文档文本内容
x
y
O
-1
1
0.5
绝密★启用前
2002 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题（本大题满分为48 分）本大题共有12 题，每个空格填对得4 分，否则一律得零分。
1．若z∈C，且 (3+z)i=1 (i 是虚数单位)，则z = .
2．已知向量和的夹角为120°，且| |=2，| |=5，则（2 — ）· = .
3．方程log3(1—2·3x)=2x+1 的解x= .
4．若正四棱锥的底面边长为2
cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小
是 .
5．在二项式(1+3x)n和(2x+5)n的展开式中，各项系数之和分别记为an、bn，n 是正整数，则
= .
6．已知圆 (x+1)2+y2=1 和圆外一点P (0，2)，过点P 作圆的切线，则两条切线夹角的正切是
.
7．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件.竞赛委员会决定将裁判由原来的9 名增至14
名，但只任取其中7 名裁判的评分作为有效分.若14 名裁判中有2 个受贿，则有效分中没有
受贿裁判的评分的概率是 .（结果用数值表示）
8．曲线
（t 为参数）的焦点坐标是 .
9．若A、B 两点的极坐标为A（4，）、B（6，0），则AB 中点的极坐标是 .（极角用反三
角函数表示）
10．设函数f (x)=sin2x.若f (x+t)是偶函数，则t 的一个可能值是 .
11．若数列
中，a1=3，且an+1=an
2（n 是正整数），则数列的通项公式an= .
12．已知函数y=f (x)（定义域为D，值域为A）有反函数y=f -1(x)，则方程f (x)=0 有解x=a，且f
(x)＞x（x∈D）的充要条件是y=f -1(x)满足 .
二、选择题（本大题满分16 分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，
其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，
不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13．如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）
（A）{z||z|=1,
≤argz≤
,z∈C} ； （B）{z||z|≤1,
≤argz≤
,z∈C}
（C）{z||z|=1, Imz≥
,z∈C} ； （D）{z||z|≤1, Imz≥
,z∈C}
14．已知直线、m，平面α、β，且⊥α，m
β.给出下列四个命题：（1）若α∥β，则⊥m ；（2）
若⊥m，则α∥β；（3）若α⊥β，则⊥m；（4）若∥α，则α⊥β，其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
O
x
y
π
π
-π
-π
O
x
y
π
π
-π
-π
O
x
y
π
π
-π
-π
O
x
y
π
π
-π
-π
A
B
C
D
月份
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
气温
30
25
20
15
10
5
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
20
40
80
60
100
120
140
用电量
月份
A
B
A
B
O
P
D
O'
'
'
15．函数y=x+sin|x|，x∈[—π，π]的大致图象是（ ）
16．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系.如图（1）表示某年12 个月中每
月的平均气温，图（2）表示某家庭在12 个月中每月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭
用电量与气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
（A）气温最高时，用电量最多 （B）气温最低时，用电量最少 （C）当气温大于
某一值时，用电量随气温增高而增加； （D）当气温小于某一值时，用电量随气温降低
而增加
三、解答题（本大题满分86 分）解答下列各题必须写出必要的步骤。
17．（本题满分12 分）如右上图，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，
∠AOB=90°，D 是线段A/B/的中点，P 是侧棱BB/上的一点.若OP⊥BD，求OP 与底面AOB 所
成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
18．（本题满分12 分）已知点A（—
，0）和B（
，0），动点C 到A、B 两点的距离之差的绝
对值为2，点C 的轨迹与直线y=x—2 交于D、E 两点.求线段DE 的长.
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第（1）小题满分6 分，第（2）小题满分8 分。
已知函数f (x)=x2+2x·tanθ—1，x∈[—1，
]，其中θ∈（—
，
）.
（1）当θ= —
时，求函数y=f (x)的最大值与最小值；
（2）求θ 的取值范围，使y=f (x)在区间[—1，
]上是单调函数.
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分10 分。
某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内
消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围
[200，400）
[400，500）
[500
，
700）
[700，900）…
获得奖券的金额（元）
30
60
100
130
…
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400 元的商
品，则消费金额为320 元，获得的优惠额为：400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=
，试问：
（1）购买一件标价为1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
（2）对于标价在[500，800]（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于
的
优惠率？
21．（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分6 分。
已知函数f (x)=a·bx的图象过点A（4，
）和B（5，1）.
（1）求函数f (x)的解析式；
（2）记an =log2f (n)，n 是正整数，Sn是数列
的前n 项和，解关于n 的不等式anSn≤0；
（3）对于（2）中的an与Sn，整数104是否为数列{ anSn }中的项？若是，则求出相应的项数；若
不是，则说明理由.
22．（本小题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分8 分，第3 小题
满分6 分。
规定
=
，其中x∈R，m 是正整数，且
=1，这是组合数
（n、m 是正整数，且m≤n）的一种推广.
（1）求
的值；
（2）组合数的两个性质：①
=
；②
+
=
.
是否都能推广到
（x∈R，m 是正整数）的情况？若能推广，则写出推广的形式并给出
证明；若不能，则说明理由；
（3）已知组合数
是正整数，证明：当x∈Z，m 是正整数时，
∈Z.
2002 年全国普通高等学校招生统一考试
理科数学参考答案（上海卷）
一、1.—3—i; 2.13; 3.—1; 4.30°； 5.
； 6.
； 7.
；
8.（0，1）； 9.（
，arctan
）； 10.
或
… 11.
12.f -1(0)=a,且f -1 (x)＜x (x∈A)或y= f -1 (x)的图象在直线y=x 的下方，且与y 轴的交点
为(0，a).
二、DBCC
三、17. [解法一]
如图,以
点为原点建立空间直角坐标系
由题意，有
设
，则
因为
因为
平面AOB
是OP 与底面AOB 所成的角
[解法二]取
中点E，连结DE、BE，则
平面
是BD 在平面
内的射影。
又因为
由三垂线定理的逆定理，得
在矩形
中，易得
得
（以下同解法一）
∠POB=arctan
.
18. [解] 设点C（x,y），则
根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线
由
故点C 的轨迹方程是
由
，得
因为
，所以直线与双曲线有两个交点。
设
、
，则
故
19. [解] （1）当
时
时，
的值最小为
； 当x = - 1 时，
的值最大为
（2）函数
图像的对称轴为
。
∵
在区间
上是单调递增函数，
∴
或
，即
或
因此，θ 的取值范围是
20. [解] （1）
（2）设商品的标价为x 元
则
，消费额：
由已知得（I）
或（II）
不等式组（I）无解，不等式组（II）的解为
因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于
的优惠率。
21. [解] （1）由
，得
故
（2）由题意
由
得
，即
故
（3）
，
，
，
当
时，
当
时，
因此，96 不是数列
中的项。
22. [解] （1）
（2）性质①不能推广。例如取x=
；
有意义，但
无意义；性质②能推广，
它的推广形式是
，
，m 是正整数，事实上，当m = 1 时，有
当
时
，
=
（3）当
时，组合数
∈Z 。当
时，
= 0∈Z 。
当
时，
