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专题二 《集合》讲义
知识梳理 . 集合
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：
确定性、无序性、互异性
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或N 表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实
＋
数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的
元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称
A是B的真子集.
(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子
集．记作∅.
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的
交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的
并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合
A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作
∁U
A，即
∁U
A＝{x|x∈U，且x∉A}．
题型一 . 集合的基本概念
1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4 A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 ∈C．﹣3或2 D．﹣1或2
b
2．设a，b R，集合{1，a+b，a}＝{0， ，b}，则b﹣a＝（ ）
a
∈A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
3．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x Z，y Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 ∈ ∈ C．5 D．4
4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a A，b B}，则M中元素的个数为
（ ） ∈ ∈
A．3 B．4 C．5 D．6
5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m A，则非零实数m的数值是 ．
6．若集合A＝{x R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素∈，则a＝（ ）
A．4 ∈ B．2 C．0 D．0或4
题型二 . 集合的基本关系——子集个数
1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（ ）
A．1或2 B．﹣1或﹣2 C．2 D．1
2．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是（ ）
A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} ⊆C．{a|a≥2} D．{a|a＞2}
3．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N M，则实数a的取值集合为（ ）
A．{1} B．{﹣1，1} C⊆．{1，0} D．{1，﹣1，0}
4．已知集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}，B＝{x|x＞2}，若B A，则实数a的取值
范围是 ． ⊆
5．已知集合A＝{x Z|x2+3x＜0}，则满足条件B A的集合B的个数为（ ）
A．2 ∈ B．3 ⊆C．4 D．8
6．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a A，b B}，则集合
M的真子集的个数为（ ） ∈ ∈
A．7个 B．12个 C．16个 D．15
题型三 . 集合的基本运算
1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（
）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知集合A＝{x|0＜log x＜1}，B＝{x|ex﹣2≤1}，则A∪B＝（ ）
4
A．（﹣∞，4） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，2]4．满足M {a ，a ，a }，且M∩{a ，a ，a }＝{a }的集合M的子集个数是（ ）
1 2 3 1 2 3 3
A．1 ⊆ B．2 C．3 D．4
3
5．设集合A＝{x Z||x|≤2}，B={x| ≤1}，则A∩B＝（ ）
2x
∈
A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}
6．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a A}，若 A∩B≠ ，则 a 的值为
（ ） ∈ ∅
A．1 B．2 C．3 D．1或2
7．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则 （A∩B）等于（
R
） ∈ ∁
A．R B．{x|x R，x≠0} C．{0} D．
8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，∈B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范φ围是（ ）
A．a≤1 B．a＜1 C．a≤3 D．a＜3
题型四 . 用韦恩图解决集合问题 ——新定义问题
1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴
影部分表示的集合为（ ） ∈
A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{3，4，5}
2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x N*}，若A∩B＝{3}，A∩ B＝{1，5，7}， A∩ B＝
U U U
{9}，则A＝ ∈，B＝ ． ∁ ∁ ∁
3．（2021•全国模拟）已知M，N均为R的子集，且 M N，则M∪（ N）＝（ ）
R R
A． B．M C．N∁ ⊆ D．∁ R
4．某中∅学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢
足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数
的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若 x A、y B，x＜y恒
成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合 M的∀“∈子集∈对”共有
个．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算 ： {x+ y (x与y奇偶相同)，则集
x⊗y=
x×y (x与y奇偶不同)
⊗
合M＝{（x，y）|x y＝6，x，y N*}中元素的个数是 ．
⊗ ∈
