数学（天津卷01）（参考答案）_三轮冲刺_三模攻略·品牌力荐2025年高考数学三模考前高效复习_第三次模拟_数学（天津卷01）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试_50931515

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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（天津卷）01
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
A
B
C
C
C
C
C
C
第二部分（选择题 共105 分）
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．6      
11．28
       12．8 
13．
     
    
14．
    
       
15．
三、解答题：本题共6 小题，共75 分。
16．（本小题满分14 分）
【解】（1）在
中，由正弦定理
，
，
，
可得
，                                        …………………………1 分
因为
，所以
，
即
，                                    …………………………3 分
显然
，解得
．                              …………………………4 分
（2）在
中，由余弦定理
， 
得
，解得
或
．                       …………………………6 分
由已知
，
，互不相等，所以
，
1
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所以
．                        …………………………8 分
（3）因为
，所以
，               …………………………10 分
所以
，
，         …………………………12 分
所以
.…………………14 分
17．（本小题满分15 分）
【解】（1）
  
在直三棱柱
中，
平面
，且
，     …………………………1 分
以点B 为坐标原点，BC，BA，
所在直线分别为x，y，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 
则
，
，
，
，
.
  
易知平面ABC 的一个法向量为
，                              ……………3 分
则
，故
，                                   …………………………4 分
又因为
平面
，故
//平面
                        …………………………5 分
（2）
，
2
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设平面CED 的法向量为
，则
， 
不妨设
，                                        …………………………7 分
因为
，
设平面CED 的法向量为
，则
，
不妨设
                                            …………………………9 分
则
因此，平面CED 与平面
夹角的余弦值为
.              …………………………11 分
（3）因为
，根据点到平面的距离公式，
则
                                     …………………………14 分
即点
到平面CED 的距离为
.                              …………………………15 分
18．（本小题满分15 分）
【解】（1）由椭圆的离心率为
，
可设
，
，则
，                    …………………………2 分
四个顶点构成的四边形为菱形，
其面积为
，         …………………………4 分
即
，所以椭圆的方程为：
.                   …………………………5 分
3
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（2）设
，联立直线
与椭圆
，
消去y 可得
，
，
则
，
，              …………………………7 分
设PQ 的中点为
，则
，
所以
，                               …………………………8 分
因为
，所以
，
所以
，                               …………………………10 分
所以
，即
，
所以
，                                 …………………………11 分
又
，所以
，
又
，故
即
，           …………………………14 分
所以
的取值范围是
，
所以
面积的取值范围为
.                …………………………15 分
4
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19．（本小题满分15 分）
【解】（1）依题意设等差数列
的公差为
，
等比数列
的公比为
，
则
，
，
又
，
，
所以
，                        …………………………3 分
解得
或
（舍去），
所以
，
.                          …………………………5 分
（2）由（1）可得
 …7 分
设
的前
项和为
，
所以
.                                    …………………………9 分
5
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（3）因为
，
所以
，       …………………………11 分
所以
，             …………………………13 分
所以
.                         …………………………15 分
20．（本小题满分16 分）
【解】（1）
，
则
，                              …………………………2 分
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
；                                          …………………………4 分
（2）（i）
，
，                    …………………………5 分
∵
时，
取得极值，∴
，解得
， …………………………6 分
∴
，
令
，得
或
；令
，得
，
∴
的单调增区间为
，
，单调减区间为
； …………………………8 分
6
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（ii）
，
∵
存在两个极值点，
∴方程
，即
在
上有两个不等实根.
∵
，解得
，                        …………………………10 分
则
∴所证不等式
等价于
，
即
，                                …………………………12 分
不妨设
，即证
，
令
，
，
则
，                    …………………………14 分
∴
在
上递增，∴
，
7
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∴
成立，
∴
                            …………………………16 分
8