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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（天津卷）02
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
C
C
D
C
D
B
B
A
第二部分（选择题 共105 分）
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．
11．
12．
13．
14．
15．
三、解答题：本题共6 小题，共75 分。
16．（本小题满分14 分）
【解】（1）因为
，
又由余弦定理
，
可得
， ………………………2 分
由
知
，
所以
， ………………………4 分
（2）由（1）及正弦定理得
，
又因为
，
所以
， ………………………6 分
又因为
，
解得
． ………………………8 分
1
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（3）由（2）知
，
所以
，
， ………………………9 分
因为
，即
，
则
，或
， ………………………11 分
当
时，
． ………………………13 分
当
，B 为
，此时
． ………………………14 分
17．（本小题满分15 分）
【解】（1）证明：因为
平面
，
平面
，
所以
，
又
为边长为2 的正三角形，
为
中点，
所以
，
所以
平面
，
平面
，所以
①, ………………………2 分
又
，
所以
，所以
，
所以
，
2
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所以
(
为
与
的交点)，所以
②， …………………………3 分
又因为
③,
由①②③可得
平面
，
又因为
平面
，
所以平面
平面
； …………………………5 分
（2）解：设
,过
作
于
，连接
,
因为
平面
，
平面
，所以
， …………………………7 分
又因为
，
，则
平面
,
平面
,所以
，
所以
为平面
和平面
夹角， …………………………8 分
在
中，
,
在
中，
，所以
，
所以
中，
,
所以
； …………………………9 分
3
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（3）当点
与点
重合时，点
到平面
的距离为
，
取
中点
，连接
,
则
∥
，所以
四点共面，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
，
,所以
平面
， …………………………11 分
设点
到平面
的距离为，
又
,
即
,
即
, …………………………13 分
所以
，
解得
.
故在线段
存在点
（端点
处），使点
到平面
的距离为
. …………………………15 分
18．（本小题满分15 分）
【解】（1）设椭圆左顶点为
，上顶点为
，
4
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下顶点为
，左焦点为
．
因为
为等边三角形，所以
，即
， …………………………2 分
因为焦距为
，所以
，又
，故
，
，
， ………………4 分
所以椭圆的方程为
，离心率为
． …………………………6 分
（2）设直线l 的方程为
，
设点
，则点
，
设点
，点B 到直线l 的距离为d，
因为
，
所以
，即
， …………………………8 分
又因为点P，M 均在第一象限，
有
，
，即
．
由点
，点
，易知直线AB 的方程为
，
由方程组
，消去y，可得
， …………………………9 分
由方程组
，消去y，可得
． …………………………12 分
由
，可得
，整理得
，
解得
，因为
， …………………………14 分
5
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所以
，故直线l 的方程为
． …………………………15 分
19．（本小题满分15 分）
【解】（1）由题意可得：
， …………………………1 分
则
，
，
即切点坐标为
，斜率
， …………………………3 分
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
即
． …………………………4 分
（2）当
时，
，
可知
的定义域为
，且
， …………………………5 分
令
，解得
．
列表如下：
1
0
单调递减
极小值
单调递增
…………………………7 分
可知当
时，
取最小值
，
6
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所以
． …………………………9 分
（3）由（2）可知：
，当且仅当
时，等号成立，
令
，则
， ………………………10 分
可得
，
即
， …………………………12 分
所以
．
当
时，
, ………14 分
所以对于任意
，
成立时，整数
的最小值为3．………15 分
20．（本小题满分16 分）
【解】（1）设
的公差为
，则
， ……………………2 分
解得
，
数列
为
； …………………………3 分
（2）因为
构成首项为
，公差为
的等差数列，
所以
， ………………………5 分
所以
，
7
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所以当
时
取得最大值，且
. …………………………7 分
（3）因为，
，
，
，
成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为
，
所以这样的对称数列有：
①，
，
，
，
，
，
，
，
，
，；
②
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
； …………………………9 分
因为
，
对于①，当
时
；
当
时
，
所以
； …………………………12 分
对于②，当
时
；
当
时
， …………………………15 分
所以
. …………………………16 分
8
