文档文本内容
第 07 讲 函数与方程
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：函数的零点与方程的解.............................................................................................................................4
知识点2：二分法..........................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：求函数的零点或零点所在区间....................................................................................................................6
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围........................................................................................................9
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题..................................................................................................12
题型四：嵌套函数的零点问题..................................................................................................................................17
题型五：函数的对称问题..........................................................................................................................................21
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型..........................................................................................................24
题型七：唯一零点求值问题......................................................................................................................................27
题型八：分段函数的零点问题..................................................................................................................................30
题型九：零点嵌套问题..............................................................................................................................................34
题型十：等高线问题..................................................................................................................................................38
题型十一：二分法.......................................................................................................................................................43
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................45
05课本典例·高考素材........................................................................................................................52
06易错分析·答题模板........................................................................................................................54
易错点：不理解函数图象与方程根的联系..............................................................................................................54
答题模板：数形结合法解决零点问题......................................................................................................................56考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第6题，5分
从近几年高考命题来看，高考对函数与
2024年天津卷第15题，5分
方程也经常以不同的方式进行考查，比如：
2024年甲卷第14题，5分
（1）零点存在性定理 函数零点的个数问题、位置问题、近似解问
2023年天津卷第15题，5分
（2）二分法 题，以选择题、填空题、解答题等形式出现
2022年天津卷第15题，5分
在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、
2021年天津卷第9题，5分
深刻，值得广大师生关注．
2021年北京卷第15题，5分
复习目标：
（1）理解函数的零点与方程的解的联系.
（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.
（3）了解用二分法求方程的近似解．知识点1：函数的零点与方程的解
1、函数零点的概念
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
2、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
【诊断自测】已知函数 是定义在R上的偶函数且满足 ，当 时，
，则函数 的零点个数为 .
【答案】4
【解析】因为函数 是定义在R上的偶函数且满足 ，
所以 ，所以 ，
所以函数的周期为2.
由 可得 ，所以函数 的零点个数转化为函数 的图像与
的图像交点个数，
对于 的定义域为 ，
因为 ，
所以 为偶函数，
所以画出 和 在 轴右侧的图像如图所示，有2个交点，又 和 都是偶函数，所以 轴左边也有2个交点，
综上所述， 的图像与 的图像交点个数为4，
即 的零点个数为4.
故答案为：4.
知识点2：二分法
1、二分法的概念
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求
方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤
（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）~
（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【诊断自测】用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ， ，则
其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】因为 ，
由零点存在性知：零点 ，根据二分法，第二次应计算 ，即 ，
故选：D.
解题方法总结
函数的零点相关技巧：
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.
f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【典例1-1】已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当 时，由 ，得 或0（舍去）；
当 时，由 解得 或 .
故共有3个零点.
故选：C.
【典例1-2】函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .
故选：B.
【方法技巧】
f (x)
求函数 零点的方法：
f (x)=0
（1）代数法，即求方程 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数
y=f (x)
的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
【变式1-1】定义在 上的单调函数 满足： ，则方程
的解所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设 为定值，且 ，
所以 ，则 ，易知 ，故 ，
由 ，则 ，显然在第一象限有一个交点，
又 在 上分别单调递增，单调递减，
由 ， ， ，故方程解在 上.
故选：C
【变式1-2】已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，
c，则 ．
【答案】3
【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数 ， ， 的图象，它们的图象与函数
的交点的横坐标就是 .
因为 ， 互为反函数，其图象关于直线 对称， 与 垂直，所以.
又 ，所以 .
所以 .
故答案为：3
【变式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知 是函数 的零点，则 .
【答案】
【解析】由题可知， ，
所以 ，
令 ,则 单调递增，且 ,
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
【变式1-4】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ， ，则
函数 的零点是 ．
【答案】 和 和
【解析】由于
，
故
，
令 ，则 或 或 （舍去），
又因为 ，所以 或 或 ，
故函数 的零点是 和 和 ，故答案为： 和 和
【变式1-5】设 是函数 的一个零点，若 且 ，则
下列结论一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，定义域为 ，
则 ，所以函数 在区间 上单调递增，
又因为 为 的零点，所以 ，所以当 ， .
对A：当 ，可知 ，所以 ，
只有 时 ，从而满足题意，故A不一定错误；
对B：当 ，则 ， ，从而满足题意，故B一定正
确；
对C：当 ，则 ，不满足题意，故C一定错误；
对D：当 ，则 ，满足题意，故D一定正确；
综上所述：故C正确.
故选：C.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
【典例2-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 ：函数 在 内有零点，则命
题 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递增，由函数 在 内有零点，
得 ，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
显然 成立，不等式 、 、 都不一定成立，
而 成立，不等式 恒成立，反之，当 时， 不一定成立，
所以命题 成立的一个必要不充分条件是 .故选：D
【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实
数a的取值集合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【答案】D
【解析】由函数 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，解得 ，符合题意；
若 ，令 ，即 ，可得 ，
当 时，即 ，解得 ，此时 ，解得 ，符合题意；
当 时，即 且 ，则满足 ，
解得 且 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
综上可得，实数 的取值范围为 或 .
故选：D.
【方法技巧】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参
数的不等式，解不等式，从而解决.
【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）函数 在区间 存在零点．则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B.
【变式2-2】设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）
A． B．e C． D．
【答案】D
【解析】设零点为t，则 ，
因此 ，
考虑函数 ，其导函数 ，
因此函数 在 上单调递减，从而 的最小值为 ．
故选：D.
【变式2-3】若方程 在区间 上有解，其中 ，则实数 的取值范围为
．（结果用 表示）
【答案】
【解析】因为方程 ，即 在区间 上有解，
设函数 ，则函数 的图象与直线 在区间 上有交点．
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，在区间 上， ， ，则 ，解得 ．
当 时，因为 ， ， ．
令 ，解得 ，又 ，所以 ，
则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图像经过四个象
限，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 的图像经过四个象限， ，
且当 ， ，
令 ，在 和 上均至少存在一个实根．
又 ,
．
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【典例3-2】设函数 是定义在R上的奇函数，对任意 ，都有 ，且当
时， ，若函数 （其中 ）恰有3个不同的零点，则实数a的取
值范围为 .
【答案】
【解析】∵ ，则函数 关于直线 对称，
又∵函数 是定义在R上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，
又∵ ，即 ，
故函数 关于点 对称，
令 ，则 ，
原题等价于 与 有3个交点，且 的定义域为 ，
如图所示，则可得 ，解得 ，
故答案为：
【方法技巧】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零
点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如
果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.【变式3-1】（2024·河南·二模）已知函数 是偶函数，对任意 ，均有 ，当
时， ，则函数 的零点有 个.
【答案】4
【解析】函数 是偶函数，说明函数 的图象关于 轴对称， 说明 的周期
是2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象与 的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即 有4个零点.
故答案为：4.
【变式3-2】已知函数 的四个零点是以0为首项的等差数列，则
.
【答案】 或
【解析】因为 ，
所以 ，所以 关于直线 对称，
令 得 或 ，
由题意这两个方程各有两个根，且四个根是以0为首项的等差数列，
①若0为 的根，则另一个根为6，则 ，
又 关于直线 对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为 ，
所以 的两根为 ，所以 ，所以 ，
所以 ；
②若0为 的根，则另一个根为6，则 即 ，
又 关于直线 对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为 ，
所以 的两根为 ，所以 ，所以 .综上， 或 .
故答案为： 或
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）若函数 有三个不同的零点，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】令 ，得 ；
设 ，则方程 ，即 ，
易知 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，
易知当 时， ，当 时， ，且当 趋近于 时， 趋近于0，当 趋近于
时， 趋近于 ，
作出 的大致图象如图所示．
数形结合可得 ，且方程 在 上有两个不同的实数根．
解法一：
由 ，得 或 ．
当 时， ，此时方程 在 上至多有一个实数根，不合题意，
当 时，设方程 在 上的两个实数根分别为 ，则 ，
所以需 ，得 ，故实数 的取值范围是 ．
解法二：
设方程 的两个不同的实数根分别为 ，则 ， 或 ， ．
①当 ， 时，由 ，得 ，
则 在 上有两个不同的实数根，即 在 上有两个不同的实数根，
由 ，得 或 ，与 ， 矛盾．
②当 ， 时，若方程 在 上有两个不同的实数根，
则 ，解得 ．
故答案为：
【变式3-4】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知关于 的方程 且 有两个不等实根，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于 的方程 且 有两个不等实根，
即关于 的方程 且 有两个不等实根，
即函数 与 且 函数的图象有两个交点，
由指数函数与对数函数的图象可知，
当 时，函数 与 且 函数的图象有且只有1个交点，
，联立 ，得 .
令 ，则 ，且 在 上单调递增， ，即 ，即 ，令 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，又当 时， ，且 ，
若要 ，则需要 ，
画出 大致图象如图所示，
由图知， ，解得 .
故选：A.
题型四：嵌套函数的零点问题
【典例4-1】设函数 ，若方程 有6个不同的实数解，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出 的图象如下图所示，由图可知要使 有 个解，则需 ，
依题意，方程 有6个不同的实数解，
令 ，则 有两个不相等的实数根 ，
且 ，令 ，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故选：B
【典例4-2】（2024·高三·河南·期末）已知函数 ，若方程
有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 ，
当 时， ，且 ，
画出函数 的图象，如图所示，
令 ，要使得 有三个不同的实数解，
则 有两个不同的实数根 和 ，
且 或 ，
若 且 时，此时无解；
若 且 时，令 ，只需要 ，解得 .
故选：C.
【方法技巧】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功一定要扎实、过关.
【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，若关于 的方程
恰有3个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，令 ，得 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以当 时， 取得极大值 ， 图象如图所示：
方程 ，即为 ，
解得 或 ，
由函数 的图象知： 只有一个解，
所以 有两个解，
所以 ，解得 ，故选：A
【变式4-2】已知函数 若方程 有5个不同的实数解，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的大致图象如图所示，
令 ，则 可化为 ，因为方程 有5个
不同的实数解，所以 在 上各有一个实数解或 的一个解为 ，
另一个解在 内或 的一个解为 ，另一个解在 内.
当 在 上各有一个实数解时，
设 ，则 解得 ；
当 的一个解为 时， ，此时方程的另一个解为 ，不在 内，不满足题意；
当 的一个解为 时， ，此时方程有两个相等的根，不满足题意.
综上可知，实数 的取值范围为 .
故选：A
【变式4-3】（2024·高三·上海·期中）已知函数 ， ，下列
四个结论中，正确的结论有（ ）
①方程 有2个不同的实数解；
②方程 有2个不同的实数解；③方程 有且只有1个实数解；
④当 时，方程 有2个不同的实数解.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】对于①， ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以方程 有2个不同的实数解，正确；
对于②， ，则 ，
又 ，所以 ，无解，所以方程 无解，错误；
对于③， ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以方程 有且只有1个实数解，正确；
对于④， ，则 ，
又 ，所以 ，
所以当 时， ，方程 无解，
当 时， ，方程 的解为 ，
当 时，方程 的解为 ，
所以当 时，方程 至多有2个不同的实数解，错误；
故选：C
题型五：函数的对称问题
【典例5-1】已知函数 ，若 的图象上存在两个点 关于原点对称，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由函数解析式可得，函数图象如下图示，
如图，要使 的图象上存在两个点 关于原点对称，
只需 ，即 即可.
故选：D
【典例5-2】（2024·云南昭通·模拟预测）已知函数 ，若函数 图
象上存在点 且 图象上存在点 ，使得点 和点 关于坐标原点对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 点 在 的图象上，
，即 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，此时 递增，
令 ，则 ，此时 递减，
最小值为 .
故选：A.
【方法技巧】
转化为零点问题
【变式5-1】（2024·四川内江·一模）已知函数 ， ， ，若 与
的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由于关于 点的坐标之间的关系得函数 关于 对称的函数为 ，
进而将问题转化为函数 与函数 图象在区间 有交点，即方程 在区间
上有解，故 ，进而得 .设 是函数 的图象上的任意一点，其关于
对称的点的坐标为 ，
所以 ，所以函数 关于 对称的函数为 .
由于 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，
故函数 与函数 图象在区间 有交点，
所以方程 在区间 上有解，
所以 ，即 ，所以 .
故选：C.
【变式5-2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数 与 的图象关于直线 对称，且
函数 为奇函数，则函数 图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
故 的对称中心为 ，即 ，
由于函数 与 的图象关于直线 对称，
且 关于 的对称点为 ，
故 的对称中心为 .
故选：D
【变式5-3】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内 两点满足条件：
①点 都在 的图像上；
②点 关于原点对称，则对称点对 是函数的一个“兄弟点对”（点对 与 可看作一个“兄弟点对” ．
已知函数 ，则 的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】设 ，则点 关于原点的对称点为 ，
于是， ，只需判断方程根的个数，
即 与 图像的交点个数，
因为 ， ； ， ；
， ；
作出两函数的图象，由图知， 与 的图象有5个交点，所以
的“兄弟点对”的个数为5个．
故选：D．
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
【典例6-1】（2024·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数 （其中 为
自然对数的底数），若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ,则 ，设 ，令， ，则 ，发现函数 在 上都是单调递增，在
上都是单调递减，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故当
时，得 ，所以函数 至少存在一个零点需满足 ，即 ．应选答
案D．
【典例6-2】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个 ，使得方程
成立．则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原方程化简得: 有解,令 ,
,当 时, ,所以f(x)在 单调递减,当x<e时, ,所以f(x)在
单调递增. .所以 .选B.
【方法技巧】
分类讨论数学思想方法
【变式6-1】设函数 （其中 为自然对数的底数），若函数 至少存在一个零
点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，函数 至少存在一个零点，且 ，
可构造函数 和 ，
因为 ，开口向上，对称轴为 ，所以 为单调递减， 为单调递增；
而 ，则 ，由于 ，所以 为单调递减， 为单调递增；
可知函数 及 均在 处取最小值，所以 在 处取最小值，
又因为函数 至少存在一个零点，只需 即可，即：
解得： .故选：D.
【变式6-2】已知函数 （其中 为自然对数的底数）至少存在一个零点，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，即
令 ，
则函数 与函数 的图象至少有一个交点
易知，函数 表示开口向上，对称轴为 的二次函数
，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
作出函数 与函数 的草图，如下图所示
由图可知，要使得函数 与函数 的图象至少有一个交点
只需 ，即
解得：
故选：B题型七：唯一零点求值问题
【典例7-1】（2024·安徽芜湖·二模）在数列 中， 为其前n项和，首项 ，且函数
的导函数有唯一零点，则 =（ ）
A．26 B．63 C．57 D．25
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，由题意可知： 有唯一零点.
令 ，可知 为偶函数且有唯一零点，
则此零点只能为0，即 ，代入化简可得： ，
又 ，所以 ， ， ， ，所以 .
故选：C
【典例7-2】（2024·贵州毕节·模拟预测）若函数 有唯一零点，则实数
（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】A
【解析】由
，
得 ，即函数 的图象关于 对称，
要使函数 有唯一的零点，
则 ，即 ，得 ．
故选：A．
【方法技巧】
利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
【变式7-1】在数列 中， ，且函数 的导函数有唯一零点，
则 的值为（ ）．
A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】A
【解析】由 在 上有唯一零点，
而 ，
所以 为偶函数，则 ，故 ，且 ，
所以 是首项为4，公比为2的等比数列，则 ，
则 .
故选：A
【变式7-2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，
且 ，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知条件可知
由函数奇偶性易知
令 ， 为偶函数.
当 时， ，
单调递增，当 时， 单调递减， 仅有一个极小值点
图象右移一个单位，所以仅在 处有极小值，
则函数只有 一个零点，即 ，
解得 ，
故选：A
【变式7-3】（2024·江西·二模）已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则实数
的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【解析】已知 ，①且 ， 分别是 上的偶函数和奇函数，
则 ，
得： ，②
+ 得：
① ②
∴令 ∵ 有唯一零点，且
是偶函数，
所以 ，∴
∴ 或
若 时，则
当 时，则令 解得 ，∴ （不合题意舍去）
若 时，则
∵ 在 上单调递减∴
∵ 是偶函数∴ 只有唯一零点0
∴ 只有唯一零点2023
综上： .
故选：D.
题型八：分段函数的零点问题
【典例8-1】已知函数 ，若实数 ，则函数 的零点个数为
（ ）
A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3
【答案】D
【解析】函数 的零点个数即函数 与 的函数图象交点个数问题，
画出 的图象与 ， 的图象，如下：故函数 的零点个数为2或3.
故选：D
【典例8-2】（2024·北京西城·一模）设 ，函数 若 恰有一个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】画出函数 的图象如下图所示：
函数 可由 分段平移得到，
易知当 时，函数 恰有一个零点，满足题意；
当 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当 时，图象往下平移，当 时，函数有两个零点；
当 时， 恰有一个零点，满足题意，即 ；
综上可得 的取值范围是 .
故选：D
【方法技巧】
已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，利用数形结合的方法求解.
【变式8-1】已知函数 若函数 有3个零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
要使函数 有三个零点，则 有三个不相等的实根，即 与 的图象有三
个交点，
当 时， 在 上单调递减， ；
当 时， 在 上单调递增， ；
当 时， 在 上单调递增， ；
由 与 的图象有三个交点，结合函数图象可得 ，
故选：A.
【变式8-2】（2024·高三·北京通州·期末）已知函数
（1）若 ，则 的零点是 .
（2）若 无零点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】（1）若 ，则 ，令 可得 ，即 的零点是
（2）若 无零点,则如图所示当 此时，应有 ，
当 如图所示，
此时应有 ，
综上可得 .
【变式8-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数 若函数 有三个零点，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 当 时，方程 ．可得 ．解得 ，函数有
一个零点，
则当 时，函数有两个零点，即 ，在 时有两个解．
设 ，其开口向上，对称轴为： 在 上单调递减，在 上
单调递增，所以 ，且 ，解得 ．
故选：C．
【变式8-4】已知函数 ， 令 ，则下列说法正确的（ ）
A．函数 的单调递增区间为
B．当 时， 有3个零点
C．当 时， 的所有零点之和为D．当 时， 有1个零点
【答案】D
【解析】 的图像如下：
由图像可知， 的增区间为 ，
故A错误
当 时，如图
当 时， 与 有3个交点，
当 时， 与 有2个交点，
当 时， 与 有1个交点，
所以当 时 与 有3个交点或2个交点或1个交点，
即 有3个零点或2个零点或1个零点，
故B不正确；
当 时，由 可得 ，
由 可得
所以 的所有零点之和为 ，故C错误；
当 时，由B选项可知：
与 有1个交点，
即 有1个零点，
故D正确；
故选：D
题型九：零点嵌套问题
【典例9-1】设定义在R上的函数 满足 有三个不同的零点
且 则 的值是（ ）
A．81 B．-81 C．9 D．-9
【答案】A
【解析】由 有三个不同的零点知： 有
三个不同的实根，即 有三个不同实根，
若 ，则 ，整理得 ，若方程的两根为 ，
∴ ，而 ，
∴当 时， 即 在 上单调递减；当 时， 即 在 上单调递增；即当 时
有极小值为 ，又 ， 有 ，即 .
∵方程最多只有两个不同根，
∴ ，即 ， ，
.
∴
故选：A
【典例9-2】若关于 的方程 恰有三个不同的实数解 ， ， ，且
，其中 ，则 的值为（ ）A．-6 B．-4 C．-3 D．-2
【答案】A
【解析】依题意可知 ，
由 整理得 ①，
即关于 的方程恰有三个不同的实数解 ， ， ，且 ，
令 ，则 或 ，
则①转化为 ，
即 ，
根据对勾函数的性质可知 是方程 的一个根，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 是方程 的根，即 的根，
所以 ，
所以 .
故选：A
【方法技巧】
解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.
【变式9-1】已知函数 有三个不同的零点 ，且 ，
则 的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，因为
，所以 有三个不同的零点 ，令 ，则 ，所
以当 时 ，当 时 ，即 在 上单调递增，在 上单调递减，所以，当 时 ，令 ，则 必有两个根 、 ，
不妨令 、 ，且 ， ，即 必有一解 ， 有两解 、 ，
且 ，故
故选：D
【变式9-2】已知函数 有三个不同的零点 ，且 ，则
的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【解析】 ，
， 有三个不同的零点 .
令 ， 在 递增，在 上递减，
. 时， .
令 ，
必有两个根 ，
，且 ，
有一解 ， 有两解 ，且 ，
故
.
故选：C【变式9-3】（2024·四川成都·一模）已知函数 有三个零点 、 、 且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，得 ，整理得 ，
令 ，原方程化为 ，
设 ， 则 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
则 在 时，有最大值为 ，
则当 时，有一个解，
当 时，有两个解，
当 时，有一个解，
当 时，无解，
因为原方程为 ，
由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根 、 ，设 ，则有 ， ，
若 ，则 ，故舍去，
若 ，则 ， ，
有 ，即有 ， ，代入得 ，矛盾，故舍去，
若 则 ， ，
，
设 ，则 ，得到 ，
所以 .
故选：D.
题型十：等高线问题
【典例10-1】已知函数 ，若方程 恰有四个不同的实
数解，分别记为 ， ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
所以 如下图示，要使 恰有四个不同的实数解，则 ，
不妨设 ，由图知： ，且 ，即 ，
令 ，可得 或 ，令 ，可得 或 ，所以 ，而 在 上递减，故 ，
综上， .
故选：A
【典例10-2】已知函数 ，若关于 的方程 有四个不同的实数解 ，
， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【解析】函数图像如图所示，
， ， ， ，
由 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立，此时 ；
，当且仅当
时等号成立，此时 .
所以 的最小值为 .
故选：D
【方法技巧】
数形结合数学思想方法
【变式10-1】已知函数 ，若 有四个不同的解 且
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示，
易知 ，所以 ，
则 ，
而由二次函数对称性可知， ，
所以 ，
根据对勾函数的性质可知， ，
所以 .
故答案为： .
【变式10-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 ，若方程 有四个
根 ，且 ，则下列说法错误的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集合
为 ，
当 时， 在 上递减，函数值集合为 ，在 上递增，函数值集合为
，
方程 的根是直线 与函数 图象交点的横坐标，
方程 有四个根 ，即直线 与函数 图象有4个交点，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图，
观察图象知， ， ，AD正确；
显然 ，而 ，则 ，即 ， ，
，B正确；
显然 ， ，C错误.
故选：C
【变式10-3】（2024·陕西商洛·一模）已知函数 ，若关于 的方程
有3个实数解 ，且 则 的最小值是（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
【答案】C
【解析】由函数 ，作出函数 的大致图象，如图所示，
由图可知 ，则 ，
因为 ，所以 ，
设函数 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，即 的最小值是 .
故选：C.
【变式10-4】（2024·陕西渭南·一模）已知 ，若存在实数 （ ），
当 （ ）时，满足 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】作出 的图象如图，
由题， ， ，
所以 ，
令 （ ），则当 时， ；当 时， .，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以 ，且 ，
所以 的取值范围为 .
故选：D.
题型十一：二分法
【典例11-1】（2024·辽宁大连·一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导
函数 在 附近一点的函数值可用 代替，该函数零点更逼近方程的解，以
此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程 ，选取初始值
，在下面四个选项中最佳近似解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
令 ，即 ，可得 ，
迭代关系为 ，
取 ，则 ， ，
故选：D.
【典例11-2】（2024·广东梅州·二模）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可
以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，
因为函数 在 上都是增函数，所以函数 在 上是增函数，
，
所以函数 在区间 上有唯一零点，
所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是 .
故选：B.
【方法技巧】
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.
求方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
【变式11-1】以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据二分法的思想，函数 在区间 上的图象连续不断，且 ，即函数的
零点是变号零点，才能将区间 一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，
而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．
故选：C.
【变式11-2】用二分法求函数 在区间 上的零点，要求精确度为 时，所
需二分区间的次数最少为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为开区间 的长度等于1，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，
所以经过 次操作后，区间长度变为 ，令 ，解得 ，且 ，
故所需二分区间的次数最少为7.
故选：C.
【变式11-3】一块电路板的 线段之间有 个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成
的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A． 次 B． 次
C． 次 D． 次
【答案】B
【解析】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要 次检测，则 ，
即 ，因为 ，故 的最小值为 ，即至少需要检测 次.
故选：B.
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 ， ，当 时，曲
线 与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令 ，即 ，可得 ，
令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，所以 符合题意；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，
又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
即 有且仅有一个零点0，所以 符合题意；
故选：D.
2．（2024年天津高考数学真题）若函数 恰有一个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令 ，即 ，
由题可得 ，
当 时， ，有 ，则 ，不符合要求，舍去；
当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，当 ， 或 （正值舍去），
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，即 ，
故 时， 图象为双曲线 右支的 轴上方部分向右平移 所得，
由 的渐近线方程为 ，
即 部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），
且函数 在 上单调递增，
故有 ，解得 ，故 符合要求；当 时，则 ，
即函数 与函数 有唯一交点，
由 ，可得 或 ，
当 时，则 ，则 ，
即 ，整理得 ，
当 时，即 ，即 ，
当 ， （负值舍去）或 ，
当 时， 或 ，有两解，舍去，
即当 时， 在 时有唯一解，
则当 时， 在 时需无解，
当 ，且 时，
由函数 关于 对称，令 ，可得 或 ，
且函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
同理可得： 时， 图象为双曲线 左支的 轴上方部分向左平移 所得，
部分的渐近线方程为 ，其斜率为 ，
又 ，即 在 时的斜率 ，
令 ，可得 或 （舍去），且函数 在 上单调递减，
故有 ，解得 ，故 符合要求；
综上所述， .
故答案为： .
3．（2022年新高考天津数学高考真题）设 ，对任意实数x，记
．若 至少有3个零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，
可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2022年新高考北京数学高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
【答案】 1
【解析】∵ ，∴
∴
故答案为：1，
5．（2023年天津高考数学真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】（1）当 时， ，
即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．（2）当 时， ，
即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
1．已知函数 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 136.136 15.552 -3.92 10.88 -52.488 -232.064
函数 在哪几个区间内一定有零点？为什么？【解析】由对应值表可得： ， ，
由零点存在定理可知： 分别在区间 ， ， 内有零点
2．已知函数 ，求证：方程 在 内至少有两个实数解.
【解析】由 得：
令
则 ， ，
，
在 内至少有一个零点，在 内至少有一个零点
在 内至少有两个零点，即方程 在 内至少有两个实数解
3．利用信息技术，用二分法求函数 的零点（精确度为0.1）.
【解析】 ，
在区间 内存在一个零点
下面用二分法求函数 在区间 内的零点
取区间 的中点 ，用计算器可算得
，所以
再取 的中点 ，用计算器可算得
因为
同理可得： ，
函数的零点为
4．设函数 ，且 ，求证：函数 在 内至少有一个零点.
【解析】
又
与 中至少有一个为正又 或
∴函数 在 内至少有一个零点
5．有一道题“若函数 在区间 内恰有一个零点，求实数a的取值范围"，某同
学给出了如下解答：由 ，解得 .所以，实数a的取值范围是
.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.
【解析】上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论
和 两种情况；而 时，在区间 内的零点可能不是“变号零点”
正确解答如下：
（1）当 时，
令 得： ，解得：
∴当 时， 在 内恰有一个零点.
（2）当 时，
①若 ，即 ，则函数 的图象与 轴交于点
是 内的唯一零点
②若 ，即
则i. ，解得：
ii.当 ，即 时， ，解得： ，
是 内的唯一零点
iii.当 时，即 时， ，解得： ，
是 内的唯一零点
综上可得， 的取值范围是易错点：不理解函数图象与方程根的联系
易错分析： 解题中有的同学不能将函数图象与方程的根联系起来，误认为证明 的图象与 轴相
交于两个不同的点，从而着眼于证 ，使得无法解决．
【易错题1】函数 在 上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【解析】令 ，
因为 ，
所以函数图象与 轴有两个交点，
因为函数 在 上存在零点，且函数图象连续，
所以 ，或 ，
所以 ，或 ，
解得 或
故选：B
【易错题2】已知 ，若关于x的方程 在 上有解，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得， .
当 时，设 ， ，函数 在 上单调递减， 在 上单调递减.
但是函数 的递减的速度要慢于函数 的递减速度，
且 .
作出函数 以及 的图象
如图，要使 与 在 上有交点，
应满足 ，即 .
又 ，所以 ；
当 时，由已知可得 ，
整理可得 ，解得， 或 （舍去），
此时方程有解 ，满足；
当 时，设 ，
函数 以及 均为 上的增函数，
所以， 在 上单调递增.
要使 在 上有解，根据零点存在定理可知，应有 ，即 ，解得 .
综上所述， .
故选：B.
答题模板：数形结合法解决零点问题
1、模板解决思路
求函数的零点个数就是求函数图象与 轴的交点个数，因此只要作出函数图象即可．如果函数图象不
易作出，可将函数转化为 的结构，然后转化为 与 的图象交点个数的问题．
2、模板解决步骤
已知零点个数求参数
第一步：将函数化为 的形式， 与 一个含参，一个不含参．
第二步：画出两个函数的图象．
第三步：确定满足题意时含参函数的图象的移动范围，从而求出参数的取值范围．
【典例1】函数 有且只有一个零点，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得，问题等价于 与 有且只有一个交点.
分别作图如下：
考虑他们的临界情况，即 与 相切时，如上图，即 与 相切时，仅有一
个交点.
设切点为 ，
则 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
但因为 与 有且仅有一个交点，
所以 ，即 ，
故答案为： .
【典例2】若函数 有2个零点，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 ，得 ．
设函数 ，作出 的大致图象，如图所示．
函数 有2个零点，即函数 与函数 的图象有两个交点，
由图可知，m的取值范围是 ．
故答案为： .
