毕节·模拟预测）若函数 有唯一零点，则实数
（ ）A．2 B． C．4 D．1
【方法技巧】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【变式7-1】在数列 中， ，且函数 的导函数有唯一零点，
则 的值为（ ）．
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024
【变式7-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，
且 ，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·江西·二模）已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则实数
的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
题型八：分段函数的零点问题
【典例8-1】已知函数 ，若实数 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
【典例8-2】（2024·北京西城·一模）设 ，函数 若 恰有一个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，利用数形结合的方法求解.
【变式8-1】已知函数 若函数 有3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·高三·北京通州·期末）已知函数
（1）若 ，则 的零点是 .
（2）若 无零点，则实数 的取值范围是 .
【变式8-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数 若函数 有三个零点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】已知函数 ， 令 ，则下列说法正确的（ ）
A．函数 的单调递增区间为
B．当 时， 有3个零点
C．当 时， 的所有零点之和为
D．当 时， 有1个零点
题型九：零点嵌套问题
【典例9-1】设定义在R上的函数 满足 有三个不同的零点
且 则 的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
【典例9-2】若关于 的方程 恰有三个不同的实数解 ， ， ，且，其中 ，则 的值为（ ）
A．-6 B．-4 C．-3 D．-2
【方法技巧】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
【变式9-1】已知函数 有三个不同的零点 ，且 ，
则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
【变式9-2】已知函数 有三个不同的零点 ，且 ，则
的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【变式9-3】（2024·四川成都·一模）已知函数 有三个零点 、 、 且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十：等高线问题
【典例10-1】已知函数 ，若方程 恰有四个不同的实
数解，分别记为 ， ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实数解 ，
， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【方法技巧】数形结合数学思想方法
【变式10-1】已知函数 ，若 有四个不同的解 且
，则 的取值范围是 ．
【变式10-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，若方程 有四个
根 ，且 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式10-3】（2024·陕西商洛·一模）已知函数 ，若关于 的方程
有3个实数解 ，且 则 的最小值是（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
【变式10-4】（2024·陕西渭南·一模）已知 ，若存在实数 （ ），
当 （ ）时，满足 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
题型十一：二分法
【典例11-1】（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导
函数 在 附近一点的函数值可用 代替，该函数零点更逼近方程的解，以
此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程 ，选取初始值
，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A． B． C． D．
【典例11-2】（2024·广东梅州·二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可
以是（ ）A． B． C． D．
【方法技巧】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.
求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
【变式11-1】以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】用二分法求函数 在区间 上的零点，要求精确度为 时，所
需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式11-3】一块电路板的 线段之间有 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成
的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A． 次 B． 次
C． 次 D． 次
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ， ，当 时，曲
线 与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2024年天津高考数学真题）若函数 恰有一个零点，则 的取值范围为 ．
3．（2022年新高考天津数学高考真题）设 ，对任意实数x，记．若 至少有3个零点，则实数 的取值范围为 .
4．（2022年新高考北京数学高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
5．（2023年天津高考数学真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则
的取值范围为 ．
1．已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
函数 在哪几个区间内一定有零点？为什么？
2．已知函数 ，求证：方程 在 内至少有两个实数解.
3．利用信息技术，用二分法求函数 的零点（精确度为0.1）.
4．设函数 ，且 ，求证：函数 在 内至少有一个零点.
5．有一道题“若函数 在区间 内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同
学给出了如下解答：由 ，解得 .所以，实数a的取值范围是
.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.易错点：不理解函数图象与方程根的联系
易错分析： 解题中有的同学不能将函数图象与方程的根联系起来，误认为证明 的图象与 轴相
交于两个不同的点，从而着眼于证 ，使得无法解决．
【易错题1】函数 在 上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【易错题2】已知 ，若关于x的方程 在 上有解，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
答题模板：数形结合法解决零点问题
1、模板解决思路
求函数的零点个数就是求函数图象与 轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可．如果函数图象不
易作出，可将函数转化为 的结构，然后转化为 与 的图象交点个数的问题．
2、模板解决步骤
已知零点个数求参数
第一步：将函数化为 的形式， 与 一个含参，一个不含参．
第二步：画出两个函数的图象．
第三步：确定满足题意时含参函数的图象的移动范围，从而求出参数的取值范围．
【典例1】函数 有且只有一个零点，则m的取值范围是 ．
【典例2】若函数 有2个零点，则m的取值范围是 ．
