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第9讲 函数与方程
最新考纲 考向预测
利用函数零点的存在性定理或函
数的图象，对函数是否存在零点进
结合二次函数的图象，了解 行判断或利用零点(方程实根)的存
函数的零点与方程根的联 命题趋势 在情况求相关参数的范围，是高考
系，判断一元二次方程根的 的热点，题型以选择、填空题为
存在性及根的个数. 主，也可和导数等知识交汇出现解
答题，中高档难度.
核心素养 直观想象、逻辑推理
1．函数零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使 f ( x ) ＝ 0 的实数x叫做函数y＝f(x)
(x∈D)的零点．
(2)三个等价关系
(3)存在性定理
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c
(a＞0)
的图象
与x轴
( x ， 0 )， ( x ， 0 ) ( x ， 0 ) 无交点
1 2 1
的交点零点 x ， x x 无
1 2 1
常用结论
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
常见误区
1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与
x轴交点的横坐标．
2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零
点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( )
(2)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．( )
(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有
一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(易错题)(多选)下列说法中正确的是( )
A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)
B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1
C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点
D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
解析：选BD.根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1的零点为－1.
函数y＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D
正确，A，C错误．
3．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C．和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选B.易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得
f(2)·f(3)＜0.故选B.4．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6
则函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有________个．
解析：依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在
区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数y＝f(x)在区间[1，6]上的零
点至少有3个．
答案：3
5．已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若∃x ∈(－1，1)，使得f(x )＝0，则实数a的取值
0 0
范围是________．
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或
a>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)函数零点所在区间的判断
(一题多解)函数f(x)＝log x＋x－2的零点所在的区间为( )
3
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
【解析】 方法一(定理法)：函数f(x)＝log x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且
3
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝
log 2>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数f(x)＝log x＋x－2有唯一零点，
3 3
且零点在区间(1，2)内．
方法二(图象法)：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝log x，h(x)＝－x
3
＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f(x)的零
点所在的区间为(1，2)．故选B.
【答案】 B
判断函数零点所在区间的方法
方法 解读 适合题型
利用函数零点的存在性定理进 能够容易判断区间端点值所对
定理法
行判断 应函数值的正负
画出函数图象，通过观察图象
图象法 与x轴在给定区间上是否有交 容易画出函数的图象
点来判断
1．已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：选B.因为a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．
2．设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
解析：选D.令f(x)＝0得x＝ln x.
作出函数y＝x和y＝ln x的图象，如图，
显然y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
函数零点个数的判断
(一题多解)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】 方法一(方程法)：由f(x)＝0，
得或
解得x＝－2或x＝e.
因此函数f(x)共有2个零点．
方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，
由图象知函数f(x)共有2个零点．
【答案】 B
判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才
能确定函数有多少个零点．
(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，
看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
1．已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.令f(x)＋3x＝0，则或解得x＝0或x＝－1，所以函数y＝f(x)＋3x的
零点个数是2.
2．函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝3＋1－2＝
2>0，即f(0)·f(1)<0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，所以f(x)在区间(0，1)内有一个
零点．
3．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中画
出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象．如图所示．
由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C.
函数零点的应用
(1)函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C． D．(2)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是
________．
【解析】 (1)由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x
＋，x∈，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.
(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个
不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－
a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
【答案】 (1)D (2)[－1，＋∞)
根据函数零点的情况求参数有三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定
参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
然后数形结合求解．
1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(
)
A．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2)
解析：选C.由题意，知函数f(x)在(1，2)上单调递增，又函数一个零点在区间(1，
2)内，
所以即
解得0<a<3，故选C.
2．若函数f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a
的取值范围为( )
A．(0，4) B．(0，＋∞)C．(3，4) D．(3，＋∞)
解析：选C.令g(x)＝|2x－4|，其图象如图所示，
若f(x)＝|2x－4|－a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a∈(3，4)．
思想方法系列6 破解嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点，主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查
三次函数与复合函数相关零点，与函数的性质和相关问题交汇．对于嵌套函数的
零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的
图象、性质求解．
类型一 嵌套函数零点个数的判断
(2021·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，
＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝，则函数g(x)＝f2(x)－f(x)的零点个数
为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】 因为当x∈(0，2]时，f(x)＝(x－1)2，当x>2时，f(x)＝f(x－2)＋1，
所以将f(x)在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个
单位长度，得到函数f(x)在(2，4]上的图象．同理可得到f(x)在(4，6]，(6，8]，…上的
图象．再由f(x)的图象关于y轴对称得到f(x)在(－∞，0)上的图象，从而得到f(x)在
其定义域内的图象，如图所示：
令g(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝1，由图可知直线y＝0与y＝1和函数y＝f(x)的
图象共有6个交点，所以函数g(x)共有6个零点．故选C.
【答案】 C破解此类问题的主要步骤
(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．
(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．
类型二 求嵌套函数零点中的参数
函数f(x)＝若函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点，则实数a的取
值范围是________．
【解析】 设t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一平面直角坐标系
内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．
设交点的横坐标为t ，t (不妨设t >t )，则t <－1，t ≥－1.
1 2 2 1 1 2
当t <－1时，t ＝f(x)有一解；当t ≥－1时，t ＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，
1 1 2 2
函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．
【答案】 [－1，＋∞)
(1)求解本题抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t ，t 的
1 2
取值范围，进而由t＝f(x)的图象确定零点的个数．
(2)含参数的嵌套函数方程，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，
动静结合．
设定义域为R的函数f(x)＝若b<0，则关于x的方程[f(x)]2＋bf(x)
＝0的不同实数根共有( )
A．4个 B．5个
C．7个 D．8个
解析：选C.由[f(x)]2＋bf(x)＝0，得f(x)＝0或f(x)＝－b.所以方程[f(x)]2＋bf(x)＝
0的根的个数即为函数y＝f(x)与函数y＝0，y＝－b(b<0)的图象的交点个数．作出
函数f(x)的图象如图所示，结合图象可知，f(x)＝0有3个实数根，f(x)＝－b(b<0)有
4个实数根，所以[f(x)]2＋bf(x)＝0共有7个不同的实数根．故选C.[A级 基础练]
1．(2021·河南商丘九校联考)函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2
－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故
选B.
2．(2021·重庆模拟)函数f(x)＝－x的零点位于区间( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选B.函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线．
因为f(1)＝－＝>0，f(2)＝－＝－<0，
所以f(1)·f(2)<0，所以由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1，2)．
故选B.
3．(2021·南充市第一次适应性考试)函数f(x)＝若方程f(x)＝a有且只有一个实
数根，则实数a满足( )
A．a＝1 B．a>1
C．0≤a<1 D．a<0
解析：选A.方程f(x)＝a有且只有一个实数根，即直线y＝a与f(x)的图象有且
只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的
图象有且只有一个交点，故选A.
4．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )
A．ln x＝1－x B．ex＝
C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1
解析：选ABD.对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，
故ln x＝1－x有唯一解，符合题意；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合题意；
对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋
lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又h(x)＝2－x2
－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合题意；对于D，因为cos x∈[－1，
1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时，cos x＝x＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合题
意．
5．已知函数f(x)＝则使方程x＋f(x)＝m有解的实数m的取值范围是( )
A．(1，2) B．(－∞，－2]
C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
解析：选D.当x≤0时，x＋f(x)＝m，即x＋1＝m，解得m≤1；当x>0时，x＋f(x)
＝m，即x＋＝m，解得m≥2，即实数m的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.
6．已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝的零点个数是________．
解析：当x>0时，作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，由图知，当x>0时，f(x)
有2个零点；
当x≤0时，由f(x)＝0，得x＝－.
综上，f(x)有3个零点．
答案：3
8．若函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
解析：当x>0时，由f(x)＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f(x)有两个不同的零点，则
当x≤0时，函数f(x)＝2x－a有一个零点．令f(x)＝0，得a＝2x.因为0<2x≤20＝1，所
以0<a≤1，所以实数a的取值范围是(0，1]．
答案：(0，1]
9．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解：(1)如图所示．(2)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0
恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2
－a<0，解得0<a<1，因此实数a的取值范围是(0，1)．
[B级 综合练]
11．已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个
零点，则实数λ的值是( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C.因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)
＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2x2＋1)
＋f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有
一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.故选C项．
12．(多选)已知函数f(x)＝若x <x <x <x ，且f(x )＝f(x )＝f(x )＝f(x )，则下列结
1 2 3 4 1 2 3 4
论正确的是( )
A．x ＋x ＝－1 B．x x ＝1
1 2 3 4
C．1<x <2 D．0<x x x x <1
4 1 2 3 4
解析：选BCD.由函数f(x)＝作出其函数图象：
由图可知，x ＋x ＝－2，－2<x <－1；
1 2 1
当y＝1时，|log x|＝1，有x＝，2，
2
所以<x <1<x <2；
3 4由f(x )＝f(x )，有|log x |＝|log x |，
3 4 2 3 2 4
即log x ＋log x ＝0，
2 3 2 4
所以x x ＝1，
3 4
则x x x x ＝x x ＝x (－2－x )＝－(x ＋1)2＋1∈(0，1)．故选BCD.
1 2 3 4 1 2 1 1 1
13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取
值范围．
解：(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解
得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则
满足⇒解得1<m<.所以m的取值范围为.
14．已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个
不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，
作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y
＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
[C级 创新练]
15．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝2x＋1⊗(2－4x)，x∈R.若
函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )
A．(0，1) B．(0，2)∪(2，3)
C．(0，2) D．(0，－1)∪(－1，2)
解析：选A.若2x＋1－(2－4x)≤1，则(2x)2＋2×2x－3≤0，即2x≤1，解得x≤0；若
2x＋1－(2－4x)>1，则(2x)2＋2×2x－3>0，解得2x>1或2x<－3(舍去)，即x>0.所以f(x)＝作出函数f(x)的图象和y＝c的图象如图所示．因为y＝f(x)－c有两个零点，所以
f(x)＝c有两个解，所以0<c<1.故选A.
16．定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整数，则称M是最优
解．若关于x的不等式|x2－2x－3|－mx＋2<0有最优解，则实数m的取值范围是(
)
A.
B.
C.∪
D.∪
解析：选D.|x2－2x－3|－mx＋2<0可转化为|x2－2x－3|<mx－2，在同一平面直
角坐标系中分别作出函数f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的图象，如图所示．
易知m＝0时不满足题意．
当m>0时，要存在唯一的整数x ，满足f(x )<g(x )，
0 0 0
则即解得<m≤.
当m<0时，要存在唯一的整数x ，满足f(x )<g(x )，
0 0 0
则即解得－≤m<－2.
综上，实数m的取值范围是∪.故选D.
