第一章　§1.1　集　合_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_2025高考大一轮复习讲义+课件（完结）_2025高考大一轮复习数学（人教A版）_学生用书Word版文档_2025大一轮复习讲义

§1.1 集 合
课标要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理
解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、
集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：______________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号____________或____________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
非负整数
正整 有理
集合 集(或自 整数集 实数集
数集 数集
然数集)
符号 N*(或N )
＋
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________________都是集合B中的元
素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，
记作________(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是__________的子集，是
____________的真子集．
3．集合的基本运算
表示 集合语言 图形语言 记法运算
并集
交集
补集
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A A⊆B，A∪B＝A B⊆A.
4．
∁U
(A∩B)⇔ ＝(∁U A)∪(∁U B)，
⇔
∁U
(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.( )
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．( )
2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁R A)∩B等于( )
A．{x|2<x≤3}
B．{x|7<x<10}
C．{x|2<x<3或7≤x<10}
D．{x|2<x≤3或7<x<10}
3．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a
＝________.
4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取
值范围为________________.
题型一 集合的含义与表示
例1 (1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的
子集个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为( )
A．2 B．3 C．0 D．－2
跟踪训练1 (1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则
C中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)若含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2 024＋b2 024＝________.
题型二 集合间的基本关系
例2 (1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log x<0}，则( )
2
A．A⊆B B．B⊆A
C．A∩B＝∅ D．A∪B＝R
(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(
)
A.
B.
C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)
D.∪(0,1)
思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则
易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2 (1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系
是( )
A．MN B．NM
C．M⊆∁R N D．N⊆∁R M
(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集
的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是_____________________________．
题型三 集合的基本运算
命题点1 集合的运算
例3 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于( )
A．{x|0≤x<2} B.
C．{x|3≤x<16} D.
(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁R M)＝∅，则下列结论中正确的是( )
A．M∩(∁R N)＝∅
B．M∪(∁R N)＝RC．(∁R M)∪(∁R N)＝ ∁R M
D．(∁R M)∩(∁R N)＝ ∁R M
命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(
)
A．－ B. C．0 D．－
(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁R B)＝A，则实数a的取值范围
为( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
跟踪训练3 (1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则( )
A．(∁R A)∪B＝{x|0≤x<3}
B．(∁R A)∩B＝{x|1<x<2}
C．A∩B＝{x|2<x<3}
D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集
(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(
)
A．(－∞，1] B．(－∞，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
题型四 集合的新定义问题
例5 (多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也
对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知
识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设 G是一个非空集合，
“·”是G上的一个代数运算，即对所有的 a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：
①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有 e·a＝a·e＝a；
③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有(
)
A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群
B．G＝∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D．G＝{m＋n|m，n∈Z}关于数的加法构成群
跟踪训练4 (多选)设A为非空实数集，若对任意 x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且
xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为( )
A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集
B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集
C．封闭集一定是无限集D．若A为封闭集，则一定有0∈A