高考必刷题专练答案精析
必刷小题 1 集合、常用逻辑用语、不等式
1．D 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B
7．D 8.A 9.AD
10．BCD [由a<b<0 ab>0 < <，故A不正确；
由a<b<0 －a>－b>0⇒a2>b2 ⇒>0⇒ln a2>ln b2，故B正确；
因为a<b<⇒0，所以a|a|⇒－b|b|＝－⇒a2＋b2＝(b－a)(b＋a)<0 a|a|<b|b|，故C正确；
因为a<b<0，所以a＋－b－＝<0 a＋<b＋，故D正确．⇒]
11．AB [由题意得，方程ax2－⇒bx＋c＝0的两根为－1,2，且a<0，故A正确；
所以解得则b<0，c>0，故B正确；
所以a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，故C错误；
不等式ax2－cx＋b<0即ax2＋2ax＋a＝a(x＋1)2<0，又a<0，所以不等式为(x＋1)2>0，该不等
式的解集为{x|x≠－1}，故D错误．]
12．BD [由题意得，a>0，b＝2－2a>0，
从而0<a<1，
所以a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝5a2－8a＋4＝52＋.
当a＝时，a2＋b2有最小值，故A错误；
因为2＝2a＋b≥2，
所以ab≤，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故B正确；
4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝4－4ab≥4－4×＝2，当且仅当a＝，b＝1时等号成立，故C错误；
＋＝(2a＋b)
＝
≥＝
＝＋，
当且仅当＝，
即a＝2－，b＝2－2时等号成立，故D正确．]
13．充分不必要 14.[－1，＋∞)
15．{a|a≤4}
解析 对∀1≤x≤4，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，
即对∀1≤x≤4，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立．当x＝1时，不等式为0≤4，恒成立，此时a∈R；
当1<x≤4时，a≤＝x－1＋，
∵1<x≤4，∴0<x－1≤3，
∴x－1＋≥2＝4，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号，
∴a≤4.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}．
16．260
解析 设所用时间为t＝ 小时，这次行车的总费用为y元．
则由题意知y＝×6×＋24×＝＋，x∈[50,100]．
y＝＋≥2
＝260，
当且仅当＝，即x＝60时等号成立．
故当x＝60千米/时，这次行车的总费用最低，最低为260元．
必刷小题 2 函数的概念与性质
1．B 2.C 3.C 4.B 5.D 6.D
7．B
8．C [令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]．
因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2＝g(x)，所以g(x)为偶函数．
因为对任意的x，x∈[0,3]，
1 2
当x<x 时，xf(x)－xf(x)>x－x恒成立，
1 2 1 1 2 2
即xf(x)－x>xf(x)－x恒成立，即g(x)>g(x)，
1 1 2 2 1 2
所以g(x)在[0,3]上单调递减，所以g(x)在[－3,0]上单调递增．
又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，即g(a)<g(a－
3)，
所以
即
解得<a≤3，
故满足不等式的a的取值范围为.]
9．ABC [由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确；
由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)
＝ln ＝－f(x)，x∈R，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故C正确；
由f(x)＝ln(sin x)知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数
为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故D错误．]
10．AD [因为f(x＋1)＝－f(x)，
f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝－f(－x＋1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
故A正确；
由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
因为函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误；
由f(x＋1)＝f(1－x)，
可得f(2)＝f(0)，故D正确．]
11．ABC [令f(x)＝0，即＝0，解得x＝－，所以f(x)有且仅有一个零点，故A正确；
函数f(x)＝＝3＋(x≠1)，
因为y＝在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上单调递
减，故B正确；
函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，故C正确；
因为函数y＝的图象关于点(1,0)对称，
所以函数f(x)＝3＋的图象关于点(1,3)对称，故D错误．]
12．BCD [f(2x＋1)的最小正周期为2，
则f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，
即f(2x＋1＋4)＝f(2x＋1)，
所以f(x)的最小正周期为4，故A错误；
因为f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0.
又4是f(x)的一个周期，
所以f(4)＝f(0)＝0，故B正确；
f(3)＝f(－5＋2×4)＝f(－5)，故C正确；f ＋f ＝f ＋f ＝f ＋f ，
又f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f ＝－f ，
所以f ＋f ＝0，故D正确．]
13．0
14．f(x)＝－x2(或f(x)＝－|x|，答案不唯一)
15．1
解析 由题意得ln x∈[0,2]，
当a≥2时，f(x)＝2a－ln x在[1，e2]上单调递减，
∴f(x)的最小值为f(e2)＝2a－2＝1，解得a＝<2，不符合题意；
当0<a<2时，
f(x)＝
f(x)在[1，ea]上单调递减，在[ea，e2]上单调递增，
∴f(x)的最小值为f(ea)＝a＝1，符合题意．
故a的值为1.
16．－2 025
解析 因为f(x)为偶函数，
故f(x)＝f(－x)．
因为f(x)＋f(－x－2)＝－2，
所以f(x)＋f(x＋2)＝－2，
从而f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，
得f(x)＝f(x＋4)，
所以f(x)的一个周期为4.
由f(x)＋f(－x－2)＝－2，
令x＝－1，则f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝2f(1)＝－2，得f(1)＝－1；
令x＝1，则f(1)＋f(－3)＝f(1)＋f(3)＝－2，得f(3)＝－1；
令x＝0，则f(0)＋f(－2)＝f(0)＋f(2)＝－2，
得f(2)＝－3，f(4)＝f(0)＝1.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝－4，
故(i)＝505×(－4)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－2 025.必刷小题 3 基本初等函数
1．B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.A
7．A 8.B
9．ABD [当a>b>0时，A正确；
当b>a>0时，B正确；
当0>a>b时，D正确；
当0>b>a时，无此选项．]
10．ABD [因为0<a<1，
所以0<1－a<1＋a，因此log (1－a)>log (1＋a)，故A正确；
a a
因为0<a<1，所以1<1＋a<2，
因此log (1＋a)<log 1＝0，故B正确；
a a
因为0<a<1，所以0<1－a<1，
因此 ，故C不正确；
因为0<a<1，所以0<1－a<1，
因此a1－a<a0＝1，故D正确．]
11．ABD [∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点，
∴a＋b＝0，故A正确；
即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a，
∵函数f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，
∴b＝2，即a＝－2，
f(x)＝－2·|x|＋2.
由于f(x)为偶函数，
故若f(x)＝f(y)，且x≠y，
则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；
由于f(x)＝－2·2x＋2在(－∞，0)上单调递减，故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；
由于|x|∈(0,1]，
∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．]
12．AD [令2x＝3y＝6z＝t，则t>1，
可得x＝log t，y＝log t，z＝log t.
2 3 6
对于A，＋＝＋＝＋＝＝log6＝，故A正确；
t
对于B，因为t>1，所以lg t>0，2x－3y＝2log t－3log t
2 3
＝－＝
＝>0，即2x>3y；
3y－6z＝3log t－6log t
3 6
＝－＝
＝<0，即3y<6z，故B错误；
对于C，xy＝log t·log t＝·＝，4z2＝4(log t)2＝42＝，lg t>0，
2 3 6
因为0<lg 2·lg 3<2
＝，
所以>，
则>，即xy>4z2，故C错误；
对于D，x＋y＝log t＋log t＝＋＝，4z＝4log t＝，lg t>0，
2 3 6
由C的分析可知>，
则>＝，即x＋y>4z，故D正确．]
13. 14.x＝
15.
解析 f(x)＝lg(|x|＋1)的定义域为R，
因为f(－x)＝lg(|－x|＋1)
＝lg(|x|＋1)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，
因为当x>0时，f(x)＝lg(|x|＋1)＝lg(x＋1)单调递增，
所以当x<0时，f(x)＝lg(|x|＋1)单调递减，
由f(2x＋1)<f(3x)
可得|2x＋1|<|3x|，
解得x<－或x>1，
所以x的取值范围是
.
16.
解析 因为ex>0，所以原不等式可转化为ke2x＋(k－1)＋(2k＋1)ex<0在(0，＋∞)上恒成立，
令t＝ex∈(1，＋∞)，f(t)＝kt2＋(2k＋1)t＋k－1，
要使f(t)＝kt2＋(2k＋1)t＋k－1<0在(1，＋∞)上恒成立．
方法一 当k＝0时，f(t)＝t－1>0，不符合题意，
当k≠0时，由二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即k<0，
当对称轴t＝－>1，即－<k<0时，
只需f ＝k2＋(2k＋1)＋k－1<0，
解得－<k<－；
当对称轴t＝－≤1，
即k≤－时，只需f(1)＝k＋2k＋1＋k－1≤0，解得k≤－，
综上所述，实数k的取值范围是.
方法二 即使k(t2＋2t＋1)<1－t在(1，＋∞)上恒成立，
即k<在(1，＋∞)上恒成立，
令g(t)＝，t>1，则g′(t)＝，
当1<t<3时，g′(t)<0；当t>3时，g′(t)>0，
所以g(t)在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
所以g(t) ＝g(3)＝－，
min
所以k<－，
即k的取值范围是.
必刷小题 4 函数与方程
1．B 2.C 3.C 4.A 5.D 6.C
7．B
8．A [当x<0时，易得f(x)的零点为x＝－1；
0
当x≥0时，f(x)＝2x＋21－x－a，
∵当x∈[0,1]时，f(x)＝f(1－x)，
∴f(x)的图象在[0,1]上关于直线x＝对称．
又f′(x)＝，
当x>时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递增，
当0<x<时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递减，
且f(0)＝1＋2－a，f ＝2－a.
∵f(x)的所有零点之和为0，
故f(x)在[0，＋∞)上有2个不同的零点，
且解得2<a≤3.
故实数a的取值范围为(2，3]．]
9．BC [∵y＝2x与y＝3x－7都是R上的增函数，
∴f(x)＝2x＋3x－7是R上的增函数，∴f(x)在R上至多有一个零点，
由表格中的数据可知，
f(1.375)＝－0.28<0，
f(1.437 5)＝0.02>0，
∴f(x)在R上有唯一零点，零点所在的区间为(1.375,1.437 5)，
即方程f(x)＝0有且仅有一个解，且在区间(1.375,1.437 5)内，
∵1.437 5－1.375＝0.062 5<0.1，
∴[1.375,1.437 5]内的任意一个数都可以作为方程的近似解，
∵1.31∉[1.375,1.437 5]，1.38∈[1.375,1.437 5]，1.43∈[1.375，1.437 5]，1.44∉[1.375,1.437
5]，
∴符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.]
10．BD [对于A，设f(x)＝x＋，x≠0，
则f(－x)＝－x＋＝－f(x)，
得y＝x＋为奇函数，
令x＋＝0，方程无解，
即函数不存在零点，故A不符合；
对于B，设f(x)＝x3＋x，x∈R，
则f(－x)＝(－x)3－x＝－x3－x＝－f(x)，
得y＝x3＋x为奇函数，令x3＋x＝0，
得x＝0，即函数存在零点，故B符合；
对于C，设f(x)＝sin＝cos x，是R上的偶函数，故C不符合；
对于D，设f(x)＝cos＝－sin x，是R上的奇函数，且存在零点，故D符合．]
11．BD [因为＝R，
所以可设f(t)＝a·eRt(a≠0)．
又
解得R＝－，a＝128，故B正确，A错误；
所以f(t)＝ ，
当f(t)≤0.5，即 ≤0.5时，得 ≤，
所以－t≤ln ，即t≥＝32，
所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，故D正确，C错误．]
12．ABD [如图所示，作出f(x)＝
和y＝t的图象．当x＝0时，f(0)＝＋2－2＝.
因为存在x，x，x，x 使得f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，所以0<t<.
1 2 3 4 1 2 3 4
由图象可知x，x 关于x＝－1对称，所以＝－1，
1 2
所以x＋x＝－2，故A正确；
1 2
当x≥0时，令f(x)＝，
即2x－1＋21－x－2＝，
解得x＝0 或x＝2.
所以由图象可知0<x<1<x<2，故B正确；
3 4
因为当x≥0时，
f(x)＝2x－1＋21－x－2，
所以f(1＋x)＝2x＋2－x－2，
f(1－x)＝2－x＋2x－2，
所以当0≤x≤2时，
有f(1＋x)＝f(1－x)，
即f(x)的图象关于x＝1对称，
所以x，x 关于x＝1对称，
3 4
所以＝1，
所以x＋x＝2，即x＝2－x，
3 4 4 3
所以xx＝(2－x)x＝－(x－1)2＋1(0<x<1)．
3 4 3 3 3 3
因为x<1，所以xx<1，故C错误；
3 3 4
因为x＋x＝2.又x＋x＝－2，
3 4 1 2
所以x＋x＋x＋x＝0，故D正确．]
1 2 3 4
13.
14．x(x＋1)(x－1)(答案不唯一)
15．33
16．a＝0或a≥2
解析 由f(x)－a|x|＝0得f(x)＝a|x|，作出函数y＝f(x)，y＝a|x|的图象，如图所示．当a＝0时，满足条件，当a≥2时，y＝a|x|与y＝f(x)有3个交点，
故a的取值范围是a＝0或a≥2.
必刷小题 5 导数及其应用
1．B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.A
7．B
8．C [由题意可得f(x)＝xex，
则f′(x)＝(x＋1)ex，
当x>－1时，f′(x)>0；
当x<－1时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
当f(x)＝xex的图象与直线y＝a相切时，
设切点为 ，
则切线斜率a＝f′(x)＝ ，
0
所以该切线方程为y－ ，
注意到切线过点，
则0－ ，
整理得2x－x－1＝0，
0
解得x＝1或x＝－，
0 0
当x＝1时，a＝f′(1)＝2e；
0
当x＝－时，a＝f′＝ .
0
结合图象可得，实数a的取值范围为 ，
即实数a的最大值为2e.]9．ABC [由题意，对于A，函数y＝x＋，y′＝1－，可得函数y＝x＋在(－∞，－1)，(1，
＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减，所以函数有两个极值点x＝－1和x＝1；
对于B，函数y＝2x2－x＋1为开口向上的抛物线，一定存在极值点，即为顶点的横坐标 x
＝；
对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈时，y′<0，函数单调递减，当 x∈时，
y′>0，函数单调递增，所以函数y＝xln x在x＝处取得极小值；
对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x是减函数，没有极值
点．]
10．AB [对于A，设f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x) ＝f(0)＝0，即ex≥x＋1，故A正确；
min
对于B，设g(x)＝ln x－x＋1，x>0，
g′(x)＝－1＝，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x) ＝g(1)＝0，
max
即ln x≤x－1，故B正确；
对于C，当x＝－时，sin＝－1，此时sin>－，故C错误；
对于D，当x＝1时，e<2＋1，故D错误．]
11．AC [令g(x)＝，
则g′(x)＝<0恒成立，
从而g(x)为减函数，则>>>>，
即ef(2)>f(3)，e2f(－1)>f(1)，
ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2)．]
12．AC [因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′
(x)>0得x>或x<－；由f′(x)<0得－<x<.所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)
有两个极值点，故A正确；
因为f(x)的极小值f ＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R
上有且只有一个零点，故B错误；
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)
＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称
中心，故C正确；
假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点坐标为(x ，y)，则f′(x)＝3x－1＝2，解得x ＝
0 0 0 0±1；若x ＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x ＝－1，则切点坐标为
0 0
(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．]
13．y＝－ 14.(－∞，－e]
15.
解析 因为f(x)－f(－x)＝2sin x，
所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x)，
设g(x)＝f(x)－sin x，x∈R，可得g(x)＝g(－x)，所以g(x)为偶函数，
在[0，＋∞)上有f′(x)>cos x，
所以g′(x)＝f′(x)－cos x>0，x∈[0，＋∞)，
故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单调递减，
由f －f(t)>cos t－sin t，得f(t)－sin t<f －cos t
＝f －sin，
即g(t)<g，
所以|t|<，
即t2<2，－πt>0，
解得t<.
16．9
解析 因为不等式有正整数解，
所以x>0，于是m≤x转化为≥3ln 3，x＝1显然不符合题意；
当x>1时，ln x>0，m>0，
所以≥3ln 3可变形为
≥.
令f(x)＝，x>1，
则f′(x)＝，
所以当1<x<e时，f′(x)>0；
当x>e时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而2<e<3，
所以当x∈N*时，
f(x) ＝max{f(2)，f(3)}＝，故≥，解得m≥9.
max
必刷大题 6 导数的综合问题
1．解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋6，
由f′(－1)＝f′(2)＝0，得3a－2b＋6＝0且12a＋4b＋6＝0，
解得a＝－1，b＝，
又f(－1)＝－，
∴c＝1，
经检验满足题意，
∴f(x)＝－x3＋x2＋6x＋1.
(2)存在x∈[－2,0]，
0
使得f(x)>t2－2t成立，
0
等价于f(x) >t2－2t，x∈[－2,0]，
max
∵f′(x)＝－3x2＋3x＋6
＝－3(x－2)(x＋1)，
当x∈[－2，－1)时，f′(x)<0；
当x∈(－1,0]时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－2，－1)上单调递减，在(－1,0]上单调递增，
又f(－2)＝3，f(0)＝1，
∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－2)＝3，
∴t2－2t<3，解得－1<t<3，
∴t的取值范围是(－1,3)．
2．(1)解 因为f(x)＝ex－4sin x，
所以f′(x)＝ex－4cos x，
则f(0)＝1，f′(0)＝－3，
故所求切线方程为y－1＝－3(x－0)，即3x＋y－1＝0.
(2)证明 设g(x)＝f′(x)＝ex－4cos x，
则g′(x)＝ex＋4sin x.
显然当x∈[0，π]时，g′(x)>0，
当x∈[π，＋∞)时，g′(x)>eπ－4>0，
所以f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，
又f′(0)＝－3<0，f′＝ －2>0，
所以存在唯一x∈，使f′(x)＝0.
0 0
则当x∈[0，x)时，f′(x)<0，当x∈(x，＋∞)时，f′(x)>0.
0 0
故f(x)在(0，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增．
0 0
因为f(0)＝1>0，f ＝ －2<e－2<0，f(π)＝eπ>0，所以f(x)在[0，＋∞)上有两个零点．
3．解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝ln x－x，
f′(x)＝－1＝，x>0，
令f′(x)>0，得0<x<1；
令f′(x)<0，得x>1，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)f′(x)＝＋＝，
①当a>0时，∵x>0，∴f′(x)>0，
∴函数f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x) ＝f(e)＝2，∴＋1＝2，
max
∴a＝e，符合题意；
②当a<0且－a<e，即－e<a<0时，令f′(x)＝0，得x＝－a，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x (0，－a) －a (－a，e)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
∴f(x) ＝f(－a)＝2，
max
∴－1＋ln(－a)＝2，
∴a＝－e3，不符合题意，舍去；
③当－a≥e，即a≤－e时，在(0，e]上，f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，e]上单调递增，
故f(x)在(0，e]上的最大值为f(e)＝＋1＝2，
∴a＝e，不符合题意，舍去，
综上可得a＝e.
4．解 (1)f′(x)＝－a(x>0)，
当a≤0时，f′(x)>0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，当x∈时，
f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，
f′(x)<0，f(x)单调递减．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x，
由g(x)＝x＋ln m，
得g(x)＝ln eg(x)，
∴eg(x)＋g(x)＝eg(x)＋ln eg(x)
＝f(eg(x))，
∴f(eg(x))≥f(x)，
由(1)可得f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴eg(x)≥x，即ex＋ln m≥x，
∴x＋ln m≥ln x，∴ln m≥ln x－x，
令h(x)＝ln x－x，
则h′(x)＝－1，
当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
∴h(x) ＝h(1)＝－1，
max
∴ln m≥－1，
∴m≥.
5．(1)证明 构建F(x)＝x－sin x，
则F′(x)＝1－cos x>0对∀x∈(0,1)恒成立，
则F(x)在(0,1)上单调递增，
可得F(x)>F(0)＝0，
所以x>sin x，x∈(0,1)；
构建G(x)＝sin x－(x－x2)
＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，
则G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，
令g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，
则g′(x)＝2－sin x>0
对∀x∈(0,1)恒成立，
则g(x)在(0,1)上单调递增，
可得g(x)>g(0)＝0，
即G′(x)>0对∀x∈(0,1)恒成立，
则G(x)在(0,1)上单调递增，
可得G(x)>G(0)＝0，
所以sin x>x－x2，x∈(0,1)．综上所述，当0<x<1时，
x－x2<sin x<x.
(2)解 因为f(x)＝cos ax－ln(1－x2)(－1<x<1)，
所以f(x)＝f(－x)，
所以f(x)为偶函数．
f′(x)＝－asin ax＋
(－1<x<1)，
令t(x)＝－asin ax＋
(－1<x<1)，
则t′(x)＝－a2cos ax＋(－1<x<1)．
令n(x)＝－a2cos ax＋，
则n′(x)＝a3sin ax＋.
当a＝0时，
当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以x＝0是f(x)的极小值点，不符合题意．
当a>0时，取与1中的较小者，为m，
则当0<x<m时，易知n′(x)>0，
所以n(x)即t′(x)在(0，m)上单调递增，
所以t′(x)>t′(0)＝2－a2.
①当2－a2≥0，即0<a≤时，
t′(x)>0(0<x<m)．
所以t(x)在(0，m)上单调递增，
所以t(x)>t(0)＝0，即f′(x)>0.
那么f(x)在(0，m)上单调递增，
由偶函数性质知f(x)在(－m,0)上单调递减．
故x＝0是f(x)的极小值点，不符合题意．
②当2－a2<0，即a>时，
当<1，即a>时，
因为t′(0)<0，t′>0，
所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x，
1
且当0<x<x 时，t′(x)<0，t(x)单调递减，
1
因为t(0)＝0，所以当0<x<x 时，t(x)<0，
1
即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x)上单调递减，
1
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－x,0)上单调递增，
1
故可得x＝0是f(x)的极大值点，符合题意．
当≥1，即<a≤时，
因为t′(0)<0，
t′＝－a2cos ＋>0，
所以t′(x)在(0，m)上存在唯一零点x，且当0<x<x 时，t′(x)<0，
2 2
t(x)单调递减．
因为t(0)＝0，
所以当0<x<x 时，t(x)<0，
2
即f′(x)<0，
所以f(x)在(0，x)上单调递减．
2
因为f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－x,0)上单调递增，
2
故可得x＝0是f(x)的极大值点，符合题意．
当a<0时，由偶函数图象的对称性可得a<－.
综上所述，a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．
必刷小题 7 三角函数
1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A
7．B
8．A [因为BC∥x轴，所以f(x)图象的一条对称轴为
x＝×＝，
所以＝－＝，
则T＝π，所以ω＝＝2，
又2×＋φ＝π＋kπ，k∈Z，且0<φ<π，所以φ＝，
故f(x)＝sin，
因为当x∈时，不等式f(x)≥m－sin 2x恒成立，
所以m≤f(x)＋sin 2x＝sin＋sin 2x
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
x∈恒成立，
令g(x)＝sin，x∈，则2x＋∈，
所以g(x)＝sin的最小值为，所以m≤，
即m的取值范围是.]
9．ACD
10．AD [因为tan(α＋β)＝＝tan α＋tan β，
又当tan α＋tan β≠0时，
1－tan αtan β＝1，所以tan αtan β＝0，
所以tan α＝0或tan β＝0，这与α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)矛盾；
所以tan α＋tan β＝0，则α＋β＝kπ(k∈Z)，
对于A，sin(α＋β)＝sin kπ＝0，故A正确；
对于B，cos(α＋β)＝cos kπ＝±1，故B错误；
对于C，sin2＋sin2＝＋＝1－(cos α＋cos β)，不一定有cos α＋cos β＝0，故C错误；
对于D，sin2α＋cos2β＝sin2α＋cos2(kπ－α)＝sin2α＋cos2α＝1，故D正确．]
11．ACD [f(x)＝cos 2x＋cos
＝cos 2x＋cos 2x－sin 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
所以g(x)＝cos
＋1＝cos＋1
＝－sin 2x＋1，
选项A，g(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；
选项B，由x∈，知2x∈，所以sin 2x∈[0,1]，所以g(x)的最小值为1－，故B错误；
选项C，令2x∈，
则x∈，
因为⊆，
所以g(x)在上单调递减，故C正确；
选项D，令2x＝kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，所以g(x)图象的对称中心为，k∈Z，故D正
确．]
12．AD [f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，
g(x)＝sin x＋cos x＝sin，选项A，由x∈知，2x∈，x＋∈，
又函数y＝sin x在上单调递增，
所以f(x)与g(x)均在上单调递增，故A正确；
选项B，f(x)的图象需由g(x)的图象经过平移和伸缩变换得到，故B错误；
选项C，令2x＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝＋，
1 1 1
k∈Z，
1
令x＋＝＋kπ，k∈Z，则 x＝＋kπ，k∈Z，所以 g(x)图象的对称轴为直线 x＝＋kπ，
2 2 2 2 2
k∈Z，
2
所以g(x)图象的对称轴均为f(x)图象的对称轴，故C错误；
选项D，因为f(x) ＝，g(x) ＝，
max max
而当x＝时，f(x) ＝与g(x) ＝可同时成立，
max max
所以y＝f(x)＋g(x)的最大值为＋，故D正确．]
13. 14.
15．g(x)＝2cos 2x
解析 由题意可知，f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＝sin 2x－(1＋cos 2x)
＝sin 2x－cos 2x－
＝2sin－，
将f(x)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝2sin－＋＝2cos 2x.
16.∪
解析 因为f(x)＝sin(3x＋φ)为奇函数，
所以φ＝0，f(x)＝sin 3x.
由f(α)＋f(β)＝0，
可得sin 3α＋sin 3β＝0，
所以3β＝3α＋π＋2kπ，或3β＝－3α＋2kπ，k∈Z，
所以β＝α＋＋，或β＝－α＋，k∈Z，
若对任意α∈，存在β∈，满足f(α)＋f(β)＝0，
则－≤α＋＋≤α，k∈Z，
即＋≤0，α≥－－，k∈Z，
则k只能取－1，α＝，
或－≤－α＋≤α，k∈Z，
则≤α≤＋，k∈Z，
则k只能取0,0≤α≤，
综上可得，实数α的取值范围是∪.必刷小题 8 解三角形
1．C 2.C 3.D 4.B 5.A 6.D
7．A [依题意分析可知，当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)，
因为B为AD′的中点，
所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)，
当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，所以BD＝20(cm)，
在△ABD中，cos∠BAD＝＝＝，
所以cos∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×－1＝－.]
8．D [设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则AB边上的高h＝asin B＝a，
由正弦定理得a＝＝＝＝＋.
由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°，则tan C>，
所以a＝＋∈，
从而h∈，
因此AB边上的高的取值范围是.]
9．AB
10．ABD [由已知及正弦定理得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，故A正确；
由cos A＝可得sin A＝＝，
则tan A＝＝2，故B正确；
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc·，
整理得3b＝2c，则△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝c，故C错误；
由以上可知，a＝3b－c,3b＝2c，可得a＝c，故D正确．]
11．BC [对于A，由于a＝3，b＝3，B＝30°，
利用正弦定理＝，
解得sin A＝，
由于0°<A<150°，所以A＝60°或120°，故A错误；
对于B，当A>B时，a>b，
根据正弦定理＝，
可得sin A>sin B，故B正确；
对于C，若<cos A，
则c<bcos A，故2c2<2bccos A，结合余弦定理cos A＝，得a2＋c2<b2，
故△ABC为钝角三角形，故C正确；
对于D，若a＝，b＝3，且c2＋ab＝a2＋b2，
利用余弦定理可得ab＝2abcos C，
解得cos C＝，
因为0°<C<180°，所以C＝60°，
所以S ＝absin C＝××3×＝，故D错误．]
△ABC
12．ABC [因为＋＝，
所以＋
＝
＝＝＝，
即sin2C＝sin Asin B，即c2＝ab.
对选项A，因为c2＝ab，
所以a，c，b成等比数列，故A正确；
对选项B，因为a＝2b，c2＝ab＝2b2，
即c＝b，
所以a∶b∶c＝2∶1∶，
即sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，故B正确；
对选项C，若a＝4，则b＝2，c＝2，
则cos B＝＝，
因为0<B<π，所以sin B＝.
故S ＝×4×2×＝，故C正确；
△ABC
对选项D，若A，B，C成等差数列，
则2B＝A＋C.
又因为A＋B＋C＝π，则B＝.
因为a∶b∶c＝2∶1∶，
设a＝2k，b＝k，c＝k，k>0，
则cos B＝＝≠，故D错误．]
13. 14.8
15. 12π
解析 由cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C，
可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sin Asin C，
即sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，
则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理得cos B＝＝，
又因为B∈(0，π)，可得B＝，
设△ABC外接圆的半径为R，则R＝＝2，
所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π.
16．4
解析 因为在△ABC中，
(CA＋CB)·AB＝|AB|2，
所以CA·AB＋CB·AB＝|AB|2，
所以bccos(π－A)＋accos B＝c2，
即acos B－bcos A＝c，
由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)，
化简得sin Acos B＝4sin Bcos A，
所以＝＝4.
必刷大题 9 解三角形
1．解 (1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，
则BC＝，
由正弦定理可得sin∠ABC＝＝＝.
(2)由三角形面积公式可得
＝＝4，
则S ＝S
△ACD △ABC
＝×
＝.
2．解 (1)由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B，
在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin Ccos A，
则sin Asin C＝sin Ccos A，
又C∈(0，π)，sin C≠0，
∴tan A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
(2)依题意得S ＝bc·sin∠BAC＝AD·csin∠BAD＋AD·b·sin∠CAD，
△ABC
即bc＝(b＋c)，
由余弦定理得4＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－(b＋c)＝4，
解得b＋c＝，
∴△ABC的周长为＋2.
3．解 (1)如图，在△ABD中，由正弦定理可得
＝，
在△BCD中，由正弦定理可得
＝.
因为AB∥CD，所以∠ABD＝∠BDC，
所以＝.
而BC＝AD，∠BAD＝2∠BCD，
故＝，
又sin 2∠BCD＝2sin∠BCDcos∠BCD，
所以cos∠BCD＝.
因为0°<∠BCD<180°，
故∠BCD＝30°，故∠ABC＝150°.
(2)因为∠BAD＝2∠BCD＝60°，
且∠ABD＝∠ADB，
故AB＝AD＝BD，△ABD为等边三角形．
所以∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝150°－60°＝90°，
因为CD＝4，∠BCD＝30°，
所以BD＝2，
故四边形ABCD的面积S＝S ＋S ＝×2×2×sin 60°＋×2×4×sin 60°＝3.
△ABD △BDC
4．解 (1)由3(acos C－b)＝csin A
及正弦定理可得3(sin Acos C－sin B)＝sin Csin A，
即3(sin Acos C－sin Acos C－cos Asin C)＝sin Csin A，
即－3cos Asin C＝sin Csin A，
又C∈(0，π)，则sin C>0，
则tan A＝－，又A∈(0，π)，则A＝.
(2)∵△ABC的面积为2，
∴bcsin A＝2，
又A＝，∴bc＝8，
又∵D为BC边上一点，且BD＝2CD，
∴AD＝AB＋BC
＝AB＋(AC－AB)
＝AB＋AC，
则AD2＝2
＝AB2＋AC2＋AB·AC
＝c2＋b2＋bc×
＝c2＋b2－bc
≥2××bc－bc
＝bc＝，
当且仅当c2＝b2，即c＝4，b＝2时取等号，即AD2的最小值为.
即AD的最小值为.
5．解 (1)该三角形同时满足①②③，理由如下：
若非钝角△ABC同时满足①④，
∵sin C＝<，
∴0<C<或<C<π(舍)，
又A＝，∴<A＋C<，
∴<B＝π－(A＋C)<，
这与△ABC为非钝角三角形相矛盾，故①④不能同时选，
∴②③必选．
若选②③④，∵a<c，∴A<C，
∵sin C＝<，∴0<C<，
∴A＋C<，
∴B＝π－(A＋C)>，
与△ABC为非钝角三角形相矛盾，
∴该三角形同时满足①②③.
(2)由余弦定理知，
a2＝b2＋c2－2bccos A
＝b2＋32－2×4×b×＝16，化简得b2－8b＋16＝0，∴b＝4，
∴S ＝bcsin A＝×4×4×＝8.
△ABC
6．解 (1)方法一 因为bcos C＋ccos B＝6，
由余弦定理，得b·＋c·＝a＝6.
方法二 因为bcos C＋ccos B＝6，
由正弦定理，得
2R(sin Bcos C＋sin Ccos B)＝6，
所以2Rsin(B＋C)＝6，
所以2Rsin A＝6，即a＝6.
(2)选择①.
因为＝＝＝
＝6，
所以b＝6sin B，c＝6sin C，
所以S＝bcsin A＝18sin Bsin C
＝18sin Bsin
＝18sin B
＝18sin Bcos B＋18sin2B
＝9sin 2B＋9－9cos 2B
＝9sin＋9，
因为△ABC是锐角三角形，
所以
又C＝－B，所以<B<，
所以<2B－<，
所以<sin≤1，
所以9<9sin≤9，
所以18<S≤9＋9，
即△ABC的面积S的取值范围是(18,9＋9]．
选择②.
因为b＋c＝10，则c＝10－b，
因为△ABC是锐角三角形，
所以
即
解得<b<，因为cos C＝＝，
所以sin C＝＝，
所以S＝absin C
＝3b·
＝4，<b<，
设g(x)＝－x2＋10x－16＝－(x－5)2＋9，<x<，
由二次函数的性质可得，当x＝5时，g(x)取得最大值g(5)＝9，
当x＝时，g(x)＝，
又＝，
所以g(x)∈，
即－b2＋10b－16∈，
所以∈，
所以<S≤12，
即△ABC的面积S的取值范围是.
必刷小题 10 平面向量与复数
1．B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.C 7.A
8．D [以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(－1,0)，B(1,0)，
C(1,2)，D(－1,2)，
设P(x，y)，则PA＝(－1－x，－y)，PB＝(1－x，－y)，
由PA·PB＝－(1－x2)＋y2＝0，
得x2＋y2＝1，
即x2－1＝－y2，
其中－1<x<1,0<y≤1，
则CP＝(x－1，y－2)，
DP＝(x＋1，y－2)，
则CP·DP＝x2－1＋(y－2)2＝－y2＋(y－2)2＝－4y＋4∈[0,4)．]
9．AC [由已知可得，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝7.又a·b＝1，|b|＝1，
所以a2＝4，所以|a|＝2，故A正确；
因为a·(a－b)＝a2－a·b＝3≠0，故B错误；
因为cos〈a，b〉＝＝，所以a与b的夹角为，故C正确，D错误．]
10．ABC [对于A，若复数z＝m2－1＋(m＋1)i是纯虚数，则解得m＝1，故A正确；
1
对于B，若z＝cos 2θ＋isin θ为实数，则sin θ＝0，则θ＝kπ，k∈Z，故B正确；
2
对于C，若z＝z，
1 2
则
则m2－1＝1－2(m＋1)2，
解得m＝0或m＝－，故C正确；
对于D，若z≥0，则
1
解得m＝－1，故D错误．]
11．BC [由题意可得|EM|＝|NF|＝1.
对于A，可得PM＝PE＋EM＝PE＋EF＝PE＋(PF－PE)＝PE＋PF，故A错误；
对于B，由EM＝NF，可得PM－PE＝PF－PN，整理得PE＋PF＝PM＋PN，故B正确；
对 于 C ， 由 题 意 可 得 0°<∠MPN<∠EPF ＝ 90° ， EP⊥PF ， 则 PM·PN ＝ |PM||PN|
cos∠MPN>0，PE·PF＝0，∴PM·PN>PE·PF，故C正确；
对于D，PF－PE＝EF，PN－PM＝MN，但向量不能比较大小，故D错误．]
12．AB [设a＝(x，y)，b＝(0,2)，c＝(，0)，|a－b|＋|a－c|＋|a＋c|
＝＋＋，
即点M(x，y)到A(－，0)，B(，0)，C(0,2)三个点的距离之和．
△ABC是等腰锐角三角形，
由费马点的性质可知当点M满足∠AMB＝∠AMC＝∠BMC＝120°时，点M到△ABC三个顶点
的距离之和最小，
因为A(－，0)，B(，0)，C(0,2)，
所以M(0,1)，|a－b|＋|a－c|＋|a＋c|的最小值是2－1＋2＋2＝2＋3.]
13．5 14.2
15．1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝，
|z|＝|a＋bi|＝，
∵|z＋2i|＝|z|，
∴＝，∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，
化简得4b＋4＝0，解得b＝－1.
∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)．
16. －2
解析 因为AF⊥AB，以点A为坐标原点，分别以AB，AF所在直线为x，y 轴，建立平面
直角坐标系，如图所示，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2＋，)，
E(2,2＋2)，
F(0,2＋2)，
AE＝(2,2＋2)，AF＝(0,2＋2)，AC＝(2＋，)，
因为AE＝λAC＋μAF，
则(2,2＋2)
＝λ(2＋，)＋μ(0,2＋2)，
所以
解得λ＝2－，μ＝2－2，
所以λ＋μ＝.
设P(x，y)，则－≤x≤2＋，
AP＝(x，y)，AB＝(2,0)，
则AP·AB＝2x∈[－2，4＋2]，
所以当点P在线段GH上时，AP·AB取得最小值－2.
必刷小题 11 数 列
1．C 2.C 3.B 4.C 5.A 6.B 7.D
8．C [由题意得，
S－3n(S －S)
n＋1 n
＝S(S＋2·3n)，
n n
则S－S＝3n(S ＋S)，
n＋1 n
又{a}都为正项，则S>0，
n n故S －S＝3n，
n＋1 n
所以S －S ＋…＋S－S＋S－S＝32 022＋…＋32＋3
2 023 2 022 3 2 2 1
＝，
所以S －S＝S －2
2 023 1 2 023
＝，
故S ＝.]
2 023
9．BD [正项等比数列{a}的公比为q，
n
则a＝aqn－1，
n 1
由aaa＝4，aaa＝12，
1 2 3 4 5 6
得a＝4，a＝12，故B正确；
而a＝aq3，于是(aq3)3＝12，
5 2 2
即q9＝3，故A错误；
而a＝，则aa＝a＝2，故C错误；
5 4 6
由a a a ＝324，
n＋1 n＋2 n＋3
得a＝324，即(aqn)3＝324，
2
因为a＝4，
因此q3n＝81＝34＝(q9)4＝q36，
显然q>1，所以3n＝36，解得n＝12，故D正确．]
10．AB [设等比数列{a}的公比为q(q≠0)，
n
则有＝q，所以＝＝，
所以是以为公比的等比数列，故A正确；
＝q2，
所以{aa }是以q2为公比的等比数列，故B正确；
n n＋1
若公比q＝－1，则S ＝0，
2n
所以S，S ，S 不能构成等比数列，故C错误；
n 2n 3n
若公比q＝－1，且n为偶数，
则S，S －S，S －S 都等于0，
n 2n n 3n 2n
此时不能构成等比数列，故D错误．]
11．ACD [因为a，a，a 成等比数列，
1 4 6
所以aa＝a，
1 6
即a(a＋5d)＝(a＋3d)2，
1 1 1
整理得ad＝－9d2，
1
因为d≠0，所以a＝－9d，
1所以a ＝a＋9d＝0，
10 1
则S ＝＝19a ＝0，故A正确，B错误；
19 10
当d<0时，{a}是递减数列，
n
此时a>a>…>a>a ＝0>a >…，所以当n＝9或n＝10时，S 取得最大值，
1 2 9 10 11 n
即(S) ＝S＝S ，故C正确；
n max 9 10
当d>0时，{a}是递增数列，
n
此时a<a<…<a<a ＝0<a <…，
1 2 9 10 11
所以当n＝9或n＝10时，S 取得最小值，
n
即(S) ＝S＝S ，故D正确．]
n min 9 10
12．ABD [因为＝＝＝3(n≥2)，
所以数列{a －a}为公比为3的等比数列，故A正确；
n＋1 n
因为(a －3a)－(a－3a )＝a －4a＋3a ＝0，
n＋1 n n n－1 n＋1 n n－1
即a －3a＝a－3a (n≥2)，
n＋1 n n n－1
所以数列{a －3a}为常数列，即公差为0的等差数列，故B正确；
n＋1 n
由以上分析可得a －a＝1×3n－1，且a －3a＝－1，
n＋1 n n＋1 n
解得a＝，故C错误；
n
S＝a＋a＋…＋a
n 1 2 n
＝＋＋…＋
＝×(30＋31＋…＋3n－1)＋
＝×＋＝＋，故D正确．]
13．－或 14.－×n－1
15．2n(符合kn(k>0)的形式即可)
16．9 3
解析 因为a－a ＝d(n＝2,3,4，…)，
n n－1
所以a－a ＝d，a －a ＝d，…，a－a＝d，
n n－1 n－1 n－2 2 1
累加得a＝a＋(n－1)d，
n 1
所以a＝a＋(k－1)d，
k 1
则a·a＝a＋(k－1)a·d＝0，
1 k 1
即4－＝0，解得k＝9；
a＝a＋(n－1)d，
n 1
即a＝|a|2＝[a＋(n－1)d]2＝－(n－1)＋4(n∈N*)，
n 1
易知当n－1＝－＝2，
即n＝3时，|a|取得最小值．
n必刷大题 12 数列的综合问题
1．解 (1)因为数列{a}的通项公式为a＝(－1)n(2n－1)，
n n
所以a＝－1，a＝3，a＝－5，a＝7.
1 2 3 4
(2)由a＝(－1)n(2n－1)，
n
可得当n为奇数时，a＋a ＝(－1)n(2n－1)＋(－1)n＋1(2n＋1)＝2，
n n＋1
所以S ＝(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )
2 024 1 2 3 4 2 023 2 024
＝2＋2＋…＋2＝2×1 012＝2 024.
2．(1)解 因为S＝a ，
n n＋1
所以(n＋2)S＝na ，
n n＋1
因为a ＝S －S，
n＋1 n＋1 n
所以(n＋2)S＝n(S －S)，
n n＋1 n
即nS ＝2(n＋1)S，
n＋1 n
所以＝2·(n∈N*)．
即b ＝2b，
n＋1 n
又b＝S＝2，
1 1
所以数列{b}是首项为2，公比为2的等比数列．
n
所以b＝2n.
n
(2)证明 c＝
n
＝
＝－，
故数列{c}的前n项和T＝＋＋…＋
n n
＝1－，
因为n∈N*，
所以0<≤，
所以≤T<1.
n
3．解 (1)由题意，当n＝1时，S＋2＝a＋2＝2a，解得a＝2，
1 1 1 1
当n＝2时，S＋2＝2a，
2 2
即a＋a＋2＝2a，解得a＝4，
1 2 2 2
当n≥2时，由S＋2＝2a，
n n
可得S ＋2＝2a ，
n－1 n－1
两式相减，可得a＝2a－2a ，
n n n－1
整理，得a＝2a ，
n n－1∴数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，
n
∴a＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
n
(2)由(1)可得，a＝2n，a ＝2n＋1，
n n＋1
在a 与a 之间插入n个数，使得这n＋2个数依次组成公差为d 的等差数列，
n n＋1 n
则有a －a＝(n＋1)d，
n＋1 n n
∴d＝＝，
n
∴＝，
∴T＝＋＋…＋＝＋＋＋…＋，
n
T＝＋＋＋…＋＋，
n
两式相减，
可得T＝＋＋＋…＋－
n
＝1＋－
＝－，∴T＝3－.
n
4．(1)解 a＝a＋2d＝7，
3 1
S＝3a＋3d＝5a，
3 1 1
解得a＝3，d＝2，
1
故a＝2n＋1.
n
(2)证明 S＝3n＋×2＝n2＋2n，
n
1＋＝1＋＝1＋－，
T＝1＋－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－＝n＋3－－，
n
当n≥3，要证明T>，
n
即n＋3－－>n＋2，
即证1>＋，
易知＋是一个递减数列，
故当n＝3时，其最大值为＋＝<1，得证．
5．解 (1)由题意知，在数列{a}中，a ＝3S＋1，
n n＋1 n
a＝3S ＋1，n≥2，
n n－1
两式相减可得a －a＝3a，a ＝4a，n≥2，
n＋1 n n n＋1 n
由条件知，a＝3a＋1＝4a，
2 1 1
故a ＝4a(n∈N*)．
n＋1 n
∴{a}是以1为首项，4为公比的等比数列．
n
∴a＝4n－1(n∈N*)．
n
(2)由(1)知，a＝4n－1(n∈N*)，
n∴b＝，
n
如果满足条件的b ，b，b 存在，
m k p
则b＝b b，
m p
∴＝·，
∵2k＝m＋p，
∴(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)，
解得k2＝mp，
∵2k＝m＋p，
∴k＝m＝p，与已知矛盾，
∴不存在满足条件的三项．
6．(1)解 T＝aa＝2×6＝12，
2 1 2
若T 为数列{a}中的项，则存在m∈N*，
2 n
使得T＝a ，即12＝2·3m－1，
2 m
所以m＝log 6＋1∉N*，所以{a}不是“前n项之积封闭数列”．
3 n
(2)证明 充分性：
因为T＝aa·…·a(n∈N*)，
n 1 2 n
所以T＝a，
1 1
当n∈N*，n≥2时，
因为a＝1，所以a＝qn－1，
1 n
所以T＝aa·…·a＝q0＋1＋2＋…＋(n－1)＝ ，
n 1 2 n
因为∈N*，
所以令＝k，则T＝a ，
n k＋1
所以数列{a}是“前n项之积封闭数列”，
n
所以充分性成立．
必要性：
当a＝q≠1时，a＝aqn－1＝qn，
1 n 1
所以T＝aa·…·a＝q1＋2＋…＋n＝ ，
n 1 2 n
因为∈N*，
令＝l，
所以T＝a，
n l
即此时数列{a}是“前n项之积封闭数列”，所以必要性不成立．
n
综上，a＝1是数列{a}为“前n项之积封闭数列”的充分不必要条件．
1 n必刷小题 13 立体几何
1．C 2.D 3.D 4.B
5．C [对于A，如图(1)，α∩β＝l，m⊥l，n∥l，则满足m∥α，n∥β，m⊥n，平面α与β
不一定垂直，故A错误；
对于B，如图(2)，α∩β＝l，n∥l，m⊥α，则满足n∥β，m⊥n，平面α与β不一定垂直，故
B错误；
对于C，如图(3)，m⊥α，n⊥β，m⊥n，在直线m，n上取两个向量BA，DC，则BA，DC分
别为平面α，β的法向量，且BA⊥DC，则α⊥β，故C正确；
对于D，如图(4)，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m⊥l，n∥l，则m⊥n，平面α与β不一定垂直，
故D错误．]
6．B [设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，作DE⊥BC交BC于点E，则∠CDE为“切面”所
在平面与底面所成的角，设为θ.
设底面圆的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为2b＝DE＝2r，
则椭圆的长轴长2a＝CD＝，
即a＝，
所以椭圆的离心率为e＝＝＝＝＝sin θ，
所以θ＝.]
7．A [如图，作出圆台的轴截面，作DF⊥BC，垂足为F，由题意知圆O与梯形ABCD相
切，则DC＝DE＋CE＝OD＋OC＝r＋r，
2 1 2 1又DC＝
＝，
故＝r＋r，
1 2
化简可得R2＝rr，
1 2
则＝
＝＝＋
>＋＝(r>r，故取不到等号)，
1 2
由于，，都不大于，
故的可能取值为.]
8．B [根据题意，在平面VAC内，过点P作EF∥AC分别交VA，VC于点F，E，
在平面VBC内，过点E作EQ∥VB交BC于点Q，
在平面VAB内，过点F作FD∥VB交AB于点D，连接DQ，如图所示，
因为EF∥AC，
所以△VEF∽△VCA，设其相似比为k，
则＝＝＝k,0<k<1，
因为VA＝VB＝VC＝1，且两两垂直，所以AC＝，
即EF＝k，
因为FD∥ VB，
所以△AFD∽△AVB，
即＝＝，
因为＝＝1－k，
所以＝＝1－k，即FD＝1－k，
同理△CEQ∽△CVB，
即＝＝＝1－k，
即EQ＝1－k，
所以FD∥EQ，且FD＝EQ，
所以四边形FEQD为平行四边形，因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA⊂平面VAC，VC⊂平面VAC，
所以VB⊥平面VAC，
因为FD∥VB，
所以FD⊥平面VAC，
因为EF⊂平面VAC，
所以FD⊥EF，
所以四边形FEQD是矩形，即S ＝FD·EF＝(1－k)·k＝－2＋，
矩形FEQD
所以当k＝时，
S 有最大值.
矩形FEQD
故该截面面积的最大值是 dm2.]
9．AD [由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得R＝3r，圆
柱的高等于球形巧克力的直径，即h＝2r，
V＝，V＝πR2h＝18πr3，
1 2
则有2V＝27V.]
2 1
10．ACD [如图，在正六棱台ABCDEF－ABC DEF 中，
1 1 1 1 1 1
因为AB＝2 cm，AB＝6 cm，
1 1
AA＝5 cm，
1
所以侧面的梯形ABBA 的高即正六棱台斜高为
1 1
＝(cm)，
所以梯形ABBA 的面积为
1 1
S＝×(2＋6)×
＝4 (cm2)，
故正六棱台的侧面积为
6S＝6×4＝24(cm2)，故B错误；
由图可知该正六棱台的上底面积为6个边长为2的等边三角形组成，
所以该正六棱台的上底面积为
S＝6××2×2×sin 60°＝6(cm2)，故A正确；
1
同理下底面积为
S＝6××6×6×sin 60°＝54(cm2)，
2所以该正六棱台的表面积是
6S＋S＋S＝(60＋24)cm2，故C正确；
1 2
正六棱台的高为OO ＝＝3(cm)，故D正确．]
1
11．BC [设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2a，
1 1 1 1
则MN＝
＝＝a，
作点E在平面ABCD内的射影点G，
连接EG，GF，
所以EF＝
＝
＝a，
所以MN≠EF，故选项B正确，A错误；
连接DE，因为E为平面ADD A 的中心，所以DE＝AD，
1 1 1
又因为M，N分别为BC ，CC 的中点，
1 1 1
所以MN∥BC，
1
又因为BC∥AD，所以MN∥ED，
1 1
且DE∩EF＝E，
所以MN与EF异面，故选项C正确，D错误．]
12．ABC [对于A，在三棱柱ABC－ABC 中，
1 1 1
BB∥CC ，CC ⊂平面 ACC A，
1 1 1 1 1
BB⊄平面ACC A，
1 1 1
所以BB∥平面 ACC A，
1 1 1
又CC ∩C D＝C ，所以 C D 与 BB 是异面直线，故A正确；
1 1 1 1 1
对于B，因为AA 垂直于底面ABC，BD⊂平面ABC，所以AA⊥BD，
1 1
又因为△ABC为正三角形，且D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又AC∩AA＝A，AC，
1
AA⊂平面ACC A，
1 1 1
所以BD⊥平面ACC A，
1 1
又AC ⊂平面ACC A，
1 1 1 1所以BD⊥AC ，故B正确；
1 1
对于C，因为 BD⊥平面 ACC A ，BD⊂平面BDC ，所以平面BDC ⊥平面 ACC A ，故C
1 1 1 1 1 1
正确；
对于D，因为 AB∩平面 BDC ＝B，所以AB与平面BDC 不平行，
1 1
又 AB∥AB，所以AB 与平面BDC 不平行，故D错误．]
1 1 1 1 1
13．2 14.
15．20 2
解析 由题意可得DF∥BE，
1
则 ＝ ＋ ＝ ＋
＝×
＝×＝20.
将长方体展开，如图所示，当点E为BD 与CC 的交点，F为BD 与AA 的交点时，截面四
1 1 1 1
边形BED F的周长最小，最小值为2BD＝2＝2.
1 1
16. 40π
解析 由题意可知，平面ABCD∥平面EFGH∥平面MNPQ，
设平面EMZ交平面ABCD于AJ，
因为平面EMZ交平面MNPQ＝MZ，
所以MZ∥AJ，
设DK∩AJ＝L，
因为DK⊥MZ，所以DK⊥AJ，
因为∠DKC＋∠KDC＝，
∠DJL＋∠KDC＝，
所以∠DKC＝∠DJL，
而∠DCK＝∠ADJ＝，
所以△DCK∽△ADJ，
所以＝，所以＝，因为四边形ABCD为正方形，
所以CJ∶JD＝BK∶KC＝2∶1.
所以＝＝，
几何体EFGH－MNPQ为正四棱台，
由正四棱台的对称性可知，
几何体EFGH－MNPQ的外接球的球心必在平面NFHQ上，
设NQ的中点为O，FH的中点为O，
1 2
则球心O在OO 上，连接OO ，OF，ON，
1 2 1
由题意可知，FH＝AB＝4，
NQ＝MN＝2，FO＝2，NO＝，
2 1
过N作NS⊥FH于S，
则FS＝(FH－NQ)
＝(4－2)＝，
由勾股定理得NS＝＝＝，
所以OO＝NS＝，
1 2
设外接球的半径为R，OO ＝d，
2
由R＝OF＝ON可得＝，
即＝，
解得d＝，
所以R＝OF＝＝，
所以几何体EFGH－MNPQ外接球的表面积为S＝4πR2＝40π.
必刷大题 14 空间向量与立体几何
1．证明 (1)由题意知，AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线
分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，设PA＝AB＝2，则P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，M(1，1,1)，PB＝(2,0，－2)，PD＝(0,2，－
2)，AM＝(1,1,1)，
设平面PBD的法向量为
n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1,1,1)，
∵AM＝n，
∴AM⊥平面PBD.
(2)如图，连接AC交BD于点E，
则E是AC的中点，连接PE，
∵AM∩平面PBD＝O，
∴O∈AM且O∈平面 PBD，
∵AM⊂平面PAC，
∴O∈平面PAC，
又平面PBD∩平面PAC＝PE，
∴O∈PE，
∴AM，PE的交点就是O，连接EM，
∵M是PC的中点，
∴PA∥EM，PA＝2EM，
∴△PAO∽△EMO，
∴＝＝，
∴AO＝2OM.
2．解 (1)连接OC，因为AC＝BC，O为AB的中点，
所以OC⊥AB，
由题意知AO⊥平面ABC，
1
又AA＝2，
1
OA＝AB＝1，
所以AO＝，∠AAO＝60°，
1 1
以点O为原点，OA，OC，OA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角
1
坐标系，
则A(0,0，)，A(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0，，0)，
1
由AB＝A1B1得B(－2,0，)，
1
同理得C (－1，，)，
1
设BD＝tBB1，t∈[0,1]，
得D(－1－t,0，t)，
又AC1＝(－2，，)，
A1D＝(－1－t,0，t－)，
由AC1·A1D＝0，
得－2(－1－t)＋(t－)＝0，
得t＝，
又BB＝2，∴BD＝，
1
所以存在点D且BD＝满足条件．
(2)设平面BCC B 的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
BC＝(1，，0)，CC1＝(－1,0，)，
则有
可取n＝(，－1,1)，
又BA1＝(1,0，)，
所以点A 到平面BCC B 的距离为
1 1 1
＝＝，
所以所求距离为.
3．(1)证明 因为平面 CDD C ⊥平面 ABCD，且平面 CDD C ∩平面 ABCD＝DC，
1 1 1 1AD⊥DC，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CDD C ，
1 1
又DD⊂平面CDD C ，
1 1 1
所以AD⊥DD，则∠DDC是二面角D－AD－C的平面角，故∠DDC＝120°.
1 1 1 1
连接DE(图略)，因为E为棱C D 的中点，
1 1
则DE⊥C D，
1 1
又C D∥CD，从而DE⊥CD.
1 1
又AD⊥CD，DE∩AD＝D，DE，
AD⊂平面AED，
所以CD⊥平面AED，
又AE⊂平面AED，因此CD⊥AE.
(2)解 方法一 如图，连接DE，连接AC交BD于点O，连接CE交DF于点G，连接OG.
设AB＝2，
则DE＝＝，
所以CE＝AE＝＝.
因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AEC，平面AEC∩平面BDF＝OG，
所以AE∥OG，因为O为AC的中点，
所以G为CE的中点，
故OG＝AE＝.
且直线OG与DF所成的角等于直线AE与DF所成的角．
在Rt△EDC中，DG＝CE＝，
因为OD＝，
所以cos∠OGD＝
＝.
因此直线AE与DF所成角的余弦值为.
方法二 如图，连接DE，CE，取DC中点为G，连接EG交DF于点H，则EG＝DD ＝2.
1
连接AG交BD于点I，连接HI，
设AB＝2，则DE＝
＝，
所以CE＝AE＝＝.
因为AE∥平面BDF，AE⊂平面AGE，平面AGE∩平面BDF＝IH，
所以AE∥IH.
HI与DH所成角等于直线AE与DF所成角．
在正方形ABCD中，GI＝AG，
DI＝DB＝，
所以GH＝EG，
故HI＝AE＝.
在△DHG中，GH＝EG＝，
GD＝1，∠EGD＝60°，
由余弦定理得
DH＝
＝.
在△DHI中，
cos∠DHI＝＝.
因此直线AE与DF所成角的余弦值为.
方法三 连接DE，由(1)知DE⊥平面ABCD，以D为坐标原点，DA，DC，DE为x轴、y轴、
z轴正方向，|DA|为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
由(1)知DE＝，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0，)，C (0,1，)．
1
则CC1＝(0，－1，)，DC＝(0,2,0)，
AE＝(－2,0，)，DB＝(2,2,0)．
设CF＝tCC1＝(0，－t，t)(0≤t≤1)，
则DF＝DC＋CF＝(0,2－t，t)．
因为AE∥平面BDF，所以存在唯一的λ，μ∈R，
使得AE＝λDB＋μDF＝λ(2,2,0)＋μ(0,2－t，t)＝(2λ，2λ＋2μ－μt，μt)＝(－2,0，)，
故2λ＝－2,2λ＋2μ－μt＝0，μt＝，
解得t＝，从而DF＝.
所以直线AE与DF所成角的余弦值为|cos〈AE，DF〉|＝＝＝.4．(1)证明 如图，取AB的中点O，连接OC，OE，
因为AC＝BC，故∠BAC为锐角，
又ED∥AB，
故∠BAC即为异面直线DE与AC所成角，
则∠BAC＝45°，
则∠ACB＝90°，即AC⊥CB，
因为直角梯形ABDE和三角形ABC所在平面互相垂直，DB⊥AB，
平面ABDE∩平面ABC＝AB，
DB⊂平面ABDE，
故DB⊥平面ABC，
又DE＝OB，DE∥OB，
即四边形OBDE为平行四边形，
故EO∥DB，所以EO⊥平面ABC，
故以O为坐标原点，OC，OB，OE的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所
示，
则A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,1)，E(0,0,1)，F，G，
由于GH＝GE
＝，
可得H，
则AF＝，AB＝(0,2,0)，AH＝，
则AH＝AF＋AB，故A，B，F，H四点共面．
(2)解 因为DB⊥平面ABC，
AC⊂平面ABC，
所以DB⊥AC，且AC⊥BC，
DB∩BC＝B，DB，BC⊂平面BCD，
故AC⊥平面BCD，所以AC＝(1,1,0)可作为平面BCD的一个法向量，
设平面HCD的法向量为m＝(x，y，z)，
HC＝，
HD＝，则
即
令z＝1，则m＝(0，－1,1)，
设平面HCD与平面BCD的夹角为θ，
故cos θ＝|cos〈AC，m〉|＝＝＝，
故平面HCD与平面BCD夹角的余弦值为.
5．(1)解 ∵平面ABBA⊥平面ABC，且平面ABBA∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC⊂平面
1 1 1 1
ABC，
∴BC⊥平面ABBA，
1 1
∵BB⊂平面ABBA，
1 1 1
∴BC⊥BB，
1
又AC⊥BB，BC∩AC＝C，
1
BC，AC⊂平面ABC，
∴BB⊥平面ABC，
1
连接C B，如图，
1
∵DE∥平面BCC B，DE⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCC B＝C B，∴DE∥C B，
1 1 1 1 1 1 1 1
∵AE＝2EB，∴AD＝2DC1，
∴AC ＝AC.
1 1
∴三棱锥C－ABC 的底面△ABC 的面积S＝×2×3＝3，高h＝BB＝2，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴其体积为V＝Sh＝×3×2＝2.
1
(2)证明 以B为坐标原点，以BA，BC，BB1的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角
坐标系，如图，
则A(6,0,0)，C(0,4,0)，B(0,0,2)，A(3,0,2)，C (0,2,2)，
1 1 1
则B1A1＝(3,0,0)，B1C＝(0,4，－2)，CC1＝(0，－2,2)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
1 1
由取y＝1，
则n＝(0,1,2)，
∵平面ABC的一个法向量为BB1＝(0,0,2)，
∴cos α＝＝＝.
sin β＝＝＝.又∵α，β∈，
∴sin α＝，cos β＝.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
6．(1)证明 因为四边形ABCD为正方形，
所以AB⊥AD，
又PD⊥AB，AD∩PD＝D，
AD，PD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，所以PA⊥AB，
又AD⊥AB，所以∠PAD为二面角P－AB－C的平面角，
即∠PAD＝30°，
又平面PAD∥平面QBC，AB∥CD，
所以CD⊥平面QBC，
因为QC⊂平面QBC，所以QC⊥CD，
又CB⊥CD，所以∠QCB为二面角Q－CD－A的平面角，
即∠QCB＝30°，
建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C(2,2,0)，P，
Q，
所以PC＝，
AQ＝，
即PC＝AQ，所以PC∥AQ，
因为PC⊄平面QAB，AQ⊂平面QAB，
所以PC∥平面QAB，
又AB∥CD，CD⊄平面QAB，
AB⊂平面QAB，
所以CD∥平面QAB，
因为PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以平面PCD∥平面QAB.
(2)解 由点S在AP上，设点S(0,3m，m)，其中0<m<，点G，
所以GS＝，平面ABCD的法向量可以为n＝(0,0,1)，
设SG与平面ABCD所成角为θ，
则sin θ＝|cos〈GS，n〉|＝
＝＝，
即402＝4＋2＋2，
化简得84m2＋52m－11＝0，
即(6m－1)(14m＋11)＝0，
解得m＝或m＝－(舍去)，
所以存在点S满足条件，且点S到平面ABCD的距离为.
必刷小题 15 直线与圆
1．B 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B
7．C [方法一 令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y，则Δ≥0，
即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，
解得1－3≤k≤1＋3，
故x－y的最大值是3＋1.
方法二 x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，
其中θ∈[0,2π]，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1
＝3cos＋1，
因为θ∈[0,2π]，
所以θ＋∈，
则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1，
方法三 由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝≤3，
解得1－3≤k≤1＋3.故x－y的最大值为3＋1.]
8．B [如图，设A(0，－2)，两切点分别为B，C，
由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，
所以圆心坐标为(2,0)，半径r＝，
所以圆心到A(0，－2)的距离为
＝2，
由于圆心与A(0，－2)的连线平分∠BAC，
所以sin＝＝＝，
所以cos∠BAC＝1－2sin2＝－<0，
所以∠BAC为钝角，且∠BAC＋α＝π，
所以sin α＝sin∠BAC＝＝.]
9．AC
10．AD [圆C ：x2＋y2＝1的圆心为C (0,0)，半径为r＝1，
1 1
圆C ：(x－3)2＋(y＋4)2＝16的圆心为C (3，－4)，半径为R＝4.
2 2
两个圆心所在的直线斜率为＝－，所以选项A正确；
因为|C C |＝＝5，R＋r＝5，
1 2
所以两圆相外切，故没有公共弦，两圆的公切线有三条，当点 P，点Q运动到切点时，|PQ|
的最小值为0，因此选项B，C不正确，选项D正确．]
11．ABD [对于A，将(0,3)代入(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，
则(k－1)2＋(2k＋3)2＝1，
所以5k2＋10k＋9＝0，此时Δ＝100－4×5×9＝－80<0，
所以不存在k值，使圆C 经过点(0,3)，A对；
k
对于B，若圆C 关于直线l对称，则(1－k，－2k)在直线l：x－y＋1＝0上，
k
所以1－k＋2k＋1＝0，则k＝－2，B对；
对于C，由题意，C 到直线l的距离d＝＝，
k
所以＝＝，则|k＋2|＝1，可得k＝－3或－1，C错；
对于D，若圆C 与x轴、y轴均相切，则|1－k|＝2|k|＝1，显然无解，即不存在这样的圆C，
k k
D对．]
12．ACD [对于A选项，因为直线l的方程可化为x－y＋＋m(x＋y－3)＝0.令解得
所以直线l过定点Q(0，)，
直线l是过点Q的所有直线中除去直线x＋y－3＝0外的所有直线，
圆心C(1,0)到直线x＋y－3＝0的距离为＝1<2，即直线x＋y－3＝0与圆C相交，
又点Q(0，)在圆C：(x－1)2＋y2＝4上，所以直线l与C至少有一个公共点，
所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种，A正确；
对于B选项，当直线l为圆C的切线时，点C到直线l的距离最大，且最大值为|QC|＝2，B
错误；
对于C选项，因为圆心C到直线4x＋3y＋16＝0的距离d＝＝4，
所以圆C上的点P到直线4x＋3y＋16＝0距离的最小值为4－2＝2，C正确；
对于D选项，圆x2＋y2＝1的圆心为原点O，半径为1，
因为|OC|＝1＝2－1，所以圆C与圆O内切，故点P可能在圆x2＋y2＝1上，D正确．]
13. 14.2x＋y－5＝0
15.
解析 圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C的坐标为(2,0)，半径为1，
设直线y＝kx＋1上的点P(m，n)满足条件，
则以点P(m，n)为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，即两圆相交或相切，
所以0≤≤2，
所以点P(m，n)到点(2,0)的距离小于等于2，所以点(2,0)到直线y＝kx＋1的距离小于等于
2，
所以≤2，解得k≤.
所以k的取值范围为.
16.
解析 由题意得l：(x－3)m＋(1－y)＝0，l：(x－1)＋(y－3)m＝0，
1 2
∴l 恒过定点M(3,1)，l 恒过定点N(1,3)，
1 2
又l⊥l，∴P点轨迹是以MN为直径的圆，即以点(2,2)为圆心，以×＝为半径的圆，
1 2
∴P点轨迹方程为
(x－2)2＋(y－2)2＝2，
∵圆(x－2)2＋(y－2)2＝2与圆C的圆心距
d＝＝3>2，
∴两圆外离，∴|PQ|的最小值是两圆圆心距d减去两圆半径之和，
即|PQ| ＝3－2＝.
min必刷小题 16 圆锥曲线
1．C 2.D 3.B 4.A 5.C
6．A [由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知
|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，
当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，则最小值为|MF|－1＝－1＝2－1.]
7．B [作PM⊥x轴于点M，如图，
依题意|PM|＝c，∠PFF
2 1
＝120°，
则∠PFM＝60°，
2
由题意知F(c,0)，
2
由sin∠PFM＝＝，
2
得|PF|＝2c，
2
由双曲线的定义知|PF|＝2a＋2c，而|FF|＝2c，
1 1 2
在△PFF 中，由余弦定理得
1 2
|PF|2＝|PF|2＋|FF|2－2|PF|·|FF|·cos∠PFF，
1 2 1 2 2 1 2 2 1
解得2a＋2c＝2c，
即a＝(－1)c，
又离心率e＝，于是有e＝，
所以双曲线C的离心率为.]
8．D [可设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由消去x，
可得y2＋4y－4＝0，则y＋y＝－4，
1 2
即y＋y＝－x＋1－x＋1＝－4，
1 2 1 2
则x＋x＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，
1 2
易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，
则|AB|＝x＋1＋x＋1＝8，
1 2
且AB的垂直平分线方程为
y－(－2)＝1×(x－3)，
即y＝x－5，
则可设圆M的圆心为M(a，b)，
半径为r，
所以b＝a－5，
则圆M的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，
又圆心M(a，b)到直线l: y＝－x＋1的距离d＝＝，且满足2＋d2＝r2，
则16＋2(a－3)2＝r2，①
又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，
即(a＋1)2＝r2，②
①②联立解得或]
9．CD [由双曲线C：－＝1，
得a＝，b＝，c＝，
则双曲线C的实轴长为2，故A错误；
双曲线的渐近线方程为
y＝±x，
即x±y＝0，
取右焦点(，0)和渐近线x＋y＝0，
则右焦点(，0)到渐近线x＋y＝0的距离为＝，故B错误；
因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，
所以c＝＝2，则m＝2，故C正确；
因为渐近线y＝x和y＝－x垂直，
所以·＝－1，解得m＝2，故D正确．]
10．ABD [由椭圆C：＋＝1，
可得a＝4，b＝2，则c＝＝2，
对于选项A，椭圆C的离心率e＝＝，故A正确；
对于选项B，当点P为椭圆C的右顶点时，可得|PF| ＝a＋c＝6，故B正确；
1max
对于选项C，△FPF 的周长为2a＋2c＝12，故C错误；
1 2
对于选项D，当点P为椭圆C的短轴的端点时，可得|PF|＝|PF|＝a＝4，|FF|＝2c＝4，此
1 2 1 2
时△FPF 为等边三角形，故D正确．]
1 2
11．BCD [易知点F的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，
xx＝－p2＝－，选项B正确；
1 2
若MF＝λNF，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即，选项C正确；
抛物线x2＝y的焦点为，
准线方程为y＝－，
过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，
所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝，
所以线段|PP′|＝＝，
所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－＝－＝，选项D正确．]
12．BCD [由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆C外，
则＋>1，解得b<，
所以椭圆C的离心率e＝＝>，
即椭圆C的离心率的取值范围是，故A不正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以|QF|的取值范围是[a－c，a＋c]，
1
即[2－，2＋]，故B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F(－c,0)，F(c,0)，
1 2
由于AF1·AF2＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得QF1·QF2＝0，故C正确；
(|QF|＋|QF|)＝2＋＋≥2＋2＝4，
1 2
当且仅当|QF|＝|QF|＝2时，等号成立，
1 2
又|QF|＋|QF|＝4，
1 2
所以＋≥1，故D正确．]
13.＋＝1(答案不唯一) 14.15．x＝±
解析 因为＋＝4，所以＋＝4，可转化为点(x,2)到点(－2,0)和点(2,0)的距离之和为4，所以
点(x,2)在椭圆＋＝1上，则＋＝1，解得x＝±.
16．y2＝4x
解析 由抛物线C：y2＝2px(0<p<2a)可知F，
设|NF|＝4t(t>0)，
则|RF|＝t，|AB|＝2|RF|＝2t，则|NR|＝3t，
故2＋2＝|NB|2＝|NR|2，即2＋(t)2＝9t2；①
又点N(a,2)(a>0)在抛物线C：y2＝2px(0<p<2a)上，
故|NF|＝a＋＝4t，②
且12＝2pa，即pa＝6，③
①②联立得12a2－20ap＋3p2＝0，
得2a＝3p或6a＝p，
由于0<p<2a，故2a＝3p，结合③，
解得p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.
必刷大题 17 解析几何
1．(1)证明 设P(x，y)，则y＝4x，
0 0 0
因为点P在第一象限，
所以y＝2，
0
对y＝2两边求导得y′＝，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为
y－2＝(x－x)，
0
令y＝0，则x＝－x，
0
所以M(－x,0)，
0
所以线段MP的中点为，所以线段MP的中点在定直线x＝0上．
(2)解 若P(2,2)，
则M(－2,0)．
所以k ＝，k ＝2，
MP PF
因为PN⊥l，所以k ＝－，
PN
所以直线PF：y＝2(x－1)，
直线PN：y＝－(x－4)．
由
得2x2－5x＋2＝0，
所以x＝或2，所以Q，
由
得x2－10x＋16＝0，
所以x＝2或8，
所以N(8，－4)．
因为M(－2,0)，Q，N(8，－4)，
所以k ＝－，k ＝－，
MQ MN
所以M，Q，N三点共线．
2．解 (1)设A(x，y)，
因为|AE|＝|AF|，
所以
＝×，
将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1.
(2)将直线l：y＝kx＋m与双曲线－＝1联立，
得⇒(4k2－9)x2＋8kmx＋4m2＋36＝0，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以有
即m2＋9>4k2且k≠±，
所以x＋x＝－，
1 2
xx＝，
1 2
因为∠MON＝，
所以OM⊥ON，即OM·ON＝0，所以xx＋yy＝0 xx＋(kx＋m)·(kx＋m)＝0，
1 2 1 2 1 2 1 2
化简得(k2＋1)x 1 x 2 ＋km(x 1 ＋x 2 )＋m2＝0， ⇒把x ＋x ＝－，xx ＝代入，得(k2＋1)·＋km·＋m2＝0，化简得 m2＝，因为 m2＋9>4k2且
1 2 1 2
k≠±，
所以有＋9>4k2
且k≠±，
解得k≠±，
圆x2＋y2＝1的圆心为(0,0)，半径为1，
圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋m的距离d＝＝＝>1，
所以点A到直线l距离的最大值为＋1，最小值为－1，
所以点A到直线l距离的取值范围为.
3．解 (1)设椭圆C的半焦距为c>0，
由题意可得
解得
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由(1)可得F(1,0)，
根据题意可设直线l：y＝k(x－1)，A(x，y)，B(x，y)，P(m,0)(m≠1)，
1 1 2 2
联立方程
消去y得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0，
可得x＋x＝，xx＝，①
1 2 1 2
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，
则k ＋k ＝＋＝0，
PA PB
可得＋＝0，
因为k≠0，可得(x－1)(x－m)＋(x－m)(x－1)＝0，
1 2 1 2
整理得2xx－(m＋1)(x＋x)＋2m＝0，②
1 2 1 2
将①代入②得－＋2m＝0，解得m＝4，
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P(4,0)．
4．(1)解 设|FF|＝2c，
1 2
因为AF⊥FF，∠AFF＝30°，
1 1 2 2 1
所以|AF|＝c，|AF|＝c.
1 2
因为|AF|－|AF|＝c＝2a＝4，
2 1所以c＝2.
所以b＝＝2，
所以双曲线C的渐近线方程为
y＝±x.
(2)证明 由(1)知双曲线C的方程为－＝1，
设E(x，y)，F(x，y)．
1 1 2 2
①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，
联立方程
化简得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋8)＝0，
则Δ＝(－2km)2＋4(m2＋8)(2－k2)>0，
即m2－4k2＋8>0，
且
因为DE·DF＝
(x－2)(x－2)＋yy
1 2 1 2
＝(x－2)(x－2)＋(kx＋m)(kx＋m)＝0，
1 2 1 2
所以(k2＋1)xx＋(km－2)(x＋x)＋m2＋4
1 2 1 2
＝(k2＋1)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，
化简得m2－4km－12k2＝
(m＋2k)(m－6k)＝0，
所以m＝－2k或m＝6k，且均满足m2－4k2＋8>0.
当m＝－2k时，直线l的方程为y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；
当m＝6k时，直线l的方程为y＝k(x＋6)，过定点M(－6,0)．
②当直线l的斜率不存在时，
由对称性，不妨设直线DE：y＝x－2，
联立方程
得x＝2(舍去)或x＝－6，此时直线l过定点M(－6,0)．
综上，直线l过定点M(－6,0)．
因为DG⊥EF，
所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径，且|GH|＝4，所以存在定点H(－2,0)，使|GH|为定值4.
必刷大题 18 统计与统计分析
1．解 (1)由样本的频率分布直方图可知，在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋
0.008)×10＝0.28，
则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)．
(2)由样本的频率分布直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75，
平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75
＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
2．解 (1)由题意可知，估计未接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为P＝＝，
1
已接种牛痘疫苗者感染猴痘病毒的概率为
P＝＝.
2
(2)列联表如表所示：
感染猴痘病毒 未感染猴痘病毒 合计
未接种牛痘疫苗 20 30 50
已接种牛痘疫苗 10 60 70
合计 30 90 120
零假设为H：密切接触者未感染猴痘病毒与接种牛痘疫苗无关．
0
则χ2＝≈10.286>6.635＝x ，
0.01
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为密切接触者未感染猴
0
痘病毒与接种牛痘疫苗有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.
3．解 (1)根据定义可得，此30个数据从小到大排列，且30×80%＝24，
所以这30个企业造成污染的第80百分位数是第24个数据与第25个数据的平均数，即前10
名中第六名与第七名数据的平均数，即＝30.
(2)按照企业造成的污染点数从小到大排列，记为x，x，…，x ，其平均数记为，方差记为
1 2 20
s；
把剩下10个数据记为y，y，…，y ，其平均数记为，方差记为s；
1 2 10
把总样本数据的平均数记为，方差记为s2.
由题意可知，＝＝17，
＝×(58＋36＋36＋35＋33＋32＋28＋26＋24＋22)＝×330＝33，则＝×(510－330)＝9，
由题知s＝44.7，s＝92.4，
s2＝×{20[s＋(－)2]＋
10[s＋(－)2]}
代入数据可得s2＝×{20×[44.7＋(9－17)2]＋10×[92.4＋(33－17)2]}＝188.6，
所以这30个企业造成污染点的总体方差为188.6.
4．解 (1)由题意可得
＝＝8，
＝＝4.2，
所以b＝
＝＝0.17，
a＝－b＝4.2－0.17×8＝2.84，
y关于x的经验回归方程为
y＝0.17x＋2.84.
(2)因为0.75<0.88，R2越大拟合效果越好，所以选用回归方程
y＝1.63＋0.99更好，
z＝200(1.63＋0.99)－x
＝－x＋198＋326
＝－(－99)2＋10 127，
即当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大．
5．解 (1)方法一 改变数据之后的列联表为
运动时间
性别 合计
“运动达人” “非运动达人”
男生 110 30 140
女生 40 20 60
合计 150 50 200
则调整后的
χ2＝＝≈3.175<10.828＝x .
0.001
则根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，
原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．方法二 调整后的χ2＝
＝＝≈3.175<10.828＝x ，
0.001
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关．
与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的，相当于样本容量缩小为原来的，导致
推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高．
(2)男生抽取×20＝14(人)，女生抽取×20＝6(人)，
由已知男生运动时间的平均数为＝2.5，样本方差为s＝1；
女生运动时间的平均数为＝1.5，
样本方差为s＝0.5.
记样本均值为，
则＝＝2.2，
记样本方差为s2，则s2＝
＝1.06，
所以这20名同学运动时间的均值为2.2，方差为1.06.
6．解 (1)通过作散点图如图所示，发现样本点大致分布在一条直线附近，因此是线性相关．
r＝
＝≈≈0.996，
∴两变量有较强的正相关．
(2)①Q＝＝(y－bx)2
i i
＝(y－2bxy＋b2x)
i i
＝b2－2by＋，
i i
要使残差平方和最小，
当且仅当b＝.
②∵x＝t－，y＝w－，
由①知b＝
＝＝＝5.1，∴y关于x的经验回归方程为y＝5.1x，
∴w－＝5.1(t－)，
∵＝3，＝14，∴w＝5.1(t－)＋＝5.1t－1.3，
当t＝8时，w＝5.1×8－1.3
＝39.5(万辆)，
因此，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到39.5万辆．
必刷小题 19 计数原理与概率
1．D 2.C 3.B 4.C 5.B
6．C [依题意，满足甲、乙两人值班安排在相邻两天的方案共有
AA＝1 440(种)，
其中满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丁在10月7日值班的方案共有AA＝240(种)；
满足甲、乙两人值班安排在相邻两天且丙在10月1日值班，丁在10月7日值班的方案共有
AA＝48(种)．因此满足题意的方案共有
1 440－2×240＋48＝1 008(种)．]
7．D [记事件E＝“2辆电动汽车能同时充上电”，先从B，i∈{1,2,3,4,5,6}中任选一个车
i
位给第一辆电动汽车，有C种选择，再从不与第一辆电动汽车并列的剩余四个车位中找一
个给第二辆电动汽车，有C种选择，最后从剩余8个车位中随机选取3个安排燃油车即可，
所以P(E)＝＝.]
8．A [分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有C种方法，
第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余1本作为一组，
再分给三名同学，共有CCCA种方法；
第二种情况，从4本里任选2本作为一组，剩余的2本作为一组，有种方法，分给三名同学
中的两名同学，有A种方法，剩余一名同学，
从这4本中任选1本阅读，有C种方法，共有·AC种方法．
故这三名同学选取图书的不同情况有CCCA＋·AC＝144(种)．]
9．BCD [对于选项A，P()＝1－P(A)＝0.4，P()＝1－P(B)＝0.8，故选项A错误；
对于选项B，如果B⊆A，那么P(A∪B)＝P(A)＝0.6，选项B正确；
对于选项C，如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以选项C正确；
对于选项D，如果A与B相互独立，那么P()＝P()P()＝0.4×0.8＝0.32，所以选项D正确．]
10．ACD [由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，则报名情况共有3×3×3×3＝34(种)，故A正确；
“每个项目都有人报名”，则必有两人报名同一个项目，故此时报名情况有CCA＝36(种)，
故B错误；
“四名同学最终只报名了两个项目”，此时可先选出两个项目，
报名情况为分别有两人报名这两个项目，或者一人报名其中一个，另三人报名另一个项目，
故共有C(C＋CA)＝42(种)报名情况，则“四名同学最终只报名了两个项目”的概率是＝，
故C正确；
事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，有CA＝36(种)报名方法，则 P(A)＝＝，
事件B为“只有甲同学一人报名‘关怀老人’项目”，
若A，B同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”项目，
则有CA＝6(种)报名方法，
则P(AB)＝＝，
故P(B|A)＝＝＝，
故D正确．]
11．BC [令x＝1，得a＋a＋a＋…＋a＝1；令x＝0，得a＝28.
0 1 2 8 0
则a＋a＋…＋a＝1－28，故A错误；
1 2 8
f(－1)＝38＝94＝(10－1)4＝104－C103＋C102－C10＋1＝10×(103－C102＋C101－C)＋1，故B
正确；
因为(2－x)8二项展开式的通项公式为T ＝C28－k(－x)k
k＋1
＝(－1)kC28－kxk，
由通项公式知，(2－x)8二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|＝－a＋a－a＋…＋a，
1 2 3 8 1 2 3 8
由(2－x)8＝a＋ax＋ax2＋…＋ax8，令x＝0，得到a＝28，
0 1 2 8 0
令x＝－1，得到a－a＋a－a＋…＋a＝38，
0 1 2 3 8
所以|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a|＝38－28，故C正确；
1 2 3 8
原表达式的两边同时对x求导，
得到－8×(2－x)7＝a＋2ax＋3ax2＋…＋8ax7，
1 2 3 8
令x＝1，得到a＋2a＋3a＋…＋8a＝－8，令x＝0，得a＝－8×27，
1 2 3 8 1
所以2a＋3a＋…＋8a＝－8＋8×27＝8(27－1)，故D错误．]
2 3 8
12．BCD [由题知，
P(A)＝＝，
k
事件AA 表示“第1,2只出笼子的猫都是黑猫”，
1 2
则P(AA)＝＝，故A错误；
1 2事件A＋A 表示“第1只或第2只出笼子的猫是黑猫”，
1 2
则P(A＋A)＝P(A)＋P(A)－P(AA)＝＋－＝，故B正确；
1 2 1 2 1 2
P(A|A)＝＝＝，故C正确；
2 1
事件AA 表示“第2,10只出笼子的猫都是黑猫”，
2 10
则P(AA )＝＝，
2 10
则P(A |A)＝＝＝，故D正确．]
10 2
13．60 14.
15．1 560
解析 由题意可知6种主流的学习机安排给4人进行相关数据统计，
每人至少统计1种学习机的相关数据(不重复统计)，
则学习机的分配方法有3,1,1,1和2,2,1,1两类情况，
则按3,1,1,1分组再分配给4人，共有CA＝20×24＝480(种)安排方法，
按2,2,1,1分组再分配给4人，共有·A＝×24＝1 080(种)安排方法，
故共有480＋1 080＝1 560(种)不同的安排方法．
16. ×n＋
解析 记事件A表示从第i(i＝1,2，…，n)个盒子里取出白球，
i
则P(A)＝，
1
P()＝1－P(A)＝，
1
所以P(A)＝P(AA)＋P(A)
2 1 2 2
＝P(A)P(A|A)＋P()P(A|)
1 2 1 2
＝×＋×＝，
P(A)＝P(A)P(A|A)＋
3 2 3 2
P()P(A|)
3
＝P(A)×＋P()×
2
＝×P(A)＋＝，
2
P(A)＝P(A)P(A|A)＋
4 3 4 3
P()P(A|)
4
＝P(A)×＋P()×
3
＝P(A)＋，
3
进而可得P(A)＝P(A )＋，
n n－1
P(A)－＝，
n
又P(A)－＝，
1
P(A)－＝，
2
P(A)－＝，
2所以是首项为，公比为的等比数列，
所以P(A)－＝×n－1＝×n，
n
即P(A)＝×n＋.
n
必刷大题 20 概率与统计
1．解 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)由题意知，X所有可能的取值为1,2,3,4，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝
＝，
P(X＝3)＝
＝＝，
P(X＝4)＝
＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
随机变量X的数学期望为
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
2．解 (1)男性有100×＝45(人)，女性有100－45＝55(人)，然后可得下表：
评价
性别 合计
喜欢 不喜欢
男性 15 30 45
女性 35 20 55
合计 50 50 100
(2)零假设为H：性别因素与评价结果无关．
0
χ2＝＝≈9.091，
因为χ2>7.879＝x ，
0.005
所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断零假设H 不成立，即认为评价结果与
0性别有关系．
(3)由题意得选取的3人中，评价结果为“喜欢”的有1人，“不喜欢”的有2人，
所以X的所有可能取值为150,200,250,300，
则P(X＝150)＝××＝，
P(X＝200)＝×2＋2×××＝，
P(X＝250)＝2×××＋×2＝，
P(X＝300)＝××＝，
所以X的分布列为
X 150 200 250 300
P
数学期望为E(X)＝150×＋200×＋250×＋300×＝.
3．解 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝××＝，
P(ξ＝1)＝××＋×C××＝，
P(ξ＝2)＝×C××＋××＝，
P(ξ＝3)＝××＝，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
(2)记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C等级”，
则P(B|A)＝
＝
＝.
4．解 (1)A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出，
A获得冠军的概率为P＝××＋××＝，
1
C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出，
C获得冠军的概率为P＝××＋××＝.
2
(2)淘汰赛制下，A获得冠军的概率为p××p＋p××p＝p2，
双败赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况，当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军，
若在胜者组A胜利，后一局(与败者组胜者比赛)胜，方可得冠军；
当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军．
综上，A获得冠军的概率为p3(1－p)＋p3＋(1－p)p3＝p3(3－2p)．
令f(p)＝p3(3－2p)－p2
＝p2(－2p2＋3p－1)
＝p2(2p－1)(1－p)，
若A为强队，则<p<1，
故f(p)>0，
所以双败赛制下对强者更有利．
5．(1)解 设A＝“第1天选择米饭套餐”，A＝“第2天选择米饭套餐”，
1 2
则 ＝“第1天选择面食套餐”．
1
根据题意P(A)＝，
1
P()＝，
1
P(A|A)＝，
2 1
P(A|)＝1－＝，
21
由全概率公式，
得P(A)＝P(A)P(A|A)＋P()P(A|)＝×＋×＝.
2 1 2 1 1 21
(2)证明 ①设A＝“第n天选择米饭套餐”，
n
则P＝P(A)，P()＝1－P，
n n n n
根据题意P(A |A)＝，
n＋1 n
P(A | )＝1－＝，
n＋1n
由全概率公式，得P ＝P(A )＝P(A)P(A |A)＋P()P(A |)＝P＋(1－P)＝－P＋，
n＋1 n＋1 n n＋1 n n n＋1n n n n
因此P －＝－.
n＋1
因为P－＝≠0，
1
所以是以为首项，－为公比的等比数列．
②由①可得P＝＋×n－1.
n
当n为大于1的奇数时，P＝＋×n－1≤＋×2＝；
n
当n为正偶数时，P＝－×n－1<<.
n
因此当n≥2时，P≤.
n
6．解 (1)每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记
为P，P，P，并记芯片智能检测不达标为事件A.
1 2 3
视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，则有P＝，P＝，P＝，
1 2 3
由对立事件的性质及事件独立性的定义得，
P(A)＝1－PPP＝1－××＝，
1 2 3
所以每个芯片智能检测不达标的概率为.
(2)人工抽检30个芯片恰有1个不达标的概率为φ(p)＝Cp1(1－p)29(0<p<1)，
因此φ′(p)＝C[(1－p)29－29p(1－p)28]＝C(1－p)28(1－30p)．
令φ′(p)＝0，得p＝.
当p∈时，φ′(p)>0；
当p∈时，φ′(p)<0，
则φ(p)在上单调递增，在上单调递减，
所以φ(p)有唯一的极大值点
p＝.
0
(3)记“芯片人工抽检达标”为事件B，“工人在流水线上进行人工抽检时，抽检一个芯片恰
为合格品”为事件C，
由(2)得P(C)＝P(B|)＝1－p＝，
由(1)得P()＝1－P(A)＝，
所以P(B)＝P()·P(B|)＝×≈93.8%<96%，
因此，该企业需对生产工序进行改良．
