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培优点 7 极化恒等式
1．极化恒等式
在平面向量中：
(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，
(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
两式相减可得极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
2．几何解释
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的，即a·b
＝[(a＋b)2－(a－b)2](如图)．
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即AB·AC＝
AM2－MB2(M为BC的中点)(如图)．
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的
等量关系．
题型一 利用极化恒等式求值
例1 (1)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
答案 A
解析 因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相
减得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝1.
(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF
＝－1，则BE·CE的值是________．
答案
解析 方法一(极化恒等式法)设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n.
由向量的极化恒等式，知
AB·AC＝|AD|2－|DB|2＝9n2－m2＝4，
FB·FC＝|FD|2－|DB|2＝n2－m2＝－1，
联立解得n2＝，m2＝，
因此EB·EC＝|ED|2－|DB|2＝4n2－m2＝，
即BE·CE＝.
方法二(坐标法)以直线BC为x轴，过点D且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面
直角坐标系．设A(3a,3b)，B(－c,0)，C(c,0)，则E(2a,2b)，F(a，b)，
所以BA·CA＝(3a＋c,3b)·(3a－c,3b)＝9a2－c2＋9b2＝4，BF·CF＝(a＋c，b)·(a－c，b)＝a2－c2
＋b2＝－1，则a2＋b2＝，c2＝，
所以BE·CE＝(2a＋c,2b)·(2a－c,2b)＝4a2－c2＋4b2＝.
方法三(常规法)
BA·CA＝(DA－DB)·(DA－DC)＝＝＝4，
BF·CF＝(DF－DB)·(DF－DC)＝＝－1，
因此|FD|2＝，|BC|2＝，
所以BE·CE＝(DE－DB)·(DE－DC)＝＝＝.
思维升华 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行转化，
建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对
于不共起点和不共终点的问题可通过平移等价转化为共起点(终点)的两向量的数量积问题，
从而利用极化恒等式解决．
跟踪训练1 (1)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分
点，则AE·AF＝________.
答案 27
解析 BD＝＝12，∴AO＝6，OE＝3，
∴由极化恒等式知AE·AF＝AO2－OE2＝36－9＝27.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
AD边上的中点，则EF·FG＋GH·HE＝________.
答案
解析 连接HF，EG，交于点O，则O为HF，GE的中点，则EF·FG＝EF·EH＝EO2－OF2＝1
－2＝， GH·HE＝GH·GF＝GO2－OH2＝1－2＝，因此EF·FG＋GH·HE＝.
题型二 利用极化恒等式求最值(范围)
例2 (1)已知△OAB的面积为 1，AB＝2，动点P，Q在线段AB上滑动，且 PQ＝1，则
OP·OQ的最小值为________．
答案
解析 记线段PQ的中点为H(图略)，点O到直线AB的距离为d，
则有S ＝AB·d＝1，解得d＝1，
△OAB
由极化恒等式可得OP·OQ＝[(OP＋OQ)2－(OP－OQ)2]＝(4OH2－QP2)＝OH2－PH2＝OH2－
≥d2－＝.
(2)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝16相交于M，N两点，若c2＝a2＋b2，P为圆O
上的任意一点，则PM·PN的取值范围为________．
答案 [－6,10]
解析 方法一(常规法)
圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1，如图②，
设MN的中点为A，连接OA，
则OA⊥MN，cos∠MOA＝＝，
则PM·PN＝(OM－OP)·(ON－OP)
＝OM·ON－OP·(OM＋ON)＋|OP|2
＝4×4×cos 2∠MOA－2OP·OA＋16
＝16×(2cos2∠MOA－1)－2×4×1×cos〈OP，OA〉＋16
＝2－8cos〈OP，OA〉∈[－6,10]，故PM·PN的取值范围为[－6,10]．
方法二(极化恒等式法)
圆心O到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1，如图③，
设MN的中点为A，PM·PN＝|PA|2－|AM|2＝|PA|2－15.
因为|OP|－|OA|≤|PA|≤|OP|＋|OA|，
所以3≤|PA|≤5，
则PM·PN＝|PA|2－15∈[－6,10]，
故PM·PN的取值范围为[－6,10]．
思维升华 (1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三
角形的中线，再写出极化恒等式．(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用
点到直线的距离等求解．
跟踪训练2 (1)已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形
四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是( )
A．[0,1] B．[0，]
C．[1,2] D．[－1,1]
答案 A
解析 如图所示，设P是线段AB上的任意一点，
PM＝PO＋OM，PN＝PO＋ON＝PO－OM，圆O的半径长为1，
由于P是线段AB上的任意一点，
则|PO|∈[1，]，
所以PM·PN＝(PO＋OM)·(PO－OM)＝PO2－OM2＝|PO|2－1∈[0,1]．
(2)在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线AD上的动点，则PB·PC＋BC2的最小值
是________．
答案 2
解析 如图所示，取BC的中点O，过点O作OH⊥BC交AD于点H，则PB·PC＋BC2＝PO2－BC2＋BC2＝PO2＋BC2≥HO2＋BC2≥|HO|·|BC|＝2.
当点P运动到点H且使HO⊥BC，|HO|＝|BC|时，等号成立，
故PB·PC＋BC2的最小值是2.
1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于( )
A．－ B．－
C．－ D．－
答案 B
解析 ∵BF＝2FO，圆O的半径为1，∴|FO|＝.
由极化恒等式得FD·FE＝FO2－DE2＝－1＝－.
2．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值
是( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
答案 B
解析 如图，设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，则PA·(PB＋PC)＝2PA·PD
＝2|PM|2－|AD|2＝2|PM|2－≥－，当且仅当M与P重合时取等号．
3．已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则
PA·PB的取值范围是( )
A. B.
C．[－3,5] D．[1－2，1＋2]
答案 C
解析 如图所示，在Rt△ABC上，不妨取AB的中点M，则PA·PB＝PM2－AM2＝PM2－4.设圆C的半径为r，则r＝1，
而(PM) ＝CM＋r＝2＋1＝3，则(PA·PB) ＝32－4＝5；
max max
(PM) ＝CM－r＝2－1＝1，
min
(PA·PB) ＝12－4＝－3.
min
因此PA·PB的取值范围是[－3,5]．
4．已知直线l：x＋y－1＝0与圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，
则OA·OB的最小值为( )
A．－ B. C. D.
答案 A
解析 如图，圆C：(x－a)2＋(y＋a－1)2＝1的圆心C的坐标为(a,1－a)，则点C在直线l：x
＋y－1＝0上，由极化恒等式知OA·OB＝|OC|2－|BA|2，而|BA|2＝4，所以OA·OB＝|OC|2－|BA|
2＝|OC|2－1.因为点C是直线l：x＋y－1＝0上的动点，所以|OC|的最小值即为点O到直线l
的距离d＝OE＝＝，所以(OA·OB) ＝d2－1＝－.
min
5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值
是( )
A．1 B．2 C. D.
答案 C
解析 由极化恒等式得
(a－c)·(b－c)＝[(a＋b－2c)2－(a－b)2]，
∵(a－c)·(b－c)＝0，
∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2，故c2＝(a＋b)·c，
又|a|＝|b|＝1，a⊥b，∴|a＋b|＝，
于是|c|2≤|a＋b||c|＝|c|，∴|c|≤.
6．已知半径为2的圆O上有三点A，B，C，满足OA＋AB＋AC＝0，点P是圆O内一点，
则PA·PO＋PB·PC的取值范围是( )
A．[－4,14) B．(－4,14]C．[－4,4) D．(－4,4]
答案 A
解析 如图，由OA＋AB＋AC＝0，得AB＋AC＝AO.
在平行四边形ABOC中，因为OB＝OC，
所以平行四边形ABOC是菱形，且BC＝2.
设菱形ABOC对角线的交点为E，
则由极化恒等式得
PA·PO＝|PE|2－|AO|2＝|PE|2－1，
PB·PC＝|PE|2－|BC|2＝|PE|2－3，
所以PA·PO＋PB·PC＝2|PE|2－4.
因为P是圆O内一点，所以0≤|PE|<3，
所以－4≤2|PE|2－4<14，
即－4≤PA·PO＋PB·PC<14.
7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DA的值为________．
答案 1
解析 取AE的中点O(图略)，则DE·DA＝DO2－AO2＝1.
8.如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若AB·AD＝－7，则
BC·DC＝________.
答案 9
解析 由AB·AD＝AO2－BD2＝9－BD2＝－7，得|BD|＝8，
则BC·DC＝CB·CD＝CO2－BD2＝25－×64＝9.
9．在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是
________．
答案 22
解析 取AB的中点E，则PA·PB＝PE2－AE2＝2，
所以PE2＝18，
因为CP＝3PD，|CD|＝8，
所以|PD|＝2，|AE|＝4，
延长AD，EP交于点F，故DP为△FAE的中位线，所以AP2＝＝40，
所以AB·AD＝2AE·AF＝AE·AF＝AP2－PE2＝22.
10．在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的动点，AB与OC交于点P，
则OP·BP的最小值为________．
答案 －
解析 如图所示，取OB的中点D，过点D作DE⊥AB于点E，连接PD，
则OP·BP＝PO·PB＝|PD|2－|OD|2＝|PD|2－，
易知|PD|∈[|DE|，|AD|]＝，
则OP·BP＝PD2－∈，
故所求最小值为－.
