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2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
第Ⅰ卷 （共110 分）
一、填空题（本大题满分48 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得
4 分，否则一律得零分
奎屯
王新敞
新疆
1．函数
的最小正周期T= .
2．若
.
3．在等差数列
中，a5=3, a6=－2,则a4+a5+…+a10=
奎屯
王新敞
新疆
4．在极坐标系中，定点A
点B 在直线
上运动，当线段AB 最短
时，点B 的极坐标是
奎屯
王新敞
新疆
5．在正四棱锥P—ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所
成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）
6．设集合A={x||x|<4},B={x|x2－4x+3>0}, 则集合{x|x∈A 且
= .
7．在△ABC 中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,则∠ABC= .（结果用反三角函数值表
示）
8．若首项为a1，公比为q 的等比数列
的前n 项和总小于这个数列的各项和，则首项a1，
公比q 的一组取值可以是（a1，q）= .
9．某国际科研合作项目成员由11 个美国人、4 个法国人和5 个中国人组成.现从中随机选出
两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 .（结果用分
数表示）
10．方程x3+lgx=18 的根x≈ .（结果精确到0.1）
11．已知点
其中n 的为正整数.设Sn表示△ABC 外接圆的
面积，则
= .
12．给出问题：F1、F2是双曲线
=1 的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F1的距离等
于9，求点P 到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1 或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确
的结果填在下面空格内.
二、选择题（本大题满分16 分）本大题共4 题，每题都给出代号为A、B、C、D 的四个结论，其中
有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，
不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
13．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是
（ ）
A．y=tg|x|.
B．y=cos(－x).
C．
D．
.
14．在下列条件中，可判断平面α 与β 平行的是
（ ）
A．α、β 都垂直于平面r.
B．α 内存在不共线的三点到β 的距离相等.
C．l，m 是α 内两条直线，且l∥β，m∥β.
D．l，m 是两条异面直线，且l∥α，m∥α, l∥β，m∥β.
15．a 1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2+b1x+c1>0 和a2x2+b2x+c2>0 的解集分别为集
合M 和N，那么“
”是“M=N”的
（ ）
A．充分非必要条件.
B．必要非充分条件.
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件.
16．f( )是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g（）=af（）+b，则下
列关于函数g（）的叙述正确的是
（ ）
A．若a<0,则函数g（）的图象关于原点对称.
B．若a=－1，－2<b<0,则方程g（）=0 有大于2 的实根.
C．若a≠0,b=2,则方程g（）=0 有两个实根.
D．若a≥1,b<2,则方程g（）=0 有三个实根.
三、解答题（本大题满分86 分）本大题共有6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（本题满分12 分）
已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1·z2|的最大值和最小值.
18．（本题满分12 分）
已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1D⊥BC，直线B1D 与
平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积.
19．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分9 分.
已知数列
（n 为正整数）是首项是a1，公比为q 的等比数列.
（1）求和：
（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.
20．（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 米，要求通行车辆限高4.5 米，隧道全长
2.5 千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
（1）若最大拱高h 为6 米，则隧道设计的拱
宽l 是多少？
（2）若最大拱高h 不小于6 米，则应如何设
计拱高h 和拱宽l，才能使半个椭圆形隧
道的土方工程量最最小？
（半个椭圆的面积公式为
，柱体体积为：底面积乘以高.本题结果精确到0.1
米）
21．（本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分5 分，第3 小题满
分7 分.
在以O 为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且
点B 的纵坐标大于零.
（1）求向量
的坐标；
（2）求圆
关于直线OB 对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线
上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，
说明理由：若存在，求a 的取值范围.
22．（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满
分7 分.
已知集合M 是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T
)=T f(x)成立.
（1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：
f(x)=ax∈M；
（3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k 的取值范围.
2003 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学（理工农医类）答案
一、（第1 题至第12 题）
1．π. 2．
. 3．－49 . 4．
. 5．arctg2. 6．[1,3].
7．
8．
的一组数）. 9．
10．2.6 .
11．4π 12．|PF2|=17.
二、（第13 题至第16 题）
题 号
13
14
15
16
代 号
C
D
D
B
三、（第17 题至第22 题）
17．[解]
故
的最大值为
最小值为
.
18．[解]连结BD，因为B1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.
在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=
.
又因为直线B1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以
∠B1DB=30°，于是BB1=
BD=2.
故平行六面体ABCD—A1B1C1D1的体积为SABCD·BB1=
.
19．[解]（1）
（2）归纳概括的结论为：
若数列
是首项为a1，公比为q 的等比数列，则
20．[解]（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为
.
将b=h=6 与点P 坐标代入椭圆方程，得
.因此隧
道的拱宽约为33.3 米.
（2）[解一]
由椭圆方程
，得
故当拱高约为6.4 米、拱宽约为31.1 米时，土方工程量最小.
[解二]由椭圆方程
，得
于是
得
以下同解一.
21．[解]（1）设
得
所以v－3>0,得v=8,故
={6，8}.
（2）由
={10，5}，得B（10，5），于是直线OB 方程：
由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为
.
设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y）则
故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.
（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则
故当
时，抛物线y=ax2－1 上总有关于直线OB 对称的两点.
22．[解]（1）对于非零常数T，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx 不能恒成
立，所以f(x)=
（2）因为函数f(x)=ax（a>0 且a≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，
所以方程组：
有解，消去y 得ax=x,
显然x=0 不是方程ax=x 的解，所以存在非零常数T，使aT=T.
于是对于f(x)=ax有
故f(x)=ax∈M.
（3）当k=0 时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.
当k≠0 时，因为f(x)=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有
f(x+T)=T f(x)成立，即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[－1，1]，sin(kx+kT) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立，
只有T=
，当T=1 时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .
当T=－1 时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，
即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，
则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－2(m－1) π, m∈Z .
综合得，实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}
