文档文本内容
1.2 常用逻辑用语
6 大考点汇总
考点01 命题及其关系
考点02 条件关系的的判断
考点03 利用条件关系求参
考点04 全称量词与存在量词判断真假
考点05 含有量词的命题的否定
考点06 全称量词与存在量词求参
题型专练
考点01 命题及其关系
1．已知命题p：
，
，命题q：
，
，则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】C
【详解】令
，则
显然成立，
是真命题，
是假命题，
当
时，
，故命题
是假命题，
是真命题．
2．已知直线
，
，，有下面四个命题：①若
，
异面，
，异面，则
，异面；②若
，
相交，
，相交，则
，相交；③若
，则
，
与所成的角相等；④若
，
，则
.其中真命
题的序号是________.
【答案】③
【详解】若
，
异面，
，异面，则
，异面或平行或相交，故①错误；
若
，
相交，
，相交，则
，相交或平行或异面，故②错误；
若
，由平行线的性质，可得
和
与所成的角相等，故③正确；
若
，
，则
或
与相交或
与异面，故④错误.
3．下列命题是假命题的为（ ）
A．若
，
，则
B．若
且
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解.
【详解】对于A：由
，所以
，故A 正确；
对于B：由
，得
，所以
，又
，所以
，故B 正确；
对于C：当
时，
，故C 错误；
对于D：由
，所以
，所以
，故D 正确.
4．
中，
是
中点，
是
中点，则下述两个命题的判断，正确的为 （ ）
命题①：存在
，使得
命题②：存在
，使得
A．①真②真
B．①真②假
C．①假②真
D．①假②假
【答案】B
【分析】由
得
，进而判断①，取
的中点
，连接
，由
，得
，进而得
三点共线，则
，进而判断②.
【详解】由题意得：
，
对①，由
，得
，
所以
，所以
，
即当
满足
时，使得
，故①真；
对②，取
的中点
，连接
，则
，若
，则可得
，
所以
三点共线，因为
，所以
，这显然不可能，
所以不存在
，使得
，故②假.
考点02 条件关系的的判断
5．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解
【详解】因为
，所以
，解得
，
由
，
因为
是
的真子集，
所以
是
成立的充分不必要条件.
6．（多选）已知函数
，则
的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先求解
的解集，充分不必要条件对应的集合是该解集的真子集，据此逐一判断选项即可。
【详解】
即为
，故
或
.
设
，则充分不必要条件对应的集合应为
的真子集，
4 个选项中只有BD 对应的集合为
的真子集.
7．在等比数列
中，“数列
递减”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可.
【详解】当
时，设公比为
，则
，
若
，则
，即
，此时，显然数列
是递减数列，
若
，则
，即
，此时，数列
也是递减数列，
反之，当数列
是递减数列时，显然
．
故“数列
递减”是“
”的充要条件．
8．若
，则不等式
的等号成立的充要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过平方，结合绝对值的性质和充要条件的概念即可求解.
【详解】由
即
，
，
，
故不等式
的等号成立的充要条件为
.
9．设集合
，则“
”的一个必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】若
，则二次方程
无解，即
，解得
，
所以“
”的一个必要不充分条件是
.
10．
，是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
，
，
显然当
成立时，
不一定成立，例如
，
当
成立时，显然
一定成立，
所以
，是
的必要不充分条件.
考点03 利用条件关系求参
11．设集合A ={x| x
2−(a+1) x +a=0)，集合B ={x|
1
x−2 =1))，则“
”的一个必要不充分条件
是（ ）
A．
B．a∈{2,3)
C．
D．a∈{1,2)
【答案】B
【详解】因为B ={x|
1
x−2 =1))= {3)，
若
，则
，所以
，解得
，
当
时，
，此时
，
所以
是
的充要条件，
故“
”的一个必要不充分条件是a∈{2,3).
12．已知直线
，则
的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或2
【答案】B
【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可.
【详解】由
，
则
，
由
，
，解得：
.
故选：B
13．若“
”的必要非充分条件是“
或
”，则实数m 的取值范围是________．
【答案】(
4
5 , 15
16)
【详解】记
的解集为集合
，
，
则
为
的解集，
；
是
的必要非充分条件，
，得
，即对任意
，都有
恒成立.
，
，
，化简得
；
令
，
，
，且
；
，
当
时，
取得最大值，即
，
，
，且
，
当
时，
取得最小值，即
；
对任意
，
恒成立，
，即
;
实数
的取值范围是
.
14．已知集合
，
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)已知
，记命题
，若
是
的必要不充分条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若
，则
，得
；
若
，则
，
因为
，所以
或
，得
或
，则
，
综上，实数
的取值范围为
；
（2）因为
，所以
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
是
的真子集，
则
，且等号不同时成立，得
，
故实数
的取值范围为
.
15．已知条件
：
，条件
：
，若
是
的充分不必要条件，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先化简
求出解集
,再求出二次不等式
对应方程的两根并分情况写出解集,由
是
的充分不
必要条件,可知
的解集要真包含于
的解集,由此列出约束条件
,进而求出
.
【详解】由
得
，根据指数函数单调性可得
，即
.
方程
的两根为
和
.
不等式
的解集为：
当
时，解集为
；
当
时，解集为空集；
当
时，解集为
.
因为
是
的充分不必要条件，所以
是
解集的真子集，仅当
解集为
时满足条件.
因此满足
且
，解得
，即
的取值范围为
.
16．已知
在
上单调递增，
.若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对于命题
，将问题转化为
在
上恒成立，求出
的范围，结合充分不必要条
件的定义即可求解
.
【详解】
在
上单调递增
在
上恒成立.
即
在
上恒成立，
所以：
.
又
是
的充分不必要条件，所以集合
是集合
的子集，即
.
考点04 全称量词与存在量词判断真假
17．已知命题
，
；命题
，
.则（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．
和q 都是真命题
C．p 和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】因为当
时，
，所以命题
为假命题，所以
是真命题，
因为当
时，
，所以q 是真命题，所以
是假命题.
18．若
，
，
，
，则（ ）
A．p，q 均为真命题
B．
，
均为假命题
C．
，
均为真命题
D．p，q 均为假命题
【答案】C
【详解】若
，则命题
不成立，则
为假命题，故
为真命题；
若
，则
，则命题
为真命题.
19．已知命题
：
，
，命题
：
，
，则（ ）
A．
和
都是真命题
B．
和
都是真命题
C．
和
都是真命题
D．
和
都是真命题
【答案】B
【详解】由
，得
，即
，解得
.
方法二：由
，得
或
.
解得
.
所以
是假命题，
是真命题.
当
时，
显然成立，所以
是真命题，
是假命题.
20．（多选）下列命题说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
的充要条件是
D．若
，且
，则
中至少有一个大于1
【答案】ABC
【详解】对于A：根据指数函数的性质可知
恒成立，故A 错误；
对于B：当
时，
，故B 错误；
对于C：当
时，
无意义，所以必要性不成立，故C 错误；
对于D：假设
，则
与
矛盾，所以假设不成立，故D 正确.
考点05 含有量词的命题的否定
21．命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定规则，更换量词、否定结论且保留原变量取值范围即可求解.
【详解】存在量词命题（特称命题）的否定规则为：特称命题
的否定为全称量词命题
,
命题“
，
”的否定是:“
”.
22．已知命题:
，
，则该命题的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据命题的否定判断即可.
【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：
.
23．命题“
，
”的否定为________．
【答案】
，
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解.
【详解】命题为存在量词命题，则命题的否定为
，
．
故答案为：
，
．
24．命题
：“
，
”为假命题，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】原命题的否命题
：“
，
”为真命题，结合不等式恒成立求解即可.
【详解】命题
：“
，
”为假命题，即命题
：“
，
”为真
命题．
①当
时，
恒成立，符合题意；
②当
时，则
，结合
.
综上，
．
考点06 全称量词与存在量词求参
25．若命题“
，使得
”是假命题，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】问题化为
，都有
为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围.
【详解】由
，使得
为假命题，
则
，都有
为真命题，
当
，则
，满足，
当
，则
，满足，
综上，
.
26．已知命题p：
，
，若p 的否定为假命题，则实数m 的取值范围为_______．
【答案】
【分析】变形得到
，
成立，从而得到答案
【详解】因为p 的否定为假命题，所以命题p 为真命题，
可化为
，
即
，
成立，故只需
，
故实数m 的取值范围为
．
27．已知命题
：任意
，都有
0.若命题
是假命题，则实数
的取值集合是_________.
【答案】
【分析】应用二次函数恒为正判别式列式计算求解，最后结合否定定义计算.
【详解】若命题
为真命题，则
，
，所以当
为假命题时，
实数
的取值集合为
.
28．已知命题
，若
为真命题，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【分析】将问题转化为最值问题求解.
【详解】若
为真命题，等价于
，
，当且仅当
时，等号成立，
，即
，
可得
，故实数
的取值范围是
．
29．已知命题
，
，命题
，
．
(1)若命题
和命题
都是假命题，求实数
的取值范围；
(2)若命题
和命题
至少有一个为真命题，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出命题
，命题
为假命题时
的取值范围，进而得到结果即可；
（2）求（1）中的补集即可．
【详解】（1）若命题
，
为真命题，则
，即
.
所以若
为假命题，则
.
若命题
，
为真命题，
则
，即
.
若
为假命题，则
，
综上，命题
和命题
都是假命题，a 的取值范围为
；
（2）由（1）可知命题
和命题
都是假命题，a 的取值范围为
，
故命题
和命题
至少有一个为真命题，a 的取值范围为
．
30．已知
关于
的方程
无实数根，
.
(1)若
为真命题，求实数
的取值范围；
(2)若
是
的充分不必要条件，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得关于
的方程
有实数根，进而求解即可；
（2）先求出
，
，结合题设可得
或
}，进而根据包含关系求解即可.
【详解】（1）
为真命题，
为假命题，
即关于
的方程
有实数根，
则
，解得
，
故实数
的取值范围是
.
（2）由（1）可知，若
为真命题，则
，
，
或
，
是
的充分不必要条件，
或
}，
，
，则实数
的取值范围
.
