绝密★启用前
2004 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学试卷（理工农医类）
（满分150 分，考试时间120 分钟）
考生注意
1.本场考试时间120 分钟，试卷共4 页，满分150 分，答题纸共2 页.
2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸
指定位置.
3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一
律不得分.
4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.
一、填空题(本大题满分48 分,每小题4 分)
1．若tg
=
,则tg(
+
)= .
2．设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .
3．设集合A={5,log2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .
4．设等比数列{an}(n∈N)的公比q=－
,且
(a1+a3+a5+…+a2n-1)=
,则a1=
.
5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x∈[0,5]时,
f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0 的
解是 .
6．已知点A(1, －2),若向量
与={2,3}同向,
=2
,则点B 的坐标为 .
7．在极坐标系中,点M(4,
)到直线l: (2cos +sin )=4 的距离d= .
8．圆心在直线2x－y－7=0 上的圆C 与y 轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C 的方程
为 .
9．若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是
. (结
果用分数表示)
10．若函数f(x)=a
在[0,+∞]上为增函数,则实数a、b 的取值范围是
.
11．教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是
.
12．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an}是公比为q 的无穷等
比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.
(写出所有符合要求的组号)
①S1与S2; ②a2与S3; ③a1与an; ④q 与an.
其中n 为大于1 的整数, Sn为{an}的前n 项和.
二、选择题(本大题满分16 分,每小题4 分)
13．在下列关于直线l、m 与平面α、β 的命题中,真命题是
（ ）
A．若l
β 且
⊥β,则l⊥α.
B．若l⊥β 且
∥β,则l⊥α.
C．若l⊥β 且
⊥β,则l∥α.
D．若α∩β=m 且l∥m,则l∥
.
14．已知
是周期为2
的函数，当
的解
集为
（ ）
A．{x│x=2kπ+
,k∈Z}.
B．{x|x=2kπ+
,k∈Z}.
C．{x│x=2kπ±
,k∈Z}.
D．{x|x=2kπ
+(－1)K,k∈Z}.
15．若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转
得到,则
f(x)=
（
）
A．10－x－1. B．10x－1.
C．1－10－x. D．1－10x.
16．某地2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5 个行业的情况列表如下
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表
中数据,就业形势一定是
（ ）
A．计算机行业好于化工行业.
B．建筑行业好于物流行业.
C．机械行业最紧张.
D．营销行业比贸易行业紧张.
三、解答题(本大题满分86 分)
17．(本题满分12 分)
已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i 为虚数单位,a∈R, 若
<
,求a 的取值范围.
行业名称
计算机
机械
营销
物流
贸易
应聘人数
215830
200250
154676
74570
65280
行业名称
计算机[来
营销
机械
建筑
化工
招聘人数[来
124620
102935
89115
76516
70436
18．(本题满分12 分)
某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上
部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8m2. 问x、y 分别为多少(精确到0.001m) 时
用料最省?
19．(本题满分14 分) 第1 小题满分6 分, 第2 小题满分8 分.
记函数f(x)=
的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域
为B.
(1) 求A；
(2) 若B
A, 求实数a 的取值范围.
20．(本题满分14 分) 第1 小题满分6 分, 第2 小题满分8 分
已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直
线y=x 的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).
(1) 求函数f(x)的表达式；
(2) 证明:当a>3 时,关于x 的方程f(x)= f(a) 有三个实数解.
21．(本题满分16 分) 第1 小题满分4 分, 第2 小题满分6 分, 第3小题满分6 分
如图，P—ABC 是底面边长为1 的正三棱锥,D、E、F 分别为棱长PA、PB、PC 上的点, 截面
DEF∥底面ABC, 且棱台DEF—ABC 与棱锥P—ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有
棱的长度之和)
(1)证明：P—ABC 为正四面体；
(2)若PD=
PA, 求二面角D—BC—A 的大小；(结果用反三角函数值表示)
(3)设棱台DEF—ABC 的体积为V, 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,
使得它与棱台DEF—ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,
并给出证明；若不存在,请说明理由.
22．(本题满分18 分) 第1 小题满分6 分, 第2 小题满分8 分, 第3 小题满分4 分.
设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a1=
2,
a2=
2, …, an=
2 构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点.
记Sn=a1+a2+…+an.
(1)若C 的方程为
=1,n=3. 点P1(10,0) 及S3=255, 求点P3的坐标； (只需写
出一个)
(2)若C 的方程为
(a>b>0). 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变
化时, 求Sn的最小值；
(3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合
条件的点P1, P2,…，Pn存在的充要条件,并说明理由.
符号意义
本试卷所用符号
等同于《实验教材》符号
向量坐标
={x,y}
=(x,y)
正切
tg
tan
2004 年普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案（理工类）（上海卷）
一、填空题(本大题满分48 分,每小题4 分)
1．3 2．(5,0) 3．{1,2,5} 4．2 5．(－2,0)∪(2,5] 6．(5,4)
7．
8．(x－2)2+(y+3)2=5 9．
10．a>0 且b≤0
11．用代数的方法研究图形的几何性质 12．①、④
二、选择题(本大题满分16 分,每小题4 分)
13．B 14．C 15．A 16．B
三、解答题(本大题满分86 分)
17．【解】由题意得 z1=
=2+3i,
于是
=
=
,
=
.
由
<
,得a2－8a+7<0,1<a<7.
18．【解】由题意得 xy+
x2=8,∴y=
=
(0<x<4
).
于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(
)=(
+
)x+
≥
=4
.
当(
+
)x=
,即x=8－4
时等号成立.
此时, x≈2.343,y=2
≈2.828.
故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.
19．【解】(1)2－
≥0, 得
≥0, x<－1 或x≥1
即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞]
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵B
A, ∴2a≥1 或a+1≤－1, 即a≥
或a≤－2, 而a<1,
∴
≤a<1 或a≤－2, 故当B
A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[
,1)
20．【解】(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, ∴f1(x)= x2.
设f2(x)=
(k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为
A(
,
)B(－
,－
)
由
=8,得k=8,. ∴f2(x)=
.故f(x)=x2+
.
(2) 【证法一】f(x)=f(a),得x2+
=a2+
,
即
=－x2+a2+
.
在同一坐标系内作出f2(x)=
和
f3(x)= －x2+a2+
的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三
象限的双曲线, f3(x)的图象是以(0, a2+
)为顶点,开口向下的抛物线.
因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,
即f(x)=f(a)有一个负数解. 又∵f2(2)=4, f3(2)= －4+a2+
当a>3 时,. f3(2)－f2(2)= a2+
－8>0，
∴当a>3 时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2))在f2(x)图象的上方.
∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.
因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
【证法二】由f(x)=f(a),得x2+
=a2+
,
即(x－a)(x+a－
)=0,得方程的一个解x1=a.
方程x+a－
=0 化为ax2+a2x－8=0, 由a>3,△=a4+32a>0,得
x2=
, x3=
,
∵x2<0, x3>0, ∴x1≠ x2,且x2≠ x3.
若x1= x3,即a=
,则3a2=
, a4=4a,
得a=0 或a=
,这与a>3 矛盾, ∴x1≠ x3.
故原方程有三个实数解.
21．【证明】(1) ∵棱台DEF—ABC 与棱锥P—ABC 的棱长和相等,
∴DE+EF+FD=PD+PE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P—ABC 是正四面体.
【解】(2)取BC 的中点M,连接PM,DM.AM.
∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,
则∠DMA 为二面角D—BC—A 的平面角.
由(1)知,P—ABC 的各棱长均为1,
∴PM=AM=
,由D 是PA 的中点,得
sin∠DMA=
,∴∠DMA=arcsin
.
(3)存在满足条件的直平行六面体.
棱台DEF—ABC 的棱长和为定值6,体积为V.
设直平行六面体的棱长均为
,底面相邻两边夹角为α,
则该六面体棱长和为6, 体积为
sinα=V.
∵正四面体P—ABC 的体积是
,∴0<V<
,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)
故构造棱长均为
,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求.
22．【解】(1) a1=
2=100,由S3=
(a1+a3)=255,得a3=
2=70.
∴点P 3的坐标可以为(2
,
).
(2)【解法一】原点O 到二次曲线C:
(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距
离为a. ∵a1=
2=a2, ∴d<0,且an=
2=a2+(n－1)d≥b2,
∴
≤d<0. ∵n≥3,
>0 ∴Sn=na2+
d 在[
,0)上递增,
故Sn的最小值为na2+
·
=
.
【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),
由
x +y =a2+(k－1)d
,解得y =
+
=1
∵0< y ≤b2,得
≤d<0 ∴
≤d<0 以下与解法一相同.
(3)解法一】若双曲线C:
－
=1,点P1(a,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.
∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h∈[
,+∞],且
=a2,
由
=1
,得
x =60
x +y =70
y =10
∴点P1, P2,…，Pn存在当且仅当
2>
2,即d>0.
【解法二】若抛物线C:y2=2Px,点P1(0,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0.理由同上
【解法三】若圆C:(x－a)2+y2=a2
(a≠0), P1(0,0),
则对于给定的n, 点P 1, P2,…，Pn存在的充要条件是0<d≤
.
∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2
,
且
2=0, ∴d>0 且
2=(n－1)d≤4a2.即0<d≤
. 即
