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1.1 集合
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然
数集
正整数集
整数集
有理
数集
实数集
记法
N
N*或N+
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,就称集合A 为集
合B 的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A).
(2)真子集:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A 是集合B 的真子集,记作A⫋B(或B⫌A).
(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
(4)空集的性质:⌀是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A 的
补集为∁UA
图形
表示
集合表示
{x|x∈
A,
或
x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,
且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A=A,A∩= ,
⌀⌀A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪⌀=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)= ,⌀A∪(∁UA)=U,
∁U(∁UA)=A.
考点一 集合含义与表示
考点二 集合间的基本关系
考点三 集合的运算
考点四 集合的新定义问题
考点一 集合含义与表示
1．（2026·湖北孝感·二模）如果集合
只有一个元素，则实数
的值是（ ）
A．0 或4
B．4
C．0 或
D．0
2．（25-26 高三上·江苏常州·月考）（多选）下列各组中
表示不同集合的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（25-26 高三上·上海金山·开学测试）含有三个实数的集合既可表示成
，又可表示成
，则
____________.
4．（25-26 高三上·四川成都·开学测试）下列集合符号运用不正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
考点二 集合间的基本关系
5．（2026·江西·二模）已知集合
，集合
，则集合
的真子集个数为
（ ）
A．3
B．4
C．15
D．16
6．（2026·湖南长沙·二模）已知集合
，
，则M 与N 的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·四川遂宁·二模）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·湖南怀化·二模）已知集合
，
．若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·四川内江·开学测试）已知集合
，
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的值；
(3)若
，求实数
的取值范围．
考点三 集合的运算
10．（25-26 高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·北京石景山·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三上·四川内江·开学测试）设全集为
，集合
，
．
(1)求如图阴影部分表示的集合；
(2)已知
且
，若
，求实数
的取值范围．
14．（25-26 高三上·广东东莞·期末）已知集合
.
(1)求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
考点四 集合的新定义问题
15．（2026·河南开封·二模）定义集合
且
，已知集合
，
，若
，
则下列一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·安徽阜阳·月考）（多选）对于由
个正整数组成的集合
，设
为集合
中所有元素的和，
定义：若对任意不大于
的正整数
，都存在
的子集
，满足
，则称集合
是“完全集合”．下列
说法正确的是（ ）
A．
是完全集合
B．对于确定的正整数
，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的
C．若
，则
是完全集合
D．若
是完全集合，且
，则
中的元素个数的最小值为10
17．（2026·福建漳州·三模）已知
是集合
的非空子集，若
，则称
是集合
的“互斥子集
组”，并规定
与
为不同的“互斥子集组”．集合
的不同“互斥子集组”的个数是
___________．（用数字作答）
18．（2026·北京顺义·二模）已知集合
，集合
是集合
的一个含
个元素的子集.若集合
满足如下两个性质，则称集合
为集合
的完美子集：
①集合
的任意两个不同子集的元素之和不相等；
②对任意
且
，令
，且集合
存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若
，判断
是否为集合
的完美子集；
(2)若集合
为集合
的完美子集，证明：集合
的元素之和的最小值为16；
(3)若集合
为集合
的完美子集，证明：
.
19．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合
，定义变换
，
中元素的个
数分别记为
，
，
.
(1)设集合
，直接写出
，
，
的值；
(2)设集合
,
中所有元素的和记为
，求数列
的通项公式；
(3)设集合
与
同时满足下列两个性质：
①
，且
；
②
且
，其中
.
求
的最大值.
1．（2026·云南·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·江苏徐州·期末）下面关于集合的表示正确的是（ ）
A．
B．
.
C．
D．
.
3．（25-26 高三上·河北邯郸·阶段检测）下列关系中①
，②
.③
，④
.正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（25-26 高三上·山东济南·开学测试）下列集合中，与集合
表示同一个集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（安徽蒙城一中、涡阳一中、颍上一中、怀远一中、淮南一中五校2026 届年高三上学期5 月学情自测数学试
题）已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·福建三明·二模）已知集合
，
，若
，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·湖南长沙·开学测试）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·北京朝阳·开学测试）当集合是
的子集且的元素个数有限，称的所有元素之和为的“厚
度”.集合
的全部非空子集的厚度之和为（ ）
A．3200
B．1600
C．1550
D．800
10．（2026·陕西西安·模拟预测）（多选）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
中元素个数为
D．
11．（25-26 高三上·四川宜宾·开学测试）（多选）下列命题中为真命题的有（ ）
A．“四边形
是正方形”是“四边形
是长方形”的充分不必要条件.
B．若
是无理数，则
也是无理数.
C．若
，则实数
的值为1 或2.
D．
，则
的子集个数是4 个.
12．（2026·山西临汾·二模）（多选）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2026·陕西榆林·三模）集合
的真子集的个数为______.
14．（2026·上海普陀·二模）设
，集合
，
，若集合
，且满足
条件的A 恰有2 个，则a 的取值范围为______.
15．（25-26 高三上·甘肃兰州·开学测试）已知
，
，则
___________．
16．（25-26 高三上·上海·开学测试）已知不等式
的解集为
，不等式
的解集为
.
(1)若
，求
；
(2)若对任意实数
，不等式
均成立，求实数
的取值范围.
17．（25-26 高三上·北京海淀·开学测试）已知
为给定的正整数，
，集合
，设非
空集合
，
.若对任意的
，集合
均恰有
个不同的元素，其中
，则称
是
的
阶伴随子集.
(1)设
，写出2 个
的1 阶伴随子集；
(2)设
，非空集合
不存在1 阶伴随子集，求
中元素个数的最小值；
(3)设
和
互为3 阶伴随子集，求
中元素个数的最大值.
