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§2.1 函数的概念及其表示
课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
给定实数集R中的两个 A和B，如果存在一个对应关系f，使对于集合A中的
，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就把对应关系f称为定义在集合A上的
一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素： 、 、 ．
(2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值
也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有 、图象法和 ．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函
数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( )
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．( )
(4)函数f(x)＝的定义域为R.( )
2．(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是( )
3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是( )
A．y＝与y＝
B．y＝x2与y＝(x－1)2
C．y＝与y＝x
D．y＝1与y＝x0
4．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是________________________.
题型一 函数的概念
例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )
A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数
B．函数f(x)＝－的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)
C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数
D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0
(2)(2024·济南检测)已知函数 f(x)的定义域为[－2,3]，则函数 f(2x－1)的定义域为
____________________．
跟踪训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝－1，g(x)＝
C．f(x)＝g(t)＝|t|
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)的定义域为[2,8]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域为( )A．[4,16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[1,3] D．[3,4]
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x4＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
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思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)若f ＝，则f(x)＝________________________.
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝_____________________.
题型三 分段函数
例3 (1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4]
C．若f(x)＝2，则x的值是－
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是
_____________________________________．
跟踪训练3 (1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 023)等于( )
A．0 B．1 C．2 D．3
(2)(多选)已知函数f(x)＝则( )
A．f(f())＝3
B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3
C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3
