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§3.4 函数中的构造问题
重点解读 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构
造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、
解不等式、恒成立等问题．
题型一 利用f(x)与x构造函数
例1 (2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)
＝0，则不等式>0的解集是( )
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
答案 D
解析 设g(x)＝，x≠0.
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(－x)＝f(x)．
因为g(－x)＝＝－＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数，
所以g(－2)＝－g(2)．
因为f(－2)＝0，
所以g(－2)＝g(2)＝0.
当x>0时，g′(x)＝<0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
此时不等式>0的解集是(0,2)．
因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
所以当x<0时，不等式>0的解集是(－∞，－2)．
综上所述，不等式>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)．
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练1 (多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)
＋2f(x)>0恒成立，则( )
A．f(1)<4f(2) B．f(－1)<4f(－2)C．16f(4)<9f(3) D．4f(－2)>9f(－3)
答案 AD
解析 令g(x)＝x2f(x)，
∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，
∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝
x[xf′(x)＋2f(x)]>0，
∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，
∴g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数．
∴g(x)是增函数．
由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确；
由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误；
由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误；
由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正确．
题型二 利用f(x)与ex构造函数
例2 (2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)2(e－1)
C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)
D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
答案 B
解析 令g(x)＝，
则g′(x)＝>0，
因此函数g(x)是增函数，
于是得g(2 023)>g(2 022)，即>，
整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正确．
思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)．
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
跟踪训练2 (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，
则f(x)>3e3－x的解集为________．
答案 (3，＋∞)
解析 设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，
∴F(x)是增函数．
又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，
即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．
题型三 利用f(x)与sin x，cos x构造函数
例3 设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，
f′(x)sin x－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2f sin x的解集为________．
答案 ∪
解析 令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)，
则g′(x)＝，
∵当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cos x<0，
∴在(0，π)上，g′(x)<0，
∴函数g(x)在(0，π)上单调递减．
∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数，
∴函数g(x)是偶函数，
∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增．
当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2f sin x可化为<，
即g(x)＝，
即g(x)>g，
∴－φ，
即f ·sin>f ·sin ，
即－f >f ，
即f <－f ，∴a0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案 B
解析 令g(x)＝f(x)－x2，
因为f(x)是偶函数，
则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，
g′(x)＝f′(x)－2x，
因为当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，
所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x>1或x<－1，
所以f(x)>x2＋2的解集是
(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
2．已知α，β∈，且αsin α－βsin β>0，则下列结论正确的是( )
A．α3>β3 B．α＋β>0C．|α|<|β| D．|α|>|β|
答案 D
解析 令f(x)＝xsin x，x∈，
则f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，
则f(x)为偶函数，
又f′(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，f′(x)≥0，
所以f(x)在区间上单调递增，
f(x)在区间上单调递减．
又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f( β)，
所以|α|>|β|.
3．定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024
为奇函数，则不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 024)
C．(0，＋∞) D．(2 024，＋∞)
答案 C
解析 设g(x)＝，
则g′(x)＝，
因为f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，
所以g(x)为定义在R上的减函数，
因为f(x)＋2 024为奇函数，
所以f(0)＋2 024＝0，f(0)＝－2 024，
g(0)＝＝－2 024，
f(x)＋2 024ex<0，
即<－2 024，
即g(x)0.
4．(2023·成都模拟)已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x－f(x)sin x>0(其中f′(x)是
函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是( )
A．f >f B．f f
答案 C
解析 构造函数g(x)＝f(x)cos x，x∈，
则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x>0，
所以g(x)在上单调递增，则gg，
所以f cos >f cos，
即f >f ，故B不正确；
则g(0)8的解集为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 B
解析 令g(x)＝e3xf(x)，
函数g(x)的定义域为R，
因为3f(x)＋f′(x)<0，
所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3fx＋f′x]<0，
故g(x)为减函数，
又因为f(ln 2)＝1，
所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，
所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln 2)，
所以x8的解集为(－∞，ln 2)．
6．已知00
C．cos x>sin y D．sin x>sin y
答案 B
解析 由00，函数f(x)单调递增，
当f(x)＝f(y)时，0sin x>0，
所以cos(π－x)＝－cos x，
所以cos x＋cos y>0.
二、多项选择题
7．(2023·福州联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是(
)
A．f(2)－ln 2>f(1) B．f(4)－f(2)>ln 2
C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 D．f(e2)－f(e)>1
答案 ABD
解析 构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
则g′(x)＝f′(x)－＝，
因为xf′(x)－1>0，
所以g′(x)>0，
故g(x)是增函数，
由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，
即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确；
由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；
由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，
即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C错误；
由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，
即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，故D正确．
8．(2023·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)
＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则( )
A．3f(2)>2f(3)
B．f(1)0)，
则g′(x)＝＝＝′，
可设g(x)＝＋c，
则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
故g(x)＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，
令g′(x)>0，则x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴g(2)0，得x>1，
令f′(x)＝ex－e<0，得01，解得x>2，
所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为(2，＋∞)．
10．已知函数f(x)定义在上，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x成立，又知f ＝，
则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是________．
答案
解析 ∵f(x)＜f′(x)tan x，
∴f′(x)sin x－f(x)cos x＞0，x∈，
令g(x)＝，x∈，∴g′(x)＝＞0，
∴g(x)在上为增函数，
由f(x)＞sin x，得＞1＝，
即g(x)>g，∴x＞，
又0
