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专题二 《集合》讲义
知识梳理 . 集合
1．集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：
确定性、无序性、互异性
(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.
(4)五个特定的集合及其关系图：
N*或N 表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实
＋
数集．
2．集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的
元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称
A是B的真子集.
(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子
集．记作∅.
3．集合间的基本运算
(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的
交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的
并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合
A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作
∁U
A，即
∁U
A＝{x|x∈U，且x∉A}．
题型一 . 集合的基本概念
1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4 A，则a＝（ ）
A．﹣3或﹣1或2 B．﹣3或﹣1 ∈C．﹣3或2 D．﹣1或2
【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，
∴a2﹣a+2＝14，
∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，
a＝2时，1﹣a＝﹣1，
∴A＝{2，﹣1，4}；
a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），
故选：C．
b
2．设a，b R，集合{1，a+b，a}＝{0， ，b}，则b﹣a＝（ ）
a
∈
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
b
【解答】解：根据题意，集合{1，a+b，a}={0， ，b}，
a
又∵a≠0，
∴a+b＝0，即a＝﹣b，
b
∴ =−1，
a
b＝1；
故a＝﹣1，b＝1，
则b﹣a＝2，
故选：C．
3．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x Z，y Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 ∈ ∈ C．5 D．4
【解答】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，
当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，
即集合A中元素有9个，
故选：A．
4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a A，b B}，则M中元素的个数为
（ ） ∈ ∈
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a A，b B}，
所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3∈+5＝8∈，
所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．
故选：B．5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m A，则非零实数m的数值是 2 ．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}∈，3﹣m A，
{3−m=1 {3−m=2 {3−m=3 ∈
∴ m≠0 或 m≠0 或 m≠0 ，
m≠1 m≠1 m≠1
解得m＝2．
∴非零实数m的数值是2．
故答案为：2．
6．若集合A＝{x R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（ ）
A．4 ∈ B．2 C．0 D．0或4
【解答】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件
当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4
故选：A．
题型二 . 集合的基本关系——子集个数
1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（ ）
A．1或2 B．﹣1或﹣2 C．2 D．1
【解答】解：∵A＝B，
∴3a﹣2＝a2，
解得：a＝1或2，
当a＝1时，集合A＝{0，1，1}不满足元素的互异性，故舍去，
当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，
所以a＝2，
故选：C．
2．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是（ ）
A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} ⊆C．{a|a≥2} D．{a|a＞2}
【解答】解：由题意作图则a＞2即可，
故选：D．
3．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N M，则实数a的取值集合为（ ）
⊆A．{1} B．{﹣1，1} C．{1，0} D．{1，﹣1，0}
【解答】解：∵集合M＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，N＝{x|ax＝1}，N M，
∴当a＝0时，N＝ ，成立； ⊆
1∅
当a≠0时，N＝{ }，
a
1 1
∵N M，∴ =−1或 =1．
a a
⊆
解得a＝﹣1或a＝1，
综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．
故选：D．
4．已知集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}，B＝{x|x＞2}，若B A，则实数a的取值
⊆
1
范围是 （ 0 ， ] ．
2
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}
＝{x|（x﹣4a）（x+a）＞0，a＞0}
＝{x|x＜﹣a或x＞4a，a＞0}，
B＝{x|x＞2}，B A，
⊆ 1
∴0＜4a≤2，解得0＜a≤ ．
2
1
∴实数a的取值范围是（0， ]．
2
1
故答案为：（0， ]．
2
5．已知集合A＝{x Z|x2+3x＜0}，则满足条件B A的集合B的个数为（ ）
A．2 ∈ B．3 ⊆C．4 D．8
【解答】解：∵集合A＝{x Z|x2+3x＜0}＝{x Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，
∴满足条件B A的集合B的∈个数为22＝4． ∈
故选：C． ⊆
6．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a A，b B}，则集合
M的真子集的个数为（ ） ∈ ∈
A．7个 B．12个 C．16个 D．15个
【解答】解：a＝1，b＝2时，x＝6，
a＝1，b＝3时，x＝12，a＝0，b＝2时，x＝4，
a＝0，b＝3时，x＝9，
故M＝{4，6，9，12}，
故M的真子集的个数是：24﹣1＝15个，
故选：D．
题型三 . 集合的基本运算
1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，A∩B＝{1}，
∴x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，∴1﹣4+m﹣1＝0，
解得m＝4，
∴B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．
故选：C．
2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（
）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解答】解：在同一个坐标下，画出圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x的图象如下所示：
圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x有两个交点，
∴A∩B中元素的个数为：2．
故选：B．
3．已知集合A＝{x|0＜log x＜1}，B＝{x|ex﹣2≤1}，则A∪B＝（ ）
4
A．（﹣∞，4） B．（1，4） C．（1，2） D．（1，2]
【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，
∴A∪B＝（﹣∞，4）．
故选：A．4．满足M {a ，a ，a }，且M∩{a ，a ，a }＝{a }的集合M的子集个数是（ ）
1 2 3 1 2 3 3
A．1 ⊆ B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵M {a ，a ，a }，且M∩{a ，a ，a }＝{a }，
1 2 3 1 2 3 3
说明集合M中只含⊆有一个元素a
3
，即M＝{a
3
}，
M的子集为 ，{a }，
3
∴集合M的∅子集个数是2．
故选：B．
3
5．设集合A＝{x Z||x|≤2}，B={x| ≤1}，则A∩B＝（ ）
2x
∈
A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}
【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
3
B＝{x|x≥ 或x＜0}，
2
故A∩B＝{﹣2，﹣1，2}，
故选：C．
6．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a A}，若 A∩B≠ ，则 a 的值为
（ ） ∈ ∅
A．1 B．2 C．3 D．1或2
【解答】解：a＝1时，B中方程为x2﹣3x+1＝0，其解为无理数，A∩B＝ ；
a＝2时，B中方程为x2﹣3x+2＝0，其解为1和2，A∩B＝{1，2}≠ ； ∅
a＝3时，B中方程为x2﹣3x+3＝0，无解，A∩B＝ ； ∅
综上，a的值为2． ∅
故选：B．
7．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则 （A∩B）等于（
R
） ∈ ∁
A．R B．{x|x R，x≠0} C．{0} D．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣∈2x≤0，x R}＝{x|0≤x≤2}， φ
B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}＝{x|﹣4≤x≤∈0}，
∴A∩B＝{0}，
∴ （A∩B）＝{x|x R，x≠0}，
R
故∁选：B． ∈
8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（ ）A．a≤1 B．a＜1 C．a≤3 D．a＜3
【解答】解：A＝{x|1＜x＜3}；
∵A∩B＝A；
∴A B；
①若⊆a≤0，B＝R，满足A B；
②若a＞0，则B＝{x|x≥a，⊆或x≤﹣a}；
∴0＜a≤1；
综上得，a≤1．
故选：A．
题型四 . 用韦恩图解决集合问题——新定义问题
1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴
影部分表示的集合为（ ） ∈
A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{3，4，5}
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{x R|y＝lg（x﹣3）}＝{x|x＞3}，
∴
U
B∈＝{x|x≤3}．
∴∁图中阴影部分表示的集合为：
A∩（ B）＝{1，2，3}．
U
故选：∁B．
2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x N*}，若A∩B＝{3}，A∩ B＝{1，5，7}， A∩ B＝
U U U
{9}，则A＝ { 1 ， 3 ， 5 ， 7 } ∈ ，B＝ { 2 ， 3 ， 4 ， 6 ， 8 } ∁ ． ∁ ∁
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，
由题意如图所示
由韦恩图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}
故答案为：{1，3，5，7}；{2，3，4，6，8}3．已知M，N均为R的子集，且 M N，则M∪（ N）＝（ ）
R R
A． B．M ∁ ⊆ C．N∁ D．R
【解∅答】解：如图所示易知M∪（
R
N）＝M．
∁
故选：B．
4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢
足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数
的比例是（ ）
A．62% B．56% C．46% D．42%
【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢
的百分比为z，
由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．
∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．
故选：C．
5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若 x A、y B，x＜y恒
成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合 M的“∀子∈集对∈”共有 17
个．
【解答】解：由集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若 x A、
y B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合 M的∀“∈子集
对∈”有：当A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}；当A＝{2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}
当A＝{3}时，B＝{4}
A＝{1，2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}
A＝{1，3}时，B＝{4}，
A＝{2，3}，B＝{4}
A＝{1，2，3}，B＝{4}
故答案为：17．
6．任意两个正整数x、y，定义某种运算 ： {x+ y (x与y奇偶相同)，则集
x⊗y=
x×y (x与y奇偶不同)
⊗
合M＝{（x，y）|x y＝6，x，y N*}中元素的个数是 9 ．
【解答】解：①当⊗x与y都为奇∈数时，有1+5＝6，3+3＝6，
据此可得出（1，5），（5，1），（3，3），3个点符合题意，
②当x与y都为偶数时，有2+4＝6，
据此可得出（2，4），（4，2），2个点符合题意，
③当x与y一奇一偶时，1×6＝6，2×3＝6，
据此可得出（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），4个点符合题意，
所以共有9个点符合题意，
故答案为：9．
