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§6.4 数列中的构造问题
重点解读 数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通
过构造新的数列求数列的通项公式．
题型一 a ＝pa＋f(n)型
n＋1 n
命题点1 a ＝pa＋q(p≠0,1，q≠0，其中a＝a)
n＋1 n 1
例1 已知数列{a}满足a＝1，a ＝3a＋2，则a＝________.
n 1 n＋1 n n
答案 2·3n－1－1
解析 ∵a ＝3a＋2，∴a ＋1＝3(a＋1)，
n＋1 n n＋1 n
∴＝3，∴数列{a＋1}为等比数列，公比q＝3，
n
又a＋1＝2，∴a＋1＝2·3n－1，
1 n
∴a＝2·3n－1－1.
n
命题点2 a ＝pa＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
n＋1 n
例2 若a＝1，a ＝2a－3n，n∈N ，求数列{a}的通项公式．
1 n＋1 n ＋ n
解 设a ＋λ(n＋1)＋u＝2(a＋λn＋u)，
n＋1 n
所以a ＝2a＋λn＋u－λ，
n＋1 n
所以解得λ＝u＝－3，
又a－3－3＝－5≠0，
1
所以＝2，
所以数列{a－3n－3}是以－5为首项，2为公比的等比数列，
n
所以a－3n－3＝－5·2n－1，
n
所以a＝－5·2n－1＋3n＋3.
n
命题点3 a ＝pa＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
n＋1 n
例3 已知数列{a}满足a＝3，a ＝3a＋2·3n＋1，n∈N ，则数列{a}的通项公式为( )
n 1 n＋1 n ＋ n
A．a＝(2n＋1)·3n B．a＝(n－1)·2n
n n
C．a＝(2n－1)·3n D．a＝(n＋1)·2n
n n
答案 C
解析 由a ＝3a＋2·3n＋1得＝＋2，
n＋1 n
∴－＝2，即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴＝2n－1，故a＝(2n－1)·3n.
n
思维升华
形式 构造方法
a ＝pa＋q 引入参数c，构造新的等比数列{a－c}
n＋1 n na ＝pa＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{a＋xn＋y}
n＋1 n n
a ＝pa＋qn 两边同除以qn＋1，构造新的数列
n＋1 n
跟踪训练1 (多选)已知数列{a}，下列结论正确的有( )
n
A．若a＝2,2(n＋1)a－na ＝0，则a＝n·2n
1 n n＋1 n
B．在数列{a}中，a ＝1，且a ＝2a ＋3(n≥2，且n∈N )，则数列{a}的通项公式为a ＝
n 1 n n－1 ＋ n n
2n＋1－3
C．若a＝2，a＝a ＋n(n≥2)，则数列是等比数列
1 n n－1
D．已知数列{a}满足a＝1，a ＝2a＋n－1，则数列{a}的通项公式为a＝2n－n＋1
n 1 n＋1 n n n
答案 AB
解析 ∵2(n＋1)a－na ＝0，
n n＋1
∴＝，
∴是首项为＝2，公比为2的等比数列，
∴＝2·2n－1，∴a＝n·2n，故A正确；
n
由a＝2a ＋3(n≥2)，得a＋3＝2(a ＋3)，
n n－1 n n－1
即＝2，
又a＋3＝1＋3＝4，于是数列{a＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，
1 n
∴a＋3＝4×2n－1，即a＝2n＋1－3，
n n
∴数列{a}的通项公式为a＝2n＋1－3，故B正确；
n n
根据题意，a＝a ＋n⇔－＝1，n≥2，
n n－1
又＝6，∴是首项为6，公差为1的等差数列，故C错误；
设a ＋k(n＋1)＋b＝2(a＋kn＋b)，
n＋1 n
所以a ＝2a＋kn＋b－k，
n＋1 n
由a ＝2a＋n－1，
n＋1 n
得解得
∴＝2，
即{a＋n}是首项为a＋1＝2，公比为2的等比数列．
n 1
∴a＋n＝2×2n－1＝2n，故a＝2n－n，故D错误．
n n
题型二 相邻两项的差为特殊数列(a ＝pa＋qa 型，其中a＝a，a＝b)
n＋1 n n－1 1 2
例4 已知数列{a}满足a＝5，a＝5，a ＝a＋6a (n≥2)．
n 1 2 n＋1 n n－1
(1)求证：{a ＋2a}是等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式．
n
(1)证明 ∵a ＝a＋6a (n≥2)，
n＋1 n n－1
∴a ＋2a＝3a＋6a ＝3(a＋2a )(n≥2)．
n＋1 n n n－1 n n－1∵a＝5，a＝5，∴a＋2a＝15，
1 2 2 1
∴a＋2a ≠0(n≥2)，∴＝3(n≥2)，
n n－1
∴数列{a ＋2a}是以15为首项，3为公比的等比数列．
n＋1 n
(2)解 由(1)得a ＋2a＝15×3n－1＝5×3n，
n＋1 n
则a ＝－2a＋5×3n，
n＋1 n
∴a －3n＋1＝－2(a－3n)．
n＋1 n
又∵a－3＝2，
1
∴a－3n≠0，
n
∴{a－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．
n
∴a－3n＝2×(－2)n－1，
n
即a＝－(－2)n＋3n.
n
思维升华 可以化为a －xa ＝x(a －xa )，其中x ，x 是方程x2－px－q＝0的两个根，
n＋1 1 n 2 n 1 n－1 1 2
若1是方程的根，则直接构造数列{a －a }，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，
n n－1
采取消元的方法求数列{a}．
n
跟踪训练2 已知数列{a}满足3aa －aa ＝2a a ，且a ＝3a ＝1.证明数列为等比数
n n n＋2 n n＋1 n＋1 n＋2 1 2
列，并求数列{a}的通项公式．
n
证明 因为3aa －aa ＝2a a ，a≠0，
n n＋2 n n＋1 n＋1 n＋2 n
等式两边同除以aa a ，得
n n＋1 n＋2
＝－，
则－＝2，
所以数列是以－＝2为首项，2为公比的等比数列，
则－＝2×2n－1＝2n，
所以＝＋＋…＋＋＝2n＋2n－1＋…＋21＋1＝2n＋1－1，
则a ＝，
n＋1
当n≥2时，a＝，
n
又当n＝1时，上式也成立，
故a＝.
n
题型三 倒数为特殊数列
例5 已知数列{a}中，a＝1，a ＝(n∈N )，求数列{a}的通项公式．
n 1 n＋1 ＋ n
解 因为a ＝(n∈N )，
n＋1 ＋
所以＝＋1，
设＋t＝3，
所以3t－t＝1，解得t＝，
所以＋＝3，又＋＝1＋＝，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以＋＝×3n－1＝，
所以a＝.
n
思维升华 两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为b ＝pb ＋q型，求出的通项公式，
n＋1 n
再求a.
n
跟踪训练3 在数列{b}中，b＝－1，b ＝，则数列{b}的通项公式b＝________.
n 1 n＋1 n n
答案
解析 b ＝的两边同时取倒数，
n＋1
得＝，即＝＋3，
因此＋3＝2，
又＋3＝2，
故是以2为首项，2为公比的等比数列，
于是＋3＝2·2n－1＝2n，可得b＝.
n
课时精练
一、单项选择题
1．已知数列{a}满足a＝，a ＝，则a 等于( )
n 1 n＋1 1 000
A. B.
C. D.
答案 B
解析 a ＝两边同时取倒数，
n＋1
得＝＋1，则－＝1，
故数列是首项为2，公差为1的等差数列，
则＝n＋1，a＝，故a ＝.
n 1 000
2．在数列{a}中，若a＝3，a ＝a，则a 等于( )
n 1 n＋1 n
A．2n－1 B．3n－1
C． D．
答案 D
解析 由a＝3，a ＝a知a>0，
1 n＋1 n
对a ＝a两边取以3为底的对数得，
n＋1
log a ＝2log a，
3 n＋1 3 n
则数列{log a}是以log a＝1为首项，2为公比的等比数列，
3 n 3 1则log a＝1·2n－1＝2n－1，即a＝ .
3 n n
3．已知数列{a}中，a＝1，2a a＝(n＋1)a－na ，则数列{a}的通项公式为( )
n 1 n＋1 n n n＋1 n
A．a＝ B．a＝
n n
C．a＝ D．a＝
n n
答案 C
解析 2a a＝(n＋1)a－na ，
n＋1 n n n＋1
显然a≠0，
n
两边同时除以a a，得－＝2，
n＋1 n
又＝1，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，
所以a＝.
n
4．(2024·商洛模拟)已知S 是数列{a}的前n项和，a＝a＝1，a＋a ＝2n＋1(n≥2)，则等
n n 1 2 n n＋1
于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 因为a＋a ＝2n＋1(n≥2)，
n n＋1
所以a －(n＋1)＝－(a－n)(n≥2)．
n＋1 n
因为a－2＝－1，所以{a－n}从第二项起是公比为－1的等比数列，
2 n
所以a＝n＋(－1)n－1(n≥2)，
n
所以a＝
n
所以S ＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 023＋1＝2 023×1 012，
2 023
S ＝1＋2－1＋3＋1＋…＋2 024－1＝2 023×1 013，
2 024
所以＝.
二、多项选择题
5．已知数列{a}的前n项和为S，a＝3，且a ＝3S＋2(n∈N )，则下列说法正确的有(
n n 2 n＋1 n ＋
)
A．a＝ B．S＝
1 4
C．{a}是等比数列 D.是等比数列
n
答案 ABD
解析 由题意，数列{a}的前n项和为S，a＝3，且a ＝3S＋2，
n n 2 n＋1 n
则a＝3S＋2＝3a＋2，
2 1 1
所以a＝，故A正确；
1
因为a ＝3S＋2，①
n＋1 n所以当n≥2 时，a＝3S ＋2，②
n n－1
①－②得，a －a＝3a，即a ＝4a，
n＋1 n n n＋1 n
当n＝1时，a＝，不满足a＝4a，
1 2 1
故数列{a}不是等比数列，故C错误；
n
当n≥2时，a ＝4a，
n＋1 n
则a＝4a＝12，a＝4a＝48，
3 2 4 3
故S＝＋3＋12＋48＝，故B正确；
4
由a ＝3S＋2，
n＋1 n
得S －S＝3S＋2，
n＋1 n n
所以S ＝4S＋2，
n＋1 n
令S ＋λ＝4(S＋λ)，
n＋1 n
则S ＝4S＋3λ，
n＋1 n
所以3λ＝2，即λ＝，
所以S ＋＝4，即＝4，
n＋1
故是首项为S＋＝a＋＝1，
1 1
公比为4的等比数列，故D正确．
6．已知数列{a}满足a＝1，a－3a ＝2aa (n∈N )，则下列结论正确的是( )
n 1 n n＋1 n n＋1 ＋
A.为等比数列
B．{a}的通项公式为a＝
n n
C．{a}为递增数列
n
D.的前n项和T＝3n－n
n
答案 AB
解析 因为a－3a ＝2aa ，
n n＋1 n n＋1
所以＋1＝3，
又＋1＝2≠0，所以是以2为首项，3为公比的等比数列，故A正确；
＋1＝2×3n－1，即a＝，故B正确；
n
所以{a}为递减数列，故C错误；
n
的前n项和
T ＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×－n＝3n－n－
n
1，故D错误．
三、填空题
7．已知首项为1的数列{a}满足a ＝5a－3，则a＝________.
n n＋1 n n
答案 ＋×5n－1
解析 由a ＝5a－3，得a －＝5，
n＋1 n n＋1因为a＝1，所以a－＝，进而a－≠0，
1 1 n
所以数列是首项为，公比为5的等比数列，
所以a－＝×5n－1，即a＝＋×5n－1.
n n
8．(2023·阜阳统考)已知S 为数列{a}的前n项和，且a＝1，a ＋a＝3×2n，则S ＝____.
n n 1 n＋1 n 10
答案 2 046
解析 方法一 由a ＋a＝3×2n，得
n＋1 n
a －2n＋1＝－(a－2n)．
n＋1 n
又a－21＝－1，
1
所以{a－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以a－2n＝(－1)n，
n n
即a＝2n＋(－1)n，
n
所以S ＝21＋22＋…＋29＋210＋(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)9＋(－1)10＝＝211－2
10
＝2 046.
方法二 ∵a ＋a＝3×2n，
n＋1 n
∴a＋a＝3×2，a＋a＝3×23，a＋a＝3×25，a＋a＝3×27，a ＋a＝3×29，
2 1 4 3 6 5 8 7 10 9
则S ＝3×(2＋23＋25＋27＋29)＝3×＝2 046.
10
四、解答题
9．已知数列{a}中，a＝2，且a＝2a －n＋2(n≥2，n∈N )．
n 1 n n－1 ＋
(1)求a，a，并证明{a－n}是等比数列；
2 3 n
(2)求{a}的通项公式．
n
解 (1)由a＝2，a＝2a －n＋2(n≥2，n∈N )，
1 n n－1 ＋
得a＝2a－2＋2＝4，a＝2a－3＋2＝7，
2 1 3 2
∵a－n＝2a －2n＋2＝2[a －(n－1)]，a－1＝1，
n n－1 n－1 1
∴＝2(n≥2，n∈N )，
＋
∴{a－n}是首项为1，公比为2的等比数列．
n
(2)由(1)知a－n＝1×2n－1＝2n－1，
n
∴a＝2n－1＋n.
n
10．设数列{a}的前n项和为S.已知a ＝1，a ＝，a ＝，且当n≥2时， 4S ＋5S ＝8S
n n 1 2 3 n＋2 n n＋1
＋S .
n－1
(1)求a 的值；
4
(2)证明：数列为等比数列；
(3)求数列{a}的通项公式．
n
(1)解 当n＝2时，4S＋5S＝8S＋S，
4 2 3 1
即4×＋5×＝8×＋1，解得a＝.
4
(2)证明 ∵4S ＋5S＝8S ＋S (n≥2)，
n＋2 n n＋1 n－1∴4S －4S ＋S－S ＝4S －4S(n≥2)，
n＋2 n＋1 n n－1 n＋1 n
即4a ＋a＝4a (n≥2)，
n＋2 n n＋1
∵4a＋a＝4×＋1＝6＝4a，符合上式，
3 1 2
∴4a ＋a＝4a ，
n＋2 n n＋1
∵＝＝＝＝，
∴数列是以a－a＝1为首项，为公比的等比数列．
2 1
(3)解 由(2)知，是以1为首项，为公比的等比数列，
∴a －a＝n－1.即－＝4，
n＋1 n
∴数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列，
∴＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
即 a＝(4n－2)×n＝(2n－1)×n－1，
n
∴数列{a}的通项公式是a＝(2n－1)×n－1.
n n
