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培优点 2 指对同构问题
把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构形式完全相同，构造函数，利用函数的
单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法．同构法主要解决含有指数、对数混
合的等式或不等式问题．
题型一 同构法的理解
例1 (1)若ea＋a>b＋ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是( )
A．a＞ln b B．a＜ln b
C．ln a＞b D．ln a＜b
(2)若关于a的方程aea－2＝e4和关于b的方程b(ln b－2)＝e3λ－1(a，b∈R )可化为同构方程，
＋
则ab的值为( )
A．e8 B．e C．ln 6 D．1
思维升华 利用恒等式x＝ln ex和x＝eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，
然后由构造的函数的单调性进行研究．
跟踪训练1 已知不等式ax＋eax＞ln(bx)＋bx进行指对同构时，可以构造的函数是( )
A．f(x)＝ln x＋x B．f(x)＝xln x
C．f(x)＝xex D．f(x)＝
题型二 同构法的应用
命题点1 aln a与xex同构
例2 设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为________．
命题点2 beb与xln x同构
例3 (2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae B．b>ea
C．ab0对∀x∈(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
命题点4 d＋ln d与x＋ex同构
例5 对于任意的x>0，ex≥(a－1)x＋ln(ax)恒成立，则a的最大值是________．
思维升华 常见的同构函数有：①f(x)＝；②f(x)＝xln x；③f(x)＝xex；④f(x)＝.
其中①④可以借助＝＝，②③可以借助xex＝(ln ex)ex＝(ln t)t＝tln t进行指对互化．
跟踪训练2 (1)(2024·武汉模拟)已知a>0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln
x成立，则a的最小值为________．(2)若对任意 x∈[e，＋∞)，满足 2x3ln x－ ≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围是
________________________．
1．设x>0，y>0，若ex＋ln y>x＋y，则下列选项正确的是( )
A．x>y B．x>ln y
C．xe
4．(多选)若不相等的正数a，b满足aa＝bb，则( )
A．a＞1
B．b＜1
C．a＋b>
D. (n∈N*)
5．若∀x∈(0，＋∞)，ln 2x－≤ln a恒成立，则a的取值范围为________________________．
6．(2024·漳州质检)已知函数f(x)＝aex＋x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当x>1时，f(x)>ln ＋x，求实数a的取值范围．
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