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1.5 一元二次方程、不等式和其他不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实
根x1,x2
(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2=- b
2a
没有实
数根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
{x| x> x2,
或x< x1}
{x| x≠−b
2a}
R
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
{ x | x 1<
x < x 2}
⌀
⌀
3.分式不等式与整式不等式
(1) f ( x)
g( x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2) f ( x)
g( x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4.简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a).
常用的结论
1.当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论.
2.当Δ<0 时,注意区分不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R 还是⌀.
3.不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>0 对任意实数x 恒成立⇔{
a=b=0,
c>0
或{
a>0,
Δ=b
2−4 ac<0.
(2)不等式ax2+bx+c<0 对任意实数x 恒成立⇔{
a=b=0,
c<0
或{
a<0,
Δ=b
2−4 ac<0.
考点一 一元二次不等式的解法（不含参）
考点二 其他不等式解法
考点三 一元二次不等式的解法（含参）
考点四 三个二次之间的关系
考点五 一元二次不等式恒成立问题
考点六 一元二次不等式有解问题
考点七 一元二次方程根的分布
考点八 一元二次不等式的应用
考点一 一元二次不等式的解法（不含参）
1．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解不等式
，得
，即
，
所以
，
解不等式
，变形得
，
因为指数函数
是
上的增函数，所以
，
所以
．
2．（2026·湖南湘潭·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据交集的定义判断即可.
【详解】因为
，
则
．
3．（2026·浙江·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由于
，解得
，所以
，
又因为
，所以
，
，故C 正确．
4．（2026·重庆·模拟预测）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得集合
，集合
，
根据交集的定义得
.
考点二 其他不等式解法
5．（25-26 高三下·山东·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，得
，又
，
所以
；
因为
得
，所以
，
则
.故选项C 正确.
6．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．（−1, 5
2 ）
【答案】B
【分析】根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解
，再根据并集的定义即可求解．
【详解】由题知
，
所以
．
7．（25-26 高三下·湖南长沙·月考）不等式
的解集为_______.
【答案】
【分析】移项通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】因为
则
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
8．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得.
【详解】
，
故
，解得
或
，
故该不等式的解集为
.
9．（25-26 高三上·上海徐汇·期中）分式不等式
的解集为______
【答案】
或
或
【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，
得到不等式解集.
【详解】∵
，∴
，
∴
或
或
.
故答案为：
或
或
.
10．（25-26 高二上·北京朝阳·月考）关于
的不等式
的解集为___________．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合一元二次不等式解法，分段求解即可.
【详解】由不等式
有意义，得
，解得
，
当
时，
，因此
；
当
时，
，即
，解得
，因此
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
11．（2025 高三·全国·专题练习）求不等式
的解集．
【答案】
【分析】将不等式转化为两个不等式组，结合一元二次不等式求解.
【详解】原不等式同解于下列两个不等式组：
①
或者②
，
解①，得
；
解②，得
，则
，
所以原不等式的解集为
.
12．（2026·吉林白山·模拟预测）设p：
，q：
，则p 是q 的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】解两命题对应不等式，然后由充分，必要条件与集合包含之间的关系可得答案.
【详解】
，
，
注意到
与集合
之间无包含关系，则命题
是命题
的既不充分也不必要条件.
13．（25-26 高三上·辽宁·期末）
的解集为_____
【答案】
【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解.
【详解】原不等式等价于
当
时，原不等式等价于
，即得
不成立，不等式无解；
当
时，原不等式等价于
，解得
，不等式的解集为
；
当
时，原不等式等价于
，即得
，不等式的解集为
；
综上所述，原不等式的解集为
.
故答案为：
考点三 一元二次不等式的解法（含参）
14．（25-26 高三上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集：
(1)
；
(2)
；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案；
（2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案；
（3）不等式
可化为
，分类讨论a 的取值，即可求得答案.
【详解】（1）由
得
，
即
，解得
，
故不等式
的解集为
.
（2）由
得
，
即
，也即为
，
故
，解得
，
故不等式
的解集为
.
（3）不等式
可化为
，
当
时，解得
；
当
时，原不等式即为
，
当
时，
，
.
当
时，
，此时不等式解集为
；
当
时，
，
当
时，原不等式即为
，
因为
，所以
，所以
或
.
综上所述，原不等式的解集为：
当
时，解集为
或
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
；
当
时，解集为
.
15．（2025 高三·全国·专题练习）设
.
(1)若不等式
对于一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）分
、
两种情况，结合一元二次函数的性质可求；
（2）因式分解，根据
、
、
以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求.
【详解】（1）不等式
对于一切实数
恒成立等价于
对于一切实数
恒成立，
当
时，不等式可化为
，不满足题意；
当
时，
，解得
；
综上，实数
的取值范围为
.
（2）不等式
等价于
，即
，
当
时，不等式可化为
，所以不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，此时
，
所以不等式的解集为
；
当
时，不等式可化为
，
①当
时，
，不等式的解集为
；
②当
时，
，不等式的解集为
或
；
③当
时，
，不等式的解集为
.
综上可得：当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
或
，
当
时，不等式的解集为
.
16．（25-26 高三·全国·一轮复习）解关于
的不等式
.
【答案】当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为
且
；
当
时，不等式的解集为
或
；
【分析】将不等式的右边移项到左边，因式分解后可得
，接下来分
三种情况，
解不等式即可.
【详解】因为
，所以
，即
，
令
，得
，
①
时，
，不等式的解集为
或
；
②
时，
，不等式的解集为
且
；
③
时，
，不等式的解集为
或
；
综上所述，当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为
且
；
当
时，不等式的解集为
或
；
17．（25-26 高三·湖北荆州·月考）求关于
的不等式
的解集.
【答案】详见解析
【分析】由
得
，根据
的情况分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由
有：
，
当
时，由
，
所以
；
当
时，
，所以原不等式解为：
或
，
所以
；
当
时，
，所以原不等式的解为：
，
所以
；
当
时，
，
所以
；
当
时，
，所以原不等式的解为：
，
所以
；
综上所述，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
18．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知函数
.
(1)若不等式
的解集为
，求
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）分
和
两种情况讨论，结合一元二次不等式恒成立问题求解得答案；
（2）将不等式转化为
，分
，
，
三种情况讨论求解.
【详解】（1）因为
的解集为
，
若
，得
，符合题意；
若
时，则
，解得
；
综上所述：实数
的取值范围是
.
（2）由不等式
，化简得
，
即
，其对应方程
的两根为
，
当
，即
时，不等式的解集为
或
；
当
，即
时，解集为R；
当
，即
时，不等式的解集为
或
；
综上所述：当
时，不等式的解集为
或
；
当
时，不等式的解集为R；
当
时，不等式的解集为
或
.
19．（25-26 高三上·江西·开学考试）解关于x 的不等式：
【答案】答案见解析
【分析】分
，
，
三种情况求解即可.
【详解】当
时，不等式为
，解得
，
当
时，由不等式
，可得
，
所以
，
若
，则
，解不等式得
或
，
若
，则
，不等式的解集为若
，
若
，解得
时，解不等式得
或
，
当
时，由不等式
，可得
，
所以
，
解得
，
综上所述：当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
.
考点四 三个二次之间的关系
20．（2026 高三·全国·专题练习）（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，则
（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集是
D．不等式
的解集为
【答案】ACD
【分析】根据一元二次方程与不等式的关系得
，
，再结合一元一次不等式和一元二次不等式的解法，
依次讨论各选项即可得答案.
【详解】∵关于
的不等式
的解集为
，
∴
，
和3 是关于
的方程
的两根，A 选项正确；
由根与系数的关系得
，则
，
∴
，B 选项错误；
∴不等式
可化为
，即
，解得
，C 选项正确；
不等式
可化为
，即
，解得
或
，
D 选项正确．
21．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
.
(1)求a，b 的值并求解不等式
的解集；
(2)当
，
且满足
时，有
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
；解集为
.
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出
，
的值，进而求解不等式.
（2）根据基本不等式求出
的最值，结合不等式恒成立即可求出范围.
【详解】（1）由题意知，1 和2 是
的两个根，且
，
所以
，
，解得
，
.
将
，
代入
可得，
，即
，
解得
或
.
所以解集为
.
（2）由（1）知，
（
，
），
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为8.
又
恒成立，故
恒成立，即
，解得
.
的取值范围为
.
22．（25-26 高三上·安徽滁州·期中）若不等式
的解集为
，则
的
解集为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系可得到
之间关系，进而可化简所求不等式
为不含参数的一元二次不等式，根据一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】
不等式
的解集为
，
且方程
的两根分别为
和
，
，即
，
，
，又
，
，解得：
或
，
的解集为
或
.
故选：D.
23．（25-26 高三上·四川广元·阶段检测）（多选）已知不等式
的解集是
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围是
或
【答案】BC
【分析】对于A 选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B 选项，由解集得到
，
，从而
化为
，求出解集；对于选项C，将
，
代入即可；对于选项D，先求出
，从而根据不等式有解得到
，求解即可.
【详解】对于选项A，因为不等式
的解集为
，所以
，故A 错误；
对于选项B，可以知道
，是方程
的两个不等实根，
所以
，
，所以
，
，
所以
，即
，
得
，故B 正确；
对于选项C，
，
，所以
，因为
，所以
，故C 正确；
对于选项D，关于
的不等式
有解，即求
的最小值，
令
，因为
，所以
，所以
，
所以
，
在
时单调递增，
所以
，所以
，解得
或
，故D 错误.
故选：
24．（25-26 高三上·江苏南通·期中）（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，则
（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
或
【答案】ABD
【分析】由题知
，且方程
的解为
，根据韦达定理得
，由此根据不等
式的性质逐项求解即可.
【详解】因为不等式
的解集为
，
所以
，且方程
的解为
，故A 正确；
则
，即
，
因为
，所以
，即
，
则不等式
的解集为
，故B 正确；
，
，故C 错误；
，即
，
解得
或
，故D 正确.
故选：ABD.
考点五 一元二次不等式恒成立问题
25．（25-26 高二下·宁夏银川·月考）若命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【详解】
为假命题，则
为真命题，
可得
，解得
，即实数
的取值范围是
.
26．（25-26 高一下·浙江衢州·期中）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果
【详解】根据题意当
时，解得
当
时，不等式
恒成立，符合题意；
当
，不等式
，不符合题意；
当
，
的不等式
的解集为
，
所以
，解得
综上所述，
.
27．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】题意说明
：“
，
恒成立”是真命题，然后对
分类讨论可得.
【详解】命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则命题
：“
，
恒成立”是真命题，
时，不等式为
恒成立，满足题意，
时，则
，解得
，
综上，
的范围是
.
28．（2026·天津河东·二模）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据
的范围分类讨论，结合对于任意
，都有
成立，解不等式即可求解．
【详解】因为
是一个区间，所以
，
二次函数
的对称轴为直线
，
①当
时，即
，函数
在
上单调递增，
所以
，
要使对于任意
，都有
成立，则
，
所以
，解得
；
②当
时，即
时，
函数
在
处取得最小值，
，
则
，不等式无解；
③当
时，即
，函数
在
上单调递减，
所以
，
则
，不等式无解；
综上所述，
的取值范围是
．
29．（2026 高三·全国·专题练习）不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分离参数，利用基本不等式求出最值.
【详解】不等式
对任意
恒成立，
即
对任意
恒成立，
设
，
，则
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，所以
.
的最小值为
.
30．（25-26 高三上·陕西渭南·期末）若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范围是
________.
【答案】
【分析】不等式
在
上恒成立，则需区间
都落在解集
内，这等价于要
求
与开区间
没有交集，从而得出
的取值范围.
【详解】由
化简得：
，
不等式
等价于
，
解得
要使此不等式对任意
恒成立，
则区间
必须完全包含在解集
中，
等价于
与开区间
的交集为空集，
区间
在
左侧，即
，解得
，
区间
在
右侧，即
，解得
，
当
，则
与
必有交集，不满足条件，
综上，实数
的取值范围是
或
，
故答案为：
考点六 一元二次不等式有解问题
31．（25-26 高三上·黑龙江大庆·期末）若存在
，使不等式
成立，则a 的取值范围是
______．
【答案】
【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为
的形式，只需
即可.
【详解】因为
，所以
.
又因为
，所以
，所以
，
设
，其中
，则
.
设
，则
转化为
，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，
所以存在
，使不等式
成立时，只需
，
故
的取值范围是
，
故答案为：
.
32．（2025 高三上·贵州贵阳·专题练习）已知命题“
”为真命题，则
的取值范围为
__________.
【答案】
【分析】分离参数，问题化为
，进而利用单调性求函数
在
上的最小值，即可得
到答案.
【详解】由题知，命题“
”为真命题，故
，
而函数
在
上单调递增，故
.
故答案为：
33．（25-26 高三上·河南南阳·月考）已知函数
(1)当
时，解不等式
，
(2)若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分情况讨论二次不等式解的情况；
（2）分离参数，结合对勾函数单调性可得取值范围.
【详解】（1）由已知
，即
，
因为
，所以不等式化简可得
，
当
时，
，则不等式的解集为
；
当
时，
，则不等式的解集为
；
当
时，
，则不等式的解集为
；
（2）由已知不等式
在
上有解，
化简可得
，
设
，则
，
又函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，
所以
，
即
的取值范围是
.
34．（25-26 高三上·天津河北·月考）已知命题
．若命题
为假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意得
为真命题，令函数
，讨论函数的对称轴，即可求得函数
的最小值，建立不等式即可求得实数
的取值范围.
【详解】由题意得命题
的否定
为真命题，
令函数
，则函数对称轴
，
当
，即
，函数最小值为
，
由题意得
，即
.∴
当
，即
，函数最小值为
，
由题意得
，即
或
，∴
.
∴
，
故选：A.
35．（25-26 高三上·天津武清·期中）若命题“
，使得
”为真命题，则实数a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【分析】根据题意，关于
的不等式
有解，则对应二次函数的判别式
，解关于
的不等式即可.
【详解】因为“
，使得
”为真命题，
则
，即
，
解之得{
或
}，即C 正确.
故选：C
考点七 一元二次方程根的分布
36．（25-26 高三上·湖南常德·月考）若关于
的不等式
恰有两个正整数解，则
的取值范围
是______.
【答案】
【分析】不等式化为
，讨论
与1 的大小解出不等式，依题意判断
的取值范围即可得出．
【详解】关于
的不等式
可化为
，
当
时，解得
，要使解集中恰有两个正整数解，则
，得
；
当
时，不等式化为
，此时无解；
当
时，解得
，要使解集中恰有两个正整数，则
， 此时解集中无正整数解；
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
37．（25-26 高三上·广东佛山·月考）已知函数
有两个不相等的正零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】转化为
有两个不等正根为
，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案.
【详解】设
的两个不等正零点为
，
即
的两个不等正根为
，
故
，解得
，
故
的取值范围是
.
故选：C
38．（25-26 高三上·安徽合肥·期中）已知关于x 的方程
有两个大于2 的相异实数根，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】设关于x 的方程
的两个根分别为
，根据
满足的条件列不等式组，解不等
式组即可得实数
的取值范围.
【详解】设关于x 的方程
的两个根分别为
,
则由根与系数的关系，知
所以由题意知，
即
，解得
.
故选：B.
39．（25-26 高三上·浙江·期中）关于
的方程
有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a 的不等式组，即可求解．
【详解】设
，
则由题意可知
，即
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
故选：C．
40．（25-26 高三·全国·一轮复习）方程
有一正根和一负根的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合韦达定理和
研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出
的范围，最后结合充分
条件、必要条件的定义判断.
【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根，
则
，得
，
所以条件成立的一个充分不必要条件为
．
方法2：设
，
因为方程有一正根和一负根，
所以
或
，解得
，
所以条件成立的一个充分不必要条件是
．
故选：C．
考点八 一元二次不等式的应用
41．（25-26 高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15 元．若按最低售价销
售，则每天能卖出30 个；若一个削笔器的售价每提高1 元，则日销售量将减少2 个．为了使这批削笔器每天获得
400 元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元．
【答案】
【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解.
【详解】设这批削笔器的销售价格为
元/个，
，由题意得到
，
即
，解得
，
又因为
，所以
，
故销售价格的范围为
；
故答案为：
42．（25-26 高三上·湖北荆州·期中）2025 年5 月，荆州市首次获评第七届全国文明城市称号，荆州中学作为“全
国文明校园”的再次蝉联者，既是荆州市文明城市创建的受益者，更是文明创建践行者.以此为契机，学校计划在
天问广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，在两块完全相同的长方形上种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆
满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400 平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多9 米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的花坛宽度均为2 米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】(1)16
(2)
.
【分析】（1）设草坪长和宽，根据条件得到关系和不等式，解不等式即可求得草坪宽的最大值；
（2）设整个绿化面积为平方米，根据题意列出表达式，并通过基本不等式求得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x 米，长为y 米，
因为两块绿草坪的面积均为400 平方米，所以
，
因为矩形草坪的长比宽至少多9 米，则
，即
，
解得
，所以草坪宽的最大值为16 米；
（2）设整个绿化面积为S 平方米，
由题意可得，
，当且仅
当
时取等号，
所以整个绿化面积的最小值为
平方米.
43．（25-26 高三上·安徽铜陵·阶段检测）美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引发全球关注：
预计在
年
月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.
某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，
(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量
为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产
万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，
才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
【答案】(1)
万套时，每万套的最低成本为12 万元；
(2)该企业至少要生产30 万套，才能确保该套装每月的利润不低于
万元.
【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本
，应用基本不等式求最小值；
（2）由题设得到
，解一元二次不等式求解，即可得结论.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本
，
当且仅当
万套时取等号，平均每万套的成本最低为12 万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为
，
所以
，可得
，
所以
，即该企业至少要生产30 万套，才能确保该套装每月的利润不低于
万元.
44．（25-26 高三上·安徽合肥·期末）2024 年8 月12 日，为期16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，
中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向
“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会
的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300 万元费用.假设购进该款产
品全部售出.若以80 元的单价出售，可售出15 万件，且每降价1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30
万件，则经销商按照每件30 元成本收费；若购进30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此
时利润
（万元）与销量
（万件）的关系为
.
(1)当购进产品数量为10 万件时，利润是多少？
(2)写出利润
万元关于购进产品数量
（万件）的函数解析式？（利润
销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】(1)200（万元）；
(2)
(3)当
（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）
【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；
（2）对
进行分类讨论写出
的解析式；
（3）对
分类讨论写出各段函数的最大值进行比较.
【详解】（1）
（万元）.
所以当购进产品数量为10 万件时，利润是200 万元.
（2）当
时，
，
当
时，不妨设降价元，购进产品全部售出，
则
，得到
，
所以
，
当
时，
，
所以
（3）由（2）知，当
时，
，
当
（万件），利润最大，此时利润是450（万元），
当
时，
，
当
（万件），利润最大，此时利润是500（万元），
当
时，
，
当且仅当
，即
，
当
（万件），利润最大，此时利润是910（万元），
因为
，所以当
（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）.
1．（25-26 高三下·重庆·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵
，∴
， 解得
，
又
， ∴
.
∵
，即
，解得
，
又
，∴
.
∴
.
2．（2026·河北保定·一模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
解得：
或
，故
或
，
由
，解得：
，故
，
所以
3．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）不等式：
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】移项，通分，因式分解，利用分式不等式的解法可得答案.
【详解】移项并通分：
，
因式分解得：
，
解得：
或
.
故选：B
4．（2026 高三·全国·专题练习）已知不存在
，使得不等式
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵不存在
，使得不等式
成立，
∴对任意
，不等式
恒成立，
∴方程
对应的
，解得
．
5．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知方程
的根为
和
，则不等式
成立时
函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知
的解集为
，结合函数图象的开口方向及各选项图象，即可得.
【详解】由题设，不等式
的解集为
，
且
的开口向上，结合图象知A 正确.
故选：A
6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）（多选）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
【答案】AC
【分析】根据分式不等式的解法、均值不等式求最值、作差法比较大小等方法逐一验证选项判断正误.
【详解】对于A：
等价于
，解得
或
，故A 正确，
对于B：
等价于
，即
，
整理得
，解得
，且
，故B 错误；
对于C：当
时，
，
当且仅当
时取等号，故C 正确；
对于D：
，
，即
，故D 错误.
7．（25-26 高三上·福建漳州·月考）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若实数
，
，满足
，则
；
B．若
，则函数
的最小值为
；
C．不等式
的解集为
；
D．当
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是
．
【答案】AC
【分析】由不等式的性质可判断A；由换元法和对勾函数的单调性可判断B；由二次不等式的解法可判断C；对
讨论，结合二次函数的图象和性质可判断D．
【详解】若实数
，
，满足
，可得
，则
，故A 正确；
若
，设
，函数
即
，
由对勾函数的性质可知，函数
在
递增，
则函数
的最小值为
，故B 错误；
不等式
即为
，解得
，
即不等式的解集为
，故C 正确；
当
时，不等式
恒成立，
若
，则
恒成立；
若
，则
，解得
．
综上
的取值范围是
，故D 错误．
故选：AC
8．（25-26 高三上·江苏镇江·月考）（多选）已知x 是实数，则使得
成立的一个充分不必要条件有
（ ）
A．
，或
，或
B．
，或
C．
，或
D．
，或
【答案】BD
【分析】求出
的解集，利用充分必要条件的定义判断.
【详解】
，
，
，即
，
上式等价于
，解得
，或
，或
，
即
等价于
，或
，或
.
对于A，
，或
，或
是
得充要条件，故A 错误；
对于B，
，或
是
的充分不必要条件，故B 正确；
对于C，
，或
是
的必要不充分条件，故C 错误；
对于D，
，或
是
的充分不必要条件，故D 正确.
故选：BD.
9．（25-26 高三上·福建龙岩·月考）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．已知
，则“
”是“
”的必要不充分条件
B．当
时，
的最小值为2
C．命题“
”的否定是“
”
D．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是
【答案】AC
【分析】由幂函数与对数函数的单调性即可判断A，由基本不等式代入计算，即可判断B，由全称命题的否定，即
可判断C，由一元二次不等式恒成立，即可判断D.
【详解】对于A，由
在
上单调递增，
可得
，
由
在
上单调递增，
可得
，
由
是
的必要不充分条件可得“
”是“
”的必要不充分条件，故A 正确；
对于B，因为
，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，但
取不到，
所以
取不到最小值
，故B 错误；
对于C，全称命题“
”的否定是特称命题“
”，
故C 正确；
对于D，当
时，不等式为
，满足条件，
当
时，不等式
的解集为
，
则需满足
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
，故D 错误；
故选：AC
10．（25-26 高三上·重庆九龙坡·期中）（多选）若“
”是假命题，则
的值可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】首先将问题转化为存在量词命题的否定为真命题，进而解决不等式恒成立问题即可.
【详解】因为“
”是假命题，
所以其否定“
”是真命题.
当
，即
时，不等式
即
，是一个一元一次不等式，
不满足对任意的实数
恒成立，不满足题意，所以
；
当
时，不等式
是一个一元二次不等式，
要使其对任意的实数
恒成立，只需
，即
，
解得
，即实数
的取值范围是
.
结合四个选项知，
，
，
，
，
故选：AC.
11．（2026·青海西宁·二模）已知命题
，若
为真命题，则
的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题意，分
、
两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解.
【详解】
可化为
，
由题意可知，
恒成立，
当
时，原不等式为
，解得
，不合题意；
当
时，依题意得
，解得
，
综上所述，
的取值范围为
．
12．（25-26 高二上·云南昭通·期末）已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围
是________．
【答案】
【分析】分
和
两类情况，结合不等式对应的二次函数的图像可得实数
的取值范围.
【详解】当
时，不等式为
，显然恒成立，符合题意；
当
时，
因为关于
的不等式
对任意
恒成立，
所以二次函数
的图像在
轴的下方，
所以
，解得
，
综上，可得
的取值范围是
．
故答案为：
13．（2026·新疆·三模）不等式
的解集为__________.
【答案】
或
.
【详解】由
可得
，
故
或
，
故不等式的解集为
或
.
14．（2026·贵州毕节·二模）不等式
的解集是______.
【答案】
【详解】不等式
，即
，化简得
，
等价于
，解得
，
所以不等式
的解集
.
15．（25-26 高三上·天津东丽·月考）已知关于x 的不等式
的解集为
.
(1)求实数a，b 的值；
(2)若
，求关于x 的不等式
的解集.
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解；
（2）原不等式可变形为
，分类讨论：
、
、
、
，解出对应不等
式的解集即可.
【详解】（1）由题意知，
，即
.
因为不等式
的解集为
，
所以
是方程
的两个实根，
有
，解得
,
此时不等式为
，符合题意，
所以
；
（2）由（1）知，
，
则不等式
可变形为
，
若
，则
，解得
，
此时原不等式的解集为
；
若
，则方程
的解为
或
，
当
即
时，原不等式的解集为
；
当
即
时，原不等式的解集为
；
当
即
时，原不等式的解集为
.
综上，当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
16．（25-26 高三上·安徽合肥·月考）已知关于x 的不等式
.
(1)若不等式的解集为
，求k 和m 的值；
(2)若不等式的解集为
，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由
的解集为
，得到
的根为
或
，利用根与系数
的关系求解即可；
（2）由不等式
的解集为
，按照
和
两种情况讨论求解.当
时，由不等式
的解集为
， 得到
，计算得解.
【详解】（1）
的解集为
，
的根为
或
，且
，
，
，
（2）
不等式
的解集为
，
当
时，不等式
转化为
，满足题意；
当
时，不等式
的解集为
，
，解得
，
综上可知实数k 的取值范围为
.
17．（25-26 高三上·江苏淮安·月考）已知不等式
的解集为
或
．
(1)求
，
的值；
(2)关于
的不等式
的解集中恰有2 个整数，求实数的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定的解集，利用韦达定理列式求解.
（2）由（1）的结论，按
分类求出不等式的解，进而求出范围.
【详解】（1）由不等式
的解集为
或
，得
，且
是方程
的二根，
则
，所以
.
（2）由（1）知，不等式
为
，
依题意，不等式
的解集中恰有2 个整数，则
，
当
时，解
，得
，则
；
当
时，解
，得
，则
，
所以实数的取值范围是
.
18．（25-26 高三上·河南·月考）已知二次函数
．
(1)若
的解集为
，分别求a，b 的值；
(2)解关于x 的不等式
．
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【分析】（1）由题可得
，b 是方程
的根，结合题意列式即可求解；
（2）由题可得
，分类讨论两根的大小关系，根据含参一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由
的解集为
，则
，b 是方程
的根，且
．
由
，解得
；又由
，解得
．
所以
，
．
（2）由二次函数
，知
，
不等式
整理得
，即
，
当
时，不等式等价于
，
当
，即
时，解得
或
；
当
，即
时，解得
；
当
，即
时，解得
或
；
当
时，不等式等价于
，解得
，
所以当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
．
