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§2.1 函数的概念及其表示
课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象
法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在
集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记
作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的对应关系相同，并且定义域相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数，通常叫作分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数
的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × )
(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( × )
(3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．( √ )(4)函数f(x)＝的定义域为R.( √ )
2．(多选)(2023·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是( )
答案 ACD
解析 在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于 y轴
的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象．
3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是( )
A．y＝与y＝
B．y＝x2与y＝(x－1)2
C．y＝与y＝x
D．y＝1与y＝x0
答案 BCD
解析 对于A选项，y＝的定义域是[－3,3)，
y＝的定义域是[－3,3)，
并且＝，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；
对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数；
对于C选项，y＝＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；
对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所
以不是同一个函数．
4．已知函数f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是________________．
答案 f(x)＝x2＋6x
解析 f(x－1)＝x2＋4x－5，
设x－1＝t，则x＝t＋1，
所以f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.题型一 函数的概念
例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )
A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数
B．函数f(x)＝－的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞)
C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数
D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0
答案 BC
解析 对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两
函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝－中，解
得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与
对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f
＝0，所以f ＝f(0)＝1，故D错误．
(2)(2024·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2,3]，则函数f(2x－1)的定义域为________．
答案
解析 由－2≤2x－1≤3，解得－≤x≤2，
所以函数f(2x－1)的定义域为.
思维升华 函数的含义及判断两个函数是同一个函数的方法
(1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二
个集合B中有且只有一个元素与之对应．
(2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．
跟踪训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝－1，g(x)＝
C．f(x)＝g(t)＝|t|
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
答案 C
解析 对于A，f(x)＝的定义域为R，g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于
B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数
的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝的定
义域为{x|x≠1}，不是同一个函数．
(2)(2023·衡阳模拟)已知函数f(x)的定义域为[2,8]，则函数h(x)＝f(2x)＋的定义域为( )
A．[4,16] B．(－∞，1]∪[3，＋∞)
C．[1,3] D．[3,4]
答案 C解析 要使函数h(x)＝f(2x)＋有意义，
则解得1≤x≤3，
所以函数h(x)的定义域为[1,3]．
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x4＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)若对任意实数x，均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2，求f(x)的解析式．
解 (1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2)．
(2)(配凑法)f ＝x4＋＝2－2，
又x2＋≥2＝2，
当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．
设t＝x2＋，
则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)，
∴f(x)＝x2－2(x≥2)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)＝2x＋7(x∈R)．
(4)(解方程组法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2，①
∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2，②
由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6，
∴f(x)＝3x－2(x∈R)．
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法．(2)待定系数法．(3)换元法．(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)若f ＝，则f(x)＝________.
答案 (x≠0且x≠1)
解析 f(x)＝＝(x≠0且x≠1)．
(2)已知f(f(x))＝4x＋9，且f(x)为一次函数，则f(x)＝________________.答案 2x＋3或－2x－9
解析 因为f(x)为一次函数，所以设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋b(k＋1)，
因为f(f(x))＝4x＋9，所以k2x＋b(k＋1)＝4x＋9恒成立，
所以
解得或
所以f(x)＝2x＋3或f(x)＝－2x－9.
题型三 分段函数
例3 (1)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4]
C．若f(x)＝2，则x的值是－
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
答案 BC
解析 函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；
当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0,4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)
的值域为(－∞，4]，故B正确；
当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C
正确；
当－2≤x<1 时，令 f(x)＝x2<1，解得 x∈(－1,1)，当 x≥1 时，令 f(x)＝－x＋2<1，解得
x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1,1)∪(1，＋∞)，故D错误．
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是
________________．
答案 －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞)
解析 若f(a)＝4，则或
解得a＝－2或a＝5.
若f(a)≥2，则或
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．
思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的
值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)(2023·济宁模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 023)等于( )A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)，
即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数，
则f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1)
＝f(－2)＝log [2－(－2)]＝log 4＝2.
2 2
(2)(多选)已知函数f(x)＝则( )
A．f(f())＝3
B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3
C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3
答案 BCD
解析 对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误；对于B，当x<1时，
由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝
4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由
f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2
的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－
x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确．
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·西安模拟)函数f(x)＝＋ln(1－x)的定义域是( )
A．(－2,1) B．(－3,1)
C．(1,2) D．(1,3)
答案 A
解析 由题意可得解得－20时，f(a)＝－a2＋2a，f(－a)＝a2－2a，
所以由f(a)0，解得a>2，
所以a的取值范围是(－2,0)∪(2，＋∞)．
6．(2024·广州质检)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B.
C.
D．(－∞，－1)∪
答案 C
解析 ∵当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，
故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．
故解得－1≤a<.
二、多项选择题
7．(2023·汕头模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交
汇函数”．下列函数是“[0,1]交汇函数”的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝1－x2 D．y＝
答案 BD
解析 由“[a，b]交汇函数”定义可知，“[0,1]交汇函数”表示函数的定义域与值域的交集
为[0,1]．
y＝的定义域A＝[0，＋∞)，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0，＋∞)，A错误；
y＝的定义域A＝(－∞，1]，值域B＝[0，＋∞)，则A∩B＝[0,1]，B正确；
y＝1－x2的定义域A＝R，值域B＝(－∞，1]，则A∩B＝(－∞，1]，C错误；
y＝的定义域A＝[－1,1]，值域B＝[0,1]，则A∩B＝[0,1]，D正确．
8．下列说法正确的是( )
A．函数f(x＋1)的定义域为[－2,2)，则函数f(x)的定义域为[－1,3)
B．f(x)＝和g(x)＝x表示同一个函数
C．函数y＝的值域为
D．定义在R上的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝x＋1，则f(x)＝＋1
答案 ACD解析 对于A，对于f(x＋1)，令t＝x＋1 x＝t－1∈[－2,2)，则t∈[－1,3)，
所以f(t)，即f(x)的定义域为[－1,3)，故A⇒正确；
对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，不是同一个函数，故B不正确；
对于C，因为x2＋3≥3，所以0<≤，故函数y＝的值域为，故C正确；
对于D，由2f(x)－f(－x)＝x＋1可得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，
所以由
可得f(x)＝＋1，故D正确．
三、填空题
9．函数f(x)＝的定义域为________．
答案 (0,1)∪(1,2]
解析 要使函数f(x)有意义，
则解得0a，则a的取值范围是________．
答案 4 (－1,1)∪(1，＋∞)
解析 因为f ＝2×＋1＝2，
所以f ＝f(2)＝22＝4.
当a≥1时，f(a)>a⇔a2>a，解得a>1；
当a<1时，f(a)>a⇔2a＋1>a，解得－10，解得a＝2，则f(a)＝.
四、解答题
13．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求f ，f ，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解 (1)∵＞1，∴f ＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f ＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)此分段函数的图象如图所示．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．
图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.
14．(2023·曲靖检测)已知函数f(x)＝.
(1)求f ＋f(3)，f ＋f(2)的值；
(2)探索f(x)＋f ；
(3)利用(2)的结论求表达式：f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)的值．
解 (1)已知函数f(x)＝，
∴f ＋f(3)＝＋＝＋＝1，f ＋f(2)＝＋＝＋＝1.
(2)由f(x)＝，得f ＝＝，∴f(x)＋f ＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f ＝1，f(1)＝＝，
∴f ＋f ＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 022)＋f(2 023)＝2 022＋f(1)＝2 022×1＋＝.
15．(多选)设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．
如[1.2]＝1，[2]＝2，[－1.2]＝－2.设f(x)＝x－[x]，则下列结论正确的有( )
A．f(－1.1)＝0.9
B．函数f(x)的图象关于原点对称C．f(x＋1)＝f(x)＋1
D．函数f(x)的值域为[0,1)
答案 AD
解析 对于A，因为f(x)＝x－[x]，
所以f(－1.1)＝－1.1－[－1.1]＝－1.1－(－2)＝0.9，故A选项正确；
对于B，因为f(0.5)＝0.5－[0.5]＝0.5－0＝0.5，f(－0.5)＝－0.5－[－0.5]＝－0.5－(－1)＝
0.5，
所以f(0.5)＋f(－0.5)＝1≠0，即函数f(x)的图象不关于原点对称，故B选项错误；
对于C，因为∀x∈R，∃k∈Z，使得k≤x0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，
解得m≥，
所以m的取值范围是.
当m＝0时，f(x)＝＝，值域是[0，＋∞)，满足条件；
令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0，
当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件；
当m＞0时，g(x)的图象开口向上，
只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0，
即(m－2)2－4m(m－1)≥0，解得－≤m≤，
又m>0，所以0
