25武忠祥严选题数三做题本_考研_数学_04.武忠祥_25武忠祥《严选题》做题本_数学三

目录
目 录
第一章 函数、极限、连续 ......................................................... 2
第二章 一元函数微分学 .......................................................... 19
第三章 一元函数积分学 .......................................................... 37
第四章 常微分方程 .............................................................. 59
第五章 多元函数微分学 .......................................................... 72
第六章 二重积分 ................................................................ 89
第七章 无穷级数 ............................................................... 106
第 1 页，共121页严选题 · 1. 函数、极限、连续
第一章 函数、极限、连续
1.函数
第 2 页，共121页
f ( x ) = x ta n x e sin x 是 ( )
(A) 单调函数. (B) 周期函数. (C) 偶函数. (D) 无界函数.
2.下列四个函数中
① x s in
1
x
. ②
1
x
s in
1
x
sinx
. ③ . ④
x
x s in x .
在区间 ( 0 , )  + 上有界的共有 ( )
(A) 1 个. (B) 2 个. (C) 3 个. (D) 4 个.
3. 设有数列  x
n
 与 y  ,以下结论正确的是（ ）
n
(A) 若 lim
n
x
n
y
n
0
 →
= ,则必有 lim
n
x
n
0
 →
= 或 lim
n
y
n
0
 →
= .
(B) 若 lim
n
x
n
y
n

 →
= ,则必有 limx = 或
n
n→
lim
n
y
n

 →
= .
(C) 若 x
n
y
n
有界,则必有 x
n
与 y
n
都有界.
(D) 若 x y 无界,则必有 x 无界或 y 无界.
n n n n严选题 · 1. 函数、极限、连续
4. 设
第 3 页，共121页
lim
n
x
n
y
n

 →
= ,则下列结论错误的是（ ）
(A) lim
n
x
n

 →
= 与 lim
n
y
n

 →
= 至少有一个成立.
(B)  x
n
 与  y
n
 中至少有一个为无界变量.
(C) 若  x
n
 是无穷小量,则  y
n
 必为无界变量.
(D) 若 lim
n
x
n
a 
 →
=  ,则  y
n
 必为无穷大量.
5.设函数 f ( x ) 连续,则下列函数中,必为偶函数的是 ( )
(A)  x
0
f ( t 2 ) d t . (B)  x
0
f 2 ( t ) d t . (C)  xt0  f ( t ) − f ( − t )  d t . (D)  xt0  f ( t ) + f ( − t )  d t .
6.设数列  a
n
 , b
n
 对任意的正整数 n 满足 a b a ,则
n n n+1
( )
(A) 数列  a
n
 , b
n
 均收敛,且 lim
n
a
n
lim
n
b
n
  →
=
→
.
(B) 数列  a
n
 , b
n
 均发散,且 lim
n
a
n
lim
n
b
n

  →
=
→
= + .
(C) 数列  a
n
 , b
n
 具有相同的敛散性.
(D) 数列 a ,b  具有不同的敛散性.
n n严选题 · 1. 函数、极限、连续
7. 设
第 4 页，共121页
lim
x 0
( x ) 0 
→
= ,则下列命题中正确的个数为 ( )
① lim
x 0
s in
(
(
x
x
)
)
1

 →
= .
② lim
x 0
( 1 ( x ) )
1(
x ) e  
→
+ = .
③ 若 f  ( x
0
) = A ,则 lim
x 0
f ( x
0
( x
(
)
x
)) f ( x
0
)
A

 →
+ −
= .
④ 若 lim
u → 0
f ( u ) = A ,则 lim
x 0
f ( ( x ) ) A 
→
= .
(A) 0 个. (B) 2 个. (C) 3 个. (D) 4 个.
8. 极限 lim
x
1
e
1
x
sin
1x
1
1
1
x
A 0
  → 
+

−
−

+

=  的充要条件是 ( )
(A) 1   . (B) 1   . (C) 0   . (D) 与  无关.严选题 · 1. 函数、极限、连续
9.已知
第 5 页，共121页
lim
x → 0
ln ( 1 + 2 x
x
)2 + x f ( x )
= 1 ,则 lim
x → 0
2 + f
x
( x )
= ( )
(A) 1 . (B) 2 . (C) 3 . (D) 4 .
10. 设 f ( x ) 连续, lim
x → 0 1
f
−
(
c
x
o
)
s x
= 2 ,且当 x → 0 时 
sin
0
2 x
f ( t ) d t 是 x 的 n 阶无穷小,
则 n 等于 ( )
(A) 3 . (B) 4 . (C) 5 . (D) 6 .
11.已知当 x → 0 时, f ( x ) = a r c ta n x − s in a x 与 g ( x ) = b x ln a + x 2 是等价无穷小,则 ( )
(A) a = b = 1 . (B) a = 2 , b =
1
3
. (C) a = 1 , b =
1
2
. (D) a = 1 , b = −
1
3
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12.已知当
第 6 页，共121页
x → 0 时,函数 f ( x ) = 3 s in x − s in 3 x 与 c x k 是等价无穷小,则 ( )
(A) k = 1 , c = 4 . (B) k = 1 , c = − 4 . (C) k = 3 , c = 4 . (D) k = 3 , c = − 4 .
13.当 x → 0 + 时,下列无穷小量中最高阶的无穷小量是（ ）
(A) 1 + x 4 − e
2 x2
. (B) ta n x − s in x . (C) 
sin
0
xs
in t 2 d t . (D) 
1 −
0
co sxs
in
32
td t .
 1 
ex +etanx
 
14. 函数 f (x)=   在 −, 上的第一类间断点是
 1 
xex −e
 
 
x = ( )
(A) 0. (B) 1. (C)
2

− . (D)
2

.严选题 · 1. 函数、极限、连续
15. 函数
第 7 页，共121页
f ( x ) =
x
x
2
2
−
−
x
1
1 +
1
x 2
的无穷间断点的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
x
x −1
16. 函数 f (x)= 的可去间断点的个数为 ( )
x(x+1)ln x
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
17.已知函数 f ( x ) =
( x 2 +
e
a
1
x
) 2
+
(
b
x − 1 )
在 ( , )   − + 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点,
则 ( )
(A) a = 1 , b = − 1 . (B) a = 0 , b = 1 . (C) a  0 , b = − e . (D) a = 0 , b = − e .严选题 · 1. 函数、极限、连续
18. 设
第 8 页，共121页
f ( x ) lim
n
2
e
(n e
n x
) 1 x
n x
1
1 
=
→
+
+
+
+
,则 f ( x ) ( )
(A) 仅有一个可去间断点. (B) 仅有一个跳跃间断点.
(C) 有两个可去间断点. (D) 有两个跳跃间断点.
19. lim
x → 0
x
(
−
a r
a r c s in
) c s in x
x
3
= ________.
20. 已知 lim
x 0 1 x a r c ta
x
n x c o s x
8
3

→ + −
= ,则  = ________.严选题 · 1. 函数、极限、连续
21. 已知曲线
第 9 页，共121页
y = f ( x ) 在点 ( 0 , 0 ) 处的切线过点 ( 1 , 2 ) ,则 lim
x → 0
 c o s x +  x
0
f ( t ) d t 
12
x = ________.
22. 极限 lim
x → 0

ln ( x +
1
1 + x 2 )
−
ln (
1
1 + x )

= ________.
x
 xn 
23. 设 n 为正整数,则 lim  =________.
x→
(x−1)(x−2) (x−n)
严选题 · 1. 函数、极限、连续
24. 求极限
第 10 页，共121页
lim
x → 0
 ln ( x +
x
1 + x 2 ) 
12
x
= ________.
25. 设 x
n
=

1 +
1
n 2
 
1 +
2
2 n
 
1 +
n
n 2

,则 lim
n
x
n  →
= ________.
1+ 2+ + n
26. 极限 lim =________.
n→ n(1+2+ +n)公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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27. 确定常数
第 11 页，共121页
a , b ,使 x→0 时 f ( x ) = e x −
1
1
+
+
a
b
x
x
为 x 的三阶无穷小.
28. 当 x → 0 时, 1 − c o s x  c o s 2 x  c o s 3 x 与 a x n 为等价无穷小,求 n 与 a 的值.
1
( 1+sin2x2) x2 −e2
29. 已知 lim =a(a0) ,求
x→0 xn
a 和 n 的值.严选题 · 1. 函数、极限、连续
30. 确定常数 a,b,c 的值,使
第 12 页，共121页
lim
x → 0

x
b
a x
ln
−(
1
s
+
t
in
t
x
3 )
d t
= c ( c  0 ) .
 
1 1
31.求极限 lim − .
x→0ln ( 1+x2) sin2x
 
32. 求极限 lim
x → 0 +
x
x
x
2
−
ln
( s
( 1
in
+
x ) x
) x
.严选题 · 1. 函数、极限、连续
ln ( 1+x2) −ln ( 1+sin2x )
33.求极限 lim .
x→0 xsin3x
34. 求极限
第 13 页，共121页
lim
x
x
1
2 t
x 2
e
ln
1t
1
1
1
x
t d t
 → +

 

−
+

−


.
35.求下列极限
(1) lim
x → 0
 ln ( 1 +
x
x )  e
1x
− 1
1
ex +e2x + +enx x
; (2) lim  ;
x→0 n 严选题 · 1. 函数、极限、连续
n2
 1  2
(3) lim  ntan  ; (4) limtann  +  .
n→ n n→ 4 n
36.求下列极限
(1)
第 14 页，共121页
lim
x
(
x 1 x 2
) 1x
 → +
+ +
1
 1 lnx
; (2) lim xx −1 .
 
x→+
 
37. 已知函数 f ( x ) 在 x = 0
sinx f (x)
的某邻域内可导,且 lim + =2 ,试求 f (0), f(0)
x→0 x2 x 
及 lim
x → 0 f ( x
x
) + e x
.严选题 · 1. 函数、极限、连续
38. 求极限
第 15 页，共121页
lim
n n
1
6 n n
2
6
2
2 n n
n
6
2
n 2  →

+
+
+
+ +
+

.
39. 求极限 lim
n
1
n 2 n
1
2 1 2 n 2
1
( n 1 ) 2  →

+
−
+ +
− −

.
40. 求极限 lim
n 1
n
2
1
n 2 2
n
2
1
2n
2 n
n
2
1
nn
2  →

+
+
+
+
+
+ +
+
+

.严选题 · 1. 函数、极限、连续
41. 求函数
第 16 页，共121页
f ( x ) =
 x x
ln
1
+
x
,
1
, x
x

=
0
0
,
的间断点并指出类型.
42. 设 f ( x ) lim
n
x 2 n 1
x 2
a
n
x 2
1
b x

=
→
− +
+
+
在 ( , )   − + 内连续,试确定常数 a 和 b .
43.设 f ( x ) 是区间  0 , )  + 上单调减少且非负的连续函数,
a
n
= k
n
= 1
f ( k ) − 
n
1
f ( x ) d x ( n = 1 , 2 , ) ,证明数列  a
n
 的极限存在.严选题 · 1. 函数、极限、连续
44. 设
第 17 页，共121页
x
1
= 2 , x
n + 1
= 3 + 2 x
n
, n = 1 , 2 , ,证明数列  x
n
 收敛并求它的极限.
45. 设数列  x
n
 满足 x
1
= 1 , x
n + 1
=
x
x
n
n
+
+
2
1
( n = 1 , 2 , ) ,试证 lim
n
x
n
2
 →
= .
46. 设函数 f ( x ) = ln x +
1
x
.
(1) 求 f (x) 的最小值;
(2) 设数列  x
n

1
满足 lnx + 1 . 证明
n x
n+1
lim
n
x
n  →
存在,并求此极限.严选题 · 1. 函数、极限、连续
47. 设
第 18 页，共121页
x
1
 0 , x
n + 1
= ln ( 1 + x
n
) ( n = 1 , 2 , ) ,证明
(1) x  收敛并求极限
n
lim
n
x
n
 →
;
(2) 计算 lim
n
x
nx
n
1
1xn
 →

+

及 lim
n
1
x
n
x
1
n 1
 →

−
+

.
48. 设 f ( x ) 在0,2a(a0)上连续,且 f ( 0 ) = f ( 2 a ) ,求证存在  0 , a    ,使 f ( ) f ( a ) .   = +
49. 设 f ( x ) 在a,b上连续, x
i
  a , b  , ti  0 ( i = 1 , 2 , , n ) ,且
n
i=
1
ti = 1 ,试证至少存在一点
 a , b    使 f ( ) t1 f ( x
1
) t
2
f ( x
2
) t
n
f ( x
n
)  = + + + .严选题 · 2. 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学
1.设
第 19 页，共121页
f ( x ) 在 x = 0 处连续,则 f (x) 在 x = 0 处可导的充分条件是 ( )
f (x)− f (−x)
(A) lim 存在. (B)
x→0 2x
lim
x → 0
f ( ln ( 1 + x
x
2
2
) ) − f ( 0 )
存在.
f (x)− f (0) 1
(C) lim 存在. (D) lim xf   存在.
x→0 3 x x→ x
2. 设 f ( x ) =

x 2 s in
0 ,
1
x
, x
x

=
0
0
,
,
则在点 x = 0 处函数 f (x) ( )
(A) 不连续. (B) 连续但不可导.
(C) 可导但导数不连续. (D) 可导且导数连续.
3. 设函数 y = f ( x ) 在点 x=0 处连续,且 lim
x → 0
f
1
( x
−
)
c
−
o s
2
x
x
= 1 ,则 f (x) 在点 x=0 处
( )
(A) 不可导. (B) 可导且 f  ( 0 ) = 0 .
(C) 可导且 f  ( 0 ) = − 2 . (D) 可微且 d y
x = 0
= 2 d x .严选题 · 2. 一元函数微分学
4.若
第 20 页，共121页
f ( x ) 在点 x 处的左、右导数都存在,则
0
f ( x ) 在点 x
0
处 ( )
(A) 可导. (B) 连续. (C) 不可导. (D) 不一定连续.
5.已知 f ( x ) 在 x = 0 处连续,且 lim
x → 0
 f ( x ) + e x 
1
x = 2 ,则 f(0)( )
(A) 不存在. (B) 等于 ln2. (C) 等于 2. (D) 等于 ln2−1.
6.设 f ( x ) 有连续一阶导数, f ( 0 ) = 0 ,若当 x → 0 时, 
f
0
( x )
f ( t ) d t 与 4 x 2 为等价无穷
小,则 f  ( 0 ) 等于 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)
1
2
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7. 函数
第 21 页，共121页
f ( x ) = x − x 2 ( e x − 1 ) + s in x − 2 不可导点的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3
8. f ( x ) lim
n
n 1 x n e n x

=
→
+ + 不可导点的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.
9. 已知 f ( x ) 在 x=0 处连续,且 lim
x → 0 f
x( 2
x )
= 1 ,则下列结论
① f(0) 存在,且 f(0)=0. ② f(0) 存在,且 f(0)=2.
③ f ( x ) 在 x = 0 处取得极小值. ④ f (x) 在 x = 0 的某邻域内连续.
中正确的个数为 ( )
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.严选题 · 2. 一元函数微分学
10.设函数
第 22 页，共121页
f ( x ) 在 ( , )   − + 内连续,其导函数的图形如图 1 所示,则 f ( x ) 有 ( )
(A) 一个极小值点和两个极大值点.
(B) 两个极小值点和一个极大值点.
(C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点.
11.设函数 f (x)= x2(x+1) 的驻点个数为 m ,极值点的个数为 n ,则 ( )
(A) m = 1 , n = 1 . (B) m = 1 , n = 2 . (C) m = 2 , n = 3 . (D) m = 3 , n = 2 .
12. 函数 f (x)=  (t−xsint)2 dt 的极值点为 ( )
−
(A) x = 2 为极小值点. (B) x = 2 为极大值点.
(C) x = 1 为极小值点. (D) x = 1 为极大值点.严选题 · 2. 一元函数微分学
13. 设函数
第 23 页，共121页
f ( x )
f (x)−a f(x)−1
有二阶导数,且 lim =0,lim =2021 ,则 ( )
x→0ln(1+x) x→0 ex2 −1
(A) f (0) 是 f (x) 的极大值.
(B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值.
(C) ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(D) f (0) 不是 f ( x ) 的极值, ( 0 , f ( 0 ) ) 也不是曲线 y= f (x) 的拐点.
14. 设函数 f ( x ) 有二阶连续导数,且 f (0)=0, f(0)0, f(0)0 ,则 ( )
(A) x = 0 是 f ( x ) 的极值点,但 ( 0 , f ( 0 ) ) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(B) x = 0 不是 f ( x ) 的极值点,但 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(C) x = 0 是 f ( x ) 的极值点,且 ( 0 , f ( 0 ) ) 是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
(D) x=0不是 f ( x ) 的极值点,且 ( 0 , f ( 0 ) ) 不是曲线 y = f ( x ) 的拐点.严选题 · 2. 一元函数微分学
15. 设 f (x) 满足
第 24 页，共121页
f  ( 0 ) = 0 , f  ( x ) +  f ( x )  3 = x 2 ,则 ( )
(A) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极大值.
(B) f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值.
(C) ( 0,f (0)) 是曲线 y= f (x) 的拐点.
(D) f ( 0 ) 不是 f ( x ) 的极值, ( 0 , f ( 0 ) ) 也不是曲线 y = f ( x ) 的拐点.
16. 曲线 y =
x 2
x 2
+
−
1
1
的渐近线条数为 ( )
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.
17. 曲线 y =
x
x
2
2
+
−
x
1
的渐近线条数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.严选题 · 2. 一元函数微分学
18. 设曲线
第 25 页，共121页
y = f ( x ) 与y=x2 −x在点 ( 1 , 0 )
 n 
处有公共切线,则limnf =________.
 
n→ n+2
19. 已知 f ( x ) =
(( x
x
−
+
1
1
)) (( x
x
−
+
2
2
)) (( x
x
−
+
n
n
))
,则 f(1)=________.
20. 曲线
 x
y
=
=

t
1 − t − u e
0
( 2 ln 2
2 d
−
u
t
,
2 )
在点 ( 0 , 0 ) 处的切线方程为________.严选题 · 2. 一元函数微分学
21. 对数螺线 r=e 在点
第 26 页，共121页
( r , ) e 2 ,
2
 
 =
 
处的切线的直角坐标方程为________.
22. 设函数 f ( x ) =
 ln
2 x −
x ,
1 ,
x
x


1
1
,
,
y = f ( f ( x ) )
dy
,则 =________.
dx
x=e
23. 设 y = f ( x ) 的反函数是 x ( y )  = ,且 f ( x ) =  2
1
xe 2t d t + 1 ,则 (1)=________.严选题 · 2. 一元函数微分学
24. 函数 y=xln(1−2x) 在 x=0 处的 n(n2) 阶导数 y (n)(0)=________.
25. 设
第 27 页，共121页
f ( x ) =
x
x
2
2
+
+
x
x
−
−
1
2
,则 f (n ) ( x ) = ________.
26.函数 f ( x ) = ln ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − n ) 的驻点个数为________.
27.已知方程 x 4 + 2 x 3 − 3 x 2 − 4 x + a = 0 有两个重根,则a= ________.严选题 · 2. 一元函数微分学
28.已知方程
第 28 页，共121页
3 x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 2 4 x + a = 0 有四个不相同的实根,则 a 的取值范围为________.
xf (x)−ln(1+x) x
29. 设 f (x) 为连续函数, lim =2,F(x)= tf (x−t)dt ,当 x→0 时
x→0 x2 0
F ( x ) −
1
2
x 2 与 b x k 为等价无穷小,其中常数 b  0 , k 为某正整数. 求 k 与 b 的值及
f ( 0 ) , f  ( 0 ) .
30. 已知函数 f ( u ) 具有二阶导数,且 f  ( 0 ) = 1 ,函数 y = y ( x ) 由方程y−xey−1=1所确定.设
dz d2z
z= f (lny−sinx),求 , .
dx dx2
x=0 x=0严选题 · 2. 一元函数微分学
y=t(t)− f (t), d2y
31. 设 f (t) 二阶可导,且 f(t)0, 求 及
 x= f(t). dx2
第 29 页，共121页
d
d
2
y
x
2
.
32. 设 y = y ( x )
x=t3+2t+1,
 dy d2y
由    t− 1 y+t e−u2 du=0 确定,求 dx t=0 , dx2 t=0 .
33. 设函数 ( x ) sin
0
x f ( tx 2 ) d t  =  ,其中 f ( x ) 是连续函数,且 f (0)=2.
(1) 求 (x);
(2) 讨论 ( x )   的连续性.严选题 · 2. 一元函数微分学
34. 设
第 30 页，共121页
f ( x )
1
连续, (x)= f (xt)dt ,且
0
lim
x → 0
f (
x
x )
= A (A 为常数) . 求 ( x )   ,并讨论
( x )   在 x = 0 处的连续性.
35. 设函数由方程 2 y 3 − 2 y 2 + 2 x y − x 2 = 1 所确定,试求 y = y ( x ) 的驻点,并判别它是否为极
值点.
36. 已知曲线 L
 x=t2 +1,
的方程为  (t0).
y=4t−t2
(1) 讨论 L 的凹凸性;
(2) 过点 ( − 1 , 0 ) 引 L 的切线,求切点 (x ,y ) ,并写出切线的方程;
0 0
(3) 求此切线与 L (对应于 x  x
0
的部分) 及 x 轴所围成的平面图形的面积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 2. 一元函数微分学
37.试确定方程
第 31 页，共121页
x 3 − x = s in x 的实根个数.
38. 试确定方程  xe0 − 2t d t = x 3 − x 的实根个数.
39.试确定方程 ex =ax2(a0) 的实根个数.严选题 · 2. 一元函数微分学
40.试确定方程
第 32 页，共121页
ln x = k x 的实根个数.
41.试证: 当 x  0 时, x  e x ln ( 1 + x ) .
42.设 x  0 ,证明: 2sinx+ex −e−x 4x.
43.设 x  0 ,常数 a  e . 证明 ( a + x ) a  a a + x .严选题 · 2. 一元函数微分学
44. 设 eab ,证明:
第 33 页，共121页
a 2  a b
ln
ln
a
b
 b 2 .
45. 设 f ( x ) 和 g(x) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 )
1 1
内可导, f (0)= f (1)=−1, f (x)dx ,
0 2
试 证至少存在一点 ( 0 ,1 )   ,使 f ( ) g ( ) f ( ) 1      +   −  = .
46. 设 f ( x ) , g ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 )
1 1
内可导,且  f (x)dx=3 f (x)dx ,试证存在
2
0
3
,(0,1) ,使得 f ( ) g ( ) f ( ) f ( )      =   −  .严选题 · 2. 一元函数微分学
47. 设 f (x) 在 −2,2 上二阶可导,且
第 34 页，共121页
f ( x )  1 ,又  f ( 0 )  2 +  f  ( 0 )  2 = 4 . 证明在
( − 2 , 2 ) 内至少存在一点  ,使 f ( ) f ( ) 0    + = .
48. 设函数 f ( x ) 在闭区间  a , b  上连续,在开区间 ( a , b ) 内可导,且 f(x)0 . 若极限
lim
x → a +
f ( 2
x
x
−
−
a
a )
存在,证明
(1) 在 ( a , b ) 内 f (x)0 ;
(2) 在 ( a , b )
b2 −a2 2
内存在点  ,使 = ;
b f ()
 f (x)dx
a
(3) 在 ( a , b ) 内存在与 (2) 中  相异的点  ,使 f ( ) ( b 2 a 2 ) 2
a
b
a
f ( x ) d x  

 − =
−
 .严选题 · 2. 一元函数微分学
49.设
第 35 页，共121页
f ( x ) , g ( x ) 在  a , b  上连续,在 (a,b) 内可导,且 g ( a ) = g ( b ) = 1 , f  ( x )  0 . 试证存
在 , ( a , b )   ,使得
f
f
(( ))
e g ( ) g ( )

  



= −  +   .
50. 设函数 f (x) 在闭区间  0 ,1  上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) =
1
3
.
证明: 存在 0 ,
1
2
,
1
2
,1   
 

 
,使得 f()+ f()=2+2.
51.设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) .试证存在和.满足 0 1      ,
使 f ( ) f ( ) 0    +  = .严选题 · 2. 一元函数微分学
52. 设
第 36 页，共121页
f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 0 ,若 f ( x ) 在0,1上的最大值为
M 0,证明存在两个不同的点x ,x (0,1),使得
1 2 f 
1(
x
1
)
−
f 
1(
x
2
)
=
n
M
,其中n是大于 1 的整数.
53.设 f ( x ) 在  0 ,1  上二阶可导, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , m0

av x
1
f ( x ) = 2 . 试证存在 (0,1) 使得
f ( ) 1 6    − .
54. 设 f (x) 在 0,2 上二阶可导,且 f ( x )  1 , f  ( x )  1 ,证明: f  ( x )  2 ( 0  x  2 ) .严选题 · 3. 一元函数积分学
第三章 一元函数积分学
1. 若
第 37 页，共121页
f ( x ) 的导函数是 s in x ,则 f ( x ) 有一个原函数为 ( )
(A) 1 + s in x . (B) 1 − s in x . (C) 1 + c o s x . (D) − x .
2. 设 f ( x ) =

c
s
o s
in
x
x
,
,
x
x


0
0
,
,
g ( x ) =

x s in
0 ,
1
x
, x
x

=
0
0
,
,
则在 ( )   − + 上( )
(A) f ( x ) 与 g ( x ) 都存在原函数. (B) f ( x ) 与 g ( x ) 都不存在原函数.
(C) f ( x ) 存在原函数,g(x)不存在原函数. (D) f ( x ) 不存在原函数, g ( x ) 存在原函数.
x2, 0x1, x
3. 已知 f (x)= 设 F(x)= f (t)dt(0x2) ,则 F(x) 为 ( )
1, 1x2. 1
(A)
 1
3
x
x
3
,
, 0
1


x
x


1
2
,
.
1 1
 x3− , 0x1,
(B) 3 3
  x, 1x2.
(C)
 1
3
x
x
−
3
1
,
,
0
1


x
x


1
2
(D)
 1
3
x
x
3
−
−
1
1
3
,
, 0
1


x
x


1
2
,
.严选题 · 3. 一元函数积分学
4. 设
第 38 页，共121页
f ( x ) =

x
e
2
x
+
,
a ,
x
x


0
0
,
,
则 F ( x ) = 
x
− 1
f ( t ) d t 在 x=0 处( )
(A) 极限存在但不连续. (B) 连续但不可导.
(C) 可导. (D) 是否可导与 a 的取值有关.
5. 设在区间  a , b  上 f ( x )  0 , f  ( x )  0 , f  ( x )  0 . 令 S
1
= 
b
a
f ( x ) d x , S
2
= f ( b ) ( b − a ) ,
S
3
=
1
2
 f ( a ) + f ( b )  ( b − a ) ,则 ( )
(A) S
1
 S
2
 S
3
. (B) S
2
 S
1
 S
3
.
(C) S
3
 S
1
 S
2
. (D) S
2
 S
3
 S
1
.
6. 设 f (x) 连续,则 d
d x
 xtf
0
( x 2 − t 2 ) d t = ( )
(A) x f ( x 2 ) . (B) −xf ( x2) . (C) 2xf ( x2) . (D) −2xf ( x2) .严选题 · 3. 一元函数积分学
7. 设
第 39 页，共121页
f ( x ) 连续,且存在常数a,满足 5 x 3 + 4 0 =  x
a
f ( t ) d t .当 x → 0 时, a x f ( x ) 与 c ( ta n x − x ) k 是
等价无穷小,则 ( )
(A) k = 3 , c = 4 . (B) k = 2 , c = − 4 . (C) k=1,c=−30. (D) k=1,c=−90.
8. 设 a
n
=
3
2
 n
0
n+
1 x n − 1 1 + x n d x ,则极限 lim
n
n a
n  →
等于 ( )
(A) ( 1 + e )
32
+ 1 . (B) ( 1 + e − 1 )
3
2 − 1 . (C) ( 1 + e − 1 )
3
2 + 1 . (D) ( 1 + e )
32
− 1 .
9. lim
n
ln n 1
1
n
2
1
2
n
2
1
n
n
2
 →

+
 
+
 
+

等于 ( )
2 2 2 2
(A)  ln2xdx. (B) 2 lnxdx. (C) 2 ln(1+x)dx. (D)  ln2(1+x)dx.
1 1 1 1严选题 · 3. 一元函数积分学
10. 设
第 40 页，共121页
I
1
2
0
s in ( s in x ) d x , I
2
2
0
c o s ( s in x ) d x
 
=  =  ,则（ ）
(A) I
1
 1  I
2
. (B) 1  I
1
 I
2
. (C) I
2
 1  I
1
. (D) I I 1.
1 2
11. 设 I 4
0
ln s in x d x , J 4
0
ln c o tx d x , K 4
0
ln c o s x d x
  
=  =  =  . 则 I , J , K 的大小关系为 ( )
(A) I  J  K . (B) I  K  J . (C) J  I  K . (D) K  J  I .
12. 设 I
k
k
0
e x 2 s in x d x ( k 1 , 2 , 3 )  =  = ,则有 ( )
(A) I
1
 I
2
 I
3
. (B) I
3
 I
2
 I
1
. (C) I
2
 I
3
 I
1
. (D) I
2
 I
1
 I
3
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13. 曲线
第 41 页，共121页
y s in
32
x ( 0 x )  =   与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积为 ( )
(A)
4
3
4
. (B) . (C)
3
4
3
2
2
 . (D) .
3
14. 
x 2
x
−
+
6 x
5
+ 1 3
d x = _________ .
15. 
a r c s in
2 x
x
d x = _________ .严选题 · 3. 一元函数积分学
16.
第 42 页，共121页

( x
x 2
+
x e
2 ) 2
d x = _________ .
17. 设 f (x) 是连续函数,且 
x
0
3 − 1
f ( t ) d t = x − 1 ,则 f ( 7 ) = _________ .
18. 设 f ( x )
1
是连续函数,且 f (x)=x+2 f (t)dt ,则 f (x)=_________ .
0严选题 · 3. 一元函数积分学
19.
第 43 页，共121页

1
0 ( 2 − x
x
2
d
)
x
1 − x 2
= _________ . 20.
0
2
x c o s x d x

 = _________ .
21. 2
2
c o s 2 x xe0 2t d t s in 2 x d x



−
 +  −  = 22.
0
x c o s 2 x c o s 4 x d x   − = _________ .
23. 设 a0 ,则 
2
0
a
x 2 a x − x 2 d x = _________ .严选题 · 3. 一元函数积分学
24. 设
第 44 页，共121页
f ( x ) x
0
f ( x ) c o s x d x

= −  ,则 f ( x ) = _________ .
25. 设 f ( x ) 为连续函数,且 
x
0
f ( t ) d t = 3 x 3 − x 
1
− 1
f ( t ) d t ,则 f ( x ) = _________ .
26. lim
n
1
n 2
n 2 1 n 2 2 2 n 2 ( n 1 ) 2
 →
 − + − + + − −  = _________ .严选题 · 3. 一元函数积分学
1  2 n
27. lim  1+cos + 1+cos + + 1+cos =_________ .
 
n→n

n n n

28.
第 45 页，共121页
lim
n
1
e0 x s in n x d x
 →
 − = _________ .
29. 设函数 f (x) 连续,且  x
0
f ( t − x ) d t = ( 1 + x 2 ) x − 1 1 ,则  f (x)dx=_________ .
−1严选题 · 3. 一元函数积分学
x
30. 若  f (t)dt=xe−x ,则
0
第 46 页，共121页
1
f ( ln
x
x )
d x


+
= _________ .
31.
2 ( x 7
d
)
x
x 2


+
+ −
= _________ .
32. 函数 y =
1
x
−
2
x 2
在区间
 1
2
,
2
3 
上的平均值为_________ .严选题 · 3. 一元函数积分学
33. 由曲线
第 47 页，共121页
y = x +
1
x
, x = 2 及 y = 2 所围图形的面积 S =_________ .
34. 设曲线的极坐标方程为 r e a ( a 0 )  =  ,则该曲线上相应于  从 0 变到 2  的一段弧
与极轴所围成的图形的面积为_________ .
35. (数学三不要求)曲线 y
xta
0
n td t 0 x
4

= 

 

的弧长s=_________ .严选题 · 3. 一元函数积分学
36. (数学三不要求)一根长为1的细棒位于
第 48 页，共121页
x 轴的区间  0 ,1  上,若其线密度 x 2 2 x 1  = − + + ,则
该细棒的质心坐标 x = _________ .
37. 计算 
1
0
f ( x
x
)
d x ,其中 f ( x ) = 
x
1
ln ( 1
t
+ t )
d t .
38. 计算积分 
3212
x
d x
− x 2
.严选题 · 3. 一元函数积分学
39. 求极限
第 49 页，共121页
lim
x → 0

x
0


u
0
2a
r
x
c ta n
( 1 −
( 1
c o
+
s x
t
)
) d t

d u
.
40. 设 f ( x ) 为非负连续函数,且 f ( x ) 
x
0
f ( x − t ) d t = s in 4 x
 
,求 f (x)在 0, 上的平均值.
 
 2
41. 设 f ( x ) 在x=a的某邻域内可导,且 f ( a )  0 ,求极限 lim
x → a

( x − a
1)
f ( a )
−
 x
a
f
1
( t ) d t

.严选题 · 3. 一元函数积分学
42. 函数
第 50 页，共121页
f ( x ) 在  0 , )  + 上可导, f ( 0 ) = 0 ,且其反函数为 g ( x ) ,若
x 2 ln ( 1 + x )

x
x
+ f ( x )g
( t − x ) d t =
,求 f ( x ) .
43. 设函数 S ( x ) = 
x
0
c o s t d t ,
(1) 当 n 为正整数,且 n x ( n 1 )     + 时,证明 2 n  S ( x )  2 ( n + 1 ) ;
(2) 求 lim
x
S (
x
x )
 → +
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取严选题 · 3. 一元函数积分学
44. (1) 比较
第 51 页，共121页
 1
0
ln t  ln ( 1 + t )  n d t 与  1 t0 n ln t d t ( n = 1 , 2 , ) 的大小,说明理由;
(2) 记 u
n
=  1
0
ln t  ln ( 1 + t )  n d t ( n = 1 , 2 , ) ,求极限 lim
n
u
n
 →
.
45. 设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,在 ( 0 ,1 ) 内可导,且满足 f ( 1 ) = k 
1
0
x e 1 − x f ( x ) d x ( k  1 ) .证明至少存在
一点 ( 0 ,1 )   ,使得 f()= ( 1−−1) f ().严选题 · 3. 一元函数积分学
46. 设函数
第 52 页，共121页
f ( x ) 在0,3上连续,在 ( 0 , 3 ) 内存在二阶导数,且 2 f ( 0 ) = 
2
0
f ( x ) d x = f ( 2 ) + f ( 3 ) .
(1) 证明存在 ( 0 , 2 )   ,使得 f ( ) f ( 0 )  = ;
(2) 证明存在 ( 0 , 3 )   ,使得 f ( ) 0   = .
47. 设 f ( x ) 在  0 , a  ( a  0 ) 上连续,且 
a
0
f ( x ) d x = 0 .试证存在 ( 0 , a )   ,使得
f ( a ) f ( ) .   − = −
48. 设 f ( x ) 在  0 ,1  上连续,证明存在 ( 0 ,1 )  

,使  f (t)dt=(1−) f (); 若又设
0
f ( x )  0 且单调减少,则这种  是唯一的.严选题 · 3. 一元函数积分学
49.设
第 53 页，共121页
y = f ( x ) 是区间  0 ,1  上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在 x (0,1) ,使得在区间 0,x  上以 f (x ) 为高的矩形面积,等于在区间
0 0 0
 x
0
,1  上以 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形面积;
(2) 又设 f ( x ) 在区间 ( 0 ,1 ) 内可导,且 f  ( x )  −
2 f (
x
x )
,证明(1)中的 x
0
是唯一的.
50. 设函数 f ( x ) 在  0 ,1  上有连续一阶导数,且 f (0)=0 ,试证至少存在一点 0,1 ,
使 f ( ) 2
1
0
f ( x ) d x   = 严选题 · 3. 一元函数积分学
51.设函数
第 54 页，共121页
f ( x ) 在  − l , l  上连续,在 x = 0 处可导,且 f  ( 0 )  0 .
(1) 证明 对任意x(0,l),至少存在(0,1),使得
x
0
f ( t ) d t
0
x
f ( t ) d t x f ( x ) f ( x )    + 
−
=  − −  ;
(2) 求极限 lim
x 0

→ +
.
52. 设 f ( x ) 在  0 , 2   上具有二阶连续导数,且 f  ( x )  0 ,证明:
2
0
f ( x ) c o s x d x 0

  .严选题 · 3. 一元函数积分学
53. 设函数
第 55 页，共121页
f ( x ) 在区间  0 ,1  上可导,且 f  ( x )  M ,证明 
1
0
f ( x ) d x −
1
n
k
n
= 1
f
 k
n


M
2 n
.
54. 设 f ( x ) 满足 f ( 1 ) = 1 , f  ( x ) =
x 2 +
1
f 2 ( x )
( x  1 ) ,试证 lim
x
f ( x )
 → +
存在且不超过 1
4

+严选题 · 3. 一元函数积分学
55. (数学三不要求) 一容器的内侧是由图中曲线绕
第 56 页，共121页
y 轴旋转一周而成的曲面,该曲线由
x 2 + y 2 = 2 y

y 
1
2
  1
与 x2 + y2 =1 y 连接而成.
 
 2
(1) 求容器的容积;
(2) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功? (长度单位: m ,重力
加速度为 gm/s2 ,水的密度为 103kg/m3 ).
56. (数学三不要求) 设曲线 L 的方程为 y =
1
4
x 2 −
1
2
ln x ( 1  x  e ) .
(1) 求 L 的弧长;
(2) 设 D 是由曲线 L ,直线 x = 1 , x = e 及 x 轴所围成的平面图形. 求 D 的形心的
横坐标.严选题 · 3. 一元函数积分学
57. 求曲线
第 57 页，共121页
y = 3 − x 2 − 1 与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y = 3 旋转所得的旋转体体积.
58. 设有抛物线  : y = a − b x 2 ( a  0 , b  0 ) ,试确定常数 a,b 的值,使得
(1)  与直线 y = x + 1 相切;
(2)  与 x 轴所围图形绕 y 轴旋转所得旋转体体积最大.
59. 设曲线 y =
1
x
与直线 y = x 及 y = 2 所围区域为 D ,
(1) 求区域 D 分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积;
(2) 求区域 D 分别绕 x = 2 和 y = 2 旋转所得旋转体的体积.严选题 · 3. 一元函数积分学
60. 求曲线
第 58 页，共121页
y = x 2 与直线 y = x 所围区域 D 绕直线 y = x 旋转一周所得旋转体的体积.
61. 设平面域 D 由曲线 r ( 1 c o s )  = + 所围成,试求
(1) 区域 D ;
(2) 区域 D 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积.严选题 · 4. 常微分方程
第四章 常微分方程
1. 已知函数
第 59 页，共121页
y = y ( x ) 在任意点处的增量 y
1
y x
x 2
  =
+

+ ,且当  x → 0 时,  是  x 的
高阶无穷小, y ( 0 )  = ,则 y ( 1 ) 等于 ( )

(A) 2. (B) . (C) e4. (D) e 4

 .
2.方程 y  + 2 y  + y = 3 x e − x 的特解形式为 ( )
(A) A x e − x . (B) ( A x + B ) e − x . (C) ( A x + B ) x e − x . (D) ( A x + B ) x 2 e − x .
3. 具有特解 y
1
= e − x , y
2
= 2 x e − x , y
3
= 3 e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )
(A) y−y−y+ y=0. (B) y+ y−y−y=0.
(C) y−6y+11y−6y=0. (D) y−2y−y+2y=0.严选题 · 4. 常微分方程
4.微分方程
第 60 页，共121页
y  − 4 y  + 8 y = e 2 x ( 1 + c o s 2 x ) 的特解可设为 y * = ( )
(A) A e 2 x + e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (B) A x e 2 x + e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) .
(C) A e 2 x + x e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) . (D) A x e 2 x + x e 2 x ( B c o s 2 x + C s in 2 x ) .
5.函数 y = C
1
e x + C
2
e − 2 x + x e x 满足的一个微分方程是 ( )
(A) y  − y  − 2 y = 3 x e x . (B) y−y−2y=3ex.
(C) y  + y  − 2 y = 3 x e x . (D) y  + y  − 2 y = 3 e x .
6. 在下列微分方程中,以 y = C
1
e x + C
2
c o s 2 x + C
3
s in 2 x ( C
1
, C
2
, C
3
为任意常数)为通解的是( )
(A) y  + y  − 4 y  − 4 y = 0 . (B) y  + y  + 4 y  + 4 y = 0 .
(C) y  − y  − 4 y  + 4 y = 0 . (D) y  − y  + 4 y  − 4 y = 0 .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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7.微分方程
第 61 页，共121页
y 2 y e x e x ( 0 )      − = + −  的特解形式为 ( )
(A) a ( ex +e−x) . (B) a x ( e x e x )   + − . (C) x ( a e x b e x )   + − . (D) x 2 ( a e x b e x )   + − .
8. 方程 x ln x d y + ( y − ln x ) d x = 0 满足初始条件 y
x = c
= 1 的特解为_________ .
9. 微分方程 ( y + x 3 ) d x − 2 x d y = 0 满足 y
x = 1
= 6
5
的特解为_________ .严选题 · 4. 常微分方程
 x 
−
10. 方程 1+e yydx+(y−x)dy=0 的通解为_________ .
 
 
11. 已知方程
第 62 页，共121页
y  + a y  + b y = 0 的通解为 y = C
1
e x + C
2
e − x ,则方程 y  + a y  + b y = e x 满 足初
始条件 y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) =
3
2
的特解为_________ .
12.方程 y  + y = x + c o s x 的通解为_________ .严选题 · 4. 常微分方程
13. 设函数
第 63 页，共121页
y ( x ) 满足 y  + ( x − 1 ) y  + x 2 y = e x ,且 y  ( 0 ) = 1 .若 lim
x → 0
y ( x
x
)2 − x
= a ,则 a = _________ .
14.二阶常系数非齐次线性微分方程 y  − 4 y  + 3 y = 2 e 2 x 的通解为_________ .
15.三阶常系数线性齐次微分方程 y  − 2 y  + y  − 2 y = 0 的通解为_________ .
16.(仅数三要求)差分方程 2 y
t+ 1
+ 1 0 y
t
− 5 t = 0 的通解为_________ .严选题 · 4. 常微分方程
17.(仅数三要求)差分方程
第 64 页，共121页
y
t+ 1
− 2 y
t
= 4 ( 3 + t ) 2 t 的通解为_________ .
18. 设函数 y = y ( x ) 满足微分方程 y  − 3 y  + 2 y = 2 e x ,且其图形在点 ( 0 ,1 ) 处的切线与曲
线 y = x 2 − x + 1 在该点的切线重合,求函数 y = y ( x ) .
19. 已知 y
1
= 3 , y
2
= 3 + x 2 , y
3
= 3 + e x 是某二阶线性非齐次方程的三个特解,求该微 分方程及
通解.20. 求微分方程 y  + ( x + e 2 y ) y '3 = 0 的通解.严选题 · 4. 常微分方程
21.设函数
第 65 页，共121页
f ( x ) 具有连续的一阶导数,且满足 f ( x ) =  x
0
( x 2 − t 2 ) f  ( t ) d t + x 2 .求 f ( x ) 的表达式.
22. 设 f ( x )
x x
连续,且满足  f (t)dt=x+ tf (x−t)dt ,求
0 0
f ( x ) .
23. 设 f ( x ) 为连续函数,且满足 f ( x ) = e x + e x  x
0
 f ( t )  2 d t . 试求 f ( x ) .严选题 · 4. 常微分方程
24. 函数 f (x) 在 0,+) 上可导, f (0)=1 ,且满足等式
第 66 页，共121页
f  ( x ) + f ( x ) −
x
1
+ 1

x
0
f ( t ) d t = 0
(1) 求导数 f  ( x ) ;
(2) 证明: 当 x  0 时,不等式 e − x  f ( x )  1 成立.
25. 设 f ( x ) 连续,且 f (t)= ( x2 + y2) f ( x2 +y2 ) dxdy+t4(t0) ,求
x2+y2t2
f ( x ) .
26. 设 f ( x ) 在 ( , )   − + 上有定义, f  ( 0 ) = 2 ,对任意的x,y有 f ( x + y ) = e x f ( y ) + e y f ( x ) ,
求 f (x).严选题 · 4. 常微分方程
27. 设
第 67 页，共121页
f ( x ) 在 1 , )  + 上有连续二阶导数, f ( 1 ) = 0 , f  ( 1 ) = 1 ,且 z = ( x 2 + y 2 ) f ( x 2 + y 2 ) 满足


2
x
z
+


2
y
z
= 0 ,求 f ( x ) 在 1 , )  + 上的最大值.
28. 设函数 u ( x , y ) 的全微分 d u =  e x + f  ( x )  y d x + f ( x ) d y ,其中 f 具有二阶连续的导数,且
f ( 0 ) = 4 , f  ( 0 ) = 3 ,求 f ( x ) 及 u ( x , y ) .
29. 求过原点的曲线 y = y ( x ) ,使曲线上任一点 P 的法线段 P Q ( Q 是过P点作曲线法线与 x
轴的交点)的中点位于抛物线 2 y 2 = x 上.严选题 · 4. 常微分方程
30. 设函数 f (x)在0,1上连续,在(0,1)内大于零,且满足微分方程
第 68 页，共121页
x f  ( x ) = f ( x ) +
3
2
a x 2 .曲线
y = f ( x ) 与直线 x = 1 , y = 0 所围成区域 D 的面积为 2,求
(1) f ( x ) ;
(2) 使 D 绕 x 轴旋转一周而成旋转体体积为最小的 a .
31.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内, L 上任一点 M 处的切线与 y 轴总相交,
交点记为 A. 已知 M A = O A ,且 L 过点
 3
2
,
3
2

,求 L 的方程.严选题 · 4. 常微分方程
32. (数学三不要求) 在上半平面一条向下凸的曲线,其上任一点
第 69 页，共121页
P ( x , y ) 处的曲率等于此曲
线在该点的法线段 P Q 长度的倒数 ( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点 (1,1) 处的切
线与 x 轴平行.
33.设 L 是一条平面曲线,其上任意一点 P(x,y)(x0) 到坐标原点的距离,恒等于 该点处
的切线在 y 轴上的截距,且 L
1 
经过点 ,0 .  
2 
(1) 试求曲线 L 的方程;
(2) 设 L 位于第一象限部分的一条切线,使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积
最小.严选题 · 4. 常微分方程
34. 设
第 70 页，共121页
y = y ( x ) 是区间(−,)内过点
2
,
2
  
−

的光滑曲线.当 x 0  −   时,曲线上任一点处
的法线都过原点;当 0 x    时,函数 y ( x ) 满足 y  + y + x = 0 .求函数 y ( x ) 的表达式.
35.已知曲线 L :
x
y
f
c o
( ) t ,
s t ,
, 0 t
2
  =
=

 

,其中函数 f ( t ) 具有连续导数,且 f (0)=0,
 
f(t)0 0t .若曲线  
 2
L 的切线与 x 轴的交点到切点的距离恒为1,求函数 f ( t ) 的表达式,
并求以曲线 L 及x轴和 y 轴为边界的区域的面积.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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36. 在
第 71 页，共121页
x O y 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M ( 1 , 0 ) ,其上任意点 P ( x , y ) ( x  0 ) 处的切线斜率与直
线OP的斜率之差等于 a x (常数 a  0 ).
(1) 求 L 的方程;
(2) 当 L 与直线 y = a x 所围成平面图形的面积为
8
3
时,确定 a 的值.严选题 · 5. 多元函数微分学
第五章 多元函数微分学
1.已知
第 72 页，共121页
f ( x , y ) = e x 2 + y 4 ,则 ( )
(A) f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 都存在. (B) f 'x ( 0 , 0 ) 不存在, f 'y ( 0 , 0 ) 存在.
(C) f 'x ( 0 , 0 ) 存在, f 'y ( 0 , 0 ) 不存在. (D) f 'x ( 0 , 0 ) , f 'y ( 0 , 0 ) 都不存在.
2.设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x
0
, y
0
) 处有 f'(x ,y )=a, f'(x ,y )=b,则下列结论正确的是 ( )
x 0 0 y 0 0
(A) lim
x →
y →
x0y0
f ( x , y ) 存在,但 f ( x , y ) 在 ( x
0
, y
0
) 处不一定连续.
(B) f ( x , y ) 在 (x ,y ) 处连续.
0 0
(C) d z
( x0 ,y0 )
= a d x + b d y .
(D) lim
x → x0
f ( x , y
0
) 及 lim f (x ,y) 都存在且相等.
0
y→y
0严选题 · 5. 多元函数微分学
3. 设
第 73 页，共121页
f ( x , y ) =

x
x y
2 +
0 ,
y 2
, (
(
x
x
,
,
y
y
)
)

=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
,
,
则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处 ( )
(A) 两个偏导数不存在. (B) 两个偏导数存在但不可微.
(C) 偏导数连续. (D) 可微但偏导数不连续.
4. 设 f ( x , y ) =
 ( x 2 + y 2 ) s in
0 ,
x 2
1
+ y 2
, (
(
x
x
,
,
y
y
)
)

=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
,
,
则 f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 处( )
(A) 两个偏导数不存在. (B) 两个偏导数存在但不可微.
(C) 偏导数连续. (D) 可微但偏导数不连续.
5. 设函数 f ( x , y ) 可微,且对任意 x , y 都有
 f (

x
x
, y )
 0 ,
 f (

x
y
, y )
 0 ,则使不等式
f (x ,y ) f (x ,y ) 成立的一个充分条件是 ( )
1 1 2 2
(A) x
1
 x
2
, y
1
 y
2
. (B) x
1
 x
2
, y
1
 y
2
.
(C) x
1
 x
2
, y
1
 y
2
. (D) x
1
 x
2
, y
1
 y
2
.严选题 · 5. 多元函数微分学
f f
6. 设可微函数 f (x,y) 满足 1, −1, f (0,0)=0 ,则下列结论正确的是 ( )
x y
(A)
第 74 页，共121页
f ( 1 ,1 )  1 . (B) f ( − 1 ,1 )  − 2 .
(C) f ( − 1 , − 1 )  0 . (D) f ( 1 , − 1 )  2 .
7. 设函数 f ( x , y ) 满足


f
x
 0 ,


f
y
 1 ,则下列结论正确的是 ( )
(A) f ( 0 , 0 )  f ( 1 , 0 ) . (B) f ( x , 2 )  f ( x ,1 ) .
(C) f ( − 1 ,1 )  f ( 0 , 0 ) + 1 . (D) f ( 1 , − 1 )  f ( 0 , 0 ) + 1 .
8. 设函数 f ( x , y )
f (x,y)− ( x2 + y2)
在点 (0,0) 的某邻域内有定义,且 lim =1 , 则
(x,y)→(0,0) x2 + y2
f (x,y) 在点 (0,0) 处 ( )
(A) 连续. (B) 两个偏导数都不存在.
(C) 两个偏导数存在但不可微. (D) 可微.严选题 · 5. 多元函数微分学
9. 已知
第 75 页，共121页
f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 )
f (x,y)+2x−y+x2 +y2
点连续,且 lim =0 ,则下列结论 不
(x,y)→(0,0) x2 +y2
正确的是 ( )
(A) f ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 点可微. (B) f 'x ( 0 , 0 ) = − 2 .
(C) f 'y ( 0 , 0 ) = 1 . (D) f 'x ( 0 , 0 ) 和 f 'y ( 0 , 0 ) 都不一定存在.
10. 设满足


2
y
z
2
= 2 ,且 f ( x , 0 ) = 1 , f 'y ( x , 0 ) = x 则 f ( x , y ) 等于 ( )
(A) 1 − x y + y 2 . (B) 1 + x y + y 2 . (C) 1 − x 2 y + y 2 . (D) 1 + x 2 y + y 2 .
11. 已知函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 某邻域内连续,且 lim
x
y
0
0
f ( x , y )
x 2
( x 2
y 2
y 2 )
0 
→
→
−
+
+
=  ,则 ( )
(A) 点 ( 0 , 0 ) 是 f (x,y) 的驻点但不是极值点.
(B) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的极大值点但不是驻点.
(C) 点 (0,0) 是 f (x,y) 的极小值点但不是驻点.
(D) 根据所给条件无法判断点 (0,0) 是否为 f (x,y) 的极值点.严选题 · 5. 多元函数微分学
12.设函数
第 76 页，共121页
z = f ( x , y ) 的全微分为 d z = x d x + y d y ,则点 ( 0 , 0 ) ( )
(A) 不是 f (x,y) 的连续点. (B) 不是 f (x,y) 的极值点.
(C) 是 f ( x , y ) 的极大值点. (D) 是 f ( x , y ) 的极小值点.
13.设函数 f ( x ) 具有二阶连续导数,且 f ( x )  0 , f  ( 0 ) = 0 ,则函数 z = f ( x ) ln f ( y ) 在点
( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是（）
(A) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (B) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 .
(C) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 . (D) f ( 0 )  1 , f  ( 0 )  0 .
14. 设函数 f ( x ) , g ( x ) 均有二阶连续导数,满足 f ( 0 )  0 , g ( 0 )  0 ,且 f  ( 0 ) = g  ( 0 ) = 0 ,
则函数 z = f ( x ) g ( y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处取得极小值的一个充分条件是 ( )
(A) f(0)0,g(0)0. (B) f(0)0,g(0)0.
(C) f(0)0,g(0)0. (D) f(0)0,g(0)0.严选题 · 5. 多元函数微分学
15. 设
第 77 页，共121页
F ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,且F(x ,y )=0,F'(x ,y )=0,F'(x ,y )0.若一元函数
0 0 x 0 0 y 0 0
y = y ( x ) 是由方程F(x,y)=0所确定的在点 ( x
0
, y
0
) 附近的隐函数,则 x
0
是函数 y = y ( x ) 的极小
值点的一个充分条件是（ )
(A) F ''x
x
( x
0
, y
0
)  0 . (B) F ''x
x
( x
0
, y
0
)  0 .
(C) F ''y
y
( x
0
, y
0
)  0 . (D) F ''y
y
( x
0
, y
0
)  0 .
16. 设函数 u ( x , y ) 在有界闭区域 D 上连续,在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数,且满 足
2  u
 x  y
 0 及


2
x
u
2
+


2
y
u
2
= 0 ,则 ( )
(A) u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得.
(B) u ( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得.
(C) u ( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得,最小值都在 D 的边界上取得.
(D) u ( x , y ) 的最小值在 D 的内部取得,最大值都在 D 的边界上取得.
17. 设 z =
x c o
1
s
+
( y
s
−
in
1
x
)
+
−
s
(
in
y
(
−
y
1
−
) c
1
o
)
s x z
,则 =_________ .
y
(0,1)严选题 · 5. 多元函数微分学
18. 设
第 78 页，共121页
z = a r c ta n ( x y 2 ) ,则 
 y
2 z
 x
(0 ,1 )
= _________ .
19. 设 z=
( x+ey)x
,则


z
x
(1 ,0 )
= _________ .
20. 设函数 z =

1 +
x
y

xy
,则 d z
(1,1 )
= _________ .
21. 设函数 z = z ( x , y ) 由方程 ( z + y ) x = x y 确定,则


z
x
(1 ,2 )
= _________ .严选题 · 5. 多元函数微分学
22. 设
第 79 页，共121页
u = x 2 e y z 3 ,其中 z = z ( x , y ) 由方程 x 3 + y 3 + z 3 − 3 x y z = 0 所确定,则 d u
x = − 1 ,y = 0
= _________ .
23. 设 z = f ( x , y )
2z
满足 =x+ y ,且
xy
f ( x , 0 ) = x , f ( 0 , y ) = y 2 ,则 f ( x , y ) = _________ .
24. 设 u ( x , y ) 有连续二阶偏导数,


2
x
u
2
=


2
y
u
2
,且 u ( x , 2 x ) = x , u
1
( x , 2 x ) = x 2 ,则 u ''1
1
( x , 2 x ) = ______ .严选题 · 5. 多元函数微分学
25. 设函数
第 80 页，共121页
z = z ( x , y )
 z z
由方程 Fx+ ,y+ =0 确定,则
 y x
x


z
x
+ y


z
y
= _________ .
f (x +2t,y )− f (x ,y −t)
26. 已知 df (x,y) =2dx+dy ,则 lim 0 0 0 0 =_________ .
(x 0 ,y 0 ) t→0 t
27. 已知函数 z = f ( x , y ) 连续且满足 lim
x →
y →
1
0
f ( x ,
(
y
x
)
−
−
1
x
) 2
+
+
2 y
y 2
+ 2
= 0 ,则 lim
t→ 0
f ( 1 + t , 0 )
t
− f ( 1 , 2 t )
=
________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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28. 设
第 81 页，共121页
z = 
1
0
x y − t f ( t ) d t , 0  x  1 , 0  y  1 ,其中 f ( x ) 为连续函数,则 z ''xx + z ''yy = _________ .
29. 设 u = f ( x , y , z ) , z = ln x 2 + y 2 ,求


u
x
,


2
x
u
2
,其中 f 有二阶连续偏导数.
30. 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( 1 ,1 ) 处可微且 f ( 1 ,1 ) 1 ,
f
x
(1 ,1 )
2 ,
f
y
(1 ,1 )
3 , ( x )  =


=


= = f x,f (x,x) ,
 
d
求 3(x) .
dx
x=1严选题 · 5. 多元函数微分学
31. 设
第 82 页，共121页
u = f ( x , y , z ) 有连续的一阶偏导数,又函数 y = y ( x ) 及 z= z(x) 分别由
e xy − x y = 2 和 e x = 
x
0
− z s in
t
t
d t 确定. 求
d
d
u
x
.
u=x−2y,
32. 设变换 (a−2),可把方程
v=x+ay.
6


2
x
z
2
+

 x
2

z
y
−


2
y
z
2
= 0 简化为

 u
2 z
 v
= 0 ,求常数 a .
33. 设函数 f ( u ) 有连续一阶导数, f ( 0 ) = 2 ,且 z = x f
 y
x

+ y f
 y
x

满足


z
x
+


z
y
=
y
x
( x  0 ) ,求
z 的表达式.严选题 · 5. 多元函数微分学
34. 设函数
第 83 页，共121页
f ( x , y )
2f
有连续二阶偏导数.满足 =0,且在极坐标系下可表示成
xy
f ( x , y ) = g ( r ) ,其中 r = x 2 + y 2 ,求 f (x,y).
35. 设 z = f
(
x 2 + y 2
)
具有二阶连续偏导数,且


2
x
z
2
+


2
y
z
2
−
1
x


z
x
+ z = x 2 + y 2 ,试求函数
z 的表达式.
36.求函数 f (x,y)=x4 + y4 −(x+ y)2 的极值.严选题 · 5. 多元函数微分学
37.求二元函数 f
(x,y)=x2( 2+y2)
+ylny 的极值.
38. 设函数
第 84 页，共121页
z = f ( x y , y g ( x ) ) ,其中 f 函数具有二阶连续偏导数,函数 g ( x ) 可导且在
x = 1 处取得极值 g(1)=1 ,求

 x
2

z
y
(1 ,1 )
.
39. 已知函数 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, f ( 1 ,1 ) = 2 是 f ( u , v ) 的极值, z= f(x+ y,
f ( x , y ) ) . 求

 x
2

z
y
(1 ,1 )
.严选题 · 5. 多元函数微分学
40. 求由方程
第 85 页，共121页
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 + 8 x z − z + 8 = 0 所确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值点.
41.设 f ( x , y ) 有二阶连续偏导数, g ( x , y ) = f ( e xy , x 2 + y 2 ) ,且
o  ( x − 1 ) 2 + y 2 
f ( x , y ) = 1 − x − y +
,证明 g ( x , y ) 在 ( 0 , 0 ) 取得极值,判断此极值是极大值还是极小值,并求
出此极值.
42. 求函数 f ( x , y ) = x 2 + 2 y 2 − x 2 y 2 在区域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  4 , y  0  上的最大值 和最
小值.严选题 · 5. 多元函数微分学
43. 设函数
第 86 页，共121页
z = z ( x , y ) 的微分 d z = ( 2 x + 1 2 y ) d x + ( 1 2 x + 4 y ) d y ,且 z ( 0 , 0 ) = 0 ,求函数
z = z ( x , y ) 在 4 x 2 + y 2  2 5 上的最大值.
44. 求函数 u = x y + 2 y z 在约束条件 x 2 + y 2 + z 2 = 1 0 下的最大值和最小值.
45. 求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在约束条件 z = x 2 + y 2 和 x + y + z = 4 下的最大值与最小值.严选题 · 5. 多元函数微分学
46. 在椭圆
第 87 页，共121页
3 x 2 + 2 x y + 3 y 2 = 1 的第一象限部分上求一点,使该点的切线与两坐标轴所围成三
角形面积最小,并求面积的最小值.
47. (仅数学一要求) 已知曲线 C :
 x
x
2
+
+
y
y
+
2 −
3 z
2
=
z 2
5
=
.
0 ,
求 C 上距离 xOy 面最远的点和最近
的点.
48. (仅数学一要求) 求椭球面
2 x
3
+
y
2
2
+ z 2 = 1 被平面 x + y + z = 0 截得的椭圆长半轴与短
半轴之长.严选题 · 5. 多元函数微分学
49.已知
第 88 页，共121页
p  1 ,
1
p
+
1
q
= 1 , x , y  0 . 求证: x y 
x p
p
+
y
q
q
.
52.设 f ( x , y ) 在圆域 x 2 y 2 1 上有连续一阶偏导数,且 f ( x , y )  1 .求证在单位圆内至
少有一点 ( x
0
, y
0
) 可使
  f ( x

0
x
, y
0
)  2
+
  f ( x

0
y
, y
0
)  2
 1 6 .严选题 · 6. 二重积分
第六章 二重积分
1. (1) 设函数
第 89 页，共121页
f ( x , y ) 连续,则 
2d
1
x 
2
x
f ( x , y ) d y + 
2d
1
y 
4
y
− y
f ( x , y ) d x = ( )
(A) 
2d
1
x 
4
1
− x
f ( x , y ) d y . (B) 
2d
1
x 
4
x
− x
f ( x , y ) d y .
2 4−y
(C)  dy f (x,y)dx. (D)
1 1

2d
1
y 
2
y
f ( x , y ) d x .
(2) 设函数 f ( x , y )
 1
连续,则二次积分  dx f (x,y)dy 等于

sinx
2
( )
(A)
1
d0 y
arcsin y
f ( x , y ) d x


 
+
1 
. (B)  dy f (x,y)dx.
0 −arcsiny
1 +arcsiny 1 −arcsiny
(C)  dy f (x,y)dx. (D)  dy f (x,y)dx.
 
0 0
2 2
2. (1) 累次积分 2
4
d
2
0
sin
f ( r c o s , r s in ) r d r


  

  等于 ( )
2 2y−y2 1 2y−y2
(A)  dy f (x,y)dx. (B)  dy f (x,y)dx.
0 0 0 y
(C) 
1
d0 x 
2
x
f ( x , y ) d y . (D) 
1
d0 x 
1 +
x
1 − x 2
f ( x , y ) d y .严选题 · 6. 二重积分
(2) 累次积分
第 90 页，共121页
4
0
d
2
0
co s
f ( r c o s , r s in ) r d r


     等于 ( )
(A) 
1
d0 y 
y
2 y − y 2
f ( x , y ) d x .
1 1− 1−y2
(B)  dy f (x,y)dx .
0 y
(C) 
1
d0 x 
x
0
f ( x , y ) d y + 
2d
1
x 
0
1 − x 2
f ( x , y ) d y .
(D)
0
2
d r 4
0
f ( r c o s , r s in ) r d
2
2
d r
arcco
0
s
r2
f ( r c o s , r s in ) r d

        +   .
3. 设 f ( x , y ) 为连续函数,则 4
0
d
1
0
f ( r c o s , r s in ) r d r

     等于 ( )
(A) 
0
22
d x 
x
1 − x 2
f ( x , y ) d y
2 1−x2
. (B)  2dx f (x,y)dy.
0 0
(C) 
0
22
d y 
y
1 − y 2
f ( x , y ) d x . (D) 
0
22
y 
0
1 − y 2
f ( x , y ) d x .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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4. 设
第 91 页，共121页
f ( x , y ) 是连续函数,则 
1
d0 y 
1 −
−
y
1 − y 2
f ( x , y ) d x = ( )
(A) 
1
d0 x 
x
0
− 1
f ( x , y ) d y + 
0
−
d1 x 
0
1 − x 2
f ( x , y ) d y .
(B) 
1
d0 x 
1 −
0
x
f ( x , y ) d y + 
0
−
d1 x 
0
− 1 − x 2
f ( x , y ) d y .
(C) 2
0
d co
0
s
1
sin f ( r c o s , r s in ) d r
2
d
1
0
f ( r c o s , r s in ) d r


       

  + +   .
(D) 2
0
d co
0
s
1
sin f ( r c o s , r s in ) r d r
2
d
1
0
f ( r c o s , r s in ) r d r


       

  + +   .
5. 设区域 D 由曲线 y s in x , x
2
, y 1  = =  = 围成,则  
D
( x y 5 − 1 ) d x d y = ( )
(A) . (B) 2. (C) -2. (D) −.
6. 设 f ( x , y ) 连续,且 f (x,y)=xy+ f (x,y)dxdy ,其中
D
D 由 y=0,y=x2,x=1 所围
成,则 f ( x , y ) 等于 ( )
(A) x y
1
. (B) 2xy. (C) xy+ . (D) xy+1.
8严选题 · 6. 二重积分
7. 设
第 92 页，共121页
0  a  1 ,区域 D 由 x 轴, y 轴,直线 x + y = a 及 x+ y=1 所围成,
I
D
s in 2 ( x y )d , J
D
ln 3 ( x y )d , K
D
( x y ) d    =   + =   + =   + ,则 ( )
(A) I  K  J (B) K  J  I . (C) I  J  K . (D) J  I  K .
8. 设 I
x y 1
( x 2 y 3 )d , J
x 2 y 2 1
( x 4 y 4 )d , K
x 2 y 2 1
( x 3 y 2 ) d    =  
+ 
+ =  
+ 
− =  
+ 
− ,则 ( )
(A) I  J  K (B) I  K  J . (C) J  I  K . (D) K  J  I .
x+ y x+ y x+ y
9. 设 I = d,I = d,I = 3 d.其中D:(x−1)2 +(y−1)2 2.则( )
1 D 4 2 D 4 3 D 4
(A) I
1
 I
2
 I
3
. (B) I
2
 I
3
 I
1
. (C) I
1
 I
3
 I
2
. (D) I
3
 I
2
 I
1
.严选题 · 6. 二重积分
10. 如图 1 正方形 (x,y) x1, y 1  被其对角线划分为四个区域
D (k =1,2,3,4),I = ycosxdxdy ,则
k k
D
k
第 93 页，共121页
m1

a x
k  4
 I
k
 = ( )
(A) I
1
. (B) I
2
. (C) I
3
. (D) I
4
.
11. 设 D
k
是圆域 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  1  在第 k 象限的部分,记 I
k
( k = 1 , 2 , 3 , 4 )
=  
D
k
( y − x ) d x d y
,则 ( )
(A) I
1
 0 . (B) I
2
 0 . (C) I
3
 0 . (D) I
4
 0 .
 t dx x e−y2 dy
12.已知 lim 0 t =0 ,则 ( )
t→0+ t
1 1 1 1
(A) =1,= . (B) =2,= . (C) =2,=− . (D) =3,=− .
2 2 2 2严选题 · 6. 二重积分
13.交换积分次序
第 94 页，共121页

4d0
x 
2
4
x
x − x 2
f ( x , y ) d y = ________ .
14. 交换积分次序 
2d0
x 
x
2 x − x 2
f ( x , y ) d y = ________ .
15. 
1
d0 x 
1
x 2 1
x
+
y
y 3
d y = ________ .
16. 
1
d0 y 
y
y2
c o s x 2 d x + 
2d
1
y 
1
y2
c o s x 2 d x = ________ .严选题 · 6. 二重积分
17.
第 95 页，共121页

1
d0 y 
1
y
x 2 − y 2 d x = ________ .
18.  
x 2 + y 2  1
 ( x + 1 ) 2 + 2 y 2  d x d y = ________ .
19. 设 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1 
dxdy
,则  =________ .
D x2 + y2严选题 · 6. 二重积分
20.
第 96 页，共121页
I 2
0
d 2
0
co s ( r c o s 1 ) 3 r s in r d r

    =    − +  = ________ .
21. 求极限 lim
1

t
dx
t e−(x−y)2
dy=________ .
t→0+sin2t
0 x
22. 设 f ( t ) = 
td0
x 
x
x s in
y
y
d y ,则函数 f (t) 在区间 0, 上的最大值为________ .严选题 · 6. 二重积分
23. 求极限
第 97 页，共121页
lim
n
1
n
1
n
1
e y 2 d y
2
n
1
e y 2 d y
n
1
n
1
e y 2 d y
 →

 − +  − + + 
−
−

.
24. 求极限 lim
t→ 0 +
1
6 t
 td0 x  tsx in ( x y ) 2 d y .
1 y y
y 1 y
25.计算 2dy exdx+ dy exdx .
1 1 1
y
4 2 2严选题 · 6. 二重积分
26. 计算二重积分
第 98 页，共121页
D
x 2 y 2 1 d    + − ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  1 , 0  y  1  .
27. 计算二重积分  
D
m a x  x y ,1  d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2  .严选题 · 6. 二重积分
28. 设
第 99 页，共121页
D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  2 , x  0 , y  0  ,  1 + x 2 + y 2  表示不超过 1 + x 2 + y 2 的最大整数,
计算二重积分  
D
x y ( 1 + x 2 + y 2 ) d x d y .
29. 计算二重积分  
D
( x − y ) d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ ( x − 1 ) 2 + ( y − 1 ) 2  2 , y  x  .严选题 · 6. 二重积分
30. 计算二重积分 I = r2sin 1−r2cos2drd ,其中
D
第 100 页，共121页
D ( r , ) 0 r s e c , 0
4
.

   =

∣    

31. 计算二重积分
D 4 a
x
2
2
x
y
2
2
y 2
d   
−
+
−
,其中 D 是由曲线 y = − a + a 2 − x 2 ( a  0 ) 和直
线 y=−x 围成的区域.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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32. 计算二重积分
第 101 页，共121页
 
D
( x + y ) 3 d x d y ,其中 D 由曲线 x = 1 + y 2 与直线 x+ 2y=0 及
x − 2 y = 0 围成.
33. 计算  
D
( x + y 2 ) d x d y ,其中 D =  ( x , y )∣ x 2 + y 2  2 x + 2 y  .严选题 · 6. 二重积分
( )
34. 求  x2 + y2 + y d ,其中
D
第 102 页，共121页
D 是由圆 x 2 + y 2 = 4 和 ( x + 1 ) 2 + y 2 = 1 所围成的 平
面区域 (如图).
35. 计算二重积分  
D
e x x y d x d y ,其中 D 是以曲线 y = x , y =
1
x
及 y 轴为边界的 无
界区域.严选题 · 6. 二重积分
36. 计算积分
第 103 页，共121页
3
4
4
d
2
0
sin (
s in c o s 1 r 2 s in 2
)
r 2 d r


   

  + + .
37.计算积分  1
−
d1 x  1 +
x
1 − x 2 ( x 3 + 1 ) x 2 + y 2 d y .严选题 · 6. 二重积分
38. 设
第 104 页，共121页
f ( t ) =  td0 x  t
x
y 2 e − y 2 d y ,试证对一切的 t(−,+) ,有 0  f ( t )  1
2
.
39. 设 D =  ( x , y )∣ 0  x  2 , 0  y  2  .
(1) 计算 b= xy−1d;
D
(2) 设 f ( x , y ) 在 D 上连续,且
D
f ( x , y )d 0 ,
D
x y f ( x , y )d 1     =   = . 证明: 存在
( , ) D   使 f ( , )
1
b
  .严选题 · 6. 二重积分
40. 设
第 105 页，共121页
f ( x ) , g ( x ) 在  0 ,1  上连续,且同时单调增,证明
1  1  1 
 f (x)g(x)dx  f (x)dx  g(x)dx.
0  0  0 严选题 · 7. 无穷级数
第七章 无穷级数
1.下列命题正确的是 ( )
(A) 若正项级数
第 106 页，共121页
n 1
a
n


=
发散,则 a
n

1
n
( n  N ) .
(B) 若
n 1
( a
2 n 1
a
2 n
)


=
−
+ 收敛,则
n 1
a
n


=
收敛.
(C) 若
n 1
a
n


=
与
n 1
b
n


=
至少有一个发散,则
n 1
( a
n
b
n
)


=
+ 发散.
(D) 若
n 1
a
n
b
n


=
收敛,则
n 1
a 2n


=
与
n 1
b 2n


=
都收敛.
2.设有命题
① 若
n 1
a
n


=
收敛,则
n 1
( ) 1
n
n
a
n


=
−
收敛.
② 若正项级数
n 1
a
n


=
满足
a
na +
n
1  1 ( n = 1 , 2 , ) ,则
n 1
a
n


=
收敛.
u
③ 若 lim n =l0,则
n→v
n n 1
u
n


=
与
n 1
v
n


=
同敛散.
④ 若 a b c (n=1,2, ) 且
n n n
n 1
a
n


=

与 c 都收敛,则
n
n=1 n 1
b
n


=
收敛.
则上述命题中正确的个数为 ( )
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.严选题 · 7. 无穷级数
3. 设函数 f (x) 在 0,1 上连续,
第 107 页，共121页
a
n
= n 
1
n
n
n+
1
f ( x ) d x ( n = 1 , 2 , )

,则级数 a ( )
n
n=1
(A) 条件收敛. (B) 绝对收敛.
(C) 发散. (D) 敛散性与 f ( x ) 的增减性有关.
4. 设常数 p  0
 (−1)n−1
,则级数  ( )
ln ( en + p )
n=1
(A) 绝对收敛. (B) 条件收敛. (C) 发散. (D) 敛散性与 p 的取值有关.
5.下列命题正确的是 ( )
(A) 若 lim
n
a
b
n
n

 →
= ,则级数
n 1
a
n


=
发散可推得
n 1
b
n


=
发散.
(B) 若 lim
n
a
b
n
n
0
 →
= ,则级数
n 1
b
n


=
收敛可推得
n 1
a
n


=
收敛.
(C) 若 lima b =0 ,则级数
n n
n→
n 1
a
n


=
和
n 1
b
n


=
至少有一个收敛.

(D) 若 lima b =1 ,则级数 a 和
n n n
n→
n=1 n 1
b
n


=
至少有一个发散.严选题 · 7. 无穷级数

6.已知级数 a 收敛,则下列结论不正确的是（ ）
n
n=1
 
(A) (a +a ) 必收敛. (B) (a +a ) 必收敛.
n n+1 2n 2n+1
n=1 n=1
(C)
第 108 页，共121页
n 1
( a
2 n
a
2 n 1
)


=
−
+
必收敛. (D)
n 1
( a 2n a 2n
1
)


=
−
+
必收敛.
7. 设 a
n
 0 ( n = 1 , 2 , 3 , ) ,且
n 1
a
n
 
=
收敛,常数 0 ,
2
     ,则级数
n 1
( 1 ) n n ta n
n
a
2 n
  
=
−   ( )
(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 收敛性与  有关.
8. 设级数
n 1
u
n


=
收敛,则必收敛的级数为 ( )
(A)
n 1
( 1 ) n
u
nn


=
− . (B)
n 1
u 2n


=
. (C)
n 1
( u
2 n 1
u
2 n
)


=
−
−

. (D) (u +u ).
n n+1
n=1严选题 · 7. 无穷级数

9. 若级数 a 收敛,则级数（ ）
n
n=1
    a +a
(A)  a 收敛. (B) (−1)n a 收敛. (C) a a 收敛. (D)  n n+1 收敛.
n n n n+1 2
n=1 n=1 n=1 n=1
10. 设有两个数列
第 109 页，共121页
 a
n
 , b
n
 ,若 lim
n
a
n
0
 →
= ,则 ( )
(A) 当
n 1
b
n


=
收敛时,
n 1
a
n
b
n


=
收敛. (B) 当
n 1
b
n


=
发散时,
n 1
a
n
b
n


=
发散.
(C) 当
n 1
b
n


=
收敛时,
n 1
a 2n b 2n


=
收敛. (D) 当
n 1
b
n


=
发散时,
n 1
a 2n b 2n


=
发散.
11. 设 a
n
 0 , n = 1 , 2 , ,若
n 1
a
n


=
发散,
n 1
( 1 ) n 1 a
n


=
− − 收敛,则下列结论正确的是 ( )
   
(A) a 收敛, a 发散. (B) a 收敛, a 发散.
2n−1 2n 2n 2n−1
n=1 n=1 n=1 n=1
(C)
n 1
( a
2 n 1
a
2 n
)


=
−
+ 收敛. (D)
n 1
( a
2 n 1
a
2 n
)


=
−
− 收敛.严选题 · 7. 无穷级数
12. 设
第 110 页，共121页
 u
n
 是数列,则下列命题正确的是 ( )
(A) 若
n 1
u
n


=
收敛,则
n 1
( u
2 n 1
u
2 n
)


=
−
+ 收敛.
(B) 若
n 1
( u
2 n 1
u
2 n
)


=
−
+ 收敛,则
n 1
u
n


=
收敛.
 
(C) 若 u 收敛,则 (u −u ) 收敛.
n 2n−1 2n
n=1 n=1
(D) 若
n 1
( u
2 n 1
u
2 n
)


=
−
− 收敛,则
n 1
u
n


=
收敛.
13.已知级数
n 1
( 1 ) n n s in
1
n a


=
− 绝对收敛,级数
n 1
(
n
1
2
n )a 

=
−
−
条件收敛,则 ( )
(A) 0
1
2
   . (B)
1
2
1    (C) 1
3
2
   . (D)
3
2
2    .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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14. 设
第 111 页，共121页
 a
n
 为正项数列,下列选项正确的是 ( )
(A) 若 a
n
 a
n + 1
,则
n 1
( 1 ) n 1 a
n


=
− − 收敛.
(B) 若
n 1
( 1 ) n 1 a
n


=
− − 收敛,则 a
n
 a
n + 1
.

(C) 若 a 收敛,则存在常数
n
n=1
p  1 ,使 lim
n
n p a
n
 →
存在.
(D) 若存在常数 p  1 ,使 lim
n
n p a
n
 →
存在,则
n 1
a
n


=
收敛.
15. 若幂级数
n 0
a
n
( x 1 ) n


=
+ 在 x = 1 处收敛,则级数
n 0
a
n
( )


=
(A) 绝对收敛. (B) 条件收敛. (C) 发散. (D) 敛散性不定.严选题 · 7. 无穷级数
16. 设
第 112 页，共121页
n 1
( x
n
a ) n 

=
−
在 x = − 2 处条件收敛,则
n 1
n 2 ( x a ) n


=
−
1
在 x=ln 处（）
2
(A) 绝对收敛. (B) 条件收敛. (C) 必发散. (D) 敛散性由 a 确定.
17. 设数列  a
n
 单调减少, lim
n
a
n
0 , S
n
k
n
1
a
k
( n 1 , 2 , )
 →
= = 
=
=

无界,则幂级数 a (x−1)n
n
n=1
的收敛域为 ( )
(A) ( − 1 ,1  . (B)  − 1 ,1 ) . (C)  0 , 2 ) . (D) ( 0 , 2  .
18. 设 a
n
 0 , p  1
 1  
,且 limnpen −1a =1 . 若a 收敛,则
  n n
n→
  n=1
p 的取值范围为________.严选题 · 7. 无穷级数
 
19. 设幂级数 a xn 的收敛半径为 3,则幂级数 na (x−1)n+1 的收敛区间为________.
n n
n=1 n=1
20. 已知幂级数
第 113 页，共121页
n 0
a
n
( x 2 ) n


=
+ 在 x = 0 处收敛,在 x=−4 处发散,则幂级数
n 0
a
n
( x 3 ) n


=
−
的收敛域为________.
21. 设正项数列  a
n
 单调减,且 lima lnn=1 ,则幂级数
n n→
n 1
( 1 )
n
n a
n ( x 1 ) n


=
−
+ 的收敛区 间
为________.严选题 · 7. 无穷级数
22. 已知级数
第 114 页，共121页
n 1
( 1 ) n a
n


=
− 条件收敛,则幂级数
n 1
( 1 )
n
n a
n ( x 1 ) n


=
−
+ 的收敛区间为________.
23. 设幂级数
n 1
a
n
x n


=
在 x=2 时条件收敛,则幂级数
n 1
a
n
x 2 n


=
的收敛域为________.
24. 幂级数
n 1
n
(
(
1
3
n )
n )
x n
2 n


=

−
− + 
的收敛域为________.严选题 · 7. 无穷级数
25.判定下列级数的敛散性
(1)
第 115 页，共121页
n 1 a
1
n n
( a 0 )



=
 . (2)
n 1 n
0
4 1
n
x 4 d x


=  +
.
(3)
n 1
n 3 2
3
(
n
1 ) n
n


=
 + −   n−1 1
. (4) (−1)n  .
n+1 n
n=1
26. 已知 y = y ( x ) 满足 y  = x + y ,且 y(0)=1 ,试讨论级数
n 1
y
1
n
1
1
n


=
  
− −

的敛散性.严选题 · 7. 无穷级数
27. 将
第 116 页，共121页
f ( x ) =
x 2 +
x
7 x + 6
在 x = 4 处展开为幂级数.
1
28. 将 ln 在
2+2x+x2
x = − 1 处展开为幂级数.
29. 将 a r c ta n
4
4
+
−
x
x
2
2
展开为 x 的幂级数.严选题 · 7. 无穷级数
 (−1)n+1
30. 求幂级数 x+2 x2n+1 的收敛域及和函数.
4n2 −1
n=1
31. 求幂级数
第 117 页，共121页
n 0
(
x
4
4
n
n
) !


=
的收敛域与和函数.
32. 求幂级数
n 1
( 1
n
n )(
2
1
n
x 2
1
n
)
1 

=
− −
−
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .严选题 · 7. 无穷级数
33.求级数
第 118 页，共121页
n 1
( 2 n
(
1
1
)
)( n
2
1
n 1 )


=
−
− −
+
的和.
34. 设 f ( x ) =
 1 +
x
x 2 a
1
r
,
c ta n x , x
x

=
0
0
,
.
试将 f (x)展开成 x 的幂级数,并求级数
n 1
1
( 1
4
n )
2 n


=
−
−
的和.
35. 设银行存款的年利率为 r = 0 .0 5 ,并依年复利计算. 某基金会希望通过存款 A 万元实现
第一年提取 19 万元,第二年提取 28 万元, , , ,第 n 年提取 ( 1 0 + 9 n ) 万元,并能按此
规律一直提取下去,问 A 至少应为多少万元?严选题 · 7. 无穷级数

36. 设幂级数 a xn 在 (−,+) 内收敛,其和函数 y(x) 满足
n
n=0
第 119 页，共121页
y  − 2 x y  − 4 y = 0 , y ( 0 ) = 0 , y  ( 0 ) = 1 .
(1) 证明 a
n + 2
=
n
2
+ 1
a
n
, n = 1 , 2 , .
(2) 求 y ( x ) 的表达式.
37. 设数列  a
n
 满足条件: a
0
= 3 , a
1
= 1 , a
n − 2
− n ( n − 1 ) a
n
= 0 ( n  2 ) , S ( x ) 是幂级数
n 0
a
n
x n


=
的和函数.
(1) 证明: S(x)−S(x)=0;
(2) 求 S ( x ) 的表达式.严选题 · 7. 无穷级数
1
38. 已知 a =1,a = ,且当
0 1 2
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n  2 ,有 n a
n
=
 1
2
+ ( n − 1 )

a
n − 1
. 证明当 x 1 时,幂级数
n 0
a
n
x n


=
收敛,并求其和函数.
39. 设幂级数
n 0
a
n
x n


=
的系数满足 a
0
= 2 , n a
n
= a
n − 1
+ n − 1 , n = 1 , 2 , 3 , ,求此幂级数的和函数
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40. 设 f (x)在x=0某邻域内有连续一阶导数,
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lim
x → 0
f (
x
x )
= 2 . 试证: 级数 

(−1)n f
1
条  
n
n=1
件收敛.