§1.1 集 合
课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理
解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数
正整 有理
集合 集(或自 整数集 实数集
数集 数集
然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，
就称集合A为集合B的子集，记作 A ⊆ B (或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 x ∉ A ，就称集合A是集合B的真子集，
记作 A B (或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且 B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集．
3．集合的基本运算
表示 集合语言 图形语言 记法运算
并集 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } A ∪ B
交集 { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∩ B
补集 { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } ∁U A
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A A⊆B，A∪B＝A B⊆A.
4．
∁U
(A∩B)⇔ ＝(∁U A)∪(∁U B)，
∁⇔U
(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁R A)∩B等于( )
A．{x|2<x≤3}
B．{x|7<x<10}
C．{x|2<x<3或7≤x<10}
D．{x|2<x≤3或7<x<10}
答案 C
解析 因为∁R A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．
3．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a
＝________.
答案 2
解析 因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1,3,1}，不
满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝
{1,3,4}，B＝{1,4}，符合题意．综上，实数a＝2.
4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取
值范围为________．答案 [2，＋∞)
解析 因为B⊆A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的
子集个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，
集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直线x＋y＝0上的所有点，
因为直线x＋y＝0经过圆心(0,0)，
所以直线与圆相交，
所以A∩B的元素个数为2，
则A∩B的子集个数为4.
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3 C．0 D．－2
答案 B
解析 因为集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，
则m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}．
当m＝0时，集合A中的元素不满足互异性；
当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不满足互异性；
当m＝3时，A＝{0,3,2}，符合题意．
综上所述，m＝3.
思维升华 解决集合含义问题的关键点
(1)一是确定构成集合的元素．
(2)确定元素的限制条件．
(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则
C中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4.
(2)若含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________.
答案 1
解析 因为＝{a2，a＋b,0}，
显然a≠0，所以＝0，即b＝0；
此时两集合分别是{a,1,0}，{a，a2,0}，
则a2＝1，解得a＝1或a＝－1.
当a＝1时，不满足互异性，故舍去；
当a＝－1时，满足题意．
所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log x<0}，则( )
2
A．A⊆B B．B⊆A
C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
答案 A
解析 因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log x<0}＝{x|x>2}，
2
所以A⊆B.
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)
D.∪(0,1)
答案 A
解析 ∵B⊆A，
∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
②若B≠ ∅，即ax＋1≤0有解，
当a>0时，可得x≤－，要使B⊆A，
则需要解得0<a<1；
当a<0时，可得x≥－，要使B⊆A，
则需要解得－≤a<0，
综上，实数a的取值范围是.
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否
则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系
是( )
A．MN B．NM
C．M⊆∁R N D．N⊆∁R M
答案 B
解析 因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以
NM.
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集
的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．
答案 254 {m|m≤－2或－1≤m≤2}
解析 易得A＝{x|－2≤x≤5}．
若x∈Z，则A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8个元素，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅，B⊆A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠ ∅，
因此，要使B⊆A，则需解得－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m|m≤－2或－1≤m≤2}．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于( )
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
答案 D
解析 因为M＝{x|<4}，
所以M＝{x|0≤x<16}；
因为N＝{x|3x≥1}，
所以N＝.
所以M∩N＝.
(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁R M)＝∅，则下列结论中正确的是( )
A．M∩(∁R N)＝∅
B．M∪(∁R N)＝R
C．(∁R M)∪(∁R N)＝ ∁R MD．(∁R M)∩(∁R N)＝ ∁R M
答案 BD
解析 ∵N∩(∁R M)＝∅，∴N⊆M，
如图，若N是M的真子集，则M∩(∁R N)≠ ∅，故A错误；
由N⊆M可得M∪(∁R N)＝R，故B正确；
由N⊆M可得∁R N⊇∁R M，故C错误，D正确．
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(
)
A．－ B. C．0 D．－
答案 BCD
解析 由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，
由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，
所以A＝{2，－3}，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当B＝∅时，m＝0，满足题意；
当B≠ ∅时，B＝，
－＝2或－＝－3，
解得m＝－或m＝，
综上，m＝0或－或.
(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁R B)＝A，则实数a的取值范围
为( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 因为B＝{x|x>a}，
所以∁R B＝{x|x≤a}，
又A∩(∁R B)＝A，所以A⊆∁R B，
又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，
解得0≤a≤1，即实数a的取值范围为[0,1]．
思维升华 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3 (1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则( )
A．(∁R A)∪B＝{x|0≤x<3}
B．(∁R A)∩B＝{x|1<x<2}
C．A∩B＝{x|2<x<3}
D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集
答案 ACD
解析 由x2－2x>0，得x<0或x>2，
所以A＝{x|x<0或x>2}，
所以∁R A＝{x|0≤x≤2}，
对于A，因为B＝{x|1<x<3}，
所以(∁R A)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正确；
对于B，因为B＝{x|1<x<3}，
所以(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B错误；
对于C，因为A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，
所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正确；
对于D，因为A∩B＝{x|2<x<3}，
所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确．
(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(
)
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 B
解析 因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，
则a－1≤1，解得a≤2.
题型四 集合的新定义问题
例5 (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也
对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知
识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设 G是一个非空集合，
“·”是G上的一个代数运算，即对所有的 a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：
①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有 e·a＝a·e＝a；
③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(
)
A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群
B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群
D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群
答案 CD
解析 对于A，若G＝{－1,0,1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，
满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，
但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；
对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝×3＝∉G，故B错误；
对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，
满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0，
∀a∈R，∃b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；
对于D，若G＝{m＋n|m，n∈Z}，
则对所有的a＝m＋n，b＝m＋n∈G，
1 1 2 2
有a＋b＝(m＋m)＋(n＋n)∈G，∀a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，
1 2 1 2
当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立，
∀a＝m＋n∈G，∃b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确．
思维升华 集合新定义问题的“三定”
(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．
(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或
补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．
(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．
跟踪训练4 (多选)设A为非空实数集，若对任意 x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且
xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为( )
A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集
B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集
C．封闭集一定是无限集
D．若A为封闭集，则一定有0∈A
答案 BD
解析 对于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，
－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，
设x，y∈A，则x＝2k，y＝2k，k，k∈Z，
1 2 1 2
∴x＋y＝2(k＋k)∈A，x－y＝2(k－k)∈A，xy＝4kk∈A，
1 2 1 2 1 2
∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集，故B正确；
对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；对于D，若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正确．
课时精练
一、单项选择题
1．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M满足 ∁U M＝{1,3}，则( )
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
答案 A
解析 由题意知M＝{2,4,5}．
2．(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等
于( )
A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}
C．{－2} D．{2}
答案 C
解析 方法一 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，
而M＝{－2，－1,0,1,2}，
所以M∩N＝{－2}．
方法二 因为M＝{－2，－1,0,1,2}，将－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2
使不等式成立，
所以M∩N＝{－2}．
3．(2024·南京模拟)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集个数为( )
A．2 B．4 C．8 D．16
答案 B
解析 A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集个数为22＝4.
4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表
示空集的是( )
A．(∁U A)∩B B．A∩B
C．(∁U A)∩(∁U B) D．A∩(∁U B)
答案 D
解析 由Venn图表示集合U，A，B如图，由图可得(∁U A)∩B＝∁B A，A∩B＝A，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U B，A∩(∁U B)＝∅.
5．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m等于( )
A．0或4 B．1或4
C．0 D．4
答案 A
解析 ∵ B⊆A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，
∴m＝4或m＝m2，
当m＝4时，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，满足题意；
当m＝m2时，得m＝0或m＝1，
当m＝0时，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，满足题意；
当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性．
综上，m可取0,4.
6．已知M，N均为R的子集，若存在x使得x∈M，且x∉∁R N，则( )
A．M∩N≠
∅
B．M⊆N
C．N⊆M D．M＝N
答案 A
解析 因为x∉∁R N，所以x∈N，又因为x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠ ∅，故A正确；
由于题目条件是存在x，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故B，C，D错误．
7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，则图中的阴影部分表示的集合为
( )
A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
答案 A
解析 B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0 或 x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为
∁U
(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即∁U (A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所
以∁U (A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．
8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中
元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所
有“好子集”的个数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B解析 当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；
当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
二、多项选择题
9．已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则( )
A．M∪N＝N B．M∩N＝N
C． ∁I M⊆∁I N D．(∁I N)∩M＝∅
答案 AD
解析 因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；
又I为全集，集合M，N⊆I，则∁I M⊇∁I N，(∁I N)∩M＝∅，C错误，D正确．
10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 ABC
解析 A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意；
当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，
综上可得a＝0或±1.
三、填空题
11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为
________．
答案 4
解析 根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，
(3,5)，(4,4)．
12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
答案 －3
解析 当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}，
所有元素的和为15，不符合题意；
当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}，
由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.
13．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加
了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________．
答案 29
解析 由题意画出Venn图，如图所示，由Venn图知，参加比赛的人数为26，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
14．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝
{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
答案 {x|－3<x<0} {x|－3<x<0或x≥3}
解析 由题意得 A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以 A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－
3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}．
15．(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金
从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论
建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2 000多
年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数 Q划分为两个非空的子集
M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称
(M，N)为戴德金分割．下列选项中可能成立的是( )
A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
答案 BD
解析 对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，
设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最
小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足
M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德
金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．
16．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令x 为A中最大数与最小数
A
之和，则所有这样的x 的算术平均值为________．
A
答案 13
解析 集合M的非空子集共有(212－1)个，
其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个．
最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1
的子集共有20个．
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以x 的算术平均值为
A
＝＝＝13.
