文档内容
第 07 讲 函数与方程
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：函数的零点与方程的解.............................................................................................................................4
知识点2：二分法..........................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：求函数的零点或零点所在区间....................................................................................................................6
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围........................................................................................................9
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题..................................................................................................12
题型四：嵌套函数的零点问题..................................................................................................................................17
题型五：函数的对称问题..........................................................................................................................................21
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型..........................................................................................................24
题型七：唯一零点求值问题......................................................................................................................................27
题型八：分段函数的零点问题..................................................................................................................................30
题型九：零点嵌套问题..............................................................................................................................................34
题型十：等高线问题..................................................................................................................................................38
题型十一：二分法.......................................................................................................................................................43
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................45
05课本典例·高考素材........................................................................................................................52
06易错分析·答题模板........................................................................................................................54
易错点：不理解函数图象与方程根的联系..............................................................................................................54
答题模板：数形结合法解决零点问题......................................................................................................................56考点要求 考题统计 考情分析
2024年II卷第6题，5分
从近几年高考命题来看，高考对函数与
2024年天津卷第15题，5分
方程也经常以不同的方式进行考查，比如：
2024年甲卷第14题，5分
（1）零点存在性定理 函数零点的个数问题、位置问题、近似解问
2023年天津卷第15题，5分
（2）二分法 题，以选择题、填空题、解答题等形式出现
2022年天津卷第15题，5分
在试卷中的不同位置，且考查得较为灵活、
2021年天津卷第9题，5分
深刻，值得广大师生关注．
2021年北京卷第15题，5分
复习目标：
（1）理解函数的零点与方程的解的联系.
（2）理解函数零点存在定理，并能简单应用.
（3）了解用二分法求方程的近似解．知识点1：函数的零点与方程的解
1、函数零点的概念
对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点.
2、方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根 函数 的图像与 轴有公共点 函数 有零点.
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 也就是方程 的根.
【诊断自测】已知函数 是定义在R上的偶函数且满足 ，当 时，
，则函数 的零点个数为 .
【答案】4
【解析】因为函数 是定义在R上的偶函数且满足 ，
所以 ，所以 ，
所以函数的周期为2.
由 可得 ，所以函数 的零点个数转化为函数 的图像与
的图像交点个数，
对于 的定义域为 ，
因为 ，
所以 为偶函数，
所以画出 和 在 轴右侧的图像如图所示，有2个交点，又 和 都是偶函数，所以 轴左边也有2个交点，
综上所述， 的图像与 的图像交点个数为4，
即 的零点个数为4.
故答案为：4.
知识点2：二分法
1、二分法的概念
对于区间 上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求
方程 的近似解就是求函数 零点的近似值.
2、用二分法求函数 零点近似值的步骤
（1）确定区间 ，验证 ，给定精度 .
（2）求区间 的中点 .
（3）计算 .若 则 就是函数 的零点；若 ，则令 （此时零点
）.若 ，则令 （此时零点 ）
（4）判断是否达到精确度 ，即若 ，则函数零点的近似值为 （或 ）；否则重复第（2）~
（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【诊断自测】用二分法研究函数 的零点时，第一次经过计算得 ， ，则
其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】因为 ，
由零点存在性知：零点 ，根据二分法，第二次应计算 ，即 ，
故选：D.
解题方法总结
函数的零点相关技巧：
f(x) f(x)
①若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点.
f(x)
②连续不断的函数 ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
f(x)
③连续不断的函数 通过零点时，函数值不一定变号.
f(x) [a，b] f(a)f(b)<0
④连续不断的函数 在闭区间 上有零点，不一定能推出 .
题型一：求函数的零点或零点所在区间
【典例1-1】已知函数 则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当 时，由 ，得 或0（舍去）；
当 时，由 解得 或 .
故共有3个零点.
故选：C.
【典例1-2】函数 的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 的定义域为 ，且 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，
且 ，所以函数 的唯一一个零点所在的区间是 .
故选：B.
【方法技巧】
f (x)
求函数 零点的方法：
f (x)=0
（1）代数法，即求方程 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数
y=f (x)
的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.
【变式1-1】定义在 上的单调函数 满足： ，则方程
的解所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设 为定值，且 ，
所以 ，则 ，易知 ，故 ，
由 ，则 ，显然在第一象限有一个交点，
又 在 上分别单调递增，单调递减，
由 ， ， ，故方程解在 上.
故选：C
【变式1-2】已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，
c，则 ．
【答案】3
【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数 ， ， 的图象，它们的图象与函数
的交点的横坐标就是 .
因为 ， 互为反函数，其图象关于直线 对称， 与 垂直，所以.
又 ，所以 .
所以 .
故答案为：3
【变式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知 是函数 的零点，则 .
【答案】
【解析】由题可知， ，
所以 ，
令 ,则 单调递增，且 ,
所以 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
【变式1-4】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ， ，则
函数 的零点是 ．
【答案】 和 和
【解析】由于
，
故
，
令 ，则 或 或 （舍去），
又因为 ，所以 或 或 ，
故函数 的零点是 和 和 ，故答案为： 和 和
【变式1-5】设 是函数 的一个零点，若 且 ，则
下列结论一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，定义域为 ，
则 ，所以函数 在区间 上单调递增，
又因为 为 的零点，所以 ，所以当 ， .
对A：当 ，可知 ，所以 ，
只有 时 ，从而满足题意，故A不一定错误；
对B：当 ，则 ， ，从而满足题意，故B一定正
确；
对C：当 ，则 ，不满足题意，故C一定错误；
对D：当 ，则 ，满足题意，故D一定正确；
综上所述：故C正确.
故选：C.
题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围
【典例2-1】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题 ：函数 在 内有零点，则命
题 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上单调递增，由函数 在 内有零点，
得 ，解得 ，即命题 成立的充要条件是 ，
显然 成立，不等式 、 、 都不一定成立，
而 成立，不等式 恒成立，反之，当 时， 不一定成立，
所以命题 成立的一个必要不充分条件是 .故选：D
【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函数 在区间 内恰有一个零点，则实
数a的取值集合为（ ）
A． B． 或 .
C． D． 或 .
【答案】D
【解析】由函数 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，解得 ，符合题意；
若 ，令 ，即 ，可得 ，
当 时，即 ，解得 ，此时 ，解得 ，符合题意；
当 时，即 且 ，则满足 ，
解得 且 ，
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
若 ，可得 ，令 ，即 ，
解得 或 ，其中 ，符合题意；
综上可得，实数 的取值范围为 或 .
故选：D.
【方法技巧】
本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数的等量关系，列关于参
数的不等式，解不等式，从而解决.
【变式2-1】（2024·山西阳泉·三模）函数 在区间 存在零点．则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B.
【变式2-2】设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）
A． B．e C． D．
【答案】D
【解析】设零点为t，则 ，
因此 ，
考虑函数 ，其导函数 ，
因此函数 在 上单调递减，从而 的最小值为 ．
故选：D.
【变式2-3】若方程 在区间 上有解，其中 ，则实数 的取值范围为
．（结果用 表示）
【答案】
【解析】因为方程 ，即 在区间 上有解，
设函数 ，则函数 的图象与直线 在区间 上有交点．
因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，在区间 上， ， ，则 ，解得 ．
当 时，因为 ， ， ．
令 ，解得 ，又 ，所以 ，
则 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题
【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图像经过四个象
限，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 的图像经过四个象限， ，
且当 ， ，
令 ，在 和 上均至少存在一个实根．
又 ,
．
实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【典例3-2】设函数 是定义在R上的奇函数，对任意 ，都有 ，且当
时， ，若函数 （其中 ）恰有3个不同的零点，则实数a的取
值范围为 .
【答案】
【解析】∵ ，则函数 关于直线 对称，
又∵函数 是定义在R上的奇函数，则 ，
即 ，则 ，
故函数 是以4为周期的周期函数，
又∵ ，即 ，
故函数 关于点 对称，
令 ，则 ，
原题等价于 与 有3个交点，且 的定义域为 ，
如图所示，则可得 ，解得 ，
故答案为：
【方法技巧】
方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零
点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如
果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.【变式3-1】（2024·河南·二模）已知函数 是偶函数，对任意 ，均有 ，当
时， ，则函数 的零点有 个.
【答案】4
【解析】函数 是偶函数，说明函数 的图象关于 轴对称， 说明 的周期
是2，
在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象与 的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即 有4个零点.
故答案为：4.
【变式3-2】已知函数 的四个零点是以0为首项的等差数列，则
.
【答案】 或
【解析】因为 ，
所以 ，所以 关于直线 对称，
令 得 或 ，
由题意这两个方程各有两个根，且四个根是以0为首项的等差数列，
①若0为 的根，则另一个根为6，则 ，
又 关于直线 对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为 ，
所以 的两根为 ，所以 ，所以 ，
所以 ；
②若0为 的根，则另一个根为6，则 即 ，
又 关于直线 对称，且四个根是以0为首项的等差数列，所以等差数列的公差为 ，
所以 的两根为 ，所以 ，所以 .综上， 或 .
故答案为： 或
【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）若函数 有三个不同的零点，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】令 ，得 ；
设 ，则方程 ，即 ，
易知 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，可得 ，
易知当 时， ，当 时， ，且当 趋近于 时， 趋近于0，当 趋近于
时， 趋近于 ，
作出 的大致图象如图所示．
数形结合可得 ，且方程 在 上有两个不同的实数根．
解法一：
由 ，得 或 ．
当 时， ，此时方程 在 上至多有一个实数根，不合题意，
当 时，设方程 在 上的两个实数根分别为 ，则 ，
所以需 ，得 ，故实数 的取值范围是 ．
解法二：
设方程 的两个不同的实数根分别为 ，则 ， 或 ， ．
①当 ， 时，由 ，得 ，
则 在 上有两个不同的实数根，即 在 上有两个不同的实数根，
由 ，得 或 ，与 ， 矛盾．
②当 ， 时，若方程 在 上有两个不同的实数根，
则 ，解得 ．
故答案为：
【变式3-4】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知关于 的方程 且 有两个不等实根，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于 的方程 且 有两个不等实根，
即关于 的方程 且 有两个不等实根，
即函数 与 且 函数的图象有两个交点，
由指数函数与对数函数的图象可知，
当 时，函数 与 且 函数的图象有且只有1个交点，
，联立 ，得 .
令 ，则 ，且 在 上单调递增， ，即 ，即 ，令 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，又当 时， ，且 ，
若要 ，则需要 ，
画出 大致图象如图所示，
由图知， ，解得 .
故选：A.
题型四：嵌套函数的零点问题
【典例4-1】设函数 ，若方程 有6个不同的实数解，则实数
a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】画出 的图象如下图所示，由图可知要使 有 个解，则需 ，
依题意，方程 有6个不同的实数解，
令 ，则 有两个不相等的实数根 ，
且 ，令 ，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故选：B
【典例4-2】（2024·高三·河南·期末）已知函数 ，若方程
有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 ，
当 时， ，且 ，
画出函数 的图象，如图所示，
令 ，要使得 有三个不同的实数解，
则 有两个不同的实数根 和 ，
且 或 ，
若 且 时，此时无解；
若 且 时，令 ，只需要 ，解得 .
故选：C.
【方法技巧】
1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．
2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功一定要扎实、过关.
【变式4-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，若关于 的方程
恰有3个不同的实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，令 ，得 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
所以当 时， 取得极大值 ， 图象如图所示：
方程 ，即为 ，
解得 或 ，
由函数 的图象知： 只有一个解，
所以 有两个解，
所以 ，解得 ，故选：A
【变式4-2】已知函数 若方程 有5个不同的实数解，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的大致图象如图所示，
令 ，则 可化为 ，因为方程 有5个
不同的实数解，所以 在 上各有一个实数解或 的一个解为 ，
另一个解在 内或 的一个解为 ，另一个解在 内.
当 在 上各有一个实数解时，
设 ，则 解得 ；
当 的一个解为 时， ，此时方程的另一个解为 ，不在 内，不满足题意；
当 的一个解为 时， ，此时方程有两个相等的根，不满足题意.
综上可知，实数 的取值范围为 .
故选：A
【变式4-3】（2024·高三·上海·期中）已知函数 ， ，下列
四个结论中，正确的结论有（ ）
①方程 有2个不同的实数解；
②方程 有2个不同的实数解；③方程 有且只有1个实数解；
④当 时，方程 有2个不同的实数解.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】对于①， ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以方程 有2个不同的实数解，正确；
对于②， ，则 ，
又 ，所以 ，无解，所以方程 无解，错误；
对于③， ，则 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以方程 有且只有1个实数解，正确；
对于④， ，则 ，
又 ，所以 ，
所以当 时， ，方程 无解，
当 时， ，方程 的解为 ，
当 时，方程 的解为 ，
所以当 时，方程 至多有2个不同的实数解，错误；
故选：C
题型五：函数的对称问题
【典例5-1】已知函数 ，若 的图象上存在两个点 关于原点对称，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由函数解析式可得，函数图象如下图示，
如图，要使 的图象上存在两个点 关于原点对称，
只需 ，即 即可.
故选：D
【典例5-2】（2024·云南昭通·模拟预测）已知函数 ，若函数 图
象上存在点 且 图象上存在点 ，使得点 和点 关于坐标原点对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 点 在 的图象上，
，即 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，此时 递增，
令 ，则 ，此时 递减，
最小值为 .
故选：A.
【方法技巧】
转化为零点问题
【变式5-1】（2024·四川内江·一模）已知函数 ， ， ，若 与
的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由于关于 点的坐标之间的关系得函数 关于 对称的函数为 ，
进而将问题转化为函数 与函数 图象在区间 有交点，即方程 在区间
上有解，故 ，进而得 .设 是函数 的图象上的任意一点，其关于
对称的点的坐标为 ，
所以 ，所以函数 关于 对称的函数为 .
由于 与 的图象上分别存在点 ､ ，使得 ､ 关于直线 对称，
故函数 与函数 图象在区间 有交点，
所以方程 在区间 上有解，
所以 ，即 ，所以 .
故选：C.
【变式5-2】（2024·四川·三模）定义在R上的函数 与 的图象关于直线 对称，且
函数 为奇函数，则函数 图象的对称中心是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
即 ，
故 的对称中心为 ，即 ，
由于函数 与 的图象关于直线 对称，
且 关于 的对称点为 ，
故 的对称中心为 .
故选：D
【变式5-3】（2024·河北邯郸·二模）若直角坐标平面内 两点满足条件：
①点 都在 的图像上；
②点 关于原点对称，则对称点对 是函数的一个“兄弟点对”（点对 与 可看作一个“兄弟点对” ．
已知函数 ，则 的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】设 ，则点 关于原点的对称点为 ，
于是， ，只需判断方程根的个数，
即 与 图像的交点个数，
因为 ， ； ， ；
， ；
作出两函数的图象，由图知， 与 的图象有5个交点，所以
的“兄弟点对”的个数为5个．
故选：D．
题型六：函数的零点问题之分段分析法模型
【典例6-1】（2024·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数 （其中 为
自然对数的底数），若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ,则 ，设 ，令， ，则 ，发现函数 在 上都是单调递增，在
上都是单调递减，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故当
时，得 ，所以函数 至少存在一个零点需满足 ，即 ．应选答
案D．
【典例6-2】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个 ，使得方程
成立．则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原方程化简得: 有解,令 ,
,当 时, ,所以f(x)在 单调递减,当x
