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第 01 讲 集合的概念与运算
1、集合与元素
(1)集合中元素的三个特性： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是 ．或 ．，用符号 ．或 ．表示．
(3)集合的表示法： 、 、 ．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号
2、集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 ．都是集合B中的元素，就称集合A为
集合B的子集，记作 A ．(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且 ．A，就称集合A是集合B的真子集，记作
A B (或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且 ．，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是 ．的子集， ．的真子集．
3、集合的基本运算
表示
文字语言 集合语言 图形语言 记法
运算
所有属于集合A或属于集
并集 ． ．
合B的元素组成的集合
所有属于集合A且属于集
交集 ．
合B的元素组成的集合
全集U中不属于集合A
补集 ．
的所有元素组成的集合
{ 5}
1、【2022年全国甲卷】设集合A={−2,−1,0,1,2},B= x∣0≤x< ，则A∩B=（ ）
2
A．{0,1,2} B．{−2,−1,0} C．{0,1} D．{1,2}2、【2022年全国甲卷】设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则
∁ (A∪B)=（ ）
U
A．{1,3} B．{0,3} C．{−2,1} D．{−2,0}
3、【2022年全国乙卷】集合M={2,4,6,8,10},N=¿，则M∩N=（ ）
A．{2,4} B．{2,4,6} C．{2,4,6,8} D．{2,4,6,8,10}
4、【2022年全国乙卷】设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁ M={1,3}，则（ ）
U
A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M
5、【2022年新高考1卷】若集合M={x∣√x<4}, N={x∣3x≥1}，则M∩N=（ ）
A．{x¿ B．¿ C．{x¿ D．¿
6、【2022年新高考2卷】已知集合A={−1,1,2,4},B=¿，则A∩B=（ ）
A．{−1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{−1,4}
1、已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、（2023·江苏泰州·统考一模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、（深圳市南山区期末试题）设集合 ， ，则 （
）
A. B. C. D.
4、 （清远市高三期末试题）已知集合 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
5、（深圳市罗湖区期末试题）已知集合 ， ，则 的
子集个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 无穷多个
考向一 集合的基本概念
例1、已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．
(1) 当a＝0时，求A∪B，A∩( B)；
R
(2) 若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
∁
变式1 已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
变式2、（2022·广东广州·三模）若 ，则 的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
方法总结：1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其
他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满
足互异性。特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性
考向二 集合间的基本关系
例2、例2、已知集合A＝{1，3，}，B＝{2－x，1}．
(1) 记集合M＝{1，4，y}，若集合A＝M，求实数x＋y的值；
(2) 是否存在实数x，使得B A？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
⊆变式1、（2022·河北保定·高三期末）设集合 均为非空集合.（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
变式2、（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合 ， ， ，全集为 ，则
图中阴影部分的区域表示（ ）
A． B．
C． D．
方法总结：(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而
转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.
考向三 集合的运算
例3、（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）设集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
变式1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知集合 ， ，则 （
）A． B．
C． D．
变式2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
变式3、（2022·湖南湘潭·三模）已知集合 ， ，若 ，则m的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
方法总结：集合运算的常用方法
①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；
②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；
②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
考向四 集合的新定义问题
例4、（2022·湖南·雅礼中学一模）已知集合 ，
，定义集合 ，则 中元
素的个数为
A．77 B．49 C．45 D．30变式1、（2022·山东青岛·高三期末）定义集合运算： .若集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
变式2、（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合 的一种运算： ，若
， ，则 中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
变式3、（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知集合 ，则集合 中元素的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
方法总结：正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定
义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这
类问题的突破口。
1、（深圳市高级中学集团期末试题） 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2、（清远市高三期末试题）已知集合 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
3、（惠州市高三期末试题）已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.4、（华南师范大学附属中学高三期末试题）已知集合 ，则
（ ）．
A. {3} B. {1，3} C. {3，4} D. {1，3，4}
5、（东莞市高三期末试题） 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
6、（梅州市大埔县高三期末试题）已知集合 ， ，则 等于（
A={x|x2−x−2>0} B={x|0
