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§1.1 集 合
课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理
解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集
符号 N N (或N*) Z Q R R
＋ ＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都属于集合B，那么
称集合A是集合B的子集，记作 A ⊆ B (或B⊇A)．
(2)真子集：对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的真子集，
记作 A B (或BA)．
(3)相等：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，
那么称集合A与集合B相等，记作A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合
的真子集．
3．集合的基本运算
表示
集合语言 图形语言 记法
运算并集 { x | x ∈ A ，或 x ∈ B } A ∪ B
交集 { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } A ∩ B
补集 { x | x ∈ U ，且 x ∉ A } ∁U A
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A A⊆B，A∪B＝A B⊆A.
4．
∁U
(A∩B)⇔ ＝(∁U A)∪(∁U B)，
∁⇔U
(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( × )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( × )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( √ )
2．设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|25}，B＝{x|1－log x<0}，则( )
2
A．A⊆B B．B⊆A
C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
答案 A
解析 因为集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log x<0}＝{x|x>2}，
2
所以A⊆B.
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)
D.∪(0,1)
答案 A
解析 ∵B⊆A，
∴①若B＝∅，即ax＋1≤0无解，此时a＝0，满足题意．
②若B≠ ∅，即ax＋1≤0有解，
当a>0时，可得x≤－，要使B⊆A，
则需要解得0－2时，B＝{x|m－1a}，若A∩(∁R B)＝A，则实数a的取值范围
为( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 因为B＝{x|x>a}，
所以∁R B＝{x|x≤a}，
又A∩(∁R B)＝A，所以A⊆∁R B，
又A＝{x|x0}，B＝{x|10，得x<0或x>2，
所以A＝{x|x<0或x>2}，
所以∁R A＝{x|0≤x≤2}，
对于A，因为B＝{x|12}，B＝{x|11}，B＝{x|x1}，B＝{x|x0}，则图中的阴影部分表示的集合为
( )
A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．[1,2) D．(1,2]
答案 A
解析 B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0 或 x>1}，由题意可知阴影部分对应的集合为
∁U
(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|12}，所
以∁U (A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．
8．设集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同时满足：①A⊆I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中
元素的个数，min(A)表示集合A中最小的元素)，称集合A为I的一个“好子集”，则I的所
有“好子集”的个数为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 B
解析 当|A|＝1时，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为{1}，{3}，{5}，{7}；
当|A|＝2时，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为{3,5}，{3,7}，{5,7}；当|A|＝3时，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为{3,5,7}，
综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.
二、多项选择题
9．已知I为全集，集合M，N⊆I，若M⊆N，则( )
A．M∪N＝N B．M∩N＝N
C． ∁I M⊆∁I N D．(∁I N)∩M＝∅
答案 AD
解析 因为M⊆N，则M∪N＝N，M∩N＝M，则A正确，B错误；
又I为全集，集合M，N⊆I，则∁I M⊇∁I N，(∁I N)∩M＝∅，C错误，D正确．
10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，则实数a的取值可以是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 ABC
解析 A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示关于x的方程ax＝1的解集，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当a＝0时方程ax＝1无解，此时B＝∅，符合题意；
当B＝{1}时，a＝1；当B＝{－1}时，－a＝1，解得a＝－1，
综上可得a＝0或±1.
三、填空题
11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N ，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为
＋
________．
答案 4
解析 根据题意，A∩B的元素是x＋y＝8上满足x，y∈N 且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，
＋
(3,5)，(4,4)．
12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
答案 －3
解析 当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1,2,3,4,5}，
所有元素的和为15，不符合题意；
当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}，
由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.
13．高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加
了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是________．
答案 29
解析 由题意画出Venn图，如图所示，由Venn图知，参加比赛的人数为26，
所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.
14．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝
{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
答案 {x|－30}，(M，N)是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
答案 BD
解析 对于A，因为M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A错误；对于B，
设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最
小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足
M∪N＝Q，M∩N＝∅，故C错误；对于D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德
金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．
16．设集合M＝{1,2,3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令x 为A中最大数与最小数
A
之和，则所有这样的x 的算术平均值为________．
A
答案 13
解析 集合M的非空子集共有(212－1)个，
其中，最小值为1的子集可视为{2,3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个．
最大值为12的子集可视为{1,2,3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10的子集共有29个，…，最大值为1
的子集共有20个．
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以x 的算术平均值为
A
＝＝＝13.
