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1.1集合（精讲）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
非负整数集
集合 正整数集 整数集 有理数集 实数集
(或自然数集)
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋
二．集合间的基本关系
(1)概念
关系 自然语言 符号语言 Venn图
如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元
子集 A⊆B或B⊇A
素,称集合A为集合B的子集(即若x∈A,则x∈B)
或
真子 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,则称集
集 合A是集合B的真子集 A B或B A
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,
集合
同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素, A=B
相等
那么集合A与集合B相等
（2）子集个数
对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2n,真子集个数为2n-1,非空真子集个数为2n-2.
（3）易错点
①A⊆B包含两层含义:A B或A=B
② 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
三．集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成
交集 A∩B={x|x∈A且x∈B}
的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成
并集 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于一个集合A,由全集U中不属于集合A
补集 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全 ∁U A={x|x∈U,且x∉A}
集U的补集,记作 ∁U A
1.解决集合含义问题的关键有三点：
①是确定构成集合的元素
②是确定元素的限制条件
③是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
2. 互异性考查
利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,注意检验集合中的元素是否满足互异性.
3.集合运算的两种常用方法
(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
4.已知集合关系求参数
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满
足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
5.集合间的运算
①集合中的元素是离散的，可用Venn图表示，注意所求参数是否满足集合中元素的性质中的互异性
②集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
考法一 元素与集合的关系
【例1-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合 ，若 ，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【解析】设集合 ，若 ， ， 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；所以 或 .故选：C
【例1-2】（2023·北京东城·统考一模）已知集合 ，且 ，则a可以为（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
可知 ，故A、C、D错误； ，故B正确.故选：B
【一隅三反】
1．（2023·云南）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】若 ，则 ，不符合集合元素的互异性；
若 ，则 或 （舍），此时 ，符合题意；
综上所述： .故选：A.
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知 ，若 ，且 ，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， 且 ，解得 ，故选：B
3.（2023广东湛江）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－
【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－．当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合
元素的互异性可知不满足题意；当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，故m＝－．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法二 元素的互异性
【例2-1】（2023·全国·高三专题练习）集合 中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，
那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解析】根据集合中元素的互异性得 ，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.
【例2-2】(2023·山东)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 021＋b2 021为( )
A．1 B．0 C．－1 D．±1
【答案】C
【解析】由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1．根据集合中元素的互异性可
知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 021＋b2 021＝－1．
【一隅三反】
1.（2022·浙江·高三专题练习）已知 ， ，若集合 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时，不满足集合元素的互异性，故 ， ， ，故选：B.
2.（2023湖南）若以集合 的四个元素 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．菱形
【答案】C
【解析】由题意，集合 的四个元素 为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得
四个元素互不相等，以四个元素 为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.
3.（2023湖北）已知集合A＝，B＝{x2，x＋y，0}，若A＝B，则x＋y＝________．
【答案】2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】显然y＝1，即A＝{2x，0，1}，B＝{x2，x＋1，0}．若x＋1＝1，则x＝0，集合A中元素不满足
互异性，舍去．∴x2＝1，且2x＝x＋1，∴x＝1，故x＋y＝2．
考法三 集合间的关系
【例3-1】（2023春·四川成都）集合 ，若 ，则集合B可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、B、D： 、 、 ，与题设不符；C： ，满足要求.故选：C
【例3-2】（1）（2023·全国·高三专题练习）集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
（2）（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合
的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）因为集合A＝{1，2，3}，知集合中有4个元素，则子集个数为 个，非空子集个数为
个.故选：C.
（2）由已知集合 ，
联立 和 ，可得 或 或 ，则 ，
故集合 的子集个数为 个，故选：D
【例3-3】（1）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已集合 ，
若 ，则实数a的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）（2023·广东茂名·统考二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1） ，∴当 时， ，满足 ；
当 时，若 ，则 时， 时， ．
的取值集合是 ．故选：C．
（2）集合 ， .要使 ，只需 ，解得： .
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·宁夏银川·校联考一模）设全集 ，若集合 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为全集 ， ，所以 .
根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确.故选：C
2．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若 ，则下列结论不正确的是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 , , , ，故B正确；
， , ,故AD正确；故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则A∩B的子集个
数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【解析】集合 表示以 为圆心， 为半径的圆上的所有点，
集合 表示直线 上的所有点，
因为直线 经过圆心 ，所以直线与圆相交，
所以 的元素个数有2个，则 的子集个数为4个，
故选： .
4．（2023春·湖南岳阳）已知集合 ，且 ，则实数 （ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】A
【解析】因为集合 ，且 ，所以 ，且 ，则 ，解得： ，
故选： .
5．（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合 ， ，若 ，则实
数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题设， ，又 且 ，所以 ，即 .故选：C
考法四 集合间的运算
【例4-1】（1）（2023·陕西西安）若集合 ，集合 ，则 中整数的个数为
（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
（2）（2023春·广东韶关·高三南雄中学校考阶段练习）设集合 ， ，
则 （ ）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
（3）（2023·海南）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）C（3）C
【解析】（1）由题意，可得集合 ， ，
则 ，其中集合 有 ，共有 个.
故选：C.
（2）集合 ，
又因为集合 ，由交集的定义可得， ，故选：C.
（3）由题设 ，由 知： ，则 ，
所以 ，故 .故选：C
【例4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ， ，则
中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】 集合 ， ，
把 代入 ，得 ，即 ，有唯一解，故集合 中元素的个数为
1．
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-3】（1）（2023·天津河东·一模）已知集合 ， ， ，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）A
【解析】（1）由 知： ，
当 ，即 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当 ，即 或 ，
若 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若 ，则 ， ，满足要求.
综上， .故选：A
【一隅三反】
1．（2023·广西南宁·统考二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 或 ，
又 ，所以 ，故A，B，C错误.故选：D.
2．（2023·广东湛江·统考二模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
所以 .故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使函数 有意义，则有 ，解得 或 ，
所以 或 ，
由 ，得 ，
所以 ．故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ， ，若 ，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .故选：A
5．（2022秋·河北沧州）已知集合 ， ，若 ，则a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】①当 时，满足 ，此时 ，解得 ；
②当 时，由 ，得 ，解得 ；综上所述， ，故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习（理））设集合 ， ，若 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，由 得 ，所以 .故选：A.
7．（2023云南）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值
集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，因为 ，所以 ，
当 时，集合 ，满足 ；
当 时，集合 ，
由 ， 得 或 ，解得 或 ，
综上，实数 的取值集合为 .故选：D.
8．（2023湖南）已知集合 ， .若 ，则实数
（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ，所以直线 与直线 平行，
所以 所以 . 经检验，当 时，两直线平行.故选：B.
考法五 韦恩图
【例5-1】（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，设全集 ，集合 ， ，则
图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 图可知阴影部分表示的集合为 ，
因为集合 ， ，所以 .故选:A.
【例5-2】（2023·广东·统考一模）已知集合 ，则下列Venn图中阴影
部分可以表示集合 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选项A中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示 ，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意，
故选：B
【一隅三反】
1．（2023春·河北·高三统考学业考试）已知R是实数集，集合 ，则下
图中阴影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，
由韦恩图知，阴影部分表示的集合是 ，而 或 ，
所以 .
故选：D
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）已知全集 ，集合 ，
，则阴影部分表示的集合为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知图中阴影部分表示的集合为 ，
又 ，得 ，
又 ，则 ，
所以 ．
故选：B．
3．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知全集 ，集合 或 ，
，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
，
由图可知阴影部分表示的集合是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：A.
考法六 集合中的新定义
【例6-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为 ，定义一种运
算 ， ，若全集 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， 或 ，
则 ，
故选：C
【例6-2】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合 且 ，已
知集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知 ，又 ，
所以 ．
故选：A
【一隅三反】
1．（2023·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合 和 ，我们把集合
记作 .若集合 ，则 中元素的个数为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ，则 ，则 中元素的个数为
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 ，设集合 ，
，则 中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ，
故 中元素的个数为 .
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算 ，若集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 或
所以 或 ，
或
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 或 ，
，
代入 验证，
故 .
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
