25武忠祥严选题数二做题本_考研_数学_04.武忠祥_25武忠祥《严选题》做题本_数学二

目录 目 录 第一章 函数、极限、连续 ................................................................................................................. 2 第二章 一元函数微分学 ................................................................................................................... 19 第三章 一元函数积分学 ................................................................................................................... 37 第四章 常微分方程 ............................................................................................................................ 59 第五章 多元函数微分学 ................................................................................................................... 72 第六章 二重积分 ................................................................................................................................. 89 第 1 页，共105页严选题 · 1. 函数、极限、连续 第一章 函数、极限、连续 1.函数 第 2 页，共105页 f ( x ) = x ta n x e sin x 是 ( ) (A) 单调函数. (B) 周期函数. (C) 偶函数. (D) 无界函数. 2.下列四个函数中 ① x s in 1 x . ② 1 x s in 1 x sinx . ③ . ④ x x s in x . 在区间 ( 0 , )  + 上有界的共有 ( ) (A) 1 个. (B) 2 个. (C) 3 个. (D) 4 个. 3. 设有数列  x n  与 y  ,以下结论正确的是（ ） n (A) 若 lim n x n y n 0  → = ,则必有 lim n x n 0  → = 或 lim n y n 0  → = . (B) 若 lim n x n y n   → = ,则必有 limx = 或 n n→ lim n y n   → = . (C) 若 x n y n 有界,则必有 x n 与 y n 都有界. (D) 若 x y 无界,则必有 x 无界或 y 无界. n n n n严选题 · 1. 函数、极限、连续 4. 设 第 3 页，共105页 lim n x n y n   → = ,则下列结论错误的是（ ） (A) lim n x n   → = 与 lim n y n   → = 至少有一个成立. (B)  x n  与  y n  中至少有一个为无界变量. (C) 若  x n  是无穷小量,则  y n  必为无界变量. (D) 若 lim n x n a   → =  ,则  y n  必为无穷大量. 5.设函数 f ( x ) 连续,则下列函数中,必为偶函数的是 ( ) (A)  x 0 f ( t 2 ) d t . (B)  x 0 f 2 ( t ) d t . (C)  xt0  f ( t ) − f ( − t )  d t . (D)  xt0  f ( t ) + f ( − t )  d t . 6.设数列  a n  , b n  对任意的正整数 n 满足 a b a ,则 n n n+1 ( ) (A) 数列  a n  , b n  均收敛,且 lim n a n lim n b n   → = → . (B) 数列  a n  , b n  均发散,且 lim n a n lim n b n    → = → = + . (C) 数列  a n  , b n  具有相同的敛散性. (D) 数列 a ,b  具有不同的敛散性. n n严选题 · 1. 函数、极限、连续 7. 设 第 4 页，共105页 lim x 0 ( x ) 0  → = ,则下列命题中正确的个数为 ( ) ① lim x 0 s in ( ( x x ) ) 1   → = . ② lim x 0 ( 1 ( x ) ) 1( x ) e   → + = . ③ 若 f  ( x 0 ) = A ,则 lim x 0 f ( x 0 ( x ( ) x )) f ( x 0 ) A   → + − = . ④ 若 lim u → 0 f ( u ) = A ,则 lim x 0 f ( ( x ) ) A  → = . (A) 0 个. (B) 2 个. (C) 3 个. (D) 4 个. 8. 极限 lim x 1 e 1 x sin 1x 1 1 1 x A 0   →  +  − −  +  =  的充要条件是 ( ) (A) 1   . (B) 1   . (C) 0   . (D) 与  无关.严选题 · 1. 函数、极限、连续 9.已知 第 5 页，共105页 lim x → 0 ln ( 1 + 2 x x )2 + x f ( x ) = 1 ,则 lim x → 0 2 + f x ( x ) = ( ) (A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 . 10. 设 f ( x ) 连续, lim x → 0 1 f − ( c x o ) s x = 2 ,且当 x → 0 时  sin 0 2 x f ( t ) d t 是 x 的 n 阶无穷小, 则 n 等于 ( ) (A) 3 . (B) 4 . (C) 5 . (D) 6 . 11.已知当 x → 0 时, f ( x ) = a r c ta n x − s in a x 与 g ( x ) = b x ln a + x 2 是等价无穷小,则 ( ) (A) a = b = 1 . (B) a = 2 , b = 1 3 . (C) a = 1 , b = 1 2 . (D) a = 1 , b = − 1 3 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 1. 函数、极限、连续 12.已知当 第 6 页，共105页 x → 0 时,函数 f ( x ) = 3 s in x − s in 3 x 与 c x k 是等价无穷小,则 ( ) (A) k = 1 , c = 4 . (B) k = 1 , c = − 4 . (C) k = 3 , c = 4 . (D) k = 3 , c = − 4 . 13.当 x → 0 + 时,下列无穷小量中最高阶的无穷小量是（ ） (A) 1 + x 4 − e 2 x2 . (B) ta n x − s in x . (C)  sin 0 xs in t 2 d t . (D)  1 − 0 co sxs in 32 td t .  1  ex +etanx   14. 函数 f (x)=   在 −, 上的第一类间断点是  1  xex −e     x = ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2  − . (D) 2  .严选题 · 1. 函数、极限、连续 15. 函数 第 7 页，共105页 f ( x ) = x x 2 2 − − x 1 1 + 1 x 2 的无穷间断点的个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. x x −1 16. 函数 f (x)= 的可去间断点的个数为 ( ) x(x+1)ln x (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 17.已知函数 f ( x ) = ( x 2 + e a 1 x ) 2 + ( b x − 1 ) 在 ( , )   − + 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点, 则 ( ) (A) a = 1 , b = − 1 . (B) a = 0 , b = 1 . (C) a  0 , b = − e . (D) a = 0 , b = − e .严选题 · 1. 函数、极限、连续 18. 设 第 8 页，共105页 f ( x ) lim n 2 e (n e n x ) 1 x n x 1 1  = → + + + + ,则 f ( x ) ( ) (A) 仅有一个可去间断点. (B) 仅有一个跳跃间断点. (C) 有两个可去间断点. (D) 有两个跳跃间断点. 19. lim x → 0 x ( − a r a r c s in ) c s in x x 3 = ________. 20. 已知 lim x 0 1 x a r c ta x n x c o s x 8 3  → + − = ,则  = ________.严选题 · 1. 函数、极限、连续 21. 已知曲线 第 9 页，共105页 y = f ( x ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的切线过点 ( 1 , 2 ) ,则 lim x → 0  c o s x +  x 0 f ( t ) d t  12 x = ________. 22. 极限 lim x → 0  ln ( x + 1 1 + x 2 ) − ln ( 1 1 + x )  = ________. x  xn  23. 设 n 为正整数,则 lim  =________. x→ (x−1)(x−2) (x−n) 严选题 · 1. 函数、极限、连续 24. 求极限 第 10 页，共105页 lim x → 0  ln ( x + x 1 + x 2 )  12 x = ________. 25. 设 x n =  1 + 1 n 2   1 + 2 2 n   1 + n n 2  ,则 lim n x n  → = ________. 1+ 2+ + n 26. 极限 lim =________. n→ n(1+2+ +n)公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 1. 函数、极限、连续 27. 确定常数 第 11 页，共105页 a , b ,使 x→0 时 f ( x ) = e x − 1 1 + + a b x x 为 x 的三阶无穷小. 28. 当 x → 0 时, 1 − c o s x  c o s 2 x  c o s 3 x 与 a x n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值. 1 ( 1+sin2x2) x2 −e2 29. 已知 lim =a(a0) ,求 x→0 xn a 和 n 的值.严选题 · 1. 函数、极限、连续 30. 确定常数 a,b,c 的值,使 第 12 页，共105页 lim x → 0  x b a x ln −( 1 s + t in t x 3 ) d t = c ( c  0 ) .   1 1 31.求极限 lim − . x→0ln ( 1+x2) sin2x   32. 求极限 lim x → 0 + x x x 2 − ln ( s ( 1 in + x ) x ) x .严选题 · 1. 函数、极限、连续 ln ( 1+x2) −ln ( 1+sin2x ) 33.求极限 lim . x→0 xsin3x 34. 求极限 第 13 页，共105页 lim x x 1 2 t x 2 e ln 1t 1 1 1 x t d t  → +     − +  −   . 35.求下列极限 (1) lim x → 0  ln ( 1 + x x )  e 1x − 1 1 ex +e2x + +enx x ; (2) lim  ; x→0 n 严选题 · 1. 函数、极限、连续 n2  1  2 (3) lim  ntan  ; (4) limtann  +  . n→ n n→ 4 n 36.求下列极限 (1) 第 14 页，共105页 lim x ( x 1 x 2 ) 1x  → + + + 1  1 lnx ; (2) lim xx −1 .   x→+   37. 已知函数 f ( x ) 在 x = 0 sinx f (x) 的某邻域内可导,且 lim + =2 ,试求 f (0), f(0) x→0 x2 x  及 lim x → 0 f ( x x ) + e x .严选题 · 1. 函数、极限、连续 38. 求极限 第 15 页，共105页 lim n n 1 6 n n 2 6 2 2 n n n 6 2 n 2  →  + + + + + +  . 39. 求极限 lim n 1 n 2 n 1 2 1 2 n 2 1 ( n 1 ) 2  →  + − + + − −  . 40. 求极限 lim n 1 n 2 1 n 2 2 n 2 1 2n 2 n n 2 1 nn 2  →  + + + + + + + + +  .严选题 · 1. 函数、极限、连续 41. 求函数 第 16 页，共105页 f ( x ) =  x x ln 1 + x , 1 , x x  = 0 0 , 的间断点并指出类型. 42. 设 f ( x ) lim n x 2 n 1 x 2 a n x 2 1 b x  = → − + + + 在 ( , )   − + 内连续,试确定常数 a 和 b . 43.设 f ( x ) 是区间  0 , )  + 上单调减少且非负的连续函数, a n = k n = 1 f ( k ) −  n 1 f ( x ) d x ( n = 1 , 2 , ) ,证明数列  a n  的极限存在.严选题 · 1. 函数、极限、连续 44. 设 第 17 页，共105页 x 1 = 2 , x n + 1 = 3 + 2 x n , n = 1 , 2 , ,证明数列  x n  收敛并求它的极限. 45. 设数列  x n  满足 x 1 = 1 , x n + 1 = x x n n + + 2 1 ( n = 1 , 2 , ) ,试证 lim n x n 2  → = . 46. 设函数 f ( x ) = ln x + 1 x . (1) 求 f (x) 的最小值; (2) 设数列  x n  1 满足 lnx + 1 . 证明 n x n+1 lim n x n  → 存在,并求此极限.严选题 · 1. 函数、极限、连续 47. 设 第 18 页，共105页 x 1  0 , x n + 1 = ln ( 1 + x n ) ( n = 1 , 2 , ) ,证明 (1) x  收敛并求极限 n lim n x n  → ; (2) 计算 lim n x nx n 1 1xn  →  +  及 lim n 1 x n x 1 n 1  →  − +  . 48. 设 f ( x ) 在0,2a(a0)上连续,且 f ( 0 ) = f ( 2 a ) ,求证存在  0 , a    ,使 f ( ) f ( a ) .   = + 49. 设 f ( x ) 在a,b上连续, x i   a , b  , ti  0 ( i = 1 , 2 , , n ) ,且 n i= 1 ti = 1 ,试证至少存在一点  a , b    使 f ( ) t1 f ( x 1 ) t 2 f ( x 2 ) t n f ( x n )  = + + + .严选题 · 2.一元函数微分学 第二章 一元函数微分学 1.设 第 19 页，共105页 f ( x ) 在 x = 0 处连续,则 f (x) 在 x = 0 处可导的充分条件是 ( ) f (x)− f (−x) (A) lim 存在. (B) x→0 2x lim x → 0 f ( ln ( 1 + x x 2 2 ) ) − f ( 0 ) 存在. f (x)− f (0) 1 (C) lim 存在. (D) lim xf   存在. x→0 3 x x→ x 2. 设 f ( x ) =  x 2 s in 0 , 1 x , x x  = 0 0 , , 则在点 x = 0 处函数 f (x) ( ) (A) 不连续. (B) 连续但不可导. (C) 可导但导数不连续. (D) 可导且导数连续. 3. 设函数 y = f ( x ) 在点 x=0 处连续,且 lim x → 0 f 1 ( x − ) c − o s 2 x x = 1 ,则 f (x) 在点 x=0 处 ( ) (A) 不可导. (B) 可导且 f  ( 0 ) = 0 . (C) 可导且 f  ( 0 ) = − 2 . (D) 可微且 d y x = 0 = 2 d x .严选题 · 2.一元函数微分学 4.若 第 20 页，共105页 f ( x ) 在点 x 处的左、右导数都存在,则 0 f ( x ) 在点 x 0 处 ( ) (A) 可导. (B) 连续. (C) 不可导. (D) 不一定连续. 5.已知 f ( x ) 在 x = 0 处连续,且 lim x → 0  f ( x ) + e x  1 x = 2 ,则 f(0)( ) (A) 不存在. (B) 等于 ln2. (C) 等于 2. (D) 等于 − . 6.设 f ( x ) 有连续一阶导数, f ( 0 ) = 0 ,若当 x → 0 时,  f 0 ( x ) f ( t ) d t 与 4 x 2 为等价无穷 小,则 f  ( 0 ) 等于 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 1 2 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 2.一元函数微分学 7. 函数 第 21 页，共105页 f ( x ) = x − x 2 ( e x − 1 ) + s in x − 2 不可导点的个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3 8. f ( x ) lim n n 1 x n e n x  = → + + 不可导点的个数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 9. 已知 f ( x ) 在 x=0 处连续,且 lim x → 0 f x( 2 x ) = 1 ,则下列结论 ① f(0) 存在,且 f(0)=0. ② f(0) 存在,且 f(0)=2. ③ f ( x ) 在 x = 0 处取得极小值. ④ f (x) 在 x = 0 的某邻域内连续. 中正确的个数为 ( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.严选题 · 2.一元函数微分学 10.设函数 第 22 页，共105页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续,其导函数的图形如图 1 所示,则 f ( x ) 有 ( ) (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. 11.设函数 f (x)= x2(x+1) 的驻点个数为 m ,极值点的个数为 n ,则 ( ) (A) m = 1 , n = 1 . (B) m = 1 , n = 2 . (C) m = 2 , n = 3 . (D) m = 3 , n = 2 . 12. 函数 f (x)=  (t−xsint)2 dt 的极值点为 ( ) − (A) x = 2 为极小值点. (B) x = 2 为极大值点. (C) x = 1 为极小值点. (D) x = 1 为极大值点.严选题 · 2.一元函数微分学 13. 设函数 第 23 页，共105页 f ( x ) f (x)−a f(x)−1 有二阶导数,且 lim =0,lim =2021 ,则 ( ) x→0ln(1+x) x→0 ex2 −1 (A) f (0) 是 f (x) 的极大值. (B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值. (C) ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (D) f (0) 不是 f ( x ) 的极值, ( 0 , f ( 0 ) ) 也不是曲线 y= f (x) 的拐点. 14. 设函数 f ( x ) 有二阶连续导数,且 f (0)=0, f(0)0, f(0)0 ,则 ( ) (A) x = 0 是 f ( x ) 的极值点,但 ( 0 , f ( 0 ) ) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (B) x = 0 不是 f ( x ) 的极值点,但 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (C) x = 0 是 f ( x ) 的极值点,且 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点. (D) x=0不是 f ( x ) 的极值点,且 ( 0 , f ( 0 ) ) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点.严选题 · 2.一元函数微分学 15. 设 f (x) 满足 第 24 页，共105页 f  ( 0 ) = 0 , f  ( x ) +  f ( x )  3 = x 2 ,则 ( ) (A) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值. (B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值. (C) ( 0,f (0)) 是曲线 y= f (x) 的拐点. (D) f ( 0 ) 不是 f ( x ) 的极值, ( 0 , f ( 0 ) ) 也不是曲线 y = f ( x ) 的拐点. 16. 曲线 y = x 2 x 2 + − 1 1 的渐近线条数为 ( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 17. 曲线 y = x x 2 2 + − x 1 的渐近线条数为 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.严选题 · 2.一元函数微分学 18. 设曲线 第 25 页，共105页 y = f ( x ) 与y=x2 −x在点 ( 1 , 0 )  n  处有公共切线,则limnf =________.   n→ n+2 19. 已知 f ( x ) = (( x x − + 1 1 )) (( x x − + 2 2 )) (( x x − + n n )) ,则 f(1)=________. 20. 曲线  x y = =  t 1 − t − u e 0 ( 2 ln 2 2 d − u t , 2 ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的切线方程为________.严选题 · 2.一元函数微分学 21. 对数螺线 r=e 在点 第 26 页，共105页 ( r , ) e 2 , 2    =   处的切线的直角坐标方程为________. 22. 设函数 f ( x ) =  ln 2 x − x , 1 , x x   1 1 , , y = f ( f ( x ) ) dy ,则 =________. dx x=e 23. 设 y = f ( x ) 的反函数是 x ( y )  = ,且 f ( x ) =  2 1 xe 2t d t + 1 ,则 (1)=________.严选题 · 2.一元函数微分学 24. 函数 y=xln(1−2x) 在 x=0 处的 n(n2) 阶导数 y (n)(0)=________. 25. 设 第 27 页，共105页 f ( x ) = x x 2 2 + + x x − − 1 2 ,则 f (n ) ( x ) = ________. 26.函数 f ( x ) = ln ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − n ) 的驻点个数为________. 27.已知方程 x 4 + 2 x 3 − 3 x 2 − 4 x + a = 0 有两个重根,则a= ________.严选题 · 2.一元函数微分学 28.已知方程 第 28 页，共105页 3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 2 4 x + a = 0 有四个不相同的实根,则 a 的取值范围为________. xf (x)−ln(1+x) x 29. 设 f (x) 为连续函数, lim =2,F(x)= tf (x−t)dt ,当 x→0 时 x→0 x2 0 F ( x ) − 1 2 x 2 与 b x k 为等价无穷小,其中常数 b  0 , k 为某正整数. 求 k 与 b 的值及 f ( 0 ) , f  ( 0 ) . 30. 已知函数 f ( u ) 具有二阶导数,且 f  ( 0 ) = 1 ,函数 y = y ( x ) 由方程y−xey−1=1所确定.设 dz d2z z= f (lny−sinx),求 , . dx dx2 x=0 x=0严选题 · 2.一元函数微分学 y=t(t)− f (t), d2y 31. 设 f (t) 二阶可导,且 f(t)0, 求 及  x= f(t). dx2 第 29 页，共105页 d d 2 y x 2 . 32. 设 y = y ( x ) x=t3+2t+1,  dy d2y 由    t− 1 y+t e−u2 du=0 确定,求 dx t=0 , dx2 t=0 . 33. 设函数 ( x ) sin 0 x f ( tx 2 ) d t  =  ,其中 f ( x ) 是连续函数,且 f (0)=2. (1) 求 (x); (2) 讨论 ( x )   的连续性.严选题 · 2.一元函数微分学 34. 设 第 30 页，共105页 f ( x ) 1 连续, (x)= f (xt)dt ,且 0 lim x → 0 f ( x x ) = A (A 为常数) . 求 ( x )   ,并讨论 ( x )   在 x = 0 处的连续性. 35. 设函数由方程 2 y 3 − 2 y 2 + 2 x y − x 2 = 1 所确定,试求 y = y ( x ) 的驻点,并判别它是否为极 值点. 36. 已知曲线 L  x=t2 +1, 的方程为  (t0). y=4t−t2 (1) 讨论 L 的凹凸性; (2) 过点 ( − 1 , 0 ) 引 L 的切线,求切点 (x ,y ) ,并写出切线的方程; 0 0 (3) 求此切线与 L (对应于 x  x 0 的部分) 及 x 轴所围成的平面图形的面积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 2.一元函数微分学 37.试确定方程 第 31 页，共105页 x 3 − x = s in x 的实根个数. 38. 试确定方程  xe0 − 2t d t = x 3 − x 的实根个数. 39.试确定方程 ex =ax2(a0) 的实根个数.严选题 · 2.一元函数微分学 40.试确定方程 第 32 页，共105页 ln x = k x 的实根个数. 41.试证: 当 x  0 时, x  e x ln ( 1 + x ) . 42.设 x  0 ,证明: 2sinx+ex −e−x 4x. 43.设 x  0 ,常数 a  e . 证明 ( a + x ) a  a a + x .严选题 · 2.一元函数微分学 44. 设 eab ,证明: 第 33 页，共105页 a 2  a b ln ln a b  b 2 . 45. 设 f ( x ) 和 g(x) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 1 1 内可导, f (0)= f (1)=−1, f (x)dx , 0 2 试 证至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使 f ( ) g ( ) f ( ) 1      +   −  = . 46. 设 f ( x ) , g ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 1 1 内可导,且  f (x)dx=3 f (x)dx ,试证存在 2 0 3 ,(0,1) ,使得 f ( ) g ( ) f ( ) f ( )      =   −  .严选题 · 2.一元函数微分学 47. 设 f (x) 在 −2,2 上二阶可导,且 第 34 页，共105页 f ( x )  1 ,又  f ( 0 )  2 +  f  ( 0 )  2 = 4 . 证明在 ( − 2 , 2 ) 内至少存在一点  ,使 f ( ) f ( ) 0    + = . 48. 设函数 f ( x ) 在闭区间  a , b  上连续,在开区间 ( a , b ) 内可导,且 f(x)0 . 若极限 lim x → a + f ( 2 x x − − a a ) 存在,证明 (1) 在 ( a , b ) 内 f (x)0 ; (2) 在 ( a , b ) b2 −a2 2 内存在点  ,使 = ; b f ()  f (x)dx a (3) 在 ( a , b ) 内存在与 (2) 中  相异的点  ,使 f ( ) ( b 2 a 2 ) 2 a b a f ( x ) d x     − = −  .严选题 · 2.一元函数微分学 49.设 第 35 页，共105页 f ( x ) , g ( x ) 在  a , b  上连续,在 (a,b) 内可导,且 g ( a ) = g ( b ) = 1 , f  ( x )  0 . 试证存 在 , ( a , b )   ,使得 f f (( )) e g ( ) g ( )        = −  +   . 50. 设函数 f (x) 在闭区间  0 ,1  上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 3 . 证明: 存在 0 , 1 2 , 1 2 ,1         ,使得 f()+ f()=2+2. 51.设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) .试证存在和.满足 0 1      , 使 f ( ) f ( ) 0    +  = .严选题 · 2.一元函数微分学 52. 设 第 36 页，共105页 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 0 ,若 f ( x ) 在0,1上的最大值为 M 0,证明存在两个不同的点x ,x (0,1),使得 1 2 f  1( x 1 ) − f  1( x 2 ) = n M ,其中n是大于 1 的整数. 53.设 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , m0  av x 1 f ( x ) = 2 . 试证存在 (0,1) 使得 f ( ) 1 6    − . 54. 设 f (x) 在 0,2 上二阶可导,且 f ( x )  1 , f  ( x )  1 ,证明: f  ( x )  2 ( 0  x  2 ) .严选题 · 3.一元函数积分学 第三章 一元函数积分学 1. 若 第 37 页，共105页 f ( x ) 的导函数是 s in x ,则 f ( x ) 有一个原函数为 ( ) (A) 1 + s in x . (B) 1 − s in x . (C) 1 + c o s x . (D) − x . 2. 设 f ( x ) =  c s o s in x x , , x x   0 0 , , g ( x ) =  x s in 0 , 1 x , x x  = 0 0 , , 则在 ( )   − + 上( ) (A) f ( x ) 与 g ( x ) 都存在原函数. (B) f ( x ) 与 g ( x ) 都不存在原函数. (C) f ( x ) 存在原函数,g(x)不存在原函数. (D) f ( x ) 不存在原函数, g ( x ) 存在原函数. x2, 0x1, x 3. 已知 f (x)= 设 F(x)= f (t)dt(0x2) ,则 F(x) 为 ( ) 1, 1x2. 1 (A)  1 3 x x 3 , , 0 1   x x   1 2 , . 1 1  x3− , 0x1, (B) 3 3   x, 1x2. (C)  1 3 x x − 3 1 , , 0 1   x x   1 2 (D)  1 3 x x 3 − − 1 1 3 , , 0 1   x x   1 2 , .严选题 · 3.一元函数积分学 4. 设 第 38 页，共105页 f ( x ) =  x e 2 x + , a , x x   0 0 , , 则 F ( x ) =  x − 1 f ( t ) d t 在 x=0 处( ) (A) 极限存在但不连续. (B) 连续但不可导. (C) 可导. (D) 是否可导与 a 的取值有关. 5. 设在区间  a , b  上 f ( x )  0 , f  ( x )  0 , f  ( x )  0 . 令 S 1 =  b a f ( x ) d x , S 2 = f ( b ) ( b − a ) , S 3 = 1 2  f ( a ) + f ( b )  ( b − a ) ,则 ( ) (A) S 1  S 2  S 3 . (B) S 2  S 1  S 3 . (C) S 3  S 1  S 2 . (D) S 2  S 3  S 1 . 6. 设 f (x) 连续,则 d d x  xtf 0 ( x 2 − t 2 ) d t = ( ) (A) x f ( x 2 ) . (B) −xf ( x2) . (C) 2xf ( x2) . (D) −2xf ( x2) .严选题 · 3.一元函数积分学 7. 设 第 39 页，共105页 f ( x ) 连续,且存在常数a,满足 5 x 3 + 4 0 =  x a f ( t ) d t .当 x → 0 时, a x f ( x ) 与 c ( ta n x − x ) k 是 等价无穷小,则 ( ) (A) k = 3 , c = 4 . (B) k = 2 , c = − 4 . (C) k=1,c=−30. (D) k=1,c=−90. 8. 设 a n = 3 2  n 0 n+ 1 x n − 1 1 + x n d x ,则极限 lim n n a n  → 等于 ( ) (A) ( 1 + e ) 32 + 1 . (B) ( 1 + e − 1 ) 3 2 − 1 . (C) ( 1 + e − 1 ) 3 2 + 1 . (D) ( 1 + e ) 32 − 1 . 9. lim n ln n 1 1 n 2 1 2 n 2 1 n n 2  →  +   +   +  等于 ( ) 2 2 2 2 (A)  ln2xdx. (B) 2 lnxdx. (C) 2 ln(1+x)dx. (D)  ln2(1+x)dx. 1 1 1 1严选题 · 3.一元函数积分学 10. 设 第 40 页，共105页 I 1 2 0 s in ( s in x ) d x , I 2 2 0 c o s ( s in x ) d x   =  =  ,则（ ） (A) I 1  1  I 2 . (B) 1  I 1  I 2 . (C) I 2  1  I 1 . (D) I I 1. 1 2 11. 设 I 4 0 ln s in x d x , J 4 0 ln c o tx d x , K 4 0 ln c o s x d x    =  =  =  . 则 I , J , K 的大小关系为 ( ) (A) I  J  K . (B) I  K  J . (C) J  I  K . (D) K  J  I . 12. 设 I k k 0 e x 2 s in x d x ( k 1 , 2 , 3 )  =  = ,则有 ( ) (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 3  I 2  I 1 . (C) I 2  I 3  I 1 . (D) I 2  I 1  I 3 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 3.一元函数积分学 13. 曲线 第 41 页，共105页 y s in 32 x ( 0 x )  =   与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为 ( ) (A) 4 3 4 . (B) . (C) 3 4 3 2 2  . (D) . 3 14.  x 2 x − + 6 x 5 + 1 3 d x = _________ . 15.  a r c s in 2 x x d x = _________ .严选题 · 3.一元函数积分学 16. 第 42 页，共105页  ( x x 2 + x e 2 ) 2 d x = _________ . 17. 设 f (x) 是连续函数,且  x 0 3 − 1 f ( t ) d t = x − 1 ,则 f ( 7 ) = _________ . 18. 设 f ( x ) 1 是连续函数,且 f (x)=x+2 f (t)dt ,则 f (x)=_________ . 0严选题 · 3.一元函数积分学 19. 第 43 页，共105页  1 0 ( 2 − x x 2 d ) x 1 − x 2 = _________ . 20. 0 2 x c o s x d x   = _________ . 21. 2 2 c o s 2 x xe0 2t d t s in 2 x d x    −  +  −  = 22. 0 x c o s 2 x c o s 4 x d x   − = _________ . 23. 设 a0 ,则  2 0 a x 2 a x − x 2 d x = _________ .严选题 · 3.一元函数积分学 24. 设 第 44 页，共105页 f ( x ) x 0 f ( x ) c o s x d x  = −  ,则 f ( x ) = _________ . 25. 设 f ( x ) 为连续函数,且  x 0 f ( t ) d t = 3 x 3 − x  1 − 1 f ( t ) d t ,则 f ( x ) = _________ . 26. lim n 1 n 2 n 2 1 n 2 2 2 n 2 ( n 1 ) 2  →  − + − + + − −  = _________ .严选题 · 3.一元函数积分学 1  2 n 27. lim  1+cos + 1+cos + + 1+cos =_________ .   n→n  n n n  28. 第 45 页，共105页 lim n 1 e0 x s in n x d x  →  − = _________ . 29. 设函数 f (x) 连续,且  x 0 f ( t − x ) d t = ( 1 + x 2 ) x − 1 1 ,则  f (x)dx=_________ . −1严选题 · 3.一元函数积分学 x 30. 若  f (t)dt=xe−x ,则 0 第 46 页，共105页 1 f ( ln x x ) d x   + = _________ . 31. 2 ( x 7 d ) x x 2   + + − = _________ . 32. 函数 y = 1 x − 2 x 2 在区间  1 2 , 2 3  上的平均值为_________ .严选题 · 3.一元函数积分学 33. 由曲线 第 47 页，共105页 y = x + 1 x , x = 2 及 y = 2 所围图形的面积 S =_________ . 34. 设曲线的极坐标方程为 r e a ( a 0 )  =  ,则该曲线上相应于  从 0 变到 2  的一段弧 与极轴所围成的图形的面积为_________ . 35. (数学三不要求)曲线 y xta 0 n td t 0 x 4  =      的弧长s=_________ .严选题 · 3.一元函数积分学 36. (数学三不要求)一根长为1的细棒位于 第 48 页，共105页 x 轴的区间  0 ,1  上,若其线密度 x 2 2 x 1  = − + + ,则 该细棒的质心坐标 x = _________ . 37. 计算  1 0 f ( x x ) d x ,其中 f ( x ) =  x 1 ln ( 1 t + t ) d t . 38. 计算积分  3212 x d x − x 2 .严选题 · 3.一元函数积分学 39. 求极限 第 49 页，共105页 lim x → 0  x 0   u 0 2a r x c ( ta n − ( 1 + x t ) ) d t  d u . 40. 设 f ( x ) 为非负连续函数,且 f ( x )  x 0 f ( x − t ) d t = s in 4 x   ,求 f (x)在 0, 上的平均值.    2 41. 设 f ( x ) 在x=a的某邻域内可导,且 f ( a )  0 ,求极限 lim x → a  ( x − a 1) f ( a ) −  x a f 1 ( t ) d t  .严选题 · 3.一元函数积分学 42. 函数 第 50 页，共105页 f ( x ) 在  0 , )  + 上可导, f ( 0 ) = 0 ,且其反函数为 g ( x ) ,若 x 2 ln ( 1 + x )  x x + f ( x )g ( t − x ) d t = ,求 f ( x ) . 43. 设函数 S ( x ) =  x 0 c o s t d t , (1) 当 n 为正整数,且 n x ( n 1 )     + 时,证明 2 n  S ( x )  2 ( n + 1 ) ; (2) 求 lim x S ( x x )  → + .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 3.一元函数积分学 44. (1) 比较 第 51 页，共105页  1 0 ln t  ln ( 1 + t )  n d t 与  1 t0 n ln t d t ( n = 1 , 2 , ) 的大小,说明理由; (2) 记 u n =  1 0 ln t  ln ( 1 + t )  n d t ( n = 1 , 2 , ) ,求极限 lim n u n  → . 45. 设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且满足 f ( 1 ) = k  1 0 x e 1 − x f ( x ) d x ( k  1 ) .证明至少存在 一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f()= ( 1−−1) f ().严选题 · 3.一元函数积分学 46. 设函数 第 52 页，共105页 f ( x ) 在0,3上连续,在 ( 0 , 3 ) 内存在二阶导数,且 2 f ( 0 ) =  2 0 f ( x ) d x = f ( 2 ) + f ( 3 ) . (1) 证明存在 ( 0 , 2 )   ,使得 f ( ) f ( 0 )  = ; (2) 证明存在 ( 0 , 3 )   ,使得 f ( ) 0   = . 47. 设 f ( x ) 在  0 , a  ( a  0 ) 上连续,且  a 0 f ( x ) d x = 0 .试证存在 ( 0 , a )   ,使得 f ( a ) f ( ) .   − = − 48. 设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,证明存在 ( 0 ,1 )    ,使  f (t)dt=(1−) f (); 若又设 0 f ( x )  0 且单调减少,则这种  是唯一的.严选题 · 3.一元函数积分学 49.设 第 53 页，共105页 y = f ( x ) 是区间  0 ,1  上的任一非负连续函数. (1) 试证存在 x (0,1) ,使得在区间 0,x  上以 f (x ) 为高的矩形面积,等于在区间 0 0 0  x 0 ,1  上以 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形面积; (2) 又设 f ( x ) 在区间 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f  ( x )  − 2 f ( x x ) ,证明(1)中的 x 0 是唯一的. 50. 设函数 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续一阶导数,且 f (0)=0 ,试证至少存在一点 0,1 , 使 f ( ) 2 1 0 f ( x ) d x   = 严选题 · 3.一元函数积分学 51.设函数 第 54 页，共105页 f ( x ) 在  − l , l  上连续,在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 )  0 . (1) 证明 对任意x(0,l),至少存在(0,1),使得 x 0 f ( t ) d t 0 x f ( t ) d t x f ( x ) f ( x )    +  − =  − −  ; (2) 求极限 lim x 0  → + . 52. 设 f ( x ) 在  0 , 2   上具有二阶连续导数,且 f  ( x )  0 ,证明: 2 0 f ( x ) c o s x d x 0    .严选题 · 3.一元函数积分学 53. 设函数 第 55 页，共105页 f ( x ) 在区间  0 ,1  上可导,且 f  ( x )  M ,证明  1 0 f ( x ) d x − 1 n k n = 1 f  k n   M 2 n . 54. 设 f ( x ) 满足 f ( 1 ) = 1 , f  ( x ) = x 2 + 1 f 2 ( x ) ( x  1 ) ,试证 lim x f ( x )  → + 存在且不超过 1 4  +严选题 · 3.一元函数积分学 55. (数学三不要求) 一容器的内侧是由图中曲线绕 第 56 页，共105页 y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 x 2 + y 2 = 2 y  y  1 2   1 与 x2 + y2 =1 y 连接而成.    2 (1) 求容器的容积; (2) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功? (长度单位: m ,重力 加速度为 gm/s2 ,水的密度为 103kg/m3 ). 56. (数学三不要求) 设曲线 L 的方程为 y = 1 4 x 2 − 1 2 ln x ( 1  x  e ) . (1) 求 L 的弧长; (2) 设 D 是由曲线 L ,直线 x = 1 , x = e 及 x 轴所围成的平面图形. 求 D 的形心的 横坐标.严选题 · 3.一元函数积分学 57. 求曲线 第 57 页，共105页 y = 3 − x 2 − 1 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得的旋转体体积. 58. 设有抛物线  : y = a − b x 2 ( a  0 , b  0 ) ,试确定常数 a,b 的值,使得 (1)  与直线 y = x + 1 相切; (2)  与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积最大. 59. 设曲线 y = 1 x 与直线 y = x 及 y = 2 所围区域为 D , (1) 求区域 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积; (2) 求区域 D 分别绕 x = 2 和 y = 2 旋转所得旋转体的体积.严选题 · 3.一元函数积分学 60. 求曲线 第 58 页，共105页 y = x 2 与直线 y = x 所围区域 D 绕直线 y = x 旋转一周所得旋转体的体积. 61. 设平面域 D 由曲线 r ( 1 c o s )  = + 所围成,试求 (1) 区域 D 的面积; (2) 区域 D 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.严选题 · 4.常微分方程 第四章 常微分方程 1. 已知函数 第 59 页，共105页 y = y ( x ) 在任意点处的增量 y 1 y x x 2   = +  + ,且当  x → 0 时,  是  x 的 高阶无穷小, y ( 0 )  = ,则 y ( 1 ) 等于 ( )  (A) 2. (B) . (C) e4. (D) e 4   . 2.方程 y  + 2 y  + y = 3 x e − x 的特解形式为 ( ) (A) A x e − x . (B) ( A x + B ) e − x . (C) ( A x + B ) x e − x . (D) ( A x + B ) x 2 e − x . 3. 具有特解 y 1 = e − x , y 2 = 2 x e − x , y 3 = 3 e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( ) (A) y−y−y+ y=0. (B) y+ y−y−y=0. (C) y−6y+11y−6y=0. (D) y−2y−y+2y=0.严选题 · 4.常微分方程 4.微分方程 第 60 页，共105页 y  − 4 y  + 8 y = e 2 x ( 1 + c o s 2 x ) 的特解可设为 y * = ( ) (A) A e 2 x + e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (B) A x e 2 x + e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (C) A e 2 x + x e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (D) A x e 2 x + x e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) . 5.函数 y = C 1 e x + C 2 e − 2 x + x e x 满足的一个微分方程是 ( ) (A) y  − y  − 2 y = 3 x e x . (B) y−y−2y=3ex. (C) y  + y  − 2 y = 3 x e x . (D) y  + y  − 2 y = 3 e x . 6. 在下列微分方程中,以 y = C 1 e x + C 2 c o s 2 x + C 3 s in 2 x ( C 1 , C 2 , C 3 为任意常数)为通解的是( ) (A) y  + y  − 4 y  − 4 y = 0 . (B) y  + y  + 4 y  + 4 y = 0 . (C) y  − y  − 4 y  + 4 y = 0 . (D) y  − y  + 4 y  − 4 y = 0 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 4.常微分方程 7.微分方程 第 61 页，共105页 y 2 y e x e x ( 0 )      − = + −  的特解形式为 ( ) (A) a ( ex +e−x) . (B) a x ( e x e x )   + − . (C) x ( a e x b e x )   + − . (D) x 2 ( a e x b e x )   + − . 8. 方程 x ln x d y + ( y − ln x ) d x = 0 满足初始条件 y x = c = 1 的特解为_________ . 9. 微分方程 ( y + x 3 ) d x − 2 x d y = 0 满足 y x = 1 = 6 5 的特解为_________ .严选题 · 4.常微分方程  x  − 10. 方程 1+e yydx+(y−x)dy=0 的通解为_________ .     11. 已知方程 第 62 页，共105页 y  + a y  + b y = 0 的通解为 y = C 1 e x + C 2 e − x ,则方程 y  + a y  + b y = e x 满 足初 始条件 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 3 2 的特解为_________ . 12.方程 y  + y = x + c o s x 的通解为_________ .严选题 · 4.常微分方程 13. 设函数 第 63 页，共105页 y ( x ) 满足 y  + ( x − 1 ) y  + x 2 y = e x ,且 y  ( 0 ) = 1 .若 lim x → 0 y ( x x )2 − x = a ,则 a = _________ . 14.二阶常系数非齐次线性微分方程 y  − 4 y  + 3 y = 2 e 2 x 的通解为_________ . 15.三阶常系数线性齐次微分方程 y  − 2 y  + y  − 2 y = 0 的通解为_________ . 16.(仅数三要求)差分方程 2 y t+ 1 + 1 0 y t − 5 t = 0 的通解为_________ .严选题 · 4.常微分方程 17.(仅数三要求)差分方程 第 64 页，共105页 y t+ 1 − 2 y t = 4 ( 3 + t ) 2 t 的通解为_________ . 18. 设函数 y = y ( x ) 满足微分方程 y  − 3 y  + 2 y = 2 e x ,且其图形在点 ( 0 ,1 ) 处的切线与曲 线 y = x 2 − x + 1 在该点的切线重合,求函数 y = y ( x ) . 19. 已知 y 1 = 3 , y 2 = 3 + x 2 , y 3 = 3 + e x 是某二阶线性非齐次方程的三个特解,求该微 分方程及 通解.20. 求微分方程 y  + ( x + e 2 y ) y '3 = 0 的通解.严选题 · 4.常微分方程 21.设函数 第 65 页，共105页 f ( x ) 具有连续的一阶导数,且满足 f ( x ) =  x 0 ( x 2 − t 2 ) f  ( t ) d t + x 2 .求 f ( x ) 的表达式. 22. 设 f ( x ) x x 连续,且满足  f (t)dt=x+ tf (x−t)dt ,求 0 0 f ( x ) . 23. 设 f ( x ) 为连续函数,且满足 f ( x ) = e x + e x  x 0  f ( t )  2 d t . 试求 f ( x ) .严选题 · 4.常微分方程 24. 函数 f (x) 在 0,+) 上可导, f (0)=1 ,且满足等式 第 66 页，共105页 f  ( x ) + f ( x ) − x 1 + 1  x 0 f ( t ) d t = 0 (1) 求导数 f  ( x ) ; (2) 证明: 当 x  0 时,不等式 e − x  f ( x )  1 成立. 25. 设 f ( x ) 连续,且 f (t)= ( x2 + y2) f ( x2 +y2 ) dxdy+t4(t0) ,求 x2+y2t2 f ( x ) . 26. 设 f ( x ) 在 ( , )   − + 上有定义, f  ( 0 ) = 2 ,对任意的x,y有 f ( x + y ) = e x f ( y ) + e y f ( x ) , 求 f (x).严选题 · 4.常微分方程 27. 设 第 67 页，共105页 f ( x ) 在 1 , )  + 上有连续二阶导数, f ( 1 ) = 0 , f  ( 1 ) = 1 ,且 z = ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 ) 满足   2 x z 2 +   2 y z 2 = 0 ,求 f ( x ) 在 1 , )  + 上的最大值. 28. 设函数 u ( x , y ) 的全微分 d u =  e x + f  ( x )  y d x + f ( x ) d y ,其中 f 具有二阶连续的导数,且 f ( 0 ) = 4 , f  ( 0 ) = 3 ,求 f ( x ) 及 u ( x , y ) . 29. 求过原点的曲线 y = y ( x ) ,使曲线上任一点 P 的法线段 P Q ( Q 是过P点作曲线法线与 x 轴的交点)的中点位于抛物线 2 y 2 = x 上.严选题 · 4.常微分方程 30. 设函数 f (x)在0,1上连续,在(0,1)内大于零,且满足微分方程 第 68 页，共105页 x f  ( x ) = f ( x ) + 3 2 a x 2 .曲线 y = f ( x ) 与直线 x = 1 , y = 0 所围成区域 D 的面积为 2,求 (1) f ( x ) ; (2) 使 D 绕 x 轴旋转一周而成旋转体体积为最小的 a . 31.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交, 交点记为 A. 已知 M A = O A ,且 L 过点  3 2 , 3 2  ,求 L 的方程.严选题 · 4.常微分方程 32. (数学三不要求) 在上半平面一条向下凸的曲线,其上任一点 第 69 页，共105页 P ( x , y ) 处的曲率等于此曲 线在该点的法线段 P Q 长度的倒数 ( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点 (1,1) 处的切 线与 x 轴平行. 33.设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P(x,y)(x0) 到坐标原点的距离,恒等于 该点处 的切线在 y 轴上的截距,且 L 1  经过点 ,0 .   2  (1) 试求曲线 L 的方程; (2) 设 L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积 最小.严选题 · 4.常微分方程 34. 设 第 70 页，共105页 y = y ( x ) 是区间(−,)内过点 2 , 2    −  的光滑曲线.当 x 0  −   时,曲线上任一点处 的法线都过原点;当 0 x    时,函数 y ( x ) 满足 y  + y + x = 0 .求函数 y ( x ) 的表达式. 35.已知曲线 L : x y f c o ( ) t , s t , , 0 t 2   = =     ,其中函数 f ( t ) 具有连续导数,且 f (0)=0,   f(t)0 0t .若曲线    2 L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数 f ( t ) 的表达式, 并求以曲线 L 及x轴和 y 轴为边界的区域的面积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 4.常微分方程 36. 在 第 71 页，共105页 x O y 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M ( 1 , 0 ) ,其上任意点 P ( x , y ) ( x  0 ) 处的切线斜率与直 线OP的斜率之差等于 a x (常数 a  0 ). (1) 求 L 的方程; (2) 当 L 与直线 y = a x 所围成平面图形的面积为 8 3 时,确定 a 的值.严选题 · 5.多元函数微分学 第五章 多元函数微分学 1.已知 第 72 页，共105页 f ( x , y ) = e x 2 + y 4 ,则 ( ) (A) f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 都存在. (B) f 'x ( 0 , 0 ) 不存在, f 'y ( 0 , 0 ) 存在. (C) f 'x ( 0 , 0 ) 存在, f 'y ( 0 , 0 ) 不存在. (D) f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 都不存在. 2.设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处有 f'(x ,y )=a, f'(x ,y )=b,则下列结论正确的是 ( ) x 0 0 y 0 0 (A) lim x → y → x0y0 f ( x , y ) 存在,但 f ( x , y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处不一定连续. (B) f ( x , y ) 在 (x ,y ) 处连续. 0 0 (C) d z ( x0 ,y0 ) = a d x + b d y . (D) lim x → x0 f ( x , y 0 ) 及 lim f (x ,y) 都存在且相等. 0 y→y 0严选题 · 5.多元函数微分学 3. 设 第 73 页，共105页 f ( x , y ) =  x x y 2 + 0 , y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处 ( ) (A) 两个偏导数不存在. (B) 两个偏导数存在但不可微. (C) 偏导数连续. (D) 可微但偏导数不连续. 4. 设 f ( x , y ) =  ( x 2 + y 2 ) s in 0 , x 2 1 + y 2 , ( ( x x , , y y ) )  = ( ( 0 0 , , 0 0 ) ) , , 则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处( ) (A) 两个偏导数不存在. (B) 两个偏导数存在但不可微. (C) 偏导数连续. (D) 可微但偏导数不连续. 5. 设函数 f ( x , y ) 可微,且对任意 x , y 都有  f (  x x , y )  0 ,  f (  x y , y )  0 ,则使不等式 f (x ,y ) f (x ,y ) 成立的一个充分条件是 ( ) 1 1 2 2 (A) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (B) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (C) x 1  x 2 , y 1  y 2 . (D) x 1  x 2 , y 1  y 2 .严选题 · 5.多元函数微分学 f f 6. 设可微函数 f (x,y) 满足 1, −1, f (0,0)=0 ,则下列结论正确的是 ( ) x y (A) 第 74 页，共105页 f ( 1 ,1 )  1 . (B) f ( − 1 ,1 )  − 2 . (C) f ( − 1 , − 1 )  0 . (D) f ( 1 , − 1 )  2 . 7. 设函数 f ( x , y ) 满足   f x  0 ,   f y  1 ,则下列结论正确的是 ( ) (A) f ( 0 , 0 )  f ( 1 , 0 ) . (B) f ( x , 2 )  f ( x ,1 ) . (C) f ( − 1 ,1 )  f ( 0 , 0 ) + 1 . (D) f ( 1 , − 1 )  f ( 0 , 0 ) + 1 . 8. 设函数 f ( x , y ) f (x,y)− ( x2 + y2) 在点 (0,0) 的某邻域内有定义,且 lim =1 , 则 (x,y)→(0,0) x2 + y2 f (x,y) 在点 (0,0) 处 ( ) (A) 连续. (B) 两个偏导数都不存在. (C) 两个偏导数存在但不可微. (D) 可微.严选题 · 5.多元函数微分学 9. 已知 第 75 页，共105页 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) f (x,y)+2x−y+x2 +y2 点连续,且 lim =0 ,则下列结论 不 (x,y)→(0,0) x2 +y2 正确的是 ( ) (A) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 点可微. (B) f 'x ( 0 , 0 ) = − 2 . (C) f 'y ( 0 , 0 ) = 1 . (D) f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) 都不一定存在. 10. 设满足   2 y z 2 = 2 ,且 f ( x , 0 ) = 1 , f 'y ( x , 0 ) = x 则 f ( x , y ) 等于 ( ) (A) 1 − x y + y 2 . (B) 1 + x y + y 2 . (C) 1 − x 2 y + y 2 . (D) 1 + x 2 y + y 2 . 11. 已知函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 某邻域内连续,且 lim x y 0 0 f ( x , y ) x 2 ( x 2 y 2 y 2 ) 0  → → − + + =  ,则 ( ) (A) 点 ( 0 , 0 ) 是 f (x,y) 的驻点但不是极值点. (B) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的极大值点但不是驻点. (C) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的极小值点但不是驻点. (D) 根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f (x,y) 的极值点.严选题 · 5.多元函数微分学 12.设函数 第 76 页，共105页 z = f ( x , y ) 的全微分为 d z = x d x + y d y ,则点 ( 0 , 0 ) ( ) (A) 不是 f (x,y) 的连续点. (B) 不是 f (x,y) 的极值点. (C) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (D) 是 f ( x , y ) 的极小值点. 13.设函数 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 ,则函数 z = f ( x ) ln f ( y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是（） (A) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (B) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (C) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (D) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . 14. 设函数 f ( x ) , g ( x ) 均有二阶连续导数,满足 f ( 0 )  0 , g ( 0 )  0 ,且 f  ( 0 ) = g  ( 0 ) = 0 , 则函数 z = f ( x ) g ( y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是 ( ) (A) f(0)0,g(0)0. (B) f(0)0,g(0)0. (C) f(0)0,g(0)0. (D) f(0)0,g(0)0.严选题 · 5.多元函数微分学 15. 设 第 77 页，共105页 F ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,且F(x ,y )=0,F'(x ,y )=0,F'(x ,y )0.若一元函数 0 0 x 0 0 y 0 0 y = y ( x ) 是由方程F(x,y)=0所确定的在点 ( x 0 , y 0 ) 附近的隐函数,则 x 0 是函数 y = y ( x ) 的极小 值点的一个充分条件是（ ) (A) F ''x x ( x 0 , y 0 )  0 . (B) F ''x x ( x 0 , y 0 )  0 . (C) F ''y y ( x 0 , y 0 )  0 . (D) F ''y y ( x 0 , y 0 )  0 . 16. 设函数 u ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数,且满 足 2  u  x  y  0 及   2 x u 2 +   2 y u 2 = 0 ,则 ( ) (A) u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得. (B) u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得. (C) u ( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值都在 D 的边界上取得. (D) u ( x , y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值都在 D 的边界上取得. 17. 设 z = x c o 1 s + ( y s − in 1 x ) + − s ( in y ( − y 1 − ) c 1 o ) s x z ,则 =_________ . y (0,1)严选题 · 5.多元函数微分学 18. 设 第 78 页，共105页 z = a r c ta n ( x y 2 ) ,则   y 2 z  x (0 ,1 ) = _________ . 19. 设 z= ( x+ey)x ,则   z x (1 ,0 ) = _________ . 20. 设函数 z =  1 + x y  xy ,则 d z (1,1 ) = _________ . 21. 设函数 z = z ( x , y ) 由方程 ( z + y ) x = x y 确定,则   z x (1 ,2 ) = _________ .严选题 · 5.多元函数微分学 22. 设 第 79 页，共105页 u = x 2 e y z 3 ,其中 z = z ( x , y ) 由方程 x 3 + y 3 + z 3 − 3 x y z = 0 所确定,则 d u x = − 1 ,y = 0 = _________ . 23. 设 z = f ( x , y ) 2z 满足 =x+ y ,且 xy f ( x , 0 ) = x , f ( 0 , y ) = y 2 ,则 f ( x , y ) = _________ . 24. 设 u ( x , y ) 有连续二阶偏导数,   2 x u 2 =   2 y u 2 ,且 u ( x , 2 x ) = x , u 1 ( x , 2 x ) = x 2 ,则 u ''1 1 ( x , 2 x ) = ______ .严选题 · 5.多元函数微分学 25. 设函数 第 80 页，共105页 z = z ( x , y )  z z 由方程 Fx+ ,y+ =0 确定,则  y x x   z x + y   z y = _________ . f (x +2t,y )− f (x ,y −t) 26. 已知 df (x,y) =2dx+dy ,则 lim 0 0 0 0 =_________ . (x 0 ,y 0 ) t→0 t 27. 已知函数 z = f ( x , y ) 连续且满足 lim x → y → 1 0 f ( x , ( y x ) − − 1 x ) 2 + + 2 y y 2 + 2 = 0 ,则 lim t→ 0 f ( 1 + t , 0 ) t − f ( 1 , 2 t ) = ________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 5.多元函数微分学 28. 设 第 81 页，共105页 z =  1 0 x y − t f ( t ) d t , 0  x  1 , 0  y  1 ,其中 f ( x ) 为连续函数,则 z ''xx + z ''yy = _________ . 29. 设 u = f ( x , y , z ) , z = ln x 2 + y 2 ,求   u x ,   2 x u 2 ,其中 f 有二阶连续偏导数. 30. 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( 1 ,1 ) 处可微且 f ( 1 ,1 ) 1 , f x (1 ,1 ) 2 , f y (1 ,1 ) 3 , ( x )  =   =   = = f x,f (x,x) ,   d 求 3(x) . dx x=1严选题 · 5.多元函数微分学 31. 设 第 82 页，共105页 u = f ( x , y , z ) 有连续的一阶偏导数,又函数 y = y ( x ) 及 z= z(x) 分别由 e xy − x y = 2 和 e x =  x 0 − z s in t t d t 确定. 求 d d u x . u=x−2y, 32. 设变换 (a−2),可把方程 v=x+ay. 6   2 x z 2 +   x 2  z y −   2 y z 2 = 0 简化为   u 2 z  v = 0 ,求常数 a . 33. 设函数 f ( u ) 有连续一阶导数, f ( 0 ) = 2 ,且 z = x f  y x  + y f  y x  满足   z x +   z y = y x ( x  0 ) ,求 z 的表达式.严选题 · 5.多元函数微分学 34. 设函数 第 83 页，共105页 f ( x , y ) 2f 有连续二阶偏导数.满足 =0,且在极坐标系下可表示成 xy f ( x , y ) = g ( r ) ,其中 r = x 2 + y 2 ,求 f (x,y). 35. 设 z = f ( x 2 + y 2 ) 具有二阶连续偏导数,且   2 x z 2 +   2 y z 2 − 1 x   z x + z = x 2 + y 2 ,试求函数 z 的表达式. 36.求函数 f (x,y)=x4 + y4 −(x+ y)2 的极值.严选题 · 5.多元函数微分学 37.求二元函数 f (x,y)=x2( 2+y2) +ylny 的极值. 38. 设函数 第 84 页，共105页 z = f ( x y , y g ( x ) ) ,其中 f 函数具有二阶连续偏导数,函数 g ( x ) 可导且在 x = 1 处取得极值 g(1)=1 ,求   x 2  z y (1 ,1 ) . 39. 已知函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, f ( 1 ,1 ) = 2 是 f ( u , v ) 的极值, z= f(x+ y, f ( x , y ) ) . 求   x 2  z y (1 ,1 ) .严选题 · 5.多元函数微分学 40. 求由方程 第 85 页，共105页 2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 x z − z + 8 = 0 所确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值点. 41.设 f ( x , y ) 有二阶连续偏导数, g ( x , y ) = f ( e xy , x 2 + y 2 ) ,且 o  ( x − 1 ) 2 + y 2  f ( x , y ) = 1 − x − y + ,证明 g ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求 出此极值. 42. 求函数 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 − x 2 y 2 在区域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  0  上的最大值 和最 小值.严选题 · 5.多元函数微分学 43. 设函数 第 86 页，共105页 z = z ( x , y ) 的微分 d z = ( 2 x + 1 2 y ) d x + ( 1 2 x + 4 y ) d y ,且 z ( 0 , 0 ) = 0 ,求函数 z = z ( x , y ) 在 4 x 2 + y 2  2 5 上的最大值. 44. 求函数 u = x y + 2 y z 在约束条件 x 2 + y 2 + z 2 = 1 0 下的最大值和最小值. 45. 求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在约束条件 z = x 2 + y 2 和 x + y + z = 4 下的最大值与最小值.严选题 · 5.多元函数微分学 46. 在椭圆 第 87 页，共105页 3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 1 的第一象限部分上求一点,使该点的切线与两坐标轴所围成三 角形面积最小,并求面积的最小值. 47. (仅数学一要求) 已知曲线 C :  x x 2 + + y y + 2 − 3 z 2 = z 2 5 = . 0 , 求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近 的点. 48. (仅数学一要求) 求椭球面 2 x 3 + y 2 2 + z 2 = 1 被平面 x + y + z = 0 截得的椭圆长半轴与短 半轴之长.严选题 · 5.多元函数微分学 49.已知 第 88 页，共105页 p  1 , 1 p + 1 q = 1 , x , y  0 . 求证: x y  x p p + y q q . 52.设 f ( x , y ) 在圆域 x 2 y 2 1 上有连续一阶偏导数,且 f ( x , y )  1 .求证在单位圆内至 少有一点 ( x 0 , y 0 ) 可使   f ( x  0 x , y 0 )  2 +   f ( x  0 y , y 0 )  2  1 6 .严选题 · 6.二重积分 第六章 二重积分 1. (1) 设函数 第 89 页，共105页 f ( x , y ) 连续,则  2d 1 x  2 x f ( x , y ) d y +  2d 1 y  4 y − y f ( x , y ) d x = ( ) (A)  2d 1 x  4 1 − x f ( x , y ) d y . (B)  2d 1 x  4 x − x f ( x , y ) d y . 2 4−y (C)  dy f (x,y)dx. (D) 1 1  2d 1 y  2 y f ( x , y ) d x . (2) 设函数 f ( x , y )  1 连续,则二次积分  dx f (x,y)dy 等于  sinx 2 ( ) (A) 1 d0 y arcsin y f ( x , y ) d x     + 1  . (B)  dy f (x,y)dx. 0 −arcsiny 1 +arcsiny 1 −arcsiny (C)  dy f (x,y)dx. (D)  dy f (x,y)dx.   0 0 2 2  2sin 2. (1) 累次积分 2d f (rcos,rsin)rdr 等于 ( )  0 4 (A)  2d0 y  0 2 y − y 2 f ( x , y ) d x . (B)  1 d0 y  y 2 y − y 2 f ( x , y ) d x . 1 2 1 1+ 1−x2 (C)  dx f (x,y)dy. (D)  dx f (x,y)dy. 0 x 0 x严选题 · 6.二重积分 (2) 累次积分 第 90 页，共105页 4 0 d 2 0 co s f ( r c o s , r s in ) r d r        等于 ( ) (A)  1 d0 y  y 2 y − y 2 f ( x , y ) d x . 1 1− 1−y2 (B)  dy f (x,y)dx . 0 y (C)  1 d0 x  x 0 f ( x , y ) d y +  2d 1 x  0 1 − x 2 f ( x , y ) d y . (D) 0 2 d r 4 0 f ( r c o s , r s in ) r d 2 2 d r arcco 0 s r2 f ( r c o s , r s in ) r d          +   . 3. 设 f ( x , y ) 为连续函数,则 4 0 d 1 0 f ( r c o s , r s in ) r d r       等于 ( ) (A)  0 22 d x  x 1 − x 2 f ( x , y ) d y 2 1−x2 . (B)  2dx f (x,y)dy. 0 0 (C)  0 22 d y  y 1 − y 2 f ( x , y ) d x . (D)  0 22 y  0 1 − y 2 f ( x , y ) d x .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 6.二重积分 4. 设 第 91 页，共105页 f ( x , y ) 是连续函数,则  1 d0 y  1 − − y 1 − y 2 f ( x , y ) d x = ( ) (A)  1 d0 x  x 0 − 1 f ( x , y ) d y +  0 − d1 x  0 1 − x 2 f ( x , y ) d y . (B)  1 d0 x  1 − 0 x f ( x , y ) d y +  0 − d1 x  0 − 1 − x 2 f ( x , y ) d y . (C) 2 0 d co 0 s 1 sin f ( r c o s , r s in ) d r 2 d 1 0 f ( r c o s , r s in ) d r              + +   . (D) 2 0 d co 0 s 1 sin f ( r c o s , r s in ) r d r 2 d 1 0 f ( r c o s , r s in ) r d r              + +   . 5. 设区域 D 由曲线 y s in x , x 2 , y 1  = =  = 围成,则   D ( x y 5 − 1 ) d x d y = ( ) (A) . (B) 2. (C) -2. (D) −. 6. 设 f ( x , y ) 连续,且 f (x,y)=xy+ f (x,y)dxdy ,其中 D D 由 y=0,y=x2,x=1 所围 成,则 f ( x , y ) 等于 ( ) (A) x y 1 . (B) 2xy. (C) xy+ . (D) xy+1. 8严选题 · 6.二重积分 7. 设 第 92 页，共105页 0  a  1 ,区域 D 由 x 轴, y 轴,直线 x + y = a 及 x+ y=1 所围成, I D s in 2 ( x y )d , J D ln 3 ( x y )d , K D ( x y ) d    =   + =   + =   + ,则 ( ) (A) I  K  J (B) K  J  I . (C) I  J  K . (D) J  I  K . 8. 设 I x y 1 ( x 2 y 3 )d , J x 2 y 2 1 ( x 4 y 4 )d , K x 2 y 2 1 ( x 3 y 2 ) d    =   +  + =   +  − =   +  − ,则 ( ) (A) I  J  K (B) I  K  J . (C) J  I  K . (D) K  J  I . x+ y x+ y x+ y 9. 设 I = d,I = d,I = 3 d.其中D:(x−1)2 +(y−1)2 2.则( ) 1 D 4 2 D 4 3 D 4 (A) I 1  I 2  I 3 . (B) I 2  I 3  I 1 . (C) I 1  I 3  I 2 . (D) I 3  I 2  I 1 .严选题 · 6.二重积分 10. 如图 1 正方形 (x,y) x1, y 1  被其对角线划分为四个区域 D (k =1,2,3,4),I = ycosxdxdy ,则 k k D k 第 93 页，共105页 m1  a x k  4  I k  = ( ) (A) I 1 . (B) I 2 . (C) I 3 . (D) I 4 . 11. 设 D k 是圆域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1  在第 k 象限的部分,记 I k ( k = 1 , 2 , 3 , 4 ) =   D k ( y − x ) d x d y ,则 ( ) (A) I 1  0 . (B) I 2  0 . (C) I 3  0 . (D) I 4  0 .  t dx x e−y2 dy 12.已知 lim 0 t =0 ,则 ( ) t→0+ t 1 1 1 1 (A) =1,= . (B) =2,= . (C) =2,=− . (D) =3,=− . 2 2 2 2严选题 · 6.二重积分 13.交换积分次序 第 94 页，共105页  4d0 x  2 4 x x − x 2 f ( x , y ) d y = ________ . 14. 交换积分次序  2d0 x  x 2 x − x 2 f ( x , y ) d y = ________ . 15.  1 d0 x  1 x 2 1 x + y y 3 d y = ________ . 16.  1 d0 y  y y2 c o s x 2 d x +  2d 1 y  1 y2 c o s x 2 d x = ________ .严选题 · 6.二重积分 17. 第 95 页，共105页  1 d0 y  1 y x 2 − y 2 d x = ________ . 18.   x 2 + y 2  1  ( x + 1 ) 2 + 2 y 2  d x d y = ________ . 19. 设 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  dxdy ,则  =________ . D x2 + y2严选题 · 6.二重积分 20. 第 96 页，共105页 I 2 0 d 2 0 co s ( r c o s 1 ) 3 r s in r d r      =    − +  = ________ . 21. 求极限 lim 1  t dx t e−(x−y)2 dy=________ . t→0+sin2t 0 x 22. 设 f ( t ) =  td0 x  x x s in y y d y ,则函数 f (t) 在区间 0, 上的最大值为________ .严选题 · 6.二重积分 23. 求极限 第 97 页，共105页 lim n 1 n 1 n 1 e y 2 d y 2 n 1 e y 2 d y n 1 n 1 e y 2 d y  →   − +  − + +  − −  . 24. 求极限 lim t→ 0 + 1 6 t  td0 x  tsx in ( x y ) 2 d y . 1 y y y 1 y 25.计算 2dy exdx+ dy exdx . 1 1 1 y 4 2 2严选题 · 6.二重积分 26. 计算二重积分 第 98 页，共105页 D x 2 y 2 1 d    + − ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  . 27. 计算二重积分   D m a x  x y ,1  d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2  .严选题 · 6.二重积分 28. 设 第 99 页，共105页 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  2 , x  0 , y  0  ,  1 + x 2 + y 2  表示不超过 1 + x 2 + y 2 的最大整数, 计算二重积分   D x y ( 1 + x 2 + y 2 ) d x d y . 29. 计算二重积分   D ( x − y ) d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2  2 , y  x  .严选题 · 6.二重积分 30. 计算二重积分 I = r2sin 1−r2cos2drd ,其中 D 第 100 页，共105页 D ( r , ) 0 r s e c , 0 4 .     =  ∣      31. 计算二重积分 D 4 a x 2 2 x y 2 2 y 2 d    − + − ,其中 D 是由曲线 y = − a + a 2 − x 2 ( a  0 ) 和直 线 y=−x 围成的区域.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 6.二重积分 32. 计算二重积分 第 101 页，共105页   D ( x + y ) 3 d x d y ,其中 D 由曲线 x = 1 + y 2 与直线 x+ 2y=0 及 x − 2 y = 0 围成. 33. 计算   D ( x + y 2 ) d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  2 x + 2 y  .严选题 · 6.二重积分 ( ) 34. 求  x2 + y2 + y d ,其中 D 第 102 页，共105页 D 是由圆 x 2 + y 2 = 4 和 ( x + 1 ) 2 + y 2 = 1 所围成的 平 面区域 (如图). 35. 计算二重积分   D e x x y d x d y ,其中 D 是以曲线 y = x , y = 1 x 及 y 轴为边界的 无 界区域.严选题 · 6.二重积分 36. 计算积分 第 103 页，共105页 3 4 4 d 2 0 sin ( s in c o s 1 r 2 s in 2 ) r 2 d r          + + . 37.计算积分  1 − d1 x  1 + x 1 − x 2 ( x 3 + 1 ) x 2 + y 2 d y .严选题 · 6.二重积分 38. 设 第 104 页，共105页 f ( t ) =  td0 x  t x y 2 e − y 2 d y ,试证对一切的 t(−,+) ,有 0  f ( t )  1 2 . 39. 设 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2  . (1) 计算 b= xy−1d; D (2) 设 f ( x , y ) 在 D 上连续,且 D f ( x , y )d 0 , D x y f ( x , y )d 1     =   = . 证明: 存在 ( , ) D   使 f ( , ) 1 b   .严选题 · 6.二重积分 40. 设 第 105 页，共105页 f ( x ) , g ( x ) 在  0 ,1  上连续,且同时单调增,证明 1  1  1   f (x)g(x)dx  f (x)dx  g(x)dx. 0  0  0 