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专题10 复数及其应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
2、复数的分类：
3、复数的有关概念
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi 与c＋di 共轭⇔a＝c 且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量
的模叫做复数z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，
即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴
上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi
复平面内的点Z(a，b)
平面向量
．
1
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知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设
，
(a，b，c，d∈R)，则
（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4）
．
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2) ．
（2）·z＝|z|2＝||2．
（3）若z 为虚数，则|z|2≠z2．
（4）(1±i)2＝±2i．
（4）＝i；＝－i．
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数z =a+bi的对应向量为⃗OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量⃗OZ所在的射线（射
线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角．
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且
这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg z．
【注意】因为复数0 对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0 的辅角是任意的．
2、复数的三角形式及运算
（1）定义：任何一个复数都可以表示成z =r(cosθ+i sinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
（2）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
则z1 z1=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和．
（3）复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)
则
z1
z2
= r1(cosθ1+isinθ1)
r2(cosθ2+isinθ2) = r1
r2 [cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)]．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差．
2
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重难点01 与复数有关的最值问题
求复数模的范围与最值问题的解题策略
（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，
求模的范围与最值问题来解决；
（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；
（3）利用三角函数解决．
【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】若复数z 满足
，
则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段
的垂直平分线，其中
，
所以
的最小值为
.故选：B.
【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z 满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】A
【解析】设
，而
，所以
，即
，
所以
，
等号成立当且仅当
，
综上所述，
的最小值为
.故选：A.
重难点02 共轭复数与复数运算的综合问题
共轭复数问题的求解技巧：
1、若复数
的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出
，再进行复数的四则运算．
3
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2、已知关于
和
的方程，而复数
的代数形式位置，求解
.解决此类问题的常规思路是：设
，则
，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．
【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】设复数
，可得
因为复数z 满足
，可得
，则
，
可得
且
，
由
时，可得
或
，
当
时，可得
，此时
；当
时，方程
，无解；
对于A 中，当
，可得
，可得
；
当
，可得
，可得
，所以A 正确；
对于B 中，当
，可得
，且
，则
，所以B 不正确；
对于C 中，当
，可得
，可得
，所以C 不正确；
对于D 中，当
，可得
，可得
，则
；
当
，可得
，可得
，则
，所以D 正确.故选：AD.
【典例2】（23-24 高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数
的共轭复数分别为
，下列结论
正确的是（ ）
A．若
为纯虚数，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则在复平而内对应的点的轨迹为直线
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【答案】ACD
【解析】对于A，设
，
，故
成立，故A 正确，
对于B，设
，
，则满足
，但
，故B 错误，
对于C，设
，
，则
，
，
故
，
，
解得
，
，则
，故C 正确，
对于D，设
，因为
，
，
，所以
，
化简得
，故在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D 正确.故选：ACD.
一、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0 时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0 时，它是实数0；
（3）当b≠0 时，叫做虚数；
（4）当a＝0 且b≠0 时，叫做纯虚数．
【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z 满足
，则复数z 的虚部是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】C
【解析】设
，根据题意，可得
，
化简为
，
根据复数相等，得
，解得
，
所以
，即复数z 的虚部是3.故选：C
【典例2】（23-24 高三上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】AC
【解析】A 项中，
，故A 正确；
B 项中，
，故B 错误；
C 项中，
，故C 正确；
D 项中，
，故D 错误.故选：AC.
二、求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部
的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部．
【典例1】（2024·新疆·三模）复数满足
，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
且
，则
，
因为
，所以
,解得：
，则的虚部为
.故选：C
【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足
，
，则
（ ）
A．
B．2
C．-2
D．
【答案】B
【解析】设复数
，
，
由
，得
，解得
，
，
∴
，∴
.故选：B．
三、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量⃗OZ =(a,b)是一一对应的．
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【典例1】（2024·四川自贡·三模）在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，
，
则复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】因为复数
，
对应的向量分别是
，
，
所以
，
，
所以
，
所以复数
对应的点为
，位于第四象限.故选：D
【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足
，若在复平面内对应的点不在第一
象限，则
．
【答案】
【解析】设
，则
，
因为
，
则
，解得
或
，
又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知
，
可知
，所以
.
故答案为：
.
四、虚数单位i 的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
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【典例1】（2024·湖北·二模）已知复数
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．i
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
所以
.故选：A
【典例2】（2024·河北·三模）已知复数
满足
，则
的共轭复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，可得
，
所以
，所以
，
所以
，所以
的共轭复数的虚部是
.故选：D.
五、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
①当∆≥0时，x = −b±√b
2−4 ac
2a
②当∆<0时，x = −b±√−(b
2−4 ac)i
2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x =m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程a x
2+bx +c =0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【典例1】（23-24 高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知
是方程
的根，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】由题意，得
，即
，
所以
，且
，解得
，
所以
.故选：A.
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【典例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）（多选）已知
，
为方程
的两根，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】方程
的两根分别为
和
，且
，
，
所以不妨设
，
，
，所以
，故
错误；
，故
正确；
，故
正确；
，
，
所以
，故
错误.故选：
.
六、复数的三角表示
将复数z =a+bi(a,b∈R)化为三角形式z =r(cosθ+i sinθ)时，要注意以下两点：
（1）r =√a
2+b
2，
（2）cosθ = a
r ，sinθ = b
r ，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z = π
2
【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等．
【典例1】（23-24 高三下·江苏苏州·阶段练习）（多选）任何一个复数
（
，
，为虚数单
位）都可以表示成
（
，
）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家
棣莫弗发现：
（
），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列
说法正确的有（ ）
A．复数
的三角形式为
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B．当
，
时，
C．当
，
时，
D．当
，
时，“
为偶数”是“
为纯虚数”的充分不必要条件
【答案】BC
【解析】复数
的三角形式为
，故
错误；
当
，
时，
，
因为
，
，
所以
，故
正确；
当
，
时，
，
，故
正确；
当
，
时，
，
，
若
为纯虚数，则
，则
，所以
，
，
虽然
，
是偶数，但是偶数还有
，
的形式的数，
所以“
为偶数”是“
为纯虚数”的必要不充分条件，故
错误.故选：
.
【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数
是虚数单位在复平面内对应点为
，设
是以
轴的非负半轴为始边，以
所在的射线为终边的角，则
，把
叫做复数
的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
，例如：
，
，
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复数满足：
，则可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，
则
，
所以
，
，即
，
所以
故
时，
，故可取
，故选：D
易错点1 忽视复数
是纯虚数的充要条件
点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数
为纯虚数
，往往容易忽略虚部不等于
0．
【典例1】（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知复数
，若复数
为纯虚数，则
实数
的值为（ ）
A．
B．
C．-2
D．2
【答案】A
【解析】由已知，复数
为纯虚数，
所以
得
.故选：A.
【典例2】（23-24 高三上·广西·开学考试）已知i 是虚数单位，若
是纯虚数，则实数
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（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【解析】
，
因为
是纯虚数，所以
，解得
.故选：C.
易错点2 错误的理解复数比大小
点拨：两个复数不能直接比大小，但如果
成立，等价于
．
【典例1】（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为
，若
，则实数
的值为
（ ）
A．0
B．
C．1
D．1 或
【答案】A
【解析】因为复数在复平面上对应的点为
，所以
，
因为
，
因为
为实数，得
.故选：A.
【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知复数
，
，若
（为
的共轭复数），则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】
,
,
,
,
都是实数，且
,
,解得
,
即实数
的取值范围为
故答案为：
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易错点3 错误的惯性思维理解复数的模
点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用．
【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知是虚数单位，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C.
【典例2】（24-25 高三上·山西大同·期末）（多选）已知复数
，下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，设
，显然
，但
，故A 错；
对于B，设
，则
，
，
，所以
，故B 对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数
在复平面内对应向量
，
复数
对应向量
，复数加减法对应向量加减法，
故
和
分别为
和
为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以，，故C 对，D 对.故选：BCD.
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