文档内容
§7.5 垂直关系
课标要求 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.掌握直线与
平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一条直线与一个平面
判定定理 内的两条相交直线垂直， ⇒l⊥α
那么该直线与此平面垂直
垂直于同一个平面的两条
性质定理 ⇒a∥b
直线平行
2.直线和平面的夹角
(1)定义：平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹
角，一条直线垂直于平面，我们说它们的夹角是直角；一条直线与平面平行，或在平面内
就说它们的夹角是0°.
(2)范围：.
3．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两
条射线，这两条射线的夹角称为二面角的平面角．
(3)二面角的范围： [0 ， π] ．
4．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
如果一个平面过另一个平面
判定定理 的垂线，那么这两个平面垂 ⇒α⊥β
直
两个平面垂直，如果一个平
面内有一条直线垂直于这两
性质定理 ⇒AB⊥α
个平面的交线，那么这条直
线与另一个平面垂直
常用结论
1．三垂线定理
若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直．
2．三垂线定理的逆定理
若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影
垂直．
3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × )
(2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )
(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )
(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.( × )
2．(多选)下列命题中不正确的是( )
A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a
B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β
C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案 ABD
解析 若直线a垂直于平面α，则直线a垂直于平面α内的所有直线，故C正确，其他选项
均不正确．
3．(2023·石嘴山模拟)如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周
上的任意一点(不与A，B重合)，则下列说法错误的是( )A．PA⊥平面ABC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥平面PBC
D．三棱锥P－ABC的四个面都是直角三角形
答案 C
解析 因为PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点(不
与A，B重合)，则PA⊥平面ABC，故A正确；
而BC⊂平面ABC，
则PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则有BC⊥平面PAC，故B正
确；
由A知，△PAB，△PAC都是直角三角形，
由B知，△ABC，△PBC都是直角三角形，故D正确；
假定AC⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，
即∠PCA＝90°，而在△PAC中∠PAC＝90°，矛盾，
所以AC⊥平面PBC不正确，故C错误．
4．过平面外一点P的斜线段是过这点的垂线段的倍，则斜线与平面α的夹角是________．
答案
解析 如图，连接AB，由PB⊥α，
知∠PAB是线段PA与平面α所成的角，
在Rt△PAB中，因为PA＝PB，
所以sin∠PAB＝＝，∠PAB∈，
所以∠PAB＝，
即线段PA与平面α的夹角为.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1 (2024·娄底模拟)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，点B 在底面ABC内的射影恰好是
1 1 1 1点C.
(1)若点D是AC的中点，且DA＝DB，证明：AB⊥CC ；
1
(2)已知BC ＝2，BC＝2，求△BCC 的周长．
1 1 1 1
(1)证明 ∵点B 在底面ABC内的投影是点C，
1
∴BC⊥平面ABC，
1
∵AB⊂平面ABC，∴BC⊥AB.
1
在△ABC中，DA＝DB＝DC，∴BC⊥AB，
∵BC∩BC＝C，BC，BC⊂平面BCC B，
1 1 1 1
∴AB⊥平面BCC B，
1 1
∵CC ⊂平面BCC B，∴AB⊥CC .
1 1 1 1
(2)解 如图，延长BC至点E，使BC＝CE，
连接C E，则BC 綊CE，四边形BCEC 为平行四边形，
1 1 1 1 1
则C E綊BC.
1 1
由(1)知BC⊥平面ABC，∴C E⊥平面ABC，
1 1
∵CE，BE⊂平面ABC，
∴C E⊥CE，C E⊥BE，
1 1
∵C E＝BC＝2，CE＝BC＝BC ＝2，BE＝4，
1 1 1 1
∴CC ＝＝4，BC ＝
1 1
＝2，
∴△BCC 的周长为2＋4＋2＝6＋2.
1
思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，
a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1 如图，已知正方体ABCD－ABC D.
1 1 1 1(1)求证：AC⊥BD；
1 1 1
(2)M，N分别为BD 与C D上的点，且MN⊥BD，MN⊥C D，求证：MN∥AC.
1 1 1 1 1 1 1
证明 (1)如图，连接AC .
1 1
因为CC ⊥平面ABC D，BD⊂平面ABC D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以CC ⊥BD.
1 1 1
因为四边形ABC D 是正方形，
1 1 1 1
所以AC ⊥BD.
1 1 1 1
又因为CC ∩AC ＝C ，AC ，CC ⊂平面AC C，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BD⊥平面AC C.
1 1 1 1
又因为AC⊂平面AC C，
1 1 1
所以AC⊥BD.
1 1 1
(2)如图，连接BA，AD.
1 1
因为BC ＝AD，BC ∥AD，
1 1 1 1
所以四边形ADC B 为平行四边形，
1 1
所以C D∥AB，
1 1
因为MN⊥C D，
1
所以MN⊥AB.
1
又因为MN⊥BD，AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以MN⊥平面ABD.
1 1
由(1)知AC⊥BD.
1 1 1
同理可得AC⊥AB.
1 1
又因为AB∩BD＝B，AB，BD⊂平面ABD，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AC⊥平面ABD.
1 1 1
所以MN∥AC.
1
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AC⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
1 1 1 1(1)证明：平面ACC A⊥平面BBC C；
1 1 1 1
(2)设AB＝AB，AA＝2，求四棱锥A－BBC C的高．
1 1 1 1 1
(1)证明 因为AC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
1
所以AC⊥BC，
1
又因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，
因为AC，AC⊂平面ACC A，AC∩AC＝C，
1 1 1 1
所以BC⊥平面ACC A，
1 1
又因为BC⊂平面BBC C，
1 1
所以平面ACC A⊥平面BBC C.
1 1 1 1
(2)解 如图，
过点A 作AO⊥CC 于点O.
1 1 1
因为平面ACC A⊥平面BBC C，平面ACC A∩平面BBC C＝CC ，AO⊂平面ACC A，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AO⊥平面BBC C，
1 1 1
所以四棱锥A－BBC C的高为AO.
1 1 1 1
因为AC⊥平面ABC，AC，BC⊂平面ABC，
1
所以AC⊥BC，AC⊥AC，
1 1
在Rt△ABC与Rt△ABC中，
1
因为AB＝AB，BC＝BC，
1
所以Rt△ABC≌Rt△ABC，
1
所以AC＝AC.
1
设AC＝AC＝x，则AC ＝x，
1 1 1
所以O为CC 中点，OC ＝AA＝1，
1 1 1
又因为AC⊥AC，
1
所以AC2＋AC2＝AA，
1
即x2＋x2＝22，解得x＝，
所以AO＝＝＝1，
1所以四棱锥A－BBC C的高为1.
1 1 1
思维升华 (1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．
(2)面面垂直性质的应用
①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直
线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
跟踪训练 2 (2023·邯郸模拟)如图，在四棱锥 P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝
2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：
(1)PA⊥平面ABCD；
(2)平面BEF∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥平面ABCD，
且PA⊂平面PAD，PA⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PA⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE，
∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴EF∥PD，
∵EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD，
∵BE∩EF＝E，BE，EF⊂平面BEF，
∴平面BEF∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，∴平行四边形ABED是矩形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
由(1)知PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，
∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF，∴CD⊥EF，
又∵BE∩EF＝E，∴CD⊥平面BEF，
∵CD⊂平面PCD，
∴平面BEF⊥平面PCD.
题型三 垂直关系的综合应用
例3 如图，已知ABCD－ABC D 是底面为正方形的长方体，∠ADA ＝60°，AD ＝4，点
1 1 1 1 1 1 1
P是AD 上的动点．
1
(1)试判断不论点P在AD 上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AADD，并证明你的结
1 1 1
论；
(2)当P为AD 的中点时，求异面直线AA 与BP夹角的余弦值；
1 1 1
(3)求PB 与平面AADD夹角的正切值的最大值．
1 1 1
解 (1)是．∵BA⊥平面AADD，BA⊂平面BPA，
1 1
∴平面BPA⊥平面AADD，
1 1
∴无论点P在AD 上的任何位置，都有平面BPA⊥平面AADD.
1 1 1
(2)过点P作PE⊥AD，垂足为E，连接BE，如图，
1 1 1
则PE∥AA，
1
∴∠BPE是异面直线AA 与BP的夹角．
1 1 1
在Rt△AAD 中，
1 1
∵∠ADA＝60°，
1 1
∴∠AAD＝30°，
1 1
∴AB＝AD＝AD＝2，
1 1 1 1 1
∴AE＝AD＝1，AA＝AD＝2，
1 1 1 1 1 1
∴PE＝AA＝，BE＝＝，
1 1
∴在Rt△BPE中，
1
BP＝＝2，
1∴cos∠BPE＝＝＝，
1
∴异面直线AA 与BP夹角的余弦值为.
1 1
(3)由(1)知，BA⊥平面AADD，
1 1 1 1
∴∠BPA 是PB 与平面AADD的夹角，
1 1 1 1 1
∴tan∠BPA＝＝，
1 1
∴当AP最小时，tan∠BPA 最大，
1 1 1
这时AP⊥AD，
1 1
AP＝＝，
1
得tan∠BPA＝，
1 1
即PB 与平面AADD夹角的正切值的最大值为.
1 1 1
cos θ＝cos θ·cos θ 的应用
1 2
已知AO是平面α的斜线，如图，A是斜足，OB⊥α，B是垂足，则直线AB是斜线AO在平
面α内的投影，设AC是α内的任一过点A的直线，且BC⊥AC，C为垂足，又设AO与直
线AB的夹角为θ，AB与AC的夹角是θ，AO与AC的夹角为θ，则cos θ＝cos θ·cos θ.
1 2 1 2
典例 如图，PA是平面α的斜线，∠BAC在平面α内，且∠BAC＝90°，又∠PAB＝∠PAC
＝60°，则PA与平面α的夹角为________．
答案 45°
解析 作P在α内的正投影O，则O在∠BAC的平分线上，∠PAO为PA与平面α的夹角，
所以cos∠PAC＝cos∠PAO·cos∠OAC，
所以cos 60°＝cos∠PAO·cos 45°，
所以cos∠PAO＝，故∠PAO＝45°，
所以PA与平面α的夹角为45°.
思维升华 (1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转
化．
(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．
跟踪训练3 (多选)如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体 E－ABCD－F，且该八面
体的各棱长均相等，则( )
A．异面直线AE与BC的夹角为60°
B．BD⊥CE
C．平面ABF∥平面CDE
D．直线AE与平面BDE的夹角为60°
答案 ABC
解析 因为BC∥AD，
所以∠EAD(或其补角)即为异面直线AE与BC的夹角，
又AD＝DE＝AE，所以∠EAD＝60°，
即异面直线AE与BC的夹角为60°，A正确；
连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心，连接EF，
根据正四棱锥的性质可知EF必过点O，且OE⊥平面ABCD，所以OE⊥BD，
又BD⊥AC，OE∩AC＝O，OE，AC⊂平面ACE，所以BD⊥平面ACE，
又CE⊂平面ACE，所以BD⊥CE，B正确；
由对称性可知OE＝OF，OA＝OC，
所以四边形AFCE为平行四边形，
所以AF∥CE，
又AF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，所以AF∥平面CDE，
同理BF∥平面CDE，
又AF∩BF＝F，AF，BF⊂平面ABF，
所以平面ABF∥平面CDE，C正确；
由AE＝AF，OE＝OF，得AO⊥EF，
在正方形ABCD中，AO⊥BD，
又BD∩EF＝O，所以AO⊥平面BEDF，
所以∠AEO即为直线AE与平面BDE的夹角，设该八面体的棱长为2，则AO＝AC＝＝，
所以EO＝＝＝AO，
所以∠AEO＝45°，D错误．
课时精练
一、单项选择题
1．若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为( )
A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面β
B．过点P垂直于直线l的直线在平面α内
C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内
D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
答案 B
解析 由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行
于平面β，因此A是真命题；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平
面α内，因此B是假命题；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D是真命题．
2．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的
投影O是△ABC的( )
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
答案 D
解析 如图所示，
因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，
所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA，
同理得OB⊥AC，
所以O是△ABC的垂心．
3.如图，在斜三棱柱ABC－ABC 中，∠BAC＝90°，BC ⊥AC，则C 在底面ABC内的投影
1 1 1 1 1
H必在( )A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
答案 A
解析 连接AC (图略)，
1
由AC⊥AB，AC⊥BC ，AB∩BC ＝B，得AC⊥平面ABC.
1 1 1
∵AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC.
1
∴C 在平面ABC内的投影H必在平面ABC 与平面ABC的交线AB上．
1 1
4．(2023·景德镇模拟)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题
错误的是( )
A．若m⊥α，n⊥β，且α∥β，则m∥n
B．若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n
C．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
答案 C
解析 由n⊥β且α∥β，可得n⊥α，
而垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故A正确；
由于α∥β，m⊥α，所以m⊥β，
又因为n∥β，则m⊥n，故B正确；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，
则m与n平行或异面，故C错误；
如图，设α∩β＝l，在平面β内作直线c⊥l，
又因为α⊥β，则c⊥α，
又m⊥α，所以m∥c，
因为n⊥β，c⊂β，
所以n⊥c，从而有m⊥n，故D正确．
5．刘徽注《九章算术·商功》“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”如图1解
释了由一个长方体得到“堑堵”“阳马”“鳖臑”的过程．堑堵是底面为直角三角形的直
棱柱；阳马是一条侧棱垂直于底面且底面为矩形的四棱锥；鳖臑是四个面都为直角三角形
的四面体．
在如图2所示由正方体ABCD－ABC D 得到的堑堵ABC－ABC 中，当点P在下列三个位
1 1 1 1 1 1 1
置：AA中点，AB中点，AC中点时，分别形成的四面体 P－ABC中，鳖臑的个数为(
1 1 1
)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 设正方体的棱长为a，
则由题意知，AC ＝AC＝a，AB＝a，AC＝a，当点P为AA的中点时，
1 1 1 1 1
因为PA⊥平面ABC，
则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.
由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，
则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC都是直角三角形，即此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为AB的中点时，
1
因为BC⊥平面ABBA，
1 1
所以BC⊥PB，BC⊥AB，
所以△PBC，△ABC为直角三角形．
因为四边形ABBA 是正方形，所以AP⊥BP，
1 1
则△PAB是直角三角形，
又AP⊥BC，BP∩BC＝B，
所以AP⊥平面PBC，
又PC⊂平面PBC，所以AP⊥PC，所以△PAC是直角三角形，
则此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为AC的中点时，
1
此时PA＝PC＝AC＝，
1
又AC＝a，
由勾股定理可知，△PAC不是直角三角形，
则此时四面体P－ABC不是鳖臑．
6．在正三棱锥A－BCD中，二面角A－BC－D的平面角为60°，则AC与平面BCD夹角的
正切值为( )
A. B. C. D．1
答案 C
解析 取BC的中点为E，△BCD的中心为G，连接AE，DE，CG，AG，
因为AB＝AC，BD＝CD，则AE⊥BC，DE⊥BC，
可得二面角A－BC－D的平面角为∠AED，即∠AED＝60°，
因为三棱锥A－BCD为正三棱锥，则AG⊥平面BCD，
且DE，CG⊂平面BCD，则AG⊥DE，AG⊥CG，
可得AG＝EG，CG＝DG＝2EG，
由AG⊥平面BCD，可知AC与平面BCD的夹角为∠ACG，
所以tan∠ACG＝＝＝.
二、多项选择题
7．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，点E，F分别是棱PA，
PB的中点，则下列结论正确的是( )
A．CD⊥PD
B．AB⊥PC
C．平面PBD⊥平面PAC
D．E，F，C，D四点共面
答案 AD
解析 如图所示，因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为底面ABCD是矩形，
所以CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD，故A正确；
因为CD∥AB，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又PC∩平面PAD＝P，
所以AB与PC不垂直，故B错误；
因为底面ABCD是矩形，
所以BD与AC不一定垂直，
则BD与平面PAC不一定垂直，所以平面PBD与平面PAC不一定垂直，故C错误；
因为点E，F分别是棱PA，PB的中点，
所以EF∥AB，
又AB∥CD，所以EF∥CD，
所以E，F，C，D四点共面，故D正确．
8.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝AB＝2，E为AB的中点，
以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝2.则下列说法正确的有(
)
A．CD⊥平面EDP
B．四棱锥P－EBCD外接球的体积为4π
C．二面角P－CD－B的大小为
D．直线PC与平面EDP夹角的正切值为
答案 ABC
解析 对于A，∵E为AB的中点，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形EBCD为平行四边形，又AB⊥BC，∴四边形EBCD为矩形，
∴CD⊥DE.
∵PD＝AD＝＝2，CD＝2，PC＝2，
∴PD2＋CD2＝PC2，∴CD⊥PD，
又PD∩DE＝D，PD，DE⊂平面EDP，
∴CD⊥平面EDP，A正确；
对于B，∵BC∥DE，AB⊥BC，
∴AE⊥DE，即PE⊥DE，
∵CD⊥平面EDP，PE⊂平面EDP，∴CD⊥PE，
又CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面EBCD，
∴PE⊥平面EBCD，
∵矩形EBCD的外接圆半径r＝×＝，
∴四棱锥P－EBCD的外接球半径R＝＝＝，
∴四棱锥P－EBCD外接球的体积V＝πR3＝4π，B正确；
对于C，∵CD⊥平面EDP，PD⊂平面EDP，
∴PD⊥CD；
又DE⊥CD，∴二面角P－CD－B的平面角为∠PDE，
∵PE⊥DE，PE＝DE＝2，∴∠PDE＝，
∴二面角P－CD－B的大小为，C正确；
对于D，∵CD⊥平面EDP，
∴∠CPD即为直线PC与平面EDP夹的角，
∵CD⊥PD，PD＝2，CD＝2，
∴tan∠CPD＝＝＝，
即直线PC与平面EDP夹角的正切值为，D错误．
三、填空题
9．在正方体ABCD－ABC D 的六个面中，与AA 垂直的平面有________个．
1 1 1 1 1
答案 2
解析 在正方体中，侧棱都和底面垂直，
故在正方体ABCD－ABC D 的六个面中，
1 1 1 1
与AA 垂直的平面有平面ABCD和平面ABC D，共两个．
1 1 1 1 110．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字
塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为，则它的侧棱与底面夹角的正切值约
为________．
答案
解析 画出如图所示示意图，
设底面边长为a，则塔高EF＝a，
AF＝AC＝a，
所以侧棱与底面的夹角∠EAF的正切值为＝＝.
11.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的
一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条
件即可)
答案 DM⊥PC(或MB⊥PC)
解析 连接AC，
因为底面ABCD各边都相等，
所以AC⊥BD，
因为PA⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，
所以PA⊥BD，
又AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，
因为PC⊂平面PAC，
所以BD⊥PC.
所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有PC⊥平面
MBD，
而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
12．在长方体ABCD－ABC D 中，已知AB＝2，BC＝t，若在线段AB上存在点E，使得
1 1 1 1
EC ⊥ED，则实数t的取值范围是 ________.
1
答案 (0,1]
解析 因为C C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C C⊥ED，
1 1
由EC ⊥ED，EC ∩C C＝C ，EC ，C C⊂平面ECC ，
1 1 1 1 1 1 1
可得ED⊥平面ECC ，
1
所以ED⊥EC，
在矩形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2，
则BE＝2－a，
由∠DEA＋∠CEB＝90°，
可得tan∠DEA·tan∠CEB＝·＝＝1，
即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，
当a＝1时，t2取得最大值1，
即t的最大值为1；
当a＝0或2时，t2取得最小值0，
但由于t>0，所以t的取值范围是(0,1]．
四、解答题
13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ABD
沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD.
求证：(1)CD⊥平面PBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
证明 (1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，
所以∠ABD＝∠ADB＝45°.
又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°.
又∠BCD＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD.因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，
所以CD⊥平面PBD.
(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP.
又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD.
又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.
14.如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD
＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.
(1)若M为PA的中点，求证：AC∥平面MDE；
(2)求直线PB与直线CD夹角的大小；
(3)设平面PAD∩平面EBC＝l，试判断l与平面ABCD能否垂直？并证明你的结论．
(1)证明 连接PC，交DE于点N，连接MN，
∵四边形PDCE为矩形，∴N为PC的中点，
在△PAC中，M，N分别为PA，PC的中点，
∴MN∥AC，
∵MN⊂平面MDE，AC⊄平面MDE，
∴AC∥平面MDE.
(2)解 ∵∠BAD＝∠ADC＝90°，∴AB∥CD，
∴∠PBA是直线PB与直线CD的夹角．
∵四边形PDCE为矩形，∴PD⊥CD，
∵平面PDCE⊥平面ABCD，
又PD⊂平面PDCE，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD，
∵AD，AB⊂平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥AB，
在Rt△PDA中，∵AD＝1，PD＝，∴PA＝，
∵∠BAD＝90°，∴AB⊥AD，
又∵PD⊥AB，PD∩AD＝D，PD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA，
在Rt△PAB中，∵AB＝1，
∴tan∠PBA＝＝，
∴∠PBA＝，
从而直线PB与直线CD的夹角为.
(3)解 l与平面ABCD垂直．证明如下：
∵四边形PDCE为矩形，∴EC∥PD，
∵PD⊂平面PAD，EC⊄平面PAD，
∴EC∥平面PAD，EC⊂平面EBC，
∵平面PAD∩平面EBC＝l，
∴EC∥l，则l∥PD，
由(2)可知PD⊥平面ABCD，∴l⊥平面ABCD.
15．(多选)如图，在正方体ABCD－ABC D 中，点P在线段BC上运动，则下列说法正确
1 1 1 1 1
的是( )
A．直线BD⊥平面AC D
1 1 1
B．三棱锥P－AC D的体积为定值
1 1
C．异面直线AP与AD夹角的取值范围是
1
D．直线C P与平面AC D夹角的正弦值的最大值为
1 1 1
答案 ABD
解析 A项，如图，连接BD，
1 1
由正方体可得AC ⊥BD，
1 1 1 1
且BB⊥平面ABC D，
1 1 1 1 1
又AC ⊂平面ABC D，
1 1 1 1 1 1
则BB⊥AC ，
1 1 1因为BD∩BB＝B，BD，BB⊂平面BDB，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AC ⊥平面BDB，
1 1 1 1
又BD⊂平面BDB，
1 1 1
所以AC ⊥BD.
1 1 1
同理，连接AD，易证得AD⊥BD，
1 1 1
因为AD∩AC ＝A，AD，AC ⊂平面AC D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BD⊥平面AC D，故A正确；
1 1 1
B项， ＝ ，
因为点P在线段BC上运动，
1
所以 ＝AD·AB为定值，
1
且C 到平面APD的距离即为C 到平面ABCD的距离，也为定值，
1 1 1 1 1
故三棱锥P－AC D的体积为定值，故B正确；
1 1
C项，当点P与线段BC的端点重合时，AP与AD的夹角取得最小值，最小值为，故C错
1 1
误；
D项，因为直线BD⊥平面AC D，
1 1 1
所以若直线C P与平面AC D夹角的正弦值最大，
1 1 1
则直线C P与直线BD 夹角的余弦值最大，
1 1
即点P运动到BC中点处，直线C P与直线BD 的夹角为∠C BD，
1 1 1 1 1
设正方体棱长为1，在Rt△DC B中，
1 1
cos∠C BD＝＝＝，故D正确．
1 1
16．已知四边形ABCD是正方形，将△DAC沿AC翻折到△DAC的位置，点G为△DAC
1 1
的重心，点E在线段BC上，GE∥平面DAB，GE⊥DA.若CE＝λEB，则λ＝________，直
1 1
线GB与平面DAC夹角的正切值为________．
1
答案 2 3
解析 如图所示，
延长CG交AD 于点F，连接BF，则F为AD 的中点，如图所示，
1 1因为GE∥平面DAB，GE⊂平面CBF，平面CBF∩平面DAB＝BF，
1 1
所以GE∥BF，
因为点G为△DAC的重心，所以CG＝2GF，
1
所以CE＝2EB，λ＝2.
取CA的中点O，连接OB，GB，GO，OD ，则OB⊥AC，
1
设正方形ABCD的边长为2，
因为GE∥BF，GE⊥DA，所以BF⊥DA，
1 1
又F为AD 的中点，所以AB＝DB＝2，
1 1
在Rt△ABC中，AC＝2，OB＝AC＝，
同理可得，DO＝，
1
因为DO2＋OB2＝DB2，所以OB⊥DO，
1 1 1
又AC∩DO＝O，所以OB⊥平面DAC，
1 1
则GO为GB在平面DAC上的投影，
1
所以∠OGB或其补角为直线GB与平面DAC的夹角，
1
在Rt△OGB中，GO＝DO＝，
1
tan∠OGB＝＝3.
